第一章直角三角形的邊角關系

1銳角三角函數

第1課時正切

承課標要求

1.讓學生理解并掌握正切的含義，并能夠舉例說明；會在直角三角形中說出

某個銳角的正切值；了解銳角的正切值隨銳角的增大而增大.

2.讓學生經歷操作、觀察、思考、求解等過程，感受數形結合的數學思想方

法，培養學生理性思維的習慣，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力.

3.能激發學生學習的積極性和主動性，引導學生自主探索、合作交流，培

養學生的創新意識.

【教學重點】

1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系.

2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.

【教學難點】

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

宗教與程

、---，=—

一、情景導入，初步認知

你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？

【教學說明】通過實際問題，創設情境，引發學生產生認知盲點，激發學生學習

的興趣和探究的欲望。

二、思考探究，獲取新知

(1)RtZxABC和RtZxAB2c2有什么關系?

的

(2)AC,有什么關系

(3)如果改變B2的位置(如B3c3)呢?

(4)由此你得出什么結論？

B、

B/

【教學說明】通過相似溝通了直角三角形中的邊、角關系，從而變換角度繼續

探討，符合學生的認知規律此時學生的思維豁然開朗，同時培養了學生思維的

深刻性.此環節的設計正是數學思維的開闊性，多角度、多方位性地展現師生的

共同努力，淋漓盡致地演繹了數學體現在思維藝術上的美，從而解決了本節課的

第一個難點.

【歸納結論】在Rt^ABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與鄰邊的比便隨

之確定.這個比叫做NA的正切.記作：tanA=幺釵舞當銳角A變化時，tanA

NA的鄰邊

也隨之變化。

（5）梯子的傾斜度與tanA有關系嗎？

【教學說明】借助幾何畫板，從運動的角度來實施動態化、形象化、直觀化教學.

【歸納結論】在這些直角三角形中，當銳角A的大小確定后，無論直角三角形的

大小怎樣變化，NA的對邊與NA的鄰邊的比值總是唯一確定的.所以，傾斜角的

對邊與鄰邊的比可以用來描述坡面的傾斜程度.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P3上第1題.

2.如圖，在RtAABC中，ZC=90oAC=12,C=5,求tanA和tanB.

tan□B=AC=—12

BC5

3.若某人沿坡度i=3:4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高

米.

解析：坡度i=3:4,也就是說tanB=，=±,.?.設AC=3X,BC=4X.

BC4

根據勾股定理可求出x=2m,.,.AC=6m

答案：6

4.若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值。

解：在三角形中，根據大邊對大角，可知7所對的角最小.又由勾股定

理，可知該三角形為直角三角形。

7

最小角的正切值=—

24

【教學說明】鞏固正切的概念，進一步落實課標要求.習題1、2是對基礎知識

的訓練.習題3、4在對基礎知識鞏固的同時，發展了學生的思維能力，使思

維進一步縝密，認識進一步深化.

四、師生互動、課堂小結

師生一起小結在研究怎樣描述坡面的傾斜程度的過程中.我們首先從實際問

題中抽象出數學模型，構建直角三角形.這里體現出從實際問題中抽象出數學

模型的建模思想.這樣一來問題就轉化為對直角三角形的邊、角這些基本元素的

探討上.經過大家的探討，單一元素中：可以用銳角來描述坡面的傾斜程度，

而只用一條邊卻不可以.大家主動變換思考問題的角度去探究，從而得到可以

用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度.同時還找到了傾斜角和傾斜

角的對邊與鄰邊的比之間的關系.

親課后作業

1.布置作業：教材習題1.1中第1、2、4題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本課的學習，以實際問題為背景并從學生已有的直角三角形和相似三角形

的有關知識出發，引入正切函數概念.學生在知識的形成中，進一步感受數形結

合的數學思想方法.通過實際問題的思考、探索，提高解決實際問題的能力和應

用數學的意識.為后面的學習打下基礎，作好鋪墊.

第2課時正弦、余弦

1.使學生理解銳角正弦、余弦的定義。

2.會求直角三角形中銳角的正弦、余弦值。

3.通過探索正弦、余弦定義，培養學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思

維能力.

4.通過探索、發現，培養學生獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣.

【教學重點】

理解銳角正弦、余弦的定義；會求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

【教學難點】

求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

'凈教與亙而呈

一、情景導入，初步認知

操場里有一根旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度.(演示學校操場上的國旗

圖片)

小明站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為

34°,并且已知眼睛距離地面的高度為1米.然后他很快就算出旗桿的高度了.

