北師大版八年級數學下冊教案（完整版）全冊教學設計

第一章

1等腰三角形

第1課時三角形的全等和等腰三角形的性質

教學目標

一、基本目標

1.了解作為證明基礎的8條公理的內容.

2.使學生經歷“探索一一發現一一猜想一一證明”的過程，學會用綜合法證明等腰三

角形的有關性質定理.

3.讓學生學會分析幾何證明即的思路，并掌握證明的基本步驟和書寫格式.

4.經歷作輔助線的證明過程，進一步發展學生的合情推理意識，培養主動探究的習慣，

體會數學與現實生活的緊密聯系.

二、重難點目標

【教學重點】

等腰三角形的性質及推論.

【教學難點】

運用等腰三角形的性質及推論解決相關問題及證明的書寫格式.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5〃〃力閱讀】

閱讀教材P2?P3的內容，完成下面練習.

[3如力反饋】

1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.

2.全等三角形的對應邊相等、對應角相等.

3.等腰三角形的兩底角相等，簡述為：等邊對等角.

4.等腰三角形“三線合一”：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線

互相重合.

5.如圖，已知N1=N2,則不一定能使△力即且△力切的條件是！B）

A.BD=CD

B.AB=AC

C.

D.NBAD=4CAD

6.如圖，△ABC^XCDA、那么下列結論錯誤的是（D）

A.N1=N2B.AC=CA

C.NP=N8D.AC=BC

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖,AB=AC=AD,若NBAD=80°,則NBCD=（）

C.140°D.160°

【互動探索】（引發學生思考）由邊相等可以得到什么？這與NBCD有什么關系？

【分析丁??NBAD=80°,???NB+NBCD+ND=360°—NBAD=280°.又?.?AB=AC=AD,

AZB=ZACB,ZACD=ZD,/.ZBCD=ZACB+ZACD=280°4-2=140°.

【答案】C

【互動總結】（學生總結，老師點評）求角的度數時，需根據實際情況分析：（1）在等腰

三角形中，要考慮三角形內角和定理；（2）有平行線時，要考慮平行線的性質：兩直線平行,

同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補；（3）兩條相交直線中，對頂角相等，互為鄰補角

的兩角之和等于180°.

【例2】等腰三角形的一個角等于30°,求它其余兩角的度數.

【互動探索】（引發學生思考）等腰三角形的角有什么特征？已知角是頂角還是底角？

【解答】分情況討論：

當底角為30°時，頂角度數為180。-2X30°=120°；

當頂角為30°時，底角度數為（180°-30°）4-2=75°.

綜上，該等腰三角形其余兩角的度數為30°,120°或75°,75°.

【互動總結】（學生總結，老師點評）己知的一個銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以

是底角；一個鈍角只能是等腰三角形的頂角.分類討論是正確解答本題的關鍵.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.至少有兩邊相等的三角形是（B）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

2.在AABC中，若AB=AC,ZA=44°,則NB=68度.

3.已知等腰三角形兩條邊的長分別是3和6,則它的周長等于15.

4.如圖所示，已知AB=AC,FD_LBC于點D,DEJ_AB于點E,若NAFD=145°,則NEDF

=55度.A

HXXD€.

5.如圖所示，點D是AABC內一點，AB=AC,/1=N2.求證：AD平分NBAC.

A

程

證明：VZ1=Z2,ABD=DC.VAB=AC,AD=AD,AAADB^AADC,AZBAD=ZCAD,

即AD平分NBAC.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在AABC中，已知AB=AC,NBAC和NACB的平分線相交于點D,ZADC

=125°.求NACB和NBAC的度數.

【互動探索】根據等腰三角形“三線合一”可得AEJJ3C-求出NCDE-根據“直角三角

形兩銳角互余”求出NDCE一根據角平分線的定義求出NACB一根據“等腰三角形兩底角相等”

列式求出NBAC.

【解答】'??AB=AC,AE平分NBAC,AAE1BC.VZADC=125°,AZCDE=180°-N

ADC=55°,.\ZDCE=90o-NCDE=35°.又?.?CD平分NACB,/.ZACB=2ZDCE=70°

AB=AC,???NB=NACB=70°,.\ZBAC=180°-（ZB+ZACB）=40".

【互動總結】（學生總結，老師點評）利用等腰三角形“三線合一”的性質進行計算，有

兩種類型：一是求邊長，求邊長時應利用等腰三角形底邊上的中線與其他兩線互相重合；二

是求角度的大小，求角度時，應利用等腰三角形的頂角平分線或底邊上的高與其他兩線互相

重合.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.兩三角形全等的判定：AAS.ASA.SSS、SAS.

