第一章集合與函數概念

教前章節導學

T無序性I

T集合元素的麗——|確定性|

一互異性

有限集I

_集合的含義

與裝小為法1集合的分類I——|尤I；合朱|

T空集|

,___________,T列舉法|

T集合的表示,

------------描述法I

「T真./?集的概念]

集合間的—I了集的蹴念I—子集的_子集的

基本關系表--示I性質

—I集合的相等1

交集I~~r

|交、并、補的南司

集合的基

1—本運算

數軸'jVenn圖|

J補集1

「T定義域I

T概念I——?對應法則?

列表法?

I函數卜—[W]——]圖象;法|

H

T解析法I

?映射?

-I最值|

T性如——I單調性I

1H奇偶性H對稱性I

考點及能力要求學考IWJ考

1.集合的含義及其表示ab

2.元素與集合的關系，集合與集合的關系（子集個數）bb

3.數軸、Venn圖在集合相關問題中的應用bb

4.集合的交、并、補的綜合運算bb

5.由集合中的相關條件求參數的取值或范圍bb

6.集合中的新定義問題bb

7.函數的概念及表示bb

8.函數的定義域和值域bb

9.函數單調性的證明及判斷方法bb

10.函數奇偶性的證明及判斷方法bb

11.分段函數的求值及其性質ab

12.函數的單調性、奇偶性的綜合應用bc

L1集合

1.1.1集合的含義與表示

Ih課前

要點一元素與集合的概念

1.把.研究對象統稱為元素,通常用小寫拉丁字母a,b,C,….表示.

2.把一一些元素組成的總體一叫做集合（簡稱為一集一）,通常用_大寫拉丁字母A,B,

C,…一表示.

要點二元素與集合的關系

知識點關系概念記法讀法

元素如果是集合A的元素一，就

屬于a^Aa屬于集合A

與集說a屬于集合A

合的如果a不是集合〉中的元素，

不屬于a^Aa不屬于集合A

關系就說。不屬于集合A

要點三集合元素的特征

.確定性.、互異性.、無序性.

□

要點四集合相等

只要構成兩個集合的元素.是一樣的，就說這兩個集合是相等的.

要點五常用數集的意義及記法

意義名稱記法

一全體非負整數一組成的集合自然數集

_所有正整數一組成的集合正整數集或一Eik—

.全體整數、組成的集合整數集z

_全體有理數一組成的集合有理數集-Q-

全體實數組成的集合實數集

要點六集合的表示方法

列舉法把集合的元素.一一列舉出來,并用花括號"{}”括起來表示集合的方法

描述法--用集合所含元素的共同特征.表示集合的方法一

課堂深.度拓.展

考點一元素與集合的關系

誤區昉錯)1

確定集合元素的三個注意點

(1)判斷集合中元素的個數時，要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個，即集合

中的元素應滿足互異性.

(2)用列舉法表示的集合，其默認的條件是集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元

素一定要滿足互異性.

(3)若集合中的元素含有參數，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進行研

究.

【例題1】用符號“6”或“住”填空.

(1)2etx\x<\[T\}.3<{x￡Z|-5WxW2}；

(2)4g.{x|x=n2+l,?ez).5e..{xlx=n2+1,n^Z}；

(3)(—(—l,l)_s_{(x,y)|y=f}；

(4h/2_?_Q,0_5_N,.

思維導引：判斷一個對象是否為某個集合(描述法表示)的元素，就是判斷這個對象是否

具有這個集合中元素的共同特征.反之，如果一個對象是某個集合的元素，則這個對象必具

有這個集合的元素的共同特征.

解析⑴因為22<(A/TT)2,所以2W{x\x<y[Ti].

因為{x￡Z|-5WxW2}={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2),所以3*x￡Z|-5WxW2}.

(2)令4=/+1,則"=±V§4Z,所以4*小=層+1,rt€Z).

令5=層+1,則"=±2GZ,所以5G{x|x=/+l,?eZ).