你想知道小明是怎樣算出的嗎？

【教學說明】通過實際問題，創設情境，引發學生產生認知盲點，激發學生

學習的興趣和探究的欲望.

二、思考探究，獲取新知

1.想一想：如圖

(1)直角三角形ABC和直角三角形AB4有什么關系？

(2)2和2有什么關系？嶼和呢？

BA〕B2AB,A

⑶如果改變Bz在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么結論？

(4)如果改變梯子AB1的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結論？

請討論后回答.

【教學說明】通過學生的觀察、探索，加上教師的引導，使學生探究一步一

步走向深入，并從中體會到探究的樂趣、知識的魅力，應用價值，開拓學生視野,

鍛煉學生思維，提高學生能力.

【歸納結論】在Rt^ABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與斜邊的比、

鄰邊與斜邊的比也隨之確定.

NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦（sine）,記作sinA,即：sinA=

NA的對邊

斜邊

NA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦（cosine）,記作cosA,即：cosA=

NA的鄰邊

斜邊

銳角A的正切、正弦、余弦都是NA的三角函數，當NA變化時，相應的的

正切、正弦、余弦值也隨之變化.

【教學說明】讓學生借助正切的概念，自己試著歸納正弦、余弦的概念。

2.議一議：如圖

由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關系.

【教學說明】可以讓學生通過計算，明白它們之間的關系.

【歸納結論】sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P$例2.

2.在RtZWC中,ZC=90°,BC=6,sinA=->求cosA和tanB的值。

5

Mw：?.?f'in.A.,,.

'：AC-/ABBC—?、1匚6-s.

.、AC_I...AC_I

1,cosA

19

3.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,cosA=—,AC=10,AB等于多少？sinB

13

呢？

解I

13

IC612

sinKIOx

AH6513

4.在RtAABC中,ZC=90°,sinA和cosB有什么關系？你能得到什么結論?

解：VsinA=—,

AB

_BC

COSDn----.

AB

sinA=cosBo

結論：在同一直角三角形中，一銳角的正弦

值等于另一銳角的余弦值。

5.已知：如圖，CD是RtAABC的斜邊AB上的高,

求證：BC2=AB,BD.（用正弦、余弦函數的定義

證明）

解：在RtAABC中，

.BC

sinA=---

AB

在RtABCD中

cosnB=-B-D-

BC

根據第4題中的結論，可知:

在RtAABC中，

sinA=cosB.

?BC_BD

ABBC

即BC2=AB?BD.

【教學說明】對于前三題，比較簡單，可以放手讓學生獨立完成.而后面兩

題，可以適當地加以提示、補充.

四、師生互動，課堂小結

通過學習，你對正弦、余弦在知識應用方面有什么認識，對指導解決現實問

題有什么意義？你發現的規律或公式在解決問題中起到了什么作用？

W課后作業

1.布置作業：教材“習題1.2”中第1、4題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

教與反思

本節課，通過探究，將學生知識引向深入，在整個過程中體現了教師的主導

作用，學生的主體地位.在教學過程中，如何保證每位學生都得到發展，如何給

予每個學生以發展平臺，這是每位教師在課堂教學中必須做到的.

230°,45°,60°角的三角函數值

1.經歷探索30°、45。、60°角的三角函數值的過程，能夠進行有關的推

理，進一步體會三角函數的意義。

2.能夠進行30°、45°、60°角的三角函數值的計算.

3.經歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過程，培養學生觀察、分

析、發現問題的能力.

4.讓學生積極參與數學活動，對數學產生好奇心，培養學生獨立思考問題的

習慣.

【教學重點】

能夠進行含30°、45°、60°角的三角函數值的計算

【教學難點】

進一步體會三角函數的意義.

孽專教學過程

一、情景導入，初步認知

如圖所示，在RtaABC中，ZC=90°,NA、ZB,NC的對邊分別為a、b、

c

B

(1)a、b、c三者之間的關系是,NA+NB二..

(2)sinA=,cosA=,tanA=.

sinB=,cosB=,tanB=.

(3)若ZA=30°,則@=

【教學說明】復習鞏固上一節課的內容，為本課學習做準備.

二、思考探究，獲取新知

問題1觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？

問題2sin30等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流.

問題3cos30°等于多少？tan30°呢？

問題4我們求出了30。角的三個三角函數值，還有兩個特殊角一一45°、

60°,它們的三角函數值分別是多少？你是如何得到的？

【教學說明】利用三角板，進行計算.從而推導特殊角三角函數值.