性質定理：等邊對等角

2.等腰三角形

三線合一

練習設計

請完成本課時對應練習!

第2課時等邊三角形的性質

教學目標

一、基本目標

1.進一步學習等腰三角形的相關性質，了解等腰三角形兩底角的平分線（兩腰上的高、

中線）的性質.

2.學習等邊三角形的性質，并能夠運用其解決問題.

3.把等腰二角形與等邊二角形的性質進行比較.體會等腰二角形和等邊二角形的相同

之處和不同之處.

二、重難點目標

【教學重點】

等腰三角形、等邊三角形的相關性質.

【教學難點】

等腰三角形、等邊三角形的相關性質的應用.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

【5min閱讀】

閱讀教材?P6的內容，完成下面練習.

（3卬力7反饋】

1.等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高杓等；等腰三角形兩腰

上的中線相等.

2.等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60°.

3.一個等腰非等邊三角形中，它的角平分線、中線及高線的條數共為（重合的算一

條）（B）

A.9B.7

C.6D.5

4.等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（B）

A.頂角B.頂角的一半

C.頂角的2倍D.底角的一半

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，在AABC中，AB=AC,CDJ_AB于點D,BEJ_AC于點E,求證：DE〃BC.

【互動探索】（引發學生思考）要證DE//BC,需證/ADE=NABC,從而結合已知條件考

慮證△BEC04CDB即可.

【證明】?.?AB=AC,,??NABC=NACB.又?.?CDJ_AB于點D,BE_LAC于點E,，NAEB=N

ADC=90°,AZABE=ZACD,AZABC-ZABE=ZACB-ZACD,AZEBC=ZDCB.2EABEC

ZBEC=ZCDB,

和4CDB中，V5ZEBC=ZDCB,/.ABEC^ACDB,ABD=CE,.\AB-BD=AC-CE,

BC=CB,

即AD=AE,??.NADE=NAED.又TNA是aADE和AABC的頂角，/.ZADE=ZABC,ADE/ZBC.

【互動總結】（學生總結，老師點評）等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相

等，兩腰上的高相等.

【例2】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，I）是BC延長線上一點，連結BE、

DE.若NABE=40°,BE=DE,求NCED的度數.

【互動探索】（引發學生思考）由AABC是等邊三角形可以得到哪些結論？如何利用這些

結論求NCED?

【解答】:△ABC是等邊三角形，.??NABC=NACB=60°.VZABE=40°,/.ZEBC=

ZABC-ZABE=20°.VBE=DE,AZD=ZEBC=20°,AZCED=ZACB-ZD=40°.

【互動總結】（學生總結，老師點評）等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內角都是

60°,這個性質常常應用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.如圖，在四邊形ABCD中,AC、BD為對角線,AB=BC=AC=B1）,則/ADC的大小為（D）

A.120°B.135°

C.145°D.1500

BPC

第2題

2.如圖所示，Z\ABC為等邊三角形，AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于點R,PS_LAC于點S,

則下列四個結論正確的是（A）

①點P在NBAC的平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；?ABRP^ACSP.

A.全部正確B.僅①和②正確

。.僅②和③正確D.僅①和③正確

3.已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°,則此等腰三角

形的頂角為50°或130。.

4.如圖所示，已知l〃m,等邊三角形ABC的頂點B在直線m上，邊BC與直線m所夾

銳角為20。，求Na的度數.

解：如題圖，過點C作CE〃直線m.Al/ZmZ/CE,AZACE=Za,ZBCE=Z

CBF=20°.在等邊三角形ABC中，ZACB=60°,AZa+ZCBF=ZACB=60°,/.Za=

40°.

5.如圖，AABC為正三角形，點M是邊BC上任意一點，點N是邊CA上任意一點，且

BM=CN,BN與AM相交于點Q,求NBQM的度數.

RM

解：:△ABC為正三角形，???NABC=NC=NBAC=60°,AB=BC在△AMB和△BNC中，

AB=BC,

V*ZABM=ZC,/.AAMB^ABNC,/.ZBAM=ZCBN,AZBQM=ZABQ+ZBAM=ZABQ

BM=CN,

+ZCBN=ZABC=60°.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，已知等邊aABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=

CD,DM±BC,垂足為M,求證：BM=EM.

A

【互動探索】要證BM=EM,由題意證△BDMgZXEDM即可.

【證明】連結BD.???在等邊aABC中，D是AC的中點，???NABC=NACB=60°,???NDBC

=|ZABC=3O°.VCE=CD,AZCDE=ZE.VZACB=ZCDE+ZE,Z.ZE=30o,AZDBC

=NE=30°.VDM±BC,:,ZDMB=ZDME=900.在△DMB和△DME中，?:

ZDMB=ZDME,

，ZDBM=ZE,/.△DMB^ADME,.\BM=EM.

