9/30合肥市廬江縣2023年九年級《數學》上學期月考試題與參考答案一、選擇題本題共32分，每小題4分．下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的。1.拋物線的對稱軸是（）A.直線＝－1 B.直線＝1 C.直線＝－2 D.直線＝2【答案】B【分析】根據題目所給的二次函數的頂點式直接得到函數圖象的對稱軸．【詳解】解：因為解析式為，所以對稱軸是直線．故選：B．【點睛】本題考查二次函數的頂點式，解題的關鍵是根據二次函數的頂點式得到函數圖象的性質．2.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠C=15°，則∠BOC=（）A.60° B.45° C.30° D.15°【答案】C【分析】由于OA、OC都是⊙O的半徑，由等邊對等角，可求出∠A的度數；進而可根據圓周角定理求出∠BOC的度數．【詳解】解：因為OA=OC，所以∠A=∠C=15°；所以∠BOC=2∠A=30°；故選C．【點睛】此題主要考查的是圓周角定理：同弧所對的圓周角是圓心角的一半．3.如圖，在8×4矩形網格中，每格小正方形的邊長都是1，若的三個頂點在圖中相應的格點上，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【分析】在直角中利用正切函數定義即可求解．【詳解】解：過A作于D，在直角中，，，則．故選：B．【點睛】本題考查了正切函數的定義，掌握三角函數就是直角三角形中邊的比是關鍵．4.用配方法將化成的形式為（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】通過加上一次項系數一半的平方再減去一次項系數一半的平方，湊成完全平方式，將一般式轉化為頂點式即可．【詳解】解：，故選D．【點睛】本題考查二次函數一般式到頂點式的轉化，熟練掌握配方法是解題的關鍵．5.如圖所示，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1，（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是（）A.（﹣4，﹣3） B.（﹣3，﹣3） C.（﹣4，﹣4） D.（﹣3，﹣4）【答案】A【分析】作直線AA1、BB1，這兩條直線的交點即為位似中心．【詳解】由圖中可知，點P的坐標為（﹣4，﹣3）．故選A．【點睛】用到的知識點為：兩對對應點連線的交點為位似中心．6.某商店購進一種商品，單價為元．試銷中發現這種商品每天的銷售量（件）與每件的銷售價（元）滿足關系：．若商店在試銷期間每天銷售這種商品獲得元的利潤，根據題意，下面所列方程正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】本題的等量關系是每件商品的利潤×每天的銷售量=每天的總利潤．依據這個等量關系可求出方程．【詳解】設每件商品的售價應定為x元，每天要銷售這種商品p件．根據題意得：（x-30）（100-2x）=200，整理得：x2-80x+1600=0.故選A【點睛】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．7.如圖，中，，與相切，切點為E，并分別交于C，D兩點，連接，若等于，則扇形的面積等于（）.A.π B.π C.π D.π【答案】B【分析】根據切線的性質得到直角，由，得到，然后在直角中，求出圓的半徑，再用扇形面積公式計算出扇形的面積．【詳解】解：如圖：因為與相切，所以．因為，所以，所以垂直平分．設交于F，在直角中，，所以，所以．故選B．【點睛】此題考查了切線的性質定理，垂徑定理，扇形的面積公式，銳角三角函數，綜合掌握各知識點是解題的關鍵．8.如圖，OA=4，線段OA的中點為B，點P在以O為圓心，OB為半徑的圓上運動，PA的中點為Q，當點Q也落在⊙O上時，cos∠OQB的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先構造直角三角形QBC，根據三角形中位線定理分別求出QB、QC的長，再根據余弦的定義即可求出結果．【詳解】解：當點P運動到恰好點Q落在⊙O上，連接QB，OP，BC，再連接QO并延長交⊙O于點C，則∠CBQ=90°（直徑所對的圓周角是直角）因為B、Q分別是OA、AP的中點，所以BQ∥OP，因為OP=OB=BA=OA=2，所以QB=1在Rt△CQB中，∠CBQ=90°所以cos∠OQB=．故選：C．二、填空題（本題共20分，每小題5分）9.如圖，在中，分別交，于點D，E，若，，則與的周長比為________．【答案】0.6【分析】由平行線可得兩個三角形相似，再由其周長比等于其對應邊的比，進而即可得出結論．【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，又相似三角形的周長比等于其對應邊的比，所以與的周長比．故答案為．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的周長之比等于相似比是解本題的關鍵．10.兩圓的半徑分別為3cm和4cm，若圓心距為5cm，則這兩圓的位置關系為_______．【答案】相交【分析】本題直接告訴了兩圓的半徑及圓心距，根據數量關系與兩圓位置關系的對應情況便可直接得出答案．【詳解】解：由題意知，兩圓圓心距d=5＜R+r=7，故兩圓相交故答案為：相交．【點睛】本題主要考查兩圓之間的位置關系，兩圓外離，則P＞R+r；外切，則P=R+r；相交，則R-r＜P＜R+r；內切，則P=R-r；內含，則P＜R-r．（P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．11.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A，以OA為半徑作⊙O，若點P，B都在⊙O上，且四邊形AOPB為菱形，則點P的坐標為__________．【答案】，【分析】根據菱形的性質可知△POB，△AOB是等邊三角形，從而得出∠POM=180°-60°×2=60°，再根據三角函數即可求出OM，PM的長度，得到點P的坐標，注意點P可以在x軸的上方和下方．【詳解】解：因為四邊形AOPB為菱形所以OP=PB=AB=OB，因為OP=OB，所以△POB，△AOB是等邊三角形，所以∠POM=180°-60°×2=60°，所以OM=OP×cos∠POM=1，PM=OP×sin∠POM=．