【歸納結論】

三色▼角函數

sinctcosatana

角a..._

1730

30°

~2TT

旦旦

45°i

T~2

731

60°

T~2

【教學說明】通過表格的形式進行歸納，可使學生熟記三角函數值.

三、運用新知，深化理解

1.見教材R例1.

2.見教材Pg例2.

3.求下列各式的值：

(1)cos260°+cos245°十后sin30°sin45°

cos600+sin45°cos60°-cos45°

(2)-------------------1-------------------

cos600-sin45°sin30°+cos45°

解：（I）原式=（；）。）1+72x：x：

II]5

=4+—=——

4224

1、’2IJ2

+一

，7)，

(2)原式=’~+'~

IJ21J2

--------------一?-—

2222

1721-72

=■，--，.---------------

1-212

=-(1+.2);-(1-.2)2

=-3-2<2-3*2,2=-6

【教學說明】本題主要考查特殊角的正弦、余弦值，解題關鍵是熟悉并牢記特殊

角的正弦、余弦值.易錯點是因沒有記準特殊角的正弦、余弦值造成計算錯誤.

4.在4ABC中，NC=90°，若2AC=V^AB,則NA的度數是,cosB的值為。

解析：...AC=90°,2AC=/2AB,

AC72

"AB-T

AC72

*.*cosA=—cosA=—，.=Z_A=45°,

AB"2

72

/.Z.B=45°cosB=——.

2

答案：45。—

5.已知：在AABC中，ZB=45°,ZC=75°,AC=2,求BC的長.

分析：作AABC的一條高，把原三角形轉化成直角三角形，并注意保留原三

角形中的特殊角

解：作CD_LAB于D點.

VB=45°,ZACB=75°/.ZA=60°

CD

VAC=2,siM=^,

AC

/.CD=2sin60°=V3.

在RtABCD中，NCQB=90°,NB=45°,

CD_42

sinB—BC-T,

:.BC=4^.

【教學說明】不論是特殊角，還是特殊角的三角函數值，都要在直角三角形

中才可以發揮作用，所以合理構造直角三角形，并通過轉化得到特殊角是解決此

類問題的關鍵。

四、師生互動，課堂小結

先小組內交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結，教師作以補

充。

要課后作業

1.布置作業：教材“習題1.3”中第1、4、5題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

苧，教學反思

三角尺是學生非常熟悉的學習用具，在這節課的教學中，教師應大膽地鼓勵

學生用所學的數學知識如“直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”的

特性，經歷探索30°、45。、60°角的三角函數值的過程，發展學生的推理能

力和計算能力。另外通過小組合作交流形式，讓學生積極參與數學活動，對數學

產生好奇心，培養學生獨立思考問題的習慣，并在數學活動中獲得成功的體驗,

鍛煉克服困

難的意志，建立自信心.給學生留充分的時間，采取多種形式讓學生記住特殊角

的三角函數值。

3三角函數的計算

第一課時已知一個角求三角函數值

爭課標要求

1.會用計算器求一些銳角的三角函數值.

2.運用銳角三角函數解直角三角形.

3.通過學生動手操作，提高學生動手能力.

4.讓學生積極參與數學活動，對數學產生好奇心，培養學生動手操作能力.

【教學重點】

會用計算器求一些銳角的三角函數值。

【教學難點】

會用計算器求一些銳角的三角函數值。

■敦孚亙腥

一、情景導入，初步認知

問題上節課我們學會了求一些特殊銳角（30。、45。、60。）的三角函數

值.那你知道15°、55°等一些銳角的三角函數值嗎？這節課我們就來學習求這

樣的角的三角函數值.

【教學說明】通過問題，給學生創造困難，從而激發學生強烈的求知欲.

二、思考探究，獲取新知

觀察手中計算器的各種按鍵，了解它們的功能

【教學說明】學生先了解計算器各按鍵的功能，為利用計算器求銳角三角函

數值打下基礎.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P"的圖表.

2.sin63°52,41”的值.（精確到0.0001）

解：先用如下方法將角度單位狀態設定為“度”：

再按下列順序依次按鍵:

顯示結果為0.897859012.

所以sin63°52,41"=0.8979

3.求cot70°45,的值.（精確到0.0001）

解：在角度單位狀態為“度”的情況下（屏幕顯示出H）,按下列順序依

次按鍵：

|tan|

111IdI7°|。,,,451=1

顯示結果為0.349215633.

