選擇3萬有引力與航天問題考點內容考情分析考向一開普勒行星運動定律的應用及天體密度計算天體運動以我國航天科技的最新成果為背景命題，主要考察對天體運行的參量分析計算、如天體線速度、角速度、向心力、密度等問題;考察航天器變軌中的參數變化問題及能量分析;雙星和多星模型考向二天體運動參量及變軌分析1.思想方法(1)天體運動是圓周運動模型，把握與分析清楚向心力與萬有引力的關系(2)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r=man2.模型建構一、開普勒三定律定律內容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關的常量二、天體質量、密度的計算三、地球衛星的運行參數(將衛星軌道視為圓)物理量推導依據表達式最大值或最小值線速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))當r＝R時有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))當r＝R時有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))當r＝R時有最小值，約85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)當r＝R時有最大值，最大值為g軌道平面圓周運動的圓心與中心天體中心重合共性：距地面越高，軌道半徑大，運動越慢，周期越長——高軌低速（線速度、角速度加速度）長周期四、衛星變軌的基本原理力學觀點：從半徑小的軌道I變軌到半徑大的軌道Ⅱ，衛星需要向運動的反方向噴氣，加速離心；從半徑大的軌道Ⅱ變軌到半徑小的軌道I,衛星需要向運動的方向噴氣，減速近心。能量觀點：在半徑小的軌道I上運行時的機械能比在半徑大的軌道Ⅱ上運行時的機械能小。在同軌道上運動衛星的機械能守恒，若動能增加則引力勢能減小。考向一開普勒行星運動定律的應用及天體密度計算（2024?河南模擬）2023年12月15日我國在文昌航天發射場使用長征五號遙六運載火箭。成功將遙感四十一號衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，該星是高軌光學遙感衛星。已知遙感四十一號衛星在距地面高度為h的軌道做圓周運動，地球的半徑為R，自轉周期為T0，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，忽略地球自轉的影響，下列說法正確的是（）A．遙感四十一號衛星繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/s B．遙感四十一號衛星繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度 C．遙感四上一號衛星運行的周期為2π(R+?)D．地球的密度為3π【解答】解：A、第一宇宙速度（7.9km/s）等于衛星貼近地面做勻速圓周運動的環繞速度，是最大的環繞速度，所以遙感四十一號衛星繞地球做圓周運動的速度小于7.9km/s，故A錯誤；B、忽略地球自轉的影響，根據萬有引力和重力的關系可得：GMmR2根據牛頓第二定律可得GMm(R+?)2遙感四十一號衛星繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故B錯誤；C、衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，則有：GMm(R+?)2=解得遙感四上一號衛星運行的周期為：T＝2π(R+?)D、衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，則有：GMm(R+?)2=m（R+h）4根據密度計算公式可得：ρ=MV解得地球的密度為：ρ=3π(R+?)3故選：C。（2024?坪山區校級模擬）2020年11月24日，長征五號運載火箭將“嫦娥五號”探測器送入預定軌道，執行月面采樣任務后平安歸來，首次實現我國地外天體采樣返回。已知“嫦娥五號”探測器在距離月球表面h高處環月做勻速圓周運動的周期為T，月球半徑為R，萬有引力常量為G，據此可以求出月球的質量是（）A．4π2R3C．GT24【解答】解：由題意可知，嫦娥五號繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：G整理變形解得：M=4故選：D。（2024?