重慶市黔江區2024-2025學年高一上學期1月期末聯合檢測數學試卷考試時間：120分鐘?總分：100分?年級/班級：高一（1）班一、選擇題（每題5分，共20分）要求：從四個選項中選出正確答案。1.已知函數f(x)=x^2+2x+3，則函數f(x)的圖像的對稱軸是：A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=12.已知等差數列{an}的公差為d，且a1=3，a5=11，則d的值為：A.2B.3C.4D.53.若復數z滿足|z-1|=2，則復數z在復平面上的軌跡是：A.圓B.線段C.點D.直線4.已知函數f(x)=log2(x-1)，則f(x)的定義域是：A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤15.若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，則向量a和向量b的數量積是：A.7B.5C.9D.36.已知等比數列{bn}的公比為q，且b1=2，b3=8，則q的值為：A.2B.4C.1D.1/2二、填空題（每題5分，共20分）要求：直接寫出答案。1.函數f(x)=x^3-3x+1的零點是______。2.已知等差數列{an}的公差為d，且a1=5，a4=13，則an=______。3.復數z=3+4i的模是______。4.函數f(x)=|x-2|+|x+3|的最小值是______。5.向量a=(2,3)與向量b=(1,2)的夾角余弦值是______。6.已知等比數列{bn}的公比為q，且b1=3，b4=27，則bn=______。三、解答題（每題10分，共20分）要求：寫出解題過程，求解答案。1.解不等式組：$$\begin{cases}{2x-3y<6}\\{x+y>2}\end{cases}$$，并畫出不等式組的解集。2.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函數f(x)的極值。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明下列命題。1.證明：若a、b、c是等差數列的連續三項，則a^2+b^2+c^2=3abc。2.證明：對于任意實數x，都有x^3+x+1≥x+1。五、計算題（每題10分，共20分）要求：計算下列各題，寫出計算過程。1.計算定積分$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx$$。2.解方程組：$$\begin{cases}{x^2+2xy-3y^2=0}\\{x-y=1}\end{cases}$$。六、應用題（每題10分，共20分）要求：根據題目條件，列出方程或方程組，并求解。1.某工廠生產兩種產品A和B，生產產品A的利潤為每件50元，生產產品B的利潤為每件30元。若每天生產產品A和B共需投入原材料1000元，且生產產品A和B的工時比為2:3，求每天生產產品A和B各多少件，以使利潤最大。2.一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，行駛了2小時后，速度減為40公里/小時，再行駛了3小時后，速度再次減為60公里/小時。求汽車在這段時間內的平均速度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.x=1解析：函數f(x)=x^2+2x+3是一個二次函數，其標準形式為f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是頂點坐標。通過配方或使用頂點公式，可以找到頂點坐標為(-1,-2)，因此對稱軸是x=-1。2.A.2解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，其中a1是首項，d是公差。根據題目給出的信息，可以列出方程a5=a1+4d，解得d=2。3.A.圓解析：復數z滿足|z-1|=2表示z到點(1,0)的距離為2，這是一個以(1,0)為圓心，半徑為2的圓。4.A.x>1解析：函數f(x)=log2(x-1)中的對數部分要求x-1>0，即x>1，因此定義域是x>1。5.A.7解析：向量a和向量b的數量積是a·b=2*1+3*2=2+6=7。6.A.2解析：等比數列的通項公式為an=a1*q^(n-1)，其中a1是首項，q是公比。根據題目給出的信息，可以列出方程b3=a1*q^2，解得q=2。二、填空題1.1,-1解析：通過因式分解或使用求根公式，可以找到函數f(x)=x^3-3x+1的零點為1和-1。2.5+2(n-1)解析：根據等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，代入a1=5和d=2，得到an=5+2(n-1)。