函數有準確表示和近似表示。準確表示（解析表示）：表示為初等函數經過四則運算近似表示：迫近近似表示為初等函數經過四則運算級數表示表示為一個函數級數4/7/2025阜師院數科院第1頁第三章冪級數展開復數項級數；變項級數（函數級數）；冪級數；冪級數對復變函數研究應用：泰勒級數；洛朗級數，函數奇異性研究。4/7/2025阜師院數科院第2頁3.1復數項級數級數是無窮項和1.級數收斂和柯西判據復無窮級數每一項為收斂假如極限存在并有限收斂：4/7/2025阜師院數科院第3頁充要條件是其實部與虛部都收斂柯西判據：復數項級數收斂充要條件是，對于一小正整數，必存在一N使得n>N時有式中p為任意正整數。4/7/2025阜師院數科院第4頁2.絕對收斂收斂。兩個絕對收斂和，積，仍絕對收斂。3.復變項級數每一項都是復變函數。實際上，對于z一個確定值，復變項級數變成一個復數項級數。則原級數收斂。4/7/2025阜師院數科院第5頁復變項級數有一個定義域B。它收斂概念應該是相對于這個定義域而言。收斂復變項級數在其定義域B中每一點都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據：復數項級數收斂充要條件是，對于一小正整數，必存在一N(z)

使得n>N(z)時有4/7/2025阜師院數科院第6頁一致收斂當N與z無關時。即對B中全部點給定，就有一個統一N使判據得到滿足。

一致收斂級數每一項若為連續函數，級數也將是連續函數。在一條曲線上能夠逐項積分。絕對一致收斂在區域B中，復數項級數各項滿足

而數項級數收斂。即在各點都絕對收斂4/7/2025阜師院數科院第7頁給定

收斂，但與z位置相關。4/7/2025阜師院數科院第8頁3.2冪級數冪函數復變項級數對于各復常數級數叫以為中心冪級數。1.定義(3.2.1)z04/7/2025阜師院數科院第9頁2.收斂達朗貝爾判據研究(3.2.1)模以下級數滿足則實冪級數(3.2.2)收斂，且復冪級數(3.2.1)絕對收斂。(3.2.1)(3.2.2)4/7/2025阜師院數科院第10頁則實冪級數(3.2.2)收斂，且復冪級數(3.2.1)絕對收斂。3.收斂圓記有4/7/2025阜師院數科院第11頁收斂圓R叫收斂半徑，以為圓心，R為半徑圓叫冪級數最簡單收斂區域。確保冪級數在圓內點上絕對收斂，而在圓外可能發散。圓外仍有區域是收斂。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對收斂。(3.2.2)發散，(3.2.1)發散。故當，(3.2.1)絕對收斂。當，(3.2.1)可能發散。4/7/2025阜師院數科院第12頁故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內部為其實，對于4/7/2025阜師院數科院第13頁(2)但對于顯然級數發散。解：收斂圓實際上對于4.冪級數積分表示利用柯西公式在一個比收斂圓C內稍小圓C’中冪級數絕對一致收斂，故可沿這個圓逐項積分。4/7/2025阜師院數科院第14頁記C’上點為，而C’內任一點為z，則圓上冪級數為利用柯西公式得而有界，4/7/2025阜師院數科院第15頁又乘以冪級數在收斂圓內可任意逐項求導。還能夠逐項積分。4/7/2025阜師院數科院第16頁3.3泰勒級數展開含有沒有限階導數實函數能夠展開為泰勒級數。復變函數中解析函數含有沒有限階導數，故應可展開為泰勒級數。定理設在以為圓心圓內解析，則對圓內任意點，可展開為其中證實：又4/7/2025阜師院數科院第17頁#關鍵在確定，但這不是唯一方法例(1)解：#能直接求導就求導4/7/2025阜師院數科院第18頁(2)解：#4/7/2025阜師院數科院第19頁(3)