.DM=DM,

【互動總結】（學生總結，老師點評）證明線段相等可以利用三角形全等得到.此外，要

明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質完全適合等邊三角形.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.等腰三角形兩底角的平分線相等，等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上

的中線相等.

2.等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60°.

練習設計

請完成本課時對應練習！

第3課時等腰三角形的判定與反證法

教學目標

一、基本目標

1.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

2.了解反證法的基本證明思路，培養學生的逆向思維能力，并能簡單應用.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握等腰三角形的判定定理.

【教學難點】

利用反證法進行證明.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材/B?P9的內容，完成下面練習.

（3加〃反饋】

1.有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡述為：等角對等邊.

2.先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相

矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法.

3.用反證法證明命題“一個三角形的三個外角中，至多有一個銳角”的第一步是假設

三角形的三個外角中，有兩個銳角.

4.如圖所示，在△力%中，ZJ=36°,AB=AC,勿是△力回的角平分線.若在邊力8

上截取BE=BC,連結龐；則圖中等腰三角形共有（D）

A

A.2個B.3個

C.4個D.5個

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，AE是NBAC的平分線,

AE與CD交于點F,求證：4CEF是等腰三角形.

【互動探索】（引發學生思考）要證ACEF是等腰三角形，結合已知條件考慮證明CE=CF

即可.

【證明】?.?在AABC中，ZACB=90°,AZB4-ZBAC=90°.;CD是AB邊上的高，:.

NACD+ZBAC=90°,:.ZB=ZACD.VAE是NBAC的平分線，:.ZBAE=ZEAC.又tZB+

ZBAE=ZAEC,ZACD+ZEAC=ZCFE,/.ZCEF=ZCFE,ACE=CF,AACEF是等腰三角

形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據，是

先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結論不一

定成立.

【例2】求證：AABC中不能有兩個鈍角.

【互動探索】（引發學生思考）用反證法證明時，假設什么？

【證明】假設AABC中能有兩個鈍角，不妨設NAV90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以NA+NB+NC>180°,

這與三角形的內角和為180°矛盾，所以假設不成立，

因此原命題正確，即AABC中不能有兩個鈍角.

【互動總結】（學生總結，老師點評）反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出

發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立.在假設結論不成立時要注意考慮結論反面的所

有可能的情況.如果只有一種，那么否定一種就可以了；如果有多種情況，則必須一一否定.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.用反證法證明命題"三角形中必有一個內角小于或等于60°"時，首先應假設這個

三角形中（C）

A.有一個內角大于60°

B.有一個內角小于60。

C.每一個內角都大于60°

D.每一個內角都小于60°

2.在等腰梯形力靦中，4ABe=24ACB,BD平■分/ABC,BC,則圖中的等腰三角

形有（D）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

3.如圖，在4X3的正方形網格中，點A、B分別在格點上，在圖中確定格點C,則以A、

B、C為頂點的等腰三角形有3個.

4.用反證法證明等腰三角形的底角必為銳角.

證明：不妨設等腰三角形aABC中，NA為頂角，則分情況證明.①設/B、NC都是直

角，則NB+NC=180°,故NA+NB+NC=180°+NA>180°,這與三角形內角和等于

180°矛盾；②設NB、ZC都是鈍角，則NB+NC>180°,故/A+NB+NC>180°,這

與三角形內角和等于180°矛盾.綜上所述，假設①②錯誤，所以NB、NC只能為銳角，即

等腰三角形的底角必為銳角.

5.如圖所示，D為AABC的邊AB的延長線上一點，過點D作DFJ_AC,垂足為點F,交

BC于點E,且BD=BE,求證：ZXABC是等腰三角形.

證明：VDF1AC,/.ZDFA=ZEFC=90°,，NA+ND=90°,ZC+Z1=9O°,AZ

A+ZD=ZC+Z1.VBD=BE,AZ2=ZD.VZ1=Z2,AZ1=ZD,AZA+ZD=ZC+

ND,/.ZA=ZC,/.AB=BC,...△ABC是等腰三角形.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在aABC中，AB=AC,點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF,

BD=CE.

（1）求證：4DEF是等腰三角形；

（2）當NA=50°時，求NDEF的度數.