3.5解析：復數z=3+4i的模是|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。4.5解析：函數f(x)=|x-2|+|x+3|的最小值出現在x的值使得兩個絕對值內的表達式都為0，即x=2或x=-3。在這兩個點上，函數值為5。5.1/√5解析：向量a=(2,3)與向量b=(1,2)的夾角余弦值是a·b/(|a||b|)=(2*1+3*2)/(√(2^2+3^2)√(1^2+2^2))=7/(√13√5)=7/(√65)=1/√5。6.3*2^(n-1)解析：根據等比數列的通項公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=3和q=2，得到bn=3*2^(n-1)。三、解答題1.解不等式組：解析：首先，將不等式組中的不等式轉換為等式，得到2x-3y=6和x+y=2。然后，在坐標系中畫出這兩條直線，找到它們的交點，這個交點就是不等式組的解集。2.求函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1的極值：解析：首先，求函數的導數f'(x)=3x^2-12x+9。然后，找到導數等于0的點，即解方程3x^2-12x+9=0。解得x=1和x=3。通過測試這些點附近的值，可以確定x=1是極大值點，x=3是極小值點。計算這些點的函數值，得到極大值為f(1)=1，極小值為f(3)=1。四、證明題1.證明：若a、b、c是等差數列的連續三項，則a^2+b^2+c^2=3abc。解析：設等差數列的公差為d，則b=a+d，c=a+2d。根據等差數列的性質，有b-a=d和c-b=d。現在要證明a^2+b^2+c^2=3abc。左邊=a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+4ad+4d^2=3a^2+6ad+5d^2右邊=3abc=3a(a+d)(a+2d)=3a(a^2+3ad+2d^2)=3a^3+9a^2d+6ad^2由于a^2+b^2+c^2=3a^2+6ad+5d^2和3a^3+9a^2d+6ad^2都包含3a^2和6ad，因此只需證明5d^2=6ad^2。由于d不為0，可以兩邊同時除以d^2，得到5=6a，這與等差數列的性質矛盾，因為公差d不可能等于0。因此，原命題成立。2.證明：對于任意實數x，都有x^3+x+1≥x+1。解析：要證明的不等式可以簡化為x^3≥0。對于任意實數x，x^3的符號取決于x的符號。如果x≥0，那么x^3≥0顯然成立。如果x<0，那么x^3是負數，但加上x和1后，不等式仍然成立，因為負數加上一個正數（x+1）仍然是一個負數，而x^3是負數，所以x^3+x+1仍然大于或等于x+1。因此，對于任意實數x，都有x^3+x+1≥x+1。五、計算題1.計算定積分$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx$$。解析：首先，找到被積函數的原函數，即對3x^2-4x+1進行不定積分。原函數為x^3-2x^2+x。然后，使用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分：$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx=[x^3-2x^2+x]_{0}^{2}$$$$=(2^3-2*2^2+2)-(0^3-2*0^2+0)$$$$=(8-8+2)-0$$$$=2$$2.解方程組：$$\begin{cases}{x^2+2xy-3y^2=0}\\{x-y=1}\end{cases}$$解析：首先，從第二個方程中解出x，得到x=y+1。然后，將x的表達式代入第一個方程中：$$(y+1)^2+2(y+1)y-3y^2=0$$展開并整理得到：$$y^2+2y+1+2y^2+2y-3y^2=0$$$$y^2+4y+1=0$$使用求根公式解這個一元二次方程，得到y的兩個解。然后，將y的解代入x=y+1中，得到對應的x值。六、應用題1.某工廠生產兩種產品A和B，生產產品A的利潤為每件50元，生產產品B的利潤為每件30元。若每天生產產品A和B共需投入原材料1000元，且生產產品A和B的工時比為2:3，求每天生產產品A和B各多少件，以使利潤最大。解析：設每天生產產品A的數量為2x件，產品B的數量為3x件。根據題目條件，有2x+3x=1000/50+1000/30，即5x=20+100/3。解得x=12/3=4。因此，生產產品A的數量為2x=2*4=8件，產品B的數量為3x=3*4=12件。2.一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，行駛了2小時后，速度減為40公里/