鹿城區校級模擬）研究發現，銀河系中有一種看不見但很重的物體，促使這些恒星在其周圍轉圈。其中一顆恒星S2完整軌道如圖所示，它繞銀河系中心的周期約16年。橢圓的半短軸約400AU（太陽到地球的距離為1AU），根據離心率可以判斷軌道的長軸約為短軸的2.5倍，研究中可忽略其他星體對S2的引力，則銀河系中心質量與太陽質量之比約為（）A．3×107 B．6×107 C．4×106 D．6×109【解答】解：根據萬有引力提供向心力有：GMmR所以M與R3T2成正比，設太陽質量為M1則有M將R1＝1AU，R2＝1000AU，T1＝1，T2＝16代入可得：M1：M2＝1：4000000所以銀河系中心質量與太陽質量之比約為4×106，故ABD錯誤，C正確。故選：C。（2024?南昌模擬）2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣之旅。如圖，假設嫦娥六號在環月橢圓軌道上沿圖中箭頭方向運動，只受到月球的引力，ab為橢圓軌道長軸，cd為橢圓軌道短軸。某時刻嫦娥六號位于c點，則再經過二分之一周期它將位于軌道的（）A．b點 B．d點 C．bd之間 D．ad之間【解答】解：根據開普勒第二定律得近月點速度快，遠月點速度慢，可知嫦娥六號在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的長度為環月橢圓軌道周長的一半，即嫦娥六號在弧cbd上的運行時間大于半個周期，故再經過二分之一周期它將位于軌道的bd之間。故ABD錯誤，C正確。故選：C。（2024?東湖區校級三模）“日心說”以太陽為參考系，金星和地球運動的軌跡可以視為共面的同心圓；“地心說”以地球為參考系，金星的運動軌跡（實線）和太陽的運動軌跡（虛線）如圖所示。觀測得每隔1.6年金星離地球最近一次，則下列判斷正確的是（）A．在8年內太陽、地球、金星有5次在一條直線上 B．在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上 C．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為8：5 D．地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為(【解答】解：AB.根據題意由圖可知，金星繞太陽的軌道半徑較小，由于每隔1.6年金星離地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多轉一圈，則每隔0.8年金星比地球多轉半圈，即每隔0.8年太陽、地球、金星在一條直線上，則在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上，故B正確，A錯誤；CD.設金星的公轉周期為T1，地球的公轉周期為T2，則有：(2πT又因為：t＝1.6年，T2＝1年代入解得：T1：T2＝13：8根據萬有引力提供向心力有：GMmr2解得：r=則地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為：r代入解得：r故CD錯誤。故選：B。（2024?廣東模擬）如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖，下列關于太陽系行星運動規律的描述正確的是（）A．所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運動 B．地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等 C．所有行星運行軌道半長軸的二次方與其公轉周期的三次方之比都相等 D．地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，且這兩個橢圓必定有公共的焦點【解答】解：A.根據開普勒第一定律可知：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，故A錯誤；B..根據開普勒第二定律可知：對每一個行星而言，太陽行星的連線在相同時間內掃過的面積相等，相同時間內，不同行星與太陽連線掃過的面積不等，故B錯誤；C.根據開普勒第三定律可知：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等，故C錯誤；D.根據開普勒第一定律可知：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上，故地球和火星圍繞太陽運行的軌道都是橢圓，且這兩個橢圓必定有公共的焦點，故D正確。