所以cot70°45'00.3492.

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=35°,AC=6,求BC,AB的長（精

確到。001）.

解：因為---=tanA=tan35°

AC

由計算器求得tan35°^0.7002,

所以BC=AC?tanA^6X0.7002^4.201

AC

又---=cosA=cos35°,

AB

由計算器求得cos35°^0.8192,

所以AB=一^=—匚心7.324

cosA0.8192

【教學說明】不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.

四、師生互動，課堂小結

不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.同一銳角的正切值與余切值互為

倒數.在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的保管與使用.

【方法歸納】在解決直角三角形的相關問題時，常常使用計算器幫助我們處

理比較復雜的計算.

親課后作業

1.布置作業：教材“習題1.4”中第1、2題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

本節課的內容比較簡單，學生能夠用計算器進行計算，不需要學生動筆，所

以學生積極性較高，教學效果較好.

第2課時已知三角函數值求角

第？課標要求

1.能根據銳角的三角函數值用計算器求出相應的銳角.

2.經歷使用計算器的過程，通過計算銳角三角函數值，加深對三角函數之

“函數”意義的感受.

3.體會現代工具的快捷、準確，培養用數學的意識并養成認真、細心、嚴謹

的學習習慣.

【教學重點】

用計算器由銳角三角函數值求銳角.

【教學難點】

用計算器由銳角三角函數值求銳角.

敦與亙睚

一、情景導入，初步認知

上節課我們學習了用計算器求任意銳角的三角函數值，同學們計算sin63°

52'41〃和cos2°的值

這節課我們來一起研究如何利用計算器由銳角三角函數值求銳角.

【教學說明】自然引入，使學生理解知識的連貫性.

二、思考探究，獲取新知

閱讀教材九中“想一想”的內容，和同桌一起討論、交流。如何能根據銳

角的三角函數值用計算器求出相應的銳角.

【教學說明】提高學生團隊合作意識.

三、運用新知，深化理解

1.已知tanx=0.7410,求銳角x（精確到1'）

解：在角度單位狀態為“度”的情況下（屏幕

顯示出3）,按下列順序依次按鍵：

||o?r||||w0|||||?|||@||||||^~|

顯示結果為36.53844577.

再按鍵：

顯示結果為363518.4.

所以，m36°32,.

2.已知cotA=0.1950,求銳角x（精確到1,）

分析：根據tanx='，可以求出tanx的cotx值，然后根據第1題的方法

cotx

就可以求出銳角X的值

3.已知銳角Q的三角函數值，使用計算器求銳角a.（精確到1。）

sina=0.2476；

cosa=0.4174;

tana=0.1890.

解：（1）14°（2）65°（3）11°

【教學說明】教師要強調，讓每位學生必須動手操作，達到熟練.從而提高

學生動手操作能力，鞏固所學知識.

四、師生互動，課堂小結

先小組內交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結，教師作以補

充.

2課后作業

1.布置作業：教材“習題1.4”中第3、5題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

承‘教學反思

學生在操作過程中可能存在以下問題：按鍵順序不對；沒按要求取近似值或

干脆不取近似值.所以應該在這幾個方面要進行強調.

4解直角三角形

逑課標要永

1.使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理，直角三角形

的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形.

2.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直

角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力.

3.滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣.

【教學重點】

直角三角形的解法.

【教學難點】

三角函數在解直角三角形中的靈活運用.

■,港,敦與國m呈

一、情景導入，初步認知

1.在三角形中共有幾個元素？

2.直角三角形2比'中，ZC90°,a、b、c、ZA這五個元素間有哪些

等量關系呢？

（1）邊角之間關系

..arr.cJ.a

sinA=—V3cosA二一tanA=—

cab

（2）三邊之間關系

a2十^=/（勾股定理）

（3）銳角之間關系

N4+ZB=90°

【教學說明】以上三點正是解直角三角形的依據，通過復習，使學生便于應

用.

二、思考探究，獲取新知

1.做一做：在直角三角形力優'中，已知兩邊，你能求出這個直角三角形中其

它的元素嗎？

2.做一做：在直角三角形2歐中，已知一角一邊，你能求出這個直角三角形

中其它的元素嗎？

3.想一想：在直角三角形力回中，已知兩角，你能求出這個直角三角形中其

它的元素嗎？

【教學說明】我們已掌握Rt歐的邊角關系、二邊關系、角角關系，利用這

些關系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余的元素.

這樣的導語既可以使學生大概了解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什

么兩個已知元素中必有一條邊呢？激發了學生的學習熱情.

