第六章趨勢面分析方法

趨勢面分析普通原理

趨勢面模型適度檢驗

趨勢面分析應用實例

1/39先看一個例子流域降水量及觀察點地理位置數據序號降水量Z/mm橫坐標x/104m縱坐標y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.552/39aYZ3/39XYZa4/39某流域降水量二次多項式趨勢面

5/39某流域降水量三次多項式趨勢面6/397/39第九章趨勢面分析方法

趨勢面分析普通原理

趨勢面模型適度檢驗

趨勢面分析應用實例

8/39一、趨勢面分析普通原理

趨勢面分析，是利用數學曲面模擬地理系統要素在空間上分布及改變趨勢一個數學方法。它實質上是經過回歸分析原理，利用最小二乘法擬合一個二維非線性函數，模擬地理要素在空間上分布規律，展示地理要素在地域空間上改變趨勢。

9/39趨勢面分析方法經常被用來模擬資源、環境、人口及經濟要素在空間上分布規律，它在空間分析方面含有主要應用價值。

趨勢面是一個抽象數學曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機原因影響，使地理要素空間分布規律顯著化。

10/39通常把實際地理曲面分解為趨勢面和剩下面兩部分，前者反應地理要素宏觀分布規律，屬于確定性原因作用結果；而后者則對應于微觀局域，是隨機原因影響結果。趨勢面分析一個基本要求，就是所選擇趨勢面模型應該是剩下值最小，而趨勢值最大，這么擬合度精度才能到達足夠準確性?？臻g趨勢面分析，正是從地理要素分布實際數據中分解出趨勢值和剩下值，從而揭示地理要素空間分布趨勢與規律。

11/39（一）建立趨勢面模型設某地理要素實際觀察數據為，趨勢面擬合值為，則有

式中：εi即為剩下值（殘差值）。顯然，當（xi，yi）在空間上變動時，（3.6.1）式就刻畫了地理要素實際分布曲面、趨勢面和剩下面之間互動關系。

（3.6.1）

12/39趨勢面分析關鍵從實際觀察值出發推算趨勢面，普通采取回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即這就是在最小二乘法意義下趨勢面擬合。

13/39用來計算趨勢面數學方程式有多項式函數和傅立葉級數，其中最為慣用是多項式函數形式。因為任何一個函數都能夠在一個適當范圍內用多項式來迫近，而且調整多項式次數，可使所求回歸方程適合實際問題需要。

14/39多項式趨勢面形式①一次趨勢面模型②二次趨勢面模型③三次趨勢面模型（3.6.2）

（3.6.3）

（3.6.4）

15/39（二）預計趨勢面模型參數實質依據觀察值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項式系數a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。過程

①將多項式回歸（非線性模型）模型轉化為多元線性回歸模型。16/39令

則②其殘差平方和為

（3.6.5）

17/39③求Q對a0，a1，…，ap偏導數，并令其等于0，得正規方程組(式中為p+1個未知量）（3.6.6）

18/39④用矩陣形式表示則（3.6.6）式變為（3.6.7）

19/39⑤

對于二元二次多項式有

其正規方程組為

20/3921/39由式（3.6.7）求解，可得（3.6.8）

22/39二、趨勢面模型適度檢驗

趨勢面擬適當度R2檢驗趨勢面擬適當度顯著性F檢驗趨勢面適度逐次檢驗趨勢面分析擬合程度與回歸模型效果直接相關，所以，對趨勢面分析進行適度性檢驗是一個關系到趨勢面能否在實際研究中加以應用關鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺乏主要步驟。這能夠經過以下檢驗來完成：23/39（一）趨勢面擬適當度R2檢驗趨勢面與實際面擬合度系數R2是測定回歸模型擬合優度主要指標。普通用變量z總離差平方和中回歸平方和所占比重表示回歸模型擬合優度?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩下平方和之和。即24/39

越大（或越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量關系越親密，回歸規律性越強、效果越好。記

越大，趨勢面擬合度就越高。

為剩下平方和，它表示隨機原因對離差影響，為回歸平方和，它表示自變量對因變量離差總影響。

（3.6.9）

25/39（二）趨勢面擬適當度顯著性F檢驗趨勢面適度F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體顯著性檢驗。

方法：是利用變量z總離差平方和中剩下平方和與回歸平方和比值，確定變量z與自變量x、y之間回歸關系是否顯著。即結果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計算F值大于臨界值Fα，則認為趨勢面方程顯著；反之則不顯著。

（3.6.10）

26/39（三）趨勢面適度逐次檢驗

方法(1)求出較高次多項式方程回歸平方和與較低次多項式方程回歸平方和之差;(2)將此差除以回歸平方和自由度之差，得出因為多項式次數增高所產生回歸均方差;(3)將此均方差除以較高次多項式剩下均方差，得出相繼兩個階次趨勢面模型適度性比較檢驗值F。若所得F值是顯著，則較高次多項式對回歸作出了新貢獻，若F值不顯著，則較高次多項式對于回歸并無新貢獻。對應方差分析表見表3.6.1。

27/39

表3.6.1多項式趨勢面由K次增高至（K+1）次回歸顯著性檢驗離差起源平方和自由度均方差F檢驗（K+1）次回歸

p

（K+1）次剩下n–p–1K次回歸

qK次剩下n–q–1由K次增高至（K+1）次回歸p–q總離差SST28/39需要注意是，在實際應用中，往往用次數低趨勢面迫近改變比較小地理要素數據，用次數高趨勢面迫近起伏改變比較復雜地理要素數據。次數低趨勢面使用起來比較方便，但詳細到某點擬合較差；次數較高趨勢面只在觀察點附近效果很好，而在外推和內插時則效果較差。

29/39三、趨勢面分析應用實例

某流域1月份降水量與各觀察點坐標位置數據如表3.6.2所表示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置橫坐標和縱坐標分別為自變量x、y，進行趨勢面分析，并對趨勢面方程進行適度F檢驗。

30/39表3.6.2流域降水量及觀察點地理位置數據序號降水量Z/mm橫坐標x/104m縱坐標y/104m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.5531/39建立趨勢面模型

(1)

首先采取二次多項式進行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

解題步驟32/39圖3.6.1某流域降水量二次多項式趨勢面

33/39(2)再采取三次趨勢面進行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為

34/39圖3.6.2某流域降水量三次多項式趨勢面

35/39(1)趨勢面擬適當度R2檢驗:依據R2檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面判定系數為R22=0.839，三次趨勢面判定系數為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面含有更高擬合程度。

模型檢驗36/39(2)

趨勢面適度顯著性F檢驗:依據F檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面和三次趨勢面F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F3α=。顯然，，故二次趨勢面回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。所以，F檢驗結果表明，用二次趨勢面進行擬合比較合理。。37/39趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗中，對兩個階次趨勢面模型適度進行比較，對應方差分析計算結果見表3.6.3。(3)趨勢面適度逐次檢驗：

離差起源平方和自由度均方差F檢驗三次回歸三次剩下二次回歸二次剩下由二次增高至三次回歸1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.