是多值函數，各分支在支點相連。但不是支點，在其鄰域各分支相互獨立。所以，我們能夠只討論展開主值。解：4/7/2025阜師院數科院第20頁主值#(4)解：定義顯然4/7/2025阜師院數科院第21頁4/7/2025阜師院數科院第22頁是主值，此時有即二項式定理。#方法與實函數同，但應注意主值。最普通方法，仍是逐層求導。4/7/2025阜師院數科院第23頁(5)極點在4/7/2025阜師院數科院第24頁不一樣冪級數在不一樣區域與函數相同。這里存在什么樣關系？設在小圓在大圓。問題在于4/7/2025阜師院數科院第25頁3.4解析延拓比如和等式兩邊在收斂圓內是相同，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式左邊僅在收斂圓內有意義，但等式右邊除t=1（前一個）或,在整個復平面上解析。所以，問：已知，求在之外F(t)。這個答案是已知4/7/2025阜師院數科院第26頁

于是提出問題：已知f(z)在b中解析，是否存在F(z)在B中解析，且在b中F(z)=f(z)。這個過程叫解析延拓。解析延拓方法在b中取點，又取一個鄰域，j將f(z)展開為泰勒級數。假如這個級數收斂圓一部分超出區域b進入區域B則此函數解析區域得以擴大。逐步使用這種方法，能夠逐步將函數解析延拓。能夠證實，不論采取何種方法，函數f(z)解析延拓是唯一。這么，能夠采用一些最方便方法來進行解析延拓。4/7/2025阜師院數科院第27頁在點z0收斂、絕對收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對一致收斂級數冪級數4/7/2025阜師院數科院第28頁泰勒級數解析函數解析延拓是否能夠將一個解析函數解析區域擴大？在收斂圓內可逐項積分可作為被積函數，被積函數不一定是解析函數。4/7/2025阜師院數科院第29頁3.5洛朗展開泰勒展開必須在函數解析區域才可進行。在函數奇點鄰域，是否存在對應展開？(2)

泰勒級數解析區域為一收斂圓，收斂圓不可包含奇點，但若研究一個級數，它以圓環作收斂區域，則奇點能夠取作圓心，它在收斂環之外。這種級數為洛朗級數泰勒級數是只含有正冪項冪級數，奇點易出現在負冪項，故考慮有負冪級數1.收斂環4/7/2025阜師院數科院第30頁設其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級數在收斂。這個區域叫收斂環。其中正冪部分收斂半徑為。負冪部分寫作4/7/2025阜師院數科院第31頁2.定理 設f(z)在環形區域內部單值解析，則在環內任一點z，f(z)能夠展開為冪級數其中證：沿4/7/2025阜師院數科院第32頁沿兩個積分回路方向相反，由柯西定理，沿積分可變為沿積分（差一個負號）以下#此為洛朗展開在奇點附近展開4/7/2025阜師院數科院第33頁3.例(1)在鄰域展開。f(z)無定義。但在挖去原點環域（整個復平面）中又此級數又能夠看作f(z)到整個復平面解析延拓。利用泰勒展開4/7/2025阜師院數科院第34頁(2)在環域中將展開。還是利用泰勒展開f(z)奇點不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在鄰域將展開。(z-1)冪級數在4/7/2025阜師院數科院第35頁(4)利用取得無限多負冪4/7/2025阜師院數科院第36頁(5)習題14z冪級數A.B.4/7/2025阜師院數科院第37頁3.6孤立奇點分類孤立奇點f(z)除在小鄰域外處處可導。在挖去小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負冪叫主要部分。叫留數C.4/7/2025阜師院數科院第38頁可去奇點冪級數無負冪項時極點冪級數僅含有限m個負冪項時M為極點階，一階極點稱單極點本性奇點含無窮多負冪項時例(1)中

為可去奇點例(3)中出現一階極點。留數為例(4)中出現本性奇點。留數為4/7/2025阜師院數科院第39頁例(5)中情況