故選：D。（2024?遼寧模擬）北京時間2023年9月21日15時48分，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講，新晉“太空教師”景海鵬、朱楊柱、桂海潮為廣大青少年帶來了一場精彩的太空科普課，這是中國航天員首次在夢天實驗艙內進行授課。已知中國空間站繞地球做勻速圓周運動的周期約為90分鐘，則其公轉軌道半徑和地球同步衛星的公轉軌道半徑之比約為（）A．8：2 B．32：8 C．1：4 【解答】解：空間站的周期：T1＝90min＝1.5h，地球同步衛星的周期T2＝24h，根據開普勒第三定律可得：r解得空間站的公轉軌道半徑和地球同步衛星的公轉軌道半徑之比約為：r1：r2=3故選：B。（2024?溫州一模）2024年5月，“嫦娥六號”月球探測器開啟主發動機實施制動，進入周期為12h的橢圓環月軌道，近月點A距月心2.0×103km，遠月點C距月心1.0×104km，BD為橢圓軌道的短軸。已知引力常量G，下列說法正確的是（）A．根據信息可以求出月球的密度 B．“嫦娥六號”的發射速度大于11.2km/s C．“嫦娥六號”從B經C到D的運動時間為6h D．“嫦娥六號”在A點和C點速度之比為5：1【解答】解：A、根據萬有引力提供向心力得GMmr由于“嫦娥六號”圍繞月球做橢圓運動，不能求出月球的質量，據題中信息也不能求出月球的體積，所以不能求出月球的密度，故A錯誤；B、“嫦娥六號”環繞月球運動，并未脫離地球的束縛，所以其發射速度應大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故B錯誤；C、“嫦娥六號”圍繞月球做橢圓運動，根據開普勒第二定律可知，從A→B→C做減速運動，從C→D→A做加速運動，在A點的速度最大，在C的速度最小，則從B→C→D的運動時間大于半個周期，即大于6h，故C錯誤；D、取極短時間Δt，由開普勒第二定律得vAΔt?rA＝vCΔt?rC則“嫦娥六號”在A點和C點速度之比為vA故選：D。（2024?朝陽區校級模擬）按黑體輻射理論，黑體單位面積的輻射功率與其熱力學溫度的四次方成正比，比例系數為σ（稱為斯特藩﹣玻爾茲曼常數），某黑體如果它輻射的功率與接收的功率相等時，溫度恒定。假設宇宙中有一恒星A和繞其圓周運動的行星B（忽略其它星體的影響），已知恒星A單位面積輻射的功率為P，B繞A圓周運動的距離為r、周期為T'，將B視為黑體，B的溫度恒定為T，萬有引力常數為G，將A和B視為質量均勻分布的球體，行星B的大小遠小于其與A的距離，由上述物理量和常數表示出的恒星A的平均密度為（）A．3πGT'2(C．3πGT'【解答】解：設恒星A的半徑為RA，質量為M，平均密度為ρ，恒星B的半徑為RB，質量為m，恒星A、B間的距離為r，則M=ρ?43πR聯立知，ρ=3π故選：A。（2024?安徽模擬）如圖所示，有兩顆衛星繞某星球做橢圓軌道運動，兩顆衛星的近地點均與星球表面很近（可視為相切），衛星1和衛星2的軌道遠地點到星球表面的最近距離分別為h1、h2，衛星1和衛星2的環繞周期之比為k。忽略星球自轉的影響，已知引力常量為G，星球表面的重力加速度為gc。則星球的平均密度為（）A．3gc(1?k23C．3gc(1?k3【解答】解：設星球的半徑為R，則衛星一、衛星二軌道的半長軸分別為a1=2R+由開普勒第三定律得T1解得：R=星球表面的重力加速度為gc，根據萬有引力等于重力得GMm星球的質量為M=4π聯立解得星球的平均密度為：ρ=3故選：A。考向二天體運動參量及變軌分析（多選）（2024?邢臺二模）如圖甲，“星下點”是指衛星和地心連線與地球表面的交點。圖乙是航天控制中心大屏上顯示衛星FZ01的“星下點”在一段時間內的軌跡，已知地球同步衛星的軌道半徑為r、地球半徑為R，且r≈6.7R，FZ01繞行方向和地球自轉方向如圖甲所示。則下列說法正確的（）A．衛星FZ01的軌道半徑約為r3B．衛星FZ01的軌道半徑約為r5C．衛星FZ01可以記錄到北極點的氣候變化 D．衛星FZ01不可以記錄到北極點的氣候變化【解答】解：AB、由軌跡圖可知，地球自轉一圈，衛星FZ01運動3圈，衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，可得GMm解得同步衛星的周期為T=2πr衛星FZ01的周期為T'=2πr結合T＝3T′，解得r'=1CD、衛星FZ01緯度最高時，根據圖乙可知θ＝30°，如圖所示。