【互動探索】（1）根據“等邊對等角”可得/B=NC,從而利用“邊角邊”證明4BDE

^△CEF,進而根據“全等三角形對應邊相等"可得DE=EF,即可證得結論；（2）根據“全

等三角形對應角相等”可得NBDE=NCEF,從而得到NBED+NCEF=NBED+NBDE,再利用

三角形的外角定理求出NB=NDEF,進而求出NDEF.

BD=CE,

【解答】（1）證明：VAB=AC,AZB=ZC.ffiABDE^UACEFZB=ZC,:.

_BE=CF,

△BDE^ACEF,ADE=EF,六Z^DEF是等腰三角形.

（2）VABDE^ACEF,AZBDE=NCEF,NBED+NCEF=ZBED4-ZBDE.VNB+NBDE

=NDEF+NCEF,AZB=ZDEF.VZA=50°,AB=AC,AZB=1x（180°一NA）=65°,

.,.ZDEF=65°.

【互動總結】（學生總結，老師點評）等腰三角形提供了很多相等的線段和相等的角，判

定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.

2.反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾：（3）假設不成立，則

結論成立.

練習設計

請完成本課時對應練習！

第4課時

等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質

教學目標

一、基本目標

1.理解等邊三角形的判定定理及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質及其證明，

并能利用這些定理解決一些簡單的問題.

2.經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展

抽象思維.

二、重難點目標

【教學重點】

等邊三角形判定定理的發現與證明.

【教學難點】

理解并掌握含30°角直角三角形的性質，能靈活運用其解決有關問題.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[5min閱讀】

閱讀教材n0?P12的內容，完成下面練習.

【3〃〃力反饋】

1.三個角都相等的三角形是等邊三角形：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角

形.

2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

3.等邊三角形中，兩條中線所夾的鈍角的度數為（A）

A.120°B.1300

C.150°D.160°

4.下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外

角（每個頂點處各取??個外角）都相等的三角形;④一腰.上的中線也是這條腰上的高的等腰三

角形.其中是等邊三角形的有（D）

A.??@B.①②④

C.??D.①②③?

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】已知a、b、c是aABC的三邊，且滿足關系式a?+c2=2ab+2bc—2b2,試說明

△ABC是等邊三角形.

【互動探索】（引發學生思考）證明4ABC是等邊三角形應從哪些角度考慮？（邊、角）.結

合已知條件，本題應從邊的角度考慮證明AABC是等邊三角形.

【證明】原關系式整理，得a-+c'一2ab—2bc+2b2=0,

/.a2+b'_2ab+c'_2bc+bJ=0,

（a—b）2+（b—c）2=0,

.??a——b=0且b——c=0,BPa=bKb=c,

??a=b=c,

/.△ABC是等邊三角形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）（1）幾個非負數的和為零，那么每一個非負數都等

于零；（2）有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三

角形是特殊的等腰三角形.

【例2】如圖，在放AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是斜邊AB上的高，AD=3

cm,則AB的長度是（）

C.9cmD.12cm

【互動探索】（引發學生思考：）在芯ZkABC中，TCD是斜邊AB上的高，.?.NADC=90°,

.\ZACD=ZB=30°,，在以ZXACD中，AC=2AD=6cm,在aZ\ABC中，AB=2AC=12cm.

即AB的長度是12cm.

【答案】D

【互動總結】（學生總結，老師點評）運用含30。角的直角三角形的性質求線段長時，

要分清線段所在的直角三角形.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.若三角形中，三條中線都垂直于所對的邊，則此三角形是（D）

A.等腰三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.下列說法錯誤的是（C）

A.等邊三角形是等腰三角形

B.一個外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形

C.有兩個內角不相等的三角形不是等腰三角形

D.有兩個內角分別是70°和40°的三角形是等腰三角形

3.%中,AB=AC,Z/1=ZG貝i]NQ600.

4.在△48C中，/B=NC=15。,AB=2cm,々?_L力夕交力的延長線于點〃則喜的

長度是1cm.

5.如圖所示，尸、0是△/!歐邊寬上的兩點，豆BP=PQ=QC=AP=AQ,求N劭C的度數.

BpQC

解：???陽=&=40,???△”0是等邊三角形，，//做=N/?，=NQJQ60°.???勿=陽,

:?NB=NPAB.又?：NB+NPAB=NAPQ=6。。,二N加=N*8=30°.同理，N3C=30°,

AZBAC=Z.BAP-\-ZPA（HZQAC=30°+60°+30°=120°.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在△魏中，EB=ED,點、C在BD上,CE=CD,BELCE,力是位延長線

上一點，力6=%試判斷△力比的形狀，并證明你的結論.

【互動探索】出CE=CD,EB=ED,根據“等邊對等角”及三角形外角性質，可得NCBE

出再由儲_1解根據三角形內角和定理，可得/反⑦=60°.又???力8=%從而得出

乙

△/比是等邊三角形.