當點P在x軸的上方時，P的坐標為（-1，）；當點P在x軸的下方時，P的坐標為（-1，-）．故答案為（-1，），或（-1，-）．12.拋物線（a≠0）滿足條件：（1）；（2）；（3）與x軸有兩個交點，且兩交點間的距離小于2．以下有四個結論：①；②；③；④，其中所有正確結論的序號是_____【答案】②④【詳解】因為4a-b=0，所以拋物線的對稱軸為x=-=-2因為a-b+c＞0，所以當x=-1時，y＞0，因為拋物線與x軸有兩個不同的交點且這兩個交點之間的距離小于2，所以拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標位于-3與-1之間，b2-4ac＞0所以16a2-4ac=4a（4a-c）＞0，據條件得圖象：所以a＞0，b＞0，c＞0，所以4a-c＞0，所以4a＞c即a＞，因為當x=-3時，9a-3b+c＞0，由b=4a，所以c＞3a即a＜，所以＜a＜，當x=1時，y=a+b+c＞0．故答案為②④．三、解答題本題共31分，第13～17題每小題5分，第18題6分。13.計算：【答案】【詳解】解：14.若關于x的方程有實數根．（1）求a的取值范圍；（2）若a為符合條件的最小整數，求此時方程的根【答案】（1）a≥（2）a=，．【詳解】試題分析：(1)、根據方程有實數根則△≥0求出a的取值范圍；(2)、首先求出a的值，然后得出一元二次方程，從而求出方程的解.試題解析：(1)、△=4+4a；因為方程由實數根，所以4+4a≥0，所以a≥-1；(2)、當a為符合條件的最小整數時，a=-1，原方程為：，其解為：考點：(1)、一元二次方程根判別式；(2)、解一元二次方程.15.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，D為CB延長線上一點，且BD=2AB．求AD的長．【答案】【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，所以，BC=1．因為D為CB延長線上一點，BD=2AB，所以BD=4，CD=5．所以．16.圖為拋物線的一部分，它經過A，B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）將此拋物線向左平移3個單位，再向下平移1個單位，求平移后的拋物線的解析式．【答案】（1）（2）【詳解】解：（1）因為拋物線經過A，B兩點，所以解得所以拋物線的解析式為．（2）因為拋物線的頂點坐標為，所以平移后的拋物線的頂點坐標為．所以平移后的拋物線的解析式為．17.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離AD為50m，求這棟樓的高度.（取1.414，取1.732）【答案】136.6m【詳解】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，所以BD=AD=50(m)．Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，所以(m)．所以BC=BD+CD=(m)．答：這棟樓約高136.6m．18.對于拋物線.（1）它與x軸交點的坐標為，與y軸交點的坐標為，頂點坐標為；（2）在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；x……y……（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程（t為實數）在＜x＜的范圍內有解，則t的取值范圍是．【答案】（1）（1,0），（3,0）；（0,3）；頂點坐標為（2，-1）；（2）見解析（3）-1≤t＜8【詳解】解：（1）它與x軸交點的坐標為，與y軸交點的坐標為，頂點坐標為；（2）列表：x…01234…y…30-103…圖象如圖3所示．（3）因為關于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t為實數）在-1＜x＜的范圍內有解，因為y=x2-4x+3的頂點坐標為（2，-1），若x2-4x+3-t=0有解，方程有兩個根，則：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t當x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，當x=，代入x2-4x+3-t=0，t=因為x＞-1，所以t＜8，所以t的取值范圍是：-1≤t＜8四、解答題本題共28分，第22題8分，其余每小題5分。19.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分別為BC，AB邊上一點，∠ADE=∠C．（1）求證：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2.4【分析】（1）由題中條件可得∠B=∠C，所以由已知條件，求證∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，進而由相似三角形的對應邊成比例，即可求解線段的長．【詳解】（1）因為AB=AC，所以∠B=∠C．因為∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，所以∠BDE=∠CAD．所以△BDE∽△CAD．（2）由（1）△BDE∽△CAD得．因為AB=AC=5，BC=8，CD=2，所以．所以．20.兩個長為2，寬為1的矩形ABCD和矩形EFGH如圖1所示擺放在直線l上，DE=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉角（），將矩形EFGH繞點E逆時針旋轉相同的角度．（1）當兩個矩形旋轉到頂點C，F重合時（如圖2），∠DCE=°，點C到直線l的距離等于，=°；（2）利用圖3思考：在旋轉的過程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分為正方形時，=°．