數(shù)學(xué)分析2試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(1)\)等于：

A.0

B.1

C.-1

D.3

2.下列函數(shù)中，可導(dǎo)的是：

A.\(f(x)=|x|\)

B.\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=x^2\sin(1/x)\)

3.設(shè)\(f(x)=x^2\sin(1/x)\)，則\(f'(0)\)等于：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

4.設(shè)\(f(x)=e^x\sin(x)\)，則\(f''(x)\)等于：

A.\(e^x\sin(x)+e^x\cos(x)\)

B.\(e^x\sin(x)-e^x\cos(x)\)

C.\(e^x(\sin(x)+\cos(x))\)

D.\(e^x(\sin(x)-\cos(x))\)

5.設(shè)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f''(x)\)等于：

A.6x

B.6

C.6x^2

D.6x^3

二、填空題（每題5分，共20分）

1.設(shè)\(f(x)=x^2\sin(1/x)\)，則\(f'(0)\)的極限值為_______。

2.設(shè)\(f(x)=e^x\sin(x)\)，則\(f''(x)\)的表達(dá)式為_______。

3.設(shè)\(f(x)=\sqrt{x}\)，則\(f'(x)\)的表達(dá)式為_______。

4.設(shè)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f''(x)\)的表達(dá)式為_______。

5.設(shè)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f''(x)\)的零點(diǎn)為_______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.設(shè)\(f(x)=x^2\sin(1/x)\)，求\(f'(x)\)。

2.設(shè)\(f(x)=e^x\sin(x)\)，求\(f''(x)\)。

3.設(shè)\(f(x)=\sqrt{x}\)，求\(f'(x)\)和\(f''(x)\)。

四、計(jì)算題（每題10分，共30分）

1.計(jì)算定積分\(\int_0^1(x^2-2x+1)\,dx\)。

2.計(jì)算定積分\(\int_1^ee^x\,dx\)。

3.計(jì)算定積分\(\int_0^{\pi}\sin^2(x)\,dx\)。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值和最小值。

2.證明：若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f'(x)\)在\([a,b]\)上不變號(hào)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)。

六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.一物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為\(v_0\)，加速度為\(a\)，求物體在時(shí)間\(t\)內(nèi)的位移\(s\)。

2.一物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為\(r\)，角速度為\(\omega\)，求物體在時(shí)間\(t\)內(nèi)的弧長(zhǎng)\(s\)。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.答案：C

解析思路：求\(f'(x)\)得到\(f'(x)=3x^2-3\)，將\(x=1\)代入，得\(f'(1)=0\)。

2.答案：D

解析思路：選項(xiàng)A在\(x=0\)處不可導(dǎo)，選項(xiàng)B和C在整個(gè)實(shí)數(shù)域上可導(dǎo)，選項(xiàng)D在\(x=0\)處不可導(dǎo)。

3.答案：D

解析思路：\(f(x)\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)楫?dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(f(x)\)的左右導(dǎo)數(shù)不相等。

4.答案：A

解析思路：使用乘積法則求\(f''(x)\)，得到\(f''(x)=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)\)。

5.答案：A

解析思路：求\(f''(x)\)得到\(f''(x)=6x\)，令\(f''(x)=0\)，得\(x=0\)。

二、填空題

1.答案：-1

解析思路：使用洛必達(dá)法則求\(f'(0)\)的極限，得\(\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0\)，因?yàn)閈(\sin(1/x)\)有界，而\(x\)趨于0。

2.答案：\(e^x\sin(x)+e^x\cos(x)\)

解析思路：使用乘積法則求\(f''(x)\)，得到\(f''(x)=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)\)。

3.答案：\(2x\)

解析思路：使用冪函數(shù)求導(dǎo)法則，得到\(f'(x)=2x\)。

4.答案：\(-\frac{1}{x^2}\)

解析思路：使用冪函數(shù)求導(dǎo)法則，得到\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。

5.答案：\(x=0\)

解析思路：求\(f''(x)\)得到\(f''(x)=6x\)，令\(f''(x)=0\)，得\(x=0\)。

三、解答題

1.答案：\(f'(x)=2x\cos(1/x)-\sin(1/x)\)

解析思路：使用乘積法則和鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)。

2.答案：\(f''(x)=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)+e^x\cos(x)-e^x\sin(x)=2e^x\cos(x)\)

解析思路：使用乘積法則求導(dǎo)。

3.答案：\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}\)

解析思路：使用冪函數(shù)求導(dǎo)法則求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

四、計(jì)算題

1.答案：\(\frac{1}{3}\)

解析思路：直接計(jì)算積分。

2.答案：\(e^e-1\)

解析思路：使用指數(shù)函數(shù)積分公式。

3.答案：\(\frac{\pi}{2}\)

解析思路：使用三角函數(shù)積分公式。

五、證明題

1.答案：由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)和介值定理得證。

解析思路：使用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和介值定理。

2.