(3)集合{y|y=/}的代表元素是數，集合Hx,y)ly=f}的代表元素是實數對，且1=(—I)2,

所以(一1,1兩兒=金},(-1,l)G{(x,y)|y=f).

(4班是無理數，Q是有理數集，所以啦GQ.N*表示正整數集，所以(MN*.

【變式1】用符號“G”或"#填空：

(1)3.e,Ulx<VW),5A(xeNI-2^x^2};

⑵10f_{%1%=團2+〃2,〃心eN),102_{k\k=nr+iv,m,〃￡N}.

考點二元素的屬性及應用

規律總結I

集合的類型有多種形式，可以是數集、點集、圖形集或是其他類型的集合，判斷它是哪

種類型的集合主要根據代表元素的類型來判斷.

【例題2】有下面三個集合：◎4={xGR|y=/+l}；②B={yGR|y=x2+D；③C=((x,

y)|y=f+l,xWR,y^R}.它們是不是相同集合，為什么？

思維導引：理解描述法表示的集合，關鍵是對符號語言所表達的含義要正確理解.認識

它時，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的類型，以此確定集合的類型；二

要看代表元素所具有的屬性，即它要滿足什么條件，以此確定集合中元素的組成部分.

解析對于集合A,其代表元素為x,x屬于實數，因此它表示數集，又元素所滿足的條

件為yuf+l,它表示函數)=1+1中自變量x的取值范圍，因為函數)，=『+1中自變量x

的取值范圍是R,故4=口；對于集合B,其代表元素為％y屬于實數，因此它表示數集，

又元素所滿足的條件為y=『+l,它表示函數y=F+i的函數值故8={)>|)'>1}；對于集

合C,其元素為(x,y),它表示坐標平面中的點的坐標，又元素所滿足的條件為y=/+l,它

表示函數y=f+l圖象上的點.綜上所述，集合A,B,C是互不相同的集合.

【變式2】說明下列各集合表示的含義.

(l)A=[y)；

(2)B=[(x,y)7^=1]；

(3)C={(O,1)}；

(4)0={(x,y)\x+y=1,且x—y=—1}.

解析(1)A表示y的取值集合，由反比例函數的圖象，知A={y￡R|yWO}.

(2)8的代表元素是點(x,y),8表示直線y=x—3,但除去點(3,0).

(3)C表示一個單元素集，是一個實數對，是以一個點的坐標為元素的集合.

(X+y=]

(4)￡)表示一個實數對集，即方程組"''的解，解方程組得其解為(0,1).D是一

[x—y=~}

個單元素集.

考點三求集合中的參數

解題技巧)1

已知元素與集合的關系求參數的思路

當元素“GA,若集合4是用描述法表示的，則“一定滿足集合中元素的共同特征，如滿

足方程(組”不等式(組)等；若集合A是用列舉法表示的，則a一定等于集合A中的某個元

素.反之，當，漳4時，結論恰恰相反.利用上述結論建立方程(組)或不等式(組)求解參數即可，

注意根據集合中元素的互異性對求得的參數進行檢驗.

【例題3】已知集合人={(-y)|2x-y+/n>0},8={(x,y)|x+y—〃=0},若點P(2,3)e

4,且P(2,3)CB,則(A)

A.m>~1,〃W5B.m<—\,“W5

C.m>—1,n=5D.m<—1,n=5

思維導引：本題中的集合是用描述法表示的，要注意集合A,8都是點集，而不是數集,

由已知條件P(2,3)CA與P(2,3)莊B可得兩個關于加，”的不等式，求解由此所得的不等式組，

即能得到，小〃的取值范圍.

x=2,

解析因為尸(2,3)GA,所以"[是不等式2x—y+?w>0的一組解，即4—3+m>0,

3=3

所以m>—1.

x=2,

因為P(2,3)4B,所以''不是方程x+y—〃=0的一組解，即2+3—〃W0,所以〃W5,

ly=3

故選A.

【變式3】已知集合人={4一3,2a—1},若一3是集合A中的元素，試求實數a的值.

解析因為一3GA,所以一3="一3或一3=2〃-1.