【歸納結論】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素過程，叫做解直角

三角形。

在解直角三角形中，兩個已知元素中至少有一條邊.

【教學說明】讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師請學生概括

什么是解直角三角形？

三、運用新知，深化理解

L見教材P16例1、例2.

2.已知：k80，=60°,N年90°,求N6、a、b.

解：a=csin60°=8乃X5=12

6=ccos60°=8^-―4偌，

NB=30°.

3.已知：a=3&，N4=30°Z(=90°,求N6、b、c。

解：/〃一9O°3Oe-GOr.

〃utHti/i3\6；B\".i9、*

c—、公—v(3、'6了一(9)1

、/GI-162、2166<6.

(另斛：由于烏simA.所以c』

csin/i

4.已知：c=V6-V2,a=V3-l,ZC=90°,求NA、ZB.b.

...a73-1(^-1)(76+72)

M:sinA=—=-----=----------------

c46-/2(76-72)(76+72)

3-/2--/6-'/2-J2.

F，

由此可知，44=45°,48=90°-45°=45°,

且有b=a=j3-\.

5.已知：。=6*=2乃,/。=90°,求NA、/B、c.

解：由于tanA=^-=-^—=j3,

b273

ZA=60°,ZB=90°-60°=30°,

且有C=26=2X2A=*.

6.在直角三角形ABC中，銳角A為30°,銳角B的平分線BD的長為8cm,求

這個三角形的三條邊的長.

解：由已知可得4BCD是30°的直角三角形，所以CD=-BD=-X8=4(cm),

22

△ADB是等腰三角形，

所以AD=BD=8(cm),

則有AO8十4=12(cm),

BC=ACcot60°=12X—=473(cm),

3

AB=7(4A/3)2+122=V48+144=V192=8百(cm)

【教學說明】解直角三角形是解實際應用題的基礎，因此必須使學生熟練掌握。

為此，教材配備了針對各種條件的練習，使學生熟練解直角三角形，并培養學生

運算能力.

四、師生互動，課堂小結

請學生小結：

1.在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至少有一個是

邊)，就可以求出另三個元素

2.解決問題要結合圖形.

承課后作業

1.布置作業：教材“習題1.5”中第2、3題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

教學反思

解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有

示范作用.因此，此題在處理時，首先，應讓學生獨立完成，培養其分析問題、

解決問題的能力，同時滲透數形結合的思想.其次，教師組織學生比較各種方法

中哪些較好，選一種板演.

第1課時三角函數的應用(1)

記實際問題轉化為解直角三角形的問題，從而把實際問題轉化為

數學問題來解決.

2.逐步培養學生分析問題、解決問題的能力.

3.滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養學生用數學的意識.

【教學重點】

要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的

關系，從而利用所學知識把實際問題解決.

【教學難點】

要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的

關系，從而利用所學知識把實際問題解決.

一、情景導入，初步認知

海中有一個小島A,該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開

始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C

處，之后，貨輪繼續往東航行.你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎？

你是怎樣想的？與同伴進行交流.

【教學說明】經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解

決實際問題中的應用.

二、思考探究，獲取新知

如圖，一艘海輪位于燈塔月的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的力處，

它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔夕的南偏東34°方向上的6處.這

時，海輪所在的夕處距離燈塔月有多遠（精確到0.01海里）？

解：如圖,在電△中，

PC^P\-<w(9O,-65")=80XCOS25"?=72.8

住Kt中，/?=34';

PC

?/sinfl=,

PH

PC_72.872.8

PH130.23(海

-sin?-sin3400.559

中）

因此，當海輪到達位于燈塔月的南偏東34°方向時，它距離燈塔尸大約

130.23海里.

三、運用新知，深化理解

如圖所示，一條自西向東的觀光大道/上有A,B兩個景點，A,B相距2km,

在A處測得另一景點C位于景點A的北偏東60°方向，在B處測得景點C位于

景點B的北偏東45°方向，求景點C到觀光大道1的距離.（結果精確到0.1km）

分析：過點C作CD，/于點D,設CD為Akm,用含x的代數式表示出AD

和BD,然后根據AD-BD=AB,列方程即可求解

解：如圖所求.過點C作C〃，I于點I),設

Cl)-xkm.

住KtAAC〃中,：tanLCW=/

Cl)Cl)

J/)——.

tanZ(1AI)tan3()r*

/.M)--,3C7)=31km.