衛星離地球球心所在水平面的高度為h＝r′sin30°=139即衛星高度大于北極點的高度，所以衛星FZ01可以記錄到北極點的氣候變化，故C正確，D錯誤。故選：AC。（2024?浙江模擬）太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則（）A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同 B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小 C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小 D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大【解答】解：A.根據萬有引力定律G得a=由于空間站變軌前、后在P點到地球中心的距離相等，因此空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；B.根據開普勒第三定律r變軌后的半長軸r2＞r1聯立得T空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，故B錯誤；C.空間站變軌前后的運動情況如圖所示：根據運動的合成與分解，空間站在P點變軌前的速度小于變軌后的速度，即v1p＜v2p，故C錯誤；D.空間站從2軌道進入3軌道做向心運動，因此v2Q＞v3Q空間站在1、3軌道做勻速圓周運動，根據線速度與軌道半徑的關系v=由于r1＞r3，因此v3＞v1，即v3Q＞v1P綜合分析得v2Q＞v3Q＞v1P空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小，故D錯誤。故選：A。（2024?江門一模）2023年我國“天宮號”太空實驗室實現了長期有人值守，我國邁入空間站時代。如圖所示，“天舟號”貨運飛船沿橢圓軌道運行，A、B兩點分別為橢圓軌道的近地點和遠地點，則以下說法正確的是（）A．“天舟號”在A點的線速度大于“天宮號”的線速度 B．“天舟號”在B點的加速度小于“天宮號”的加速度 C．“天舟號”在橢圓軌道的周期比“天宮號”周期大 D．“天舟號”與“天宮號”對接前必須先減速運動【解答】解：A、根據變軌原理可知，“天舟號”在A點從圓軌道加速可進入橢圓軌道。根據GMmr解得：v=所以半徑越大，速度越小，很明顯在A、B兩點，A的半徑小，所以速度大，故A正確。B、根據牛頓第二定律，GMm可得：a=GMC、由開普勒第三定律R3D、“天舟號”與“天宮號”對接前必須先加速，做離心運動，才能與天宮號對接，故D錯誤。故選：A。（2024?浙江二模）為了粗略測量月球的直徑，小月同學在滿月的夜晚取來一枚硬幣并放置在合適的位置，使之恰好垂直于視線且剛剛遮住整個月亮，然后測得此時硬幣到眼睛的距離為x，硬幣的直徑為d，若已知月球的公轉周期為T，地表的重力加速度g和地球半徑R，以這種方法測得的月球直徑為（）A．dx(gRC．xd(g【解答】解：由月球的公轉周期為T，地表的重力加速度g和地球半徑R，在地球表面不考慮自轉時有：GMm月球繞地球公轉時，所受的萬有引力提供向心力，可得：GM可得月球公轉的軌道半徑為：r=根據題意可作出視線剛剛遮住整個月亮的光路如圖所示則AB＝d，OE＝x，月球的直徑為d1＝CD，而OF為地球到月球的距離約等于月球公轉的軌道半徑r，由兩直角三角形相似，RT△OEA∽RT△OFC，可知：d聯立各式可解得月球直徑為：d1故選：A。（2024?清江浦區模擬）地球赤道上的重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，衛星甲、乙、丙在如圖所示的三個橢圓軌道上繞地球運行，衛星甲和乙的運行軌道在P點相切。不計阻力，以下說法正確的是（）A．衛星甲、乙分別經過P點時的速度相等 B．衛星甲與地球的連線比衛星乙與地球的連線在相同的時間內掃過的面積大 C．衛星甲、乙、丙的周期關系為T甲＞T丙＞T乙 D．如果地球的轉速為原來的g?aa【解答】解：A．根據變軌原理，衛星乙可通過在P點加速，做離心運動進入衛星甲所在的軌道，故衛星甲經過P點時的速度大于衛星乙經過P點時的速度，故A錯誤；B．根據開普勒第二定律，由于衛星甲經過P點時的速度大于衛星乙經過P點時的速度，可知衛星甲與地球的連線比衛星乙與地球的連線在相同的時間內掃過的面積大，故B正確；C．根據開普勒第三定律k=R由圖可知：甲、乙、丙三者的半徑關系滿足R甲＞R乙＞R丙故有T甲＞T乙＞T丙故C錯誤；D．