若一3=a—3,則a=0,此時集合A含有兩個元素-3,—1,符合要求；

若一3=2”一1,則。=一1,

此時集合A中含有兩個元素一4,一3,符合要求.

綜上所述，滿足題意的實數a的值為0或一1.

1.已知A={x|3—3x>0},則下列各式正確的是（C）

A.3￡AB.1GA

C.OeAD.一1$4

解析集合A表示不等式3—3x>0的解集，顯然3』不滿足不等式，而0,-1滿足不等

式，故選C.

2.下列各組對象不能構成集合的是(D)

A.所有直角三角形B.拋物線上的所有點

C.高一年級開設的所有課程D.充分接近小的所有實數

解析A,B,C項中的對象具備確定性，而D項中的對象不具備確定性.

3.下列集合中，不同于另外三個集合的是（C）

A.{尤|x=l}B.{y|（y-1）2=0}

C.{x=l}D.{1}

解析A,B,D項表示的集合都是{1},而C項表示含有一個方程的集合.

4.下列關系中，正確的有哪些？

?|wR；覿加Q；

③|一3隹N*；④|一小|GQ.

解析本題考查常用數集及元素與集合的關系.顯然;CR,①正確；0Q,②正確；|

-3|=3GN*,③不正確；|一小|=也於，④不正確.故正確的為①②.

對應題號

考點

學業達標能力提升

1.元素與集合的關系1,46,9

2.元素的屬性及應用211,12

3.求集合中的參數3,5,7,8,10

一、選擇題

1.下列語句正確的是（C）

①0與{0}表示同一個集合；②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1}；③方程（x

一l）2（x—2）=0的所有解的集合可表示為{1,1,2}；④集合{x|4c<5}可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.都不對

解析{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個元素，故①錯誤；②符合集合中元素的

無序性，正確；③不符合集合中元素的互異性，錯誤；④中元素有無窮多個，不能一一列舉，

錯誤.故選C.

2.已知集合S={”，b,c}中的三個元素可構成三角形的三邊邊長，那么這個三角形一

定不是（D）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析由元素的互異性知a,b,c互不相等.故選D.

3.集合A={xWN"|x—4<2}的另一種表示形式是（D）

A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3,4,5}

C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5）

解析由x-4<2得x<6,又xWN*,故x的值為1,2,3,4,5,用列舉法表示為{1,2,3,4,5}.

4.集合A中含有三個元素2,4,6,若且6—adA,那么。=(B)

A.2B.2或4

C.4D.0

解析若。=2,則6—2=4G4;若。=4,則6—4=2GA;若。=6,則6—6=0CA.故

選B.

5.在平面直角坐標系中，由坐標軸上的點組成的集合可以表示為(D)

A.{(x,y)|x=O,y￥0或xWO,y=O}

B.{(x,y)\x,y不同時為0}

C.{(x,y)b=O且yWO}

D.{(x,y)|xy=O}

解析設點P的坐標是(x,y).若P是x軸上的點，則滿足y=0,xGR.若P是y軸上的

點,則滿足x=0,yGR,故坐標軸上點的屬性是孫=0,故選D.

6.已知a,。是非零實數，代數式學+耳+鬻的值組成的集合是M,則下列判斷正確的

是(B)

A.OGMB.-1

C.3年MD.

解析當”>0,比>0時，代數式的值是3;當a<0,辰0時，代數式的值是一1;當“仍<0

時，代數式的值是一1,綜上可知B正確.

二、填空題

7.已知P={—2,-1,0,1})集合Q={y|y=|x|,x&P],則。=(2/。.

解析將一2,一1,0,1分別代入y=w中得y=2,1,0,1,所以所求的集合為。={2』,0}.

8.已知集合A={(x,y)|y=2x+l},B={(x,y)|y=x+3},a^AS.a^B,則a為(25).

(y=2x+l,

解析因為“GA且“GB,。是方程組的解.

[y=x+3

解方程組，得x=2,y=5,所以a為(2,5).

9.已知集合A中的元素是實數，且滿足若aWA,則*6A.若。=—3,則集合A=

1—a

解析因為則=￡4,

所以-3GA=>一;匕+GA=>2eA=-3￡A,

所以A=1—3,—I，I，21.

