第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省南京市五校共同體高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)A(2,3)，B(?1,7)，則與向量AB方向相反的單位向量為(

)A.(?35,45) B.(2.計(jì)算sin40°cos160°+sin20°cos140°的值為(

)A.32 B.12 C.?3.已知向量a，b滿足a?b=0，|a|=2，|A.22 B.210 C.4.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2A.?8 B.8 C.6 D.?65.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC=b+23c，則△ABC是A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形6.若0<α<π2<β<π，且A.6365 B.5665 C.16657.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+12AB，若A.13

B.12

C.1

8.已知α,β∈(0,π2)，且sinβ=2cos(α+β)sinα，則tanβ有A.最大值3 B.最小值3

C.取不到最大值和最小值 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC下列條件解三角形，其中有唯一解的是(

)A.a=9，b=10，c=15 B.b=6，c=52，B=45°

C.a=3，b=2，B=120° D.b=6，c=610.已知向量a=(2,1)，b=(?3,1)，e是與b同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是(

)A.a+b與a共線 B.a與a?b的夾角余弦值為255

C.向量a在向量b上的投影向量為11.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若(3c?2asinB)sinC=A.cosAcosC的取值范圍是(12,34)

B.若D是AC邊上的一點(diǎn)，且CD=2DA，BD=2，則△ABC的面積的最大值為332

C.若三角形ABC是銳角三角形，則ba三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量a=(k,3)，b=(1,4)，c=(2,1)，已知2a?3b與13.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=23，則14.已知ω>0，函數(shù)f(x)=2sinω2xcosω2x?cosωx，x∈R，在四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知|a|=2，|b|=3，(a?b)?b=?5．

(1)若ka?b與2a16.(本小題15分)

已知a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,?cosx)，函數(shù)f(x)=a?b?12．

(1)若x∈[π4,π217.(本小題15分)

在①sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinC，②m=(1+cosA,sinB)，n=(3a,b)且m//n，③2(c?acosB)=b，三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c已知_____．

18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC為等邊三角形，記∠ADC=α，∠DAC=β．

(1)若α=π3，求△ABD的面積；

(2)證明：ACcosβ=1?2cosα；

(3)若α∈(π219.(本小題17分)

如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成α(0<α<π)角的兩條射線，e1,e2分別為Ox，Oy同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系xOy為α仿射坐標(biāo)系.在α仿射坐標(biāo)系中，若OP=xe1+ye2，記OP=(x,y)．

(1)在α仿射坐標(biāo)系中，

①若a=(m,n)，求|a|；

②若a=(?1,2),b=(?2,1)，且a，b的夾角為π3，求cosα；

(2)如圖所示，在π3仿射坐標(biāo)系中，B，C分別在

參考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.AD

10.BD

11.BD

12.(?∞,?913.18

14.(0,?315.

16.解：(1)因?yàn)閍=(3sinx,cosx)，b=(cosx,?cosx)，函數(shù)f(x)=a?b?12．

所以f(x)=32sin2x?12cos2x?1=sin(2x?π6)?1，…(4分)

∵x∈[π4,π2]，∴π3≤2x?π6≤5π6，…(5分)

當(dāng)2x?π6=π2，即x=π3時(shí)，f(x)的最大值是f(x)max=0，

當(dāng)2x?π6=5π6，即x=π2時(shí)，f(x)的最小值是f(x17.18.解：(1)在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2?2AD?CD?cosα=1+4?2×2×cosπ3=3，

所以AC=3，則CD2=AD2+AC2，所以∠DAC=90°，

又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以AB=AC=3，且∠BAD=∠BAC+∠DAC=150°，

所以SΔABD=12AB?AD?sin∠BAD=12×3×1×sin150°=34；

(2)證明：在△ACD中，由正弦定理可得ACsinα=CDsinβ=ADsin[π?(α+β)]，

即ACsinα=2sinβ=1sin(α+β)?2sin(α+β)=sinβ且ACsinβ=2sinα，

由于2sin(α+β)=2sinαcosβ+2cosαsinβ=sinβ，19.解：(1)①因?yàn)閍=(m,n)，所以a=me1+ne2，則a2=(me1+ne2)2=m2e12+2mne1?e2+n2e22=m2+2mncosα+n2，

所以|a|=m2+2mncosα+n2；

②由a=