【答案】（1）60,,30;（2）45【詳解】解：（1）過C作CM⊥DE于M，如圖2，因為CD=FE=DE=2，所以△CDE為等邊三角形，所以∠DCE=60°，所以CM==，因為∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，而∠1等于旋轉角，所以α=30°；（2）如圖3，因為四邊形MFNC為正方形，而矩形ABCD繞點D順時針旋轉和矩形EFGH繞點E逆時針旋轉相同的角度．所以NF=NC，∠FNC=90°，所以∠DNE=90°，ND=NE，所以∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，所以α=45°．故答案為：（1）60，，30；（2）45．21.已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點E，交⊙O于點F，連接BF，CF，∠D=∠BFC.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC=8，tanB=，求AD的長.【答案】（1）證明見解析；（2）【詳解】（1）證明：因為OD⊥AC于點E，所以∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．因為∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，所以∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．所以OA⊥AD于點A．因為OA是⊙O的半徑，所以AD是⊙O的切線．（2）解：因為OD⊥AC于點E，AC是⊙O的弦，AC=8，所以．因為∠B=∠C，tanB=，所以在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=．所以．設⊙O的半徑為r，則．在Rt△OAE中，由勾股定理得，即．解得r=5．所以在Rt△OAE中，．所以在Rt△OAD中，．22.請閱讀下面材料：若，是拋物線（a≠0）上不同的兩點，證明直線為此拋物線的對稱軸.有一種方法證明如下：證明：因為，是拋物線（a≠0）上不同的兩點，所以且≠.①-②得.所以.所以.又因為拋物線（a≠0）的對稱軸為，所以直線為此拋物線的對稱軸.（1）反之，如果，是拋物線（a≠0）上不同的兩點，直線為該拋物線的對稱軸，那么自變量取，時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；（2）利用以上結論解答下面問題：已知二次函數當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值.【答案】（1）見解析;（2）2011【詳解】解：（1）結論：自變量取，時函數值相等．證明：因為，為拋物線上不同的兩點，由題意得且≠．得.因為直線是拋物線（a≠0）的對稱軸，所以.所以.所以，即（2）因為二次函數當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，所以由閱讀材料可知二次函數的對稱軸為直線.所以，.所以二次函數的解析式為.因為，由（1）知，當x=2012的函數值與時的函數值相等.因為當x=時的函數值為，所以當x=2012時的函數值為2011五、解答題本題共38分，第23題10分，第24題14分，第25題14分。23.已知關于x的一元二次方程.（其中m為實數）（1）若此方程的一個非零實數根為k，①當k=m時，求m的值；②若記為y，求y與m的關系式；（2）當＜m＜2時，判斷此方程的實數根的個數并說明理由．【答案】（1）①1；②；（2）當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根，理由見解析．【詳解】解：（1）因為k為的實數根，所以①當k=m時，因為k為非零實數根，所以m≠0，方程※兩邊都除以m，得.整理，得解得，因為是關于x的一元二次方程，所以m≠2，所以m=1②因為k為原方程的非零實數根，所以將方程兩邊都除以k，得整理，得所以（2）解法一：當＜m＜2時，m＞0，＜0所以＞0，＞1＞0，Δ＞0所以當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根解法二：直接分析＜m＜2時，函數的圖象，因為該函數的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，所以該拋物線必與x軸有兩個不同交點所以當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根解法三：結合關于m的圖象可知，（如圖6）當＜m≤1時，＜≤4；當1＜m＜2時，1＜＜4所以當＜m＜2時，＞0所以當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根．24.已知拋物線（其中a≠c且a≠0）.（1）求此拋物線與x軸的交點坐標；（用a，c的代數式表示）（2）若經過此拋物線頂點A的直線與此拋物線的另一個交點為，求此拋物線的解析式；（3）點P在（2）中x軸上方的拋物線上，直線與y軸的交點為C，若，求點P的坐標；（4）若（2）中的二次函數的自變量x在n≤x＜（n為正整數）的范圍內取值時，記它的整數函數值的個數為N，則N關于n的函數關系式為.【答案】（1），（2）（3）（4）【詳解】解：（1）拋物線與x軸交點的橫坐標是關于x的方程（其中a≠0，a≠c）的解.解得，.所以拋物線與x軸交點的坐標為，（2）拋物線的頂點A的坐標為.因為經過此拋物線頂點A的直線與此拋物線的另一個交點為，由③得c=0.將其代入①、②得解得.所以所求拋物線的解析式為.（3）作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F.（如圖7）拋物線的頂點A的坐標，點B的坐標為，點C的坐標為.設點P的坐標為.因為點P在x軸上方的拋物線上，所以，且0＜m＜1，.所以，.因為，所以.解得m=2n，或（舍去）將m=2n代入，得.解得，（舍去）.所以.所以點P的坐標為（4）N關于n的函數關系式為N=4n說明：二次函數的自變量x在n≤x＜（n為正整數）的范圍內取值，此時y隨x的增大而減小，所以＜y≤，其中的整數有，，…..25.含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.將其繞直角頂點C順時針旋轉角（且≠90°），得到Rt△，邊與