三、解答題

10.用描述法表示下列集合:

(1)所有能被3整除的數組成的集合；

⑵使)，=寫^有意義的實數x的集合：

(3)圖中陰影部分的點(含邊界)的集合M.

解析(1){XW=3〃，nGZ).

(2){x|xW2且xWO,xGR}.

(3){(x,),)|—2&W，—且孫、()}.

11.設A是由滿足不等式x<6的自然數組成的集合，若aGA且3adA,求。的值.

解析因為4G4且

[a<6

所以L,解得a<2.又a￡N,所以a=0或1.

[3a<6,

12.設集合B=[xGN黑GN}.

(1)試判斷元素1和2與集合B的關系；

(2)用列舉法表示集合B.

解析(1)當x=l時，2=2《N;

Aa

當x=2時，T—所以leg,2cB.

Z.I乙乙

(2)8={0,1,4}.

1.1.2集合間的基本關系

lh課前圖隨尊

要點一子集、真子集、集合相等的概念及表示法

概念定義符號表示圖形表示

如果集合A中一任意一個一元

素都是集合8中的元素，就說A_^_B

子集

這兩個集合有關系，（或8_且_4）

稱集合A為集合8的子集

如果集合但存在元素

A_____B

真子集xdB且居A,則稱集合A

（或B______A）

是集合B的真子集

集合如果且BQA,那么

A三B

相等就說集合A與集合8相等

在數學中，經常用平面上封閉曲線的內部彳弋表集合，這種圖稱為Venn圖.如表中右列

的圖形.

要點二空集

1.定義：不含任何元素的集合,叫做空集.用符號。表示.

2.規定：空集是任何集合的空集是任何非空集合的真子集.

以■■■■■■■■■■■■■■■■■

要點三子集的有關性質

1.任何一個集合是它本身的小集即AUA.

2.對于集合A,B,C,如果AG8,BJC,那么AUC.

hi課堂

考點一集合間關系的判斷

解題技巧|

判斷集合間關系的常用方法

(1)列舉觀察法

當集合中元素較少時，可列出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關系.

(2)集合元素特征法

首先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關

系.

一般地，設A={x|p(x)},B={x\q(x)},若由p(x)可推出q(x),則AQB;若由式x)可推出

p(x),則BQA;若p(x),q(x)互相可以推出，則A=B;若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不

出p(x),則集合A,B無包含關系.

【例題1】設集合用=卜卜=冬n￡Z,N=小=<+〃，"GZ,試確定集合M,N

之間的關系.

思維導引：認準集合M,N中元素的特征，利用元素的關系判斷集合的關系.

解析M中的元素特征是名其中分子可以取任意整數，N中元素特征是駕1，其中分

子只能取任意奇數，所以NM.

【變式1】集合M={x|x=3Z—2,JtGZ},P={y\y=3n+\,nSZ},S={z\z=6m+l,

，"WZ}之間的關系是（C）

A.SPMB.S=PM

C.SP=MD.P=MS

解析運用整數的性質方便求解.集合M,P表示為被3整除余1的整數集，集合S表

示為被6整除余1的整數集.

□

考點二集合的子集或真子集

誤區防錯）1

注意空集的特殊性

（1）空集是任何集合的子集，其中“任何集合”也包括了。，故將會出現0=0.而此時按子

集理解不能成立，原因是前面空集中無元素，不符合定義，因此知道這一條是課本“規定”.

（2）空集是任何非空集合的真子集，即。A（而Ar。）.既然AH。，即必存在“GA而於0,

所以0A.

（3）由于空集的存在，關于子集定義的下列說法有誤，如“AUB,即A為8中的部分元

素所組成的集合”.因為從“部分元素”的含義無法理解''空集是任何集合的子集”“A是

A的子集”“0=0”等結論.

【例題2】寫出滿足{外b}AQ{a,b,c,4}的所有集合4.

思維導引：解答本題可根據子集、真子集的概念求解.