在RtA/?C7)'l*.//RD(：=90°.ZCUD-

45°,.1.lil)~CI)~xkn\.

-：Al)-Hl)-AH,

3*-x=2.解得：x=、3+l、2.7(km).

故景點C到觀光大道1的距離約為2.7km.

【教學說明】結合圖形信息解直角三角形問題時，注意轉化思想的運用，即

構造直角三角形，將方位角、方向角問題轉化為解直角三角形問題，靈活運用銳

角三角函數構造相關的三角函數式，進行有關線段以及角度計算.

四、師生互動，課堂小結

通過學習以上例題，讓學生經歷將實際問題轉化為數學問題，通過解直角三

角形來解決有關方向角問題.

承課后作業

-./="

1.布置作業：教材“習題1.6”中第4題.

2.完成練習冊中本課時的練習

宣教與反思

本節課應首先認識方向角及其代表的實際意義，然后結合解直角三角形的有

關知識，層層展開，逐步深入.

第2課時三角函數的應用(2)

1.進一步掌握用解直角三角形的知識解決實際問題的方法，體會仰角、俯角、

坡度的含義及其代表的實際意義，并進行相關的計算.

2.通過實際問題的求解，總結出用解直角三角形的知識解決實際問題的一般

過程，增強分析問題和解決問題的能力.

3.滲透數形結合的思想方法，增強學生的數學應用意識和能力.

【教學重點】

用三角函數知識解決仰角、俯角、坡度問題.

【教學難點】

學會準確分析問題，并將實際問題轉化為數學模型.

一、情景導入，初步認知

1.仰角、俯角的概念.

2.坡度的含義

【教學說明】教師提出問題，師生共同理解，為后繼學習作好準備

二、思考探究，獲取新知

想一想：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為

30°,再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高？(小

明的身高忽略不計，結果精確到1m)

D

ABC

分析：要求塔CD的高度，必須利用銳角三角函數.則要求出直角三角形ACD

或直角三角形BCD的一邊.可以根據等腰三角形的有關知識求出BD=50m,Z

DBC=60°,用正弦就可求出塔CD的高度.

做一做：由題意易知。)14C,NC4〃=30.

ZCR〃=60.IN=50m.ZACD=90,乙1/陽=

ZCHI)-ZCAD=30°./.AH=RI)=50m.在Hl

J

△HCI)'I'.CD=HD-sinLCUD-5()xsjn60=25

3(m).即該塔i?25v3rii.

【教學說明】利用實際問題，提高學生學習興趣.教師要幫助學生學會把實際問

題轉化為解直角三角形問題，從而解決問題.

三、運用新知，深化理解

1.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球上看一棟高J

樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為SSB3

60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓既空?___@@@@

有多高(結果取整數)?秋口國國民國

國國民國

故景點C到觀光大道1的距離約為2.7km.\

日用用用

國由由田

@a@s

國m國

C

解：根據仰角和俯角定義知，圖中a=

30。,尸=60',,4〃=120m.在RtLAUD中,ft]

RD

tana=tart3()a=,故HD-\i)?lan300=l20x

AD

3=,..tCD

403,在HlA4C/J中.由UH,=而

lunGO.所以C〃=,l〃?Um60”-l20x,3=120

3.故這棟高樓的島為HC=HD^CI)=403+

12()3=16()3*277m.

【教學說明】上述題目可讓學生自主探索，也可相互交流，最后師生共同獲

得解答過程，學生自查，增強解題技能.

2.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為

50°,觀測底部B的

4，、4c

M：HC=4C-tan48°=?13.33(m).4W=

cos48"

=17.94(m),二大樹原長為RC+AB=13.33+

I7.94=31.27*31.3(m).

仰角為45。，求旗桿的高度(結果保留一位小數)

解：BC=DC?tan45°=40(m),AC=DC?tan50°加47.67(m),AB=AC-BC=7.67^

7.7(m)

3.同學們對公園的滑梯很熟悉吧！如圖是某公園“六?一”前新增設的一臺

滑梯，設滑梯高度AC=2m,滑梯著地點B與梯架之間的距離BC=4m.

(1)求滑梯AB的長(精確到0.1m);

(2)若規定滑梯傾斜角(NABC)不超過45°屬于安全范圍，請通過計算說明

這架滑梯的傾斜角是否符合要求？

解：(1)45==26勺4.5

/、，、八4。21八

(m);(2)tanAABC==—=—.乙ABC=

26.6°<45°,/.符合要求.