赤道上的物體，根據牛頓第二定律有GMm當物體飄起來的時候，物體處于完全失重狀態，根據萬有引力完全提供向心力，則有GMm故此時的向心加速度為a′＝g+a根據向心加速度和轉速的關系有a＝（2πn）2Ra′＝（2πn′）2R聯立可n'=g+a故D錯誤。故選：B。（2024?洛陽一模）2024年4月25日20時59分，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射，發射取得圓滿成功。神舟十八號飛船和天宮空間站順利完成史詩級別超精準對接。已知天宮空間站距離地面的高度約為400km，地球半徑約為6400km，可認為天宮空間站繞地球做勻速圓周運動。則下列說法正確的是（）A．航天員可以漂浮在空間站中，所以加速度為零 B．天宮空間站在軌運行的線速度小于同步衛星的線速度 C．神舟十八號在地球表面的發射速度可以大于11.2km/s D．天宮空間站繞地球運行的向心加速度大小約為地面重力加速度的(16【解答】解：A.因為可認為天宮空間站繞地球做勻速圓周運動，則航天員漂浮在空間站中時也是繞地球做勻速圓周運動，有向心加速度，則加速度大于零，故A錯誤；B.根據萬有引力提供向心力有：GMmr2=m因為同步衛星距離地面的高度為36000km＞400km，所以同步衛星的軌道半徑更大，則其在軌運行的線速度更小，則天宮空間站在軌運行的線速度大于同步衛星的線速度，故B錯誤；C.11.2km/s是第二宇宙速度，若神舟十八號在地球表面的發射速度大于11.2km/s，則會克服地球引力的束縛，不符合實際，故C錯誤；D.設空間站質量為m，向心加速度為a，地球質量為M，地球的半徑為R，空間站距地面的高度為h，地球表面附近物體質量為m1，重力加速度為g，則有：GMm(?+R)2=ma①，GMm1故選：D。（2024?大興區校級模擬）北京時間2023年12月17日15時，我國在酒泉衛星發射中心使用雙曲線一號商業運載火箭成功將“迪邇一號”衛星順利送入預定軌道。“迪邇一號”衛星、北斗地球同步衛星飛行的軌道如圖所示。下列說法正確的是（）A．“迪邇一號”衛星的角速度小于北斗地球同步衛星的角速度 B．“迪邇一號”衛星的角速度大于北斗地球同步衛星的角速度 C．“迪邇一號”衛星繞地球運行的線速度等于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度 D．“迪邇一號”衛星繞地球運行的線速度小于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度【解答】解：AB、根據萬有引力提供向心力得GMm可得ω=因“迪邇一號”衛星的軌道半徑比北斗地球同步衛星的小，則“迪邇一號”衛星的角速度大于北斗地球同步衛星的角速度，故A錯誤，B正確；CD、根據萬有引力提供向心力得GMmr2可得v=因“迪邇一號”衛星的軌道半徑比北斗地球同步衛星的小，則“迪邇一號”衛星的線速度大于北斗地球同步衛星的線速度。地球同步衛星的角速度等于地球自轉的角速度，由v＝ωr分析可知，北斗地球同步衛星的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度，所以“迪邇一號”衛星繞地球運行的線速度大于靜止于赤道上的物體隨地球自轉的線速度，故CD錯誤。故選：B。（2024?西城區二模）如圖所示，發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經變軌，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次變軌，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點。當衛星分別在1、2、3軌道上運行時，下列說法正確的是（）A．衛星在軌道2上經過Q點的速度小于在軌道1上經過Q點的速度 B．衛星在軌道2上經過Q點的機械能等于在軌道2上經過P點的機械能 C．衛星在軌道2上經過P點的機械能等于在軌道3上經過P點的機械能 D．衛星在軌道2上經過P點的加速度小于在軌道3上經過P點的加速度【解答】解：A.衛星從軌道1變軌到軌道2，需要在Q點加速做離心運動，所以在軌道1上經過Q點時的速度小于它在軌道2上經過Q點時的速度，故A錯誤；B.衛星在軌道2上運動時只有萬有引力做功，機械能守恒，經過Q點的機械能等于在軌道2上經過P點的機械能，故B正確；C.衛星從軌道2變軌到軌道3，需要在P點加速做離心運動，衛星在軌道2上經過P點的機械能小于在軌道3上經過P點的機械能，故C錯誤；D.根據牛頓第二定律有