解析由題設可知，一方面A是集合{a,b,c,d}的子集，另一方面A又真包含集合{〃，

h},故集合A中一定含有兩個元素a,b,且含有c,d兩個元素中的一個或兩個.故滿足條

件的集合有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d].

【變式2】（I）已知集合％={1,3,5},則集合N的真子集個數為（C）

A.5B.6

C.7D.8

⑵設集合4={1,3,a},8={1,H-a+l},且ANB,求a的值.

解析(1)集合N的真子集有：{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共7個.

(2)因為A28,而層一a+iG8,所以后一。+1eA.所以1=3或

當/一“+1=3時，〃=2或a=—1.

①a=2時，A={1,3,2},B={1,3},這時也滿足條件

②“=-1時，A=[\,3,-1},8={1,3},這時也滿足條件

當〃2—〃+1=〃時，〃=1,此時A={1,3』},B={1,1},根據集合中元素的互異性，故舍

去。=1.

所以〃的值為2或一1.

考點三已知集合之間的關系求參數

高考拓:曖?

(1)集合包含關系的考查常常出現探索性問題，解決這類問題時，首先要分清集合的代表

元素，進而將集合語言轉化為我們習慣的語言形式，從而求解.

(2)根據集合之間的關系求參數范圍的步驟：①化簡所給集合；②用數軸表示所給集合；

③列出不等式解集端點之間的關系；④解不等式.

(3)AUB包含三種可能：①A為。；②4不為。，且AB；③A不為。，且A=8.只寫其中

一種是不全面的，如果A,8是確定的，就只能有一種可能，此時只能寫出一種形式.

【例題3]已知M={a-3,2a-l,a2+1],N={-2,4〃-3,34一1},若M=N,求實

數〃的值.

思維導引：兩個集合相等說明兩個集的元素一樣，其所有元素之和相等，所有元素之積

也相等，根據這一點可以列出等式，然后求解，注意要把每一個值都代入進行檢驗。

解析因為M=N,則(4-3)+(24-1)+(片+1)=-2+(44-3)+(34-1),即/一44+3

=0,

解得a=1或4=3.

當。=1時，M={-2,1,2},N={-2,\,2},滿足M=N;

當a=3時,M={0,5』0},N={-2,9,8},不滿足M=N.

故實數”的值為1.

【變式3]已知4=%1一3<彳忘24j,B={x|lWxW3},A=B,求實數k的值.

f2)t=3,

3

解析因為A=3,所以〈1解得k=q.

-2=1,2

【例題4】已知集合A={x[—3<x<4},3={x|2nj—1?〃+1},且求實數相

滿足的條件.

思維導引：本題可借助數軸對B中元素特征進行分析，注意別遺漏8=。的情況.

解析因為3UA,

①當B=0時，n?+l<2〃i-1,解得力>2;

—3<2/n—1,

②當8關。時，有《"z+lv4,解得一l<mW2.

m+122m—1,

綜上可知，相滿足的條件是一1</HW2或例>2.

【變式4】若集合A={x|f+x—6=0),8={入廿+工+。=0},且8GA,求實數。滿足

的條件.

解析A={-3,2}.對于f+x+a=O,

(1)當』=1一4a<0,即時，8=0,8cA成立；

⑵當/=1-4〃=0,即時，8={一*8UA不成立：

(3)當4=1-4a>0,即時，若8=4,則8={-3,2},所以。=一3乂2=—6.

綜上，a滿足的條件為或a=-6.

lh課末隨堂演.練

1.集合{4,切的子集有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析集合{〃，％}的子集有。，{6?},{b},{a,5}共4個，故選D.

2.已知集合4={紙一3》+2=0,x￡R},B={x\0<x<5,x《N},則滿足條件A=C=B

的集合C的個數為(D)

A.1B.2

C.3D.4

解析因為集合人={1,2},B={1,2,3,4},所以當滿足條件AUCRB時，集合C可以為

{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故集合C有4個.故選D.

3.設a,6GR,集合{1,a+b,。}={。，，小則一一。=2.