4.如圖，在一次龍卷風中，一棵大樹在離地面若干米處折斷倒地，B為折斷

點，樹頂A落在離樹根C的12m處，測得NBAC=48°,則此棵大樹原長為多少米？

（精確到0.1m）.

【教學說明】在學生自主探究過程中，教師巡視，與學生一道分析解題思路,

探討構建直角三角形來解決實際問題的方法，并對有困難的學生予以指導，樹立

他們的學習信心.

5.某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數據計算AC、BD和CD的長度

（精確到0.1米）.

解：如圖，作BE

垂直直線CD于E,

在直角三角形BED

中，有ED=5tan30°=

J31.732

5x——5x--------

33

2.89(米)，

如圖，作AF垂直直線CD于F,在直角三角形AFC中，

ZACF=ZCAF=45°,所以有CF=AF=BE=5(米)，

則有CD=(CF+FE)-ED=(CF+AB)-ED^(5+1.3)-2.89—3.4(米)

又有4C=互x4b=5互#5x1.414=7.1,

BD=2ED=2X2.89^5.8（米）；

所以CD,AC,BD的長分別約為3.4米,7.1米和5.8米.

【教學說明】鞏固所學知識.要求學生學會把實際問題轉化成數學問題；根

據題意思考題目中的每句話對應圖中的哪個角或邊，本題已知什么，求什么？

四、師生互動，課堂小結

通過本節課的學習，你有哪些收獲？還有哪些疑問？不妨說說看.

【教學說明】讓學生在相互交流過程中總結解題思路，解題方法，進一步積

累解題經驗，并聽取學生的疑問，及時查漏補缺.

辭課后作業

1.布置作業：教材“習題1.6”中第1、2題.

2.完成練習冊中本課時的練習

教學反思

、---，=—

本課時教學時要盡量創設與學生生活環境、知識背景相關的教學情境，引導

學生將實際問題轉化為簡單的數學模型，培養學生的轉化能力，增強學生分析實

際問題和解決實際問題的能力.

教學時應注意從實際生活出發，努力體現數學與生活的聯系.此外，還要注

重培養學生自主提煉題干并將其轉化為數學模型的能力，注重從實物的形象思維

向數學的抽象思維轉變.

6利用三角函數測高

‘豌課而要永

i.能夠利用三角函數測一些實際物體的高度.

2.經歷探索測高的過程，讓學生體會數學知識的發生、發展、應用過程.并

發展了學生的動手能力.

3.體會數學來源于生活又服務于生活.

【教學重點】

能夠利用三角函數測一些實際物體的高度.

【教學難點】

能夠利用三角函數測一些實際物體的高度.

直教學136呈

一、情景導入，初步認知

請同學們欣賞下列圖片，你們能測量出它們的高度嗎？

鐵塔電視塔雙子塔

【教學說明】用多媒體放映圖片并讓學生說明圖片的名稱和有關圖片的一些

歷史.可以提高學生的學習興趣.

二、思考探究，獲取新知

活動一：測量傾斜角.

測量傾斜角可以用測傾器，簡單的測傾器由度盤、鉛垂和支桿組成（如

圖）.

使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：

1.把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻線重合,

這時度盤的頂線PQ在水平位置.

2.轉動度盤，使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛垂線所指的度數.

根據測量數據，你能求出目標M的仰角或俯角嗎？說說你的理由

活動二：測量底部可以到達的物體的高度

所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物

體底部之間的距離

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角ZMCE=?a.

2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=1

3.量出測傾器的高度AC=a（即頂線PQ成水平位置時它與地面的距離），根

據測量數據，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理

由。

活動三：測量底部不可以到達的物體的高度

所謂“底部不可以到達”就是在地面上不能直接測得測點與被測物體底部之

間的距離.

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角ZMCE=?

2.在測點A與物體之間的B處安置測傾器（A,B與N在一條直線上，且A,

B之間的距離可以直接測得），測得M的仰角NMCE=￡

3.量出測傾器的高度AC=BD=a,以及測點A,B之間的距離AB=b.

根據測量數據，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.

【教學說明】通過這三個活動的學習，可以掌握利用三角函數測物體高度時,

必須要測出哪些數據才能解決問題。

三、運用新知，深化理解

.在一次數學活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形量角器制

作了一個測角儀，去測量學校內一座假山的高度CD。如圖，已知小明距假山的

水平距離BD為12m,他的眼睛距地面的高度為1.6m,李明的視線經過量角器零

刻度線0A和假山的最高點C,此時，鉛垂線0E經過量角器的60°刻度線，則

假山的高度為多少？

解：如圖，作AK_LCD于點K,

VBD=12,李明的眼睛高1.6米,即AB=1.6,ZA0E=60°,

?lan/=

CK

.....AK1212

…?h.

tanzKtan6O

：.(!)('K-I)K

辟：小山的高度為"J3?1.6）米.