解析由{1,a+b,〃}={(),.E知aWO,

b

所以。+6=0,即a=—。，所以z=-1,

所以〃=—1,b=l,b—a=2.

4.若集合A={1,4,x},B={1,x2},且B&A,求x的取值集合.

解析由*=4或；^=］，得x=±2或x=1或無=0.經檢驗，當x=l時，不滿足元素的

互異性，故x的取值有一2,0,2.所以x的取值集合為{-2,0,2}.

Ill課后

對應題號

考點

學業達標能力提升

1.集合間關系的判斷1,6,810

2.集合的子集和真子集2,412

3.已知集合之間的關系求參數3,5,79,11

一、選擇題

1.設"={加工忘2"},“=2015,則下列關系中正確的是（D）

A.aQMB.a@M

C.D.{a}^M

解析因為2015V2"=2048,所以{2015}CM,故選D.

2.已知集合4={1,2,3},8={2,3},則（D）

A.A=BB.集合A,B中無公共元素

C.ABD.BA

解析由真子集的概念知8A.

3.已知集合加=國一10<2},N^{x\x<a,aeR},若MGN,則實數〃滿足（B）

A.a>2B.“22

C.a<一1D.aW-1

解析依題意，由例GN得“22,故選B.

4.下列說法：①空集沒有子集：

②任何集合至少有兩個子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若0A,則A#。.

其中正確的有（B）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析①空集是它自身的子集；②當集合為空集時說法錯誤；③空集不是它自身的真子

集；④空集是任何非空集合的真子集.因此，①②③錯，④正確.故選B.

5.已知集合人={1,a},B={1,2,3},那么（A）

A.若a=3,貝IJAUB

B.若AQ8,則a=3

C.若4=3,則A=8

D.若AUB,貝14=2

解析當a=3時，A={1,3},而8={1,2,3},故AGB成立.當AUB時，a=2或3.

6.集合4={x|x是奇數},集合B={xGR|x=4〃±l,n^Z],則集合A,8之間的關系是

（C）

A.ABB.AB

C.A=BD.沒有關系

解析對于奇數2〃一1,當〃=2k時，2"—1=必-1,當n=2k+\時，2〃-1=縱+1.

所以A=B.故選C.

二、填空題

7.已知。{小2—x+a=0},則實數a的取值范圍是」地蜀一

解析因為。{小2—x+a=0},所以方程f-x+a=0有實根，所以/=(一一4。，0,

a]

8.有下列關系式：①{0}《{0,1,2}；②。={0}；③{0,1,3}={1,3,0}；?OS0；⑤

其中錯誤寫法的序號是一①④⑤一.

解析①{0}晝{0,1,2},集合與集合之間不能用屬于號，故不正確；②0G{0},正確；③

{0,1,3}={1,3,0},根據集合的無序性可知正確；@0￡0,空集中不包含任何元素，故不正確;

(5>V3eQ,于是無理數，故不正確.

一1

9.已知集合4滿足條件：當pdA時，總有彳j"eA(pW0且p#—l),已知2WA,則集

合A中所有元素的積等于1.

1T3-7

-1--￡A

3123故

解析依題意，2WA,所以5二jTj/-+=2￡A,A

2

中只有2,—1,一,三個元素，它們的積為2X(—；)X(一,)=1.

三、解答題

10.設集合A={x,y},B={0,x2},若4=8,求實數x,y.

解析從集合相等的^念入手，尋找元素的關系，必須注意集合中元素的互異性.因為

A=B,則x=0或y=0.

①當x=0時，f=0,則8={0,0},不滿足集合中元素的互異性，故舍去；②當y=0時,

x=x2,解得x=0或x=1.由①知x=0應舍去.綜上知x=l,y=0.

11.若集合M={x|f+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},且NUM,求實數a的值.

解析由F+x—6=0,得x=2或x=-3.

因此，M={2,-3}.

若a=2,則％={2},此時NM-,

若“=—3,則可={2,—3},此時N=M;

若a￥2且“W-3,則N={2,a],此時N不是M的子集，

故所求實數a的值為2或-3.

12.已知集合4={x[0<xW2,xGN},B={x|皿W2,xGZ],求滿足條件的集

合C的個數，并寫出所有的子集.

解析由0<x<2,XEN及知0Wx<4,即4={1,2},8={0,1,2,3,4}.所以滿足條

件AGCGB的集合C的個數是23=8.這8個集合是：{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},

{0,1,2,3},{0,1,2,4},{0,123,4}.

1.1.3集合的基本運算

第一課時并集、交集

lh課前

要點一并集、交集的概念及表示法

名稱文字語言描述符號語言表示Venn圖表示

對于兩個給定集合A,B,

AUB=

并由.所有屬于集合A或屬

集于集合B的元素組成的逐

一或一￡8}_

集合00

對于兩個給定集合A,B,

AAB=

交由一屬于集合A且屬于集

集合8的所有元素組成的

且xdB}

集合(Z)?

要點二并集與交集的運算性質

并集的運算性質交集的運算性質

AUB_=_BUAAQB_=_BC\A

AUA=AAQA=A

AU0=AAG0=_￡_

AQB^AUB=BA-G8=A

AQBQA(B)

lh課堂

考點一集合的并集、交集運算

規律總結?

解決此類問題首先應看清集合中元素的范圍，簡化集合.若是用列舉法表示的數集，可

以根據交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結果；若是用描述法表示

的數集，可借助數軸分析寫出結果，此時要注意當端點不在集合中時，應用“空心點表示”.

【例題1]己知xCR,A={x|-4WxW2},8={M-l<rW3},尸=卜,WO唬》稱).

求：(DADB；(2)(408)UP.

思維導引：借助數軸，在同一個數軸上表示出這幾個集合，依據定義進行求解.

解析(1)因為A={*-4WxW2},B={x\-l<x^3],

所以An8={x|-l<xW2}.

(2)由AnB={x|-l<xW2},

得(AnB)UP=W'J^xW2j.

U.3，11B'1,~I——

-4-3-2-101232.4

2

【變式1](1)若集合A={0,1,2,4},6={1,2,3),則4n8=(C)

A.{0,1,2,34}B.{0,4}

C.{1,2}D.{3}

(2)(2016?全國卷II)已知集合4={1,2,3},B={xpr<9},則4nB=(D)

A.{-2,—1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}

C.{1,2,3}D?{1,2}

解析(l)AnB={0,l,2,4)n{l,2,3}={l,2}.

(2)由已知得B={x|-3<x<3},又4={1,2,3},

所以ACB={1,2},故選D.

□

考點二并集、交集的性質及應用

高考拓展I

在利用集合的交集、并集解題時，關鍵是“并”“交”的定義理解.“并”的定義含有

“或”的意義，即有“相容”的含義；“交”的定義含有“且”的意義，即有“同時”的含

義.

【例題2】設集合A={PZr—l,-4),8={x-5,l—x,9},若4nB={9},求AU8.

思維導引：本題考查有關交集和并集的問題，解題的關鍵是如何利用條件ACB={9}.欲

求AU8,需根據ACB={9}列出關于x的方程，求出x,從而確定A,B.

解析由9GA,可得f=9或2%—1=9,解得x=±3或x=5.

①當x=3時，A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素違背了互異性，故舍去.

②當》=-3時，A={9,-7,-4),8={-8,4,9},AAB={9},符合題意，故AUB=

{-7,-4,-8,4,9）.

③當x=5時，A={25,9,-4},B={0,-4,9},ACB={-4,9},與AA8={9}矛盾，

故舍去.

綜上所述，AUB={-8,-7,-4,4,9）.

【變式2】已知集合「={》|%2?1},M=[a].若PUM=P,則。的取值范圍是（C）

A.{a|aW—1}B.{a\a^1}

C.{aLlWaWl}D.或a》l}

解析由尸UM=P,可知M=P,即aGP,而集合P={x|—lWxWl},所以一IWaWl.

考點三利用并集和交集運算求參數

解題技巧?

求集合運算中參數的值或范圍的思路

（1）將集合中