2.興義市進行城區規劃，工程師需測某樓AB的高度，工程師在D處用高2m的

測角儀CD,測得樓頂端A的仰角為30°,然后向樓前進30m到達E,又測得樓

頂端A的仰角為60°,樓AB的高度是多少？

解:,ZAFG=60°,

FG

.\FG=AG=—

AG

tan6003

AG

在RtAACG,tanZACG=—,ZACG=30°

CG

4Gr-

所以CG=——=V3AG

tan30°

又<CF=CG-FG=30,

即聞G-§AG=30,

解得AG=15V3.

，AB=AG+GB=15&+2.

???這幢教學樓的高度AB為（15百+2）m.

3.如圖，小山崗的斜坡AC的坡度是tan=±,在與山腳C距離200米的D處，測

4

得山頂A的仰角為26.6。，求小山崗的高AB（結果取整數，參考數據：sin26.6°

=0.45,cos26.6°=0.50）

A

4

BC=AB.

3

在Rt中，tan26.6°=麗=0.5,

/.BD=2AB.

BD-BC=CD=20Q,

4

2AB--Afi=200,

解得：4B=300.

答：小山崗的高度為300米.

【教學說明】教師引導學生評價黑板上的解題過程，做到全體學生都掌握.

四、師生互動，課堂小結

師生歸納：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：

（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的

問題）；

（2）根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形；

3得到數學問題的答案；

4得到實際問題的答案.

泊課后作業

1.布置作業：教材“習題1.7”中第2、3題.

2.完成練習冊中本課時的練習.

■:教學反思

、---，=—

通過本節課的學習鞏固了銳角三角函數的有關知識，大大培養了學生的動手

能力、合作能力、思維能力和總結匯總能力.

章末復習

課標要求

1.了解銳角三角函數的概念，熟記30°、45°、60°的正弦、余弦和正切

的函數值.

2.能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數求出它的三角函數值，由已知

三角函數值求出相應的銳角的度數.

3.會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題.

4.通過銳角三角函數的學習，進一步認識函數，體會函數的變化與對應的思

想.

5.通過解直角三角形的學習，體會數學在解決實際問題中的作用.

【教學重點】

會用服直角三的有關知識解決簡單的實際問題.

【教學難點】

會用解直角三的有關知識解決簡單的實際問題.

料致與亙睚

一、知識結構

三角函在Rt△ABC

數基本

概念

銳

角

三

角

歷

函/2

特殊角:j?cos45'

數三角函致

lan43'

.心一避1

smo()—?cosoO

M2J2

Ian6()°=j3

解直向

三角形:一解直角三角形的應用

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，使學生系統地了解本章知識及它們

之間的關系.

二、釋疑解惑，加深理解

1.銳角三角函數

①正弦、余弦、正切的定義

②銳角三角函數的定義

2.三角函數的計算

3.解直角三角形

4.解直角三角形的應用

【教學說明】引導學生回憶本章所學的有關概念，知識點.加深學生印象.

三、運用新知，深化理解

1.已知，如圖，D是AABC中BC邊的中點，

2

NBAD=90°,tanB=—,求sinNDAC.

3

解：過D作DE〃AB交AC于E,則NADE=N

BAD=90°,

,2AD2

由tannB—,信------,

3AB3

設AD=2k,AB=3k；

?.?D是AABC中BC邊的中點，

3

/.DE=-k,

2

在Rt^ADE中，AE=-k,

2

3

sinZDAC=—=^—=-.

4E九5

2

2.計算：tan230°+cos230°-sin245°tan45°

解：原式=(*)2+(：

爭2X1

=1+3_1

342

7

12

3.如圖所示，菱形ABCD的周長為20cm,DE±AB,垂足為E,sinA=，則下列結

論正確的個數有（）.

①DE=3cm;

②BE=lcm;

③菱形的面積為15cllI?;

④BD=2V10cm.

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：由菱形的周長為20cm知菱形邊長是5c

在RtZ\ADE中，

3

VAD=5cm,sinA=—,

3

JDE=AD?sinA=5X—=3(cm).

5

AE=VAE2-DE2=4(cm).

.e.BE=AB-AE=5-4=l(cm)