【解答】△力比是等邊三角形.證明如下：

、：CE=CD,：.4CED=4D.

又?：4ECB=/CEZ/D,

：,Z.ECB=2^D.

,:BE=DE,:"CBE=/D,

:?/ECB=2/CBE,:./CBE*NECB.

■:BELCE,:"CEB=9。；

又■：ZECB+ZCBE+ZCEB=18Q。,

:./ECB+g/ECBS=189°,

???/月360°.

又??"8=優，，△加。是等邊三角形.

【互動總結】（學生總結，老師點評）（1）已知一個三角形中兩邊相等，要證明這個三角

形是等邊三角形，有兩種方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個三角形中有一個

角等于60°.（2）已知一個三角形中有一個角等于60°,要證明這個三角形是等邊三角形，

有兩種方法：①證明另外兩個角也等于60°；②證明這個三角形中有兩邊相等.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.等邊三角形的判定定理：

[三個角都相等的三角形是等邊三角形

1有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

2.含30°角的直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那

么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

練習設計

請完成本課時對應練習！

2直角三角形

第1課時直角三角形的性質與判定

教學目標

一、基本目標

1.掌握勾股定理及其逆定理，并能應用定理解決與直角三角形有關的問題.

2.結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，明確原命題成立，其逆命

題不一定成立.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.

【教學難點】

運用定理解決與直角三角形有關的問題.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

[50力?閱讀】

閱讀教材P14?P16的內容，完成下面練習.

[3加〃反饋】

（一）直角三角形的性質與判定

1.直角三角形的兩個銳角互余.反之，有兩個角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

3.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

4.下列四組線段中，能組成直角三角形的是（D）

A.a=Lb=2,c=3

B.a=2fb=3,c=4

C.a=2,b=4,c=5

D.a=3,b=4,c=5

5.如圖所示，在中，NQ90°,若b=5,c=13,則a=12；若a=8,b=6,

則c=10.

（二）命題與逆命題

1.在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么

這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

2.如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們為互逆定理.

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，在△力比'中，NACB=90：力8=13cm,%=5cn,切_1_力8于點〃求:

⑴四的長;

（2）△力比的面積；

⑶切的長.

BDA

【互動探索】（引發學生思考）觀察圖形與已知條件，利用勾股定理求力C的長，利用三

角形的面積公式計算△力宛的面積，利用等面積法求⑦的長.

【解答】（1）???在△力比'中，/ACB=9G0,49=13cm,BC=3cm,：.AC=y]A^-BCi=

12cm.

（2）S^^ASC=BCB?AC=30cm\

⑶VSA.HX=^AC?BC=^CD*AB,

AC-BC60

：.CD=AB=l3cm.

【互動總結】（學生總結，老師點評）解此類題時，一般是先利用勾股定理求出第三邊，

利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后根據面積相等得出一個方程，再解這個

方程即可.

【例2】寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題.

（1）兩直線平行，同旁內角互補；

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行；

（3）相等的角是內錯角；

（4）有一個角是60°的三角形是等邊三角形.

【互動探索】（引發學生思考）什么是逆命題？逆命題一定是真命題嗎？

【解答】（1）逆命題：同旁內角互補，兩直線平行.該逆命題是真命題.

（2）逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內）.該

逆命題是真命題.

（3）逆命題：內錯角相等.該逆命題是假命題.

（4）逆命題：等邊三角形有一個角是60°.該逆命題是真命題.

【互動總結】（學生總結，老師點評）逆命題的條件是原命題的結論，逆命題的結論是原

命題的條件.

【例3】如圖，在正方形力比〃中，AE=EB,4T加,求證：CEIEF.

AFD

0

【互動探索】（引發學生思考）觀察圖形，要證應能考慮證△。叨是直角三角形.結

合已知條件，可考慮利用勾股定理的逆定理進行證明.

【證明】如題圖，連結用設正方形的邊長為4.???四邊形ABCD為正方形，：.AB=BC

=09=〃4=4.???點“為08中點，AF=^AD,:?AE=BE=2,AF=\tDF=3,工由勾股定理，

得屋=「+22=5,￡^=22+42=20,凡2=4?+32=25.???歐+%=〃，:.叢CFE是直鳧三

角形，且/儂-90°,即比L位

【互動總結】（學生總結，老師點評）利用勾股定理的逆定理可以判斷一個三角形是否為

直角三角形，所以此定理也是判定垂直關系的一個主要方法.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.具備下列條件的△/均。中，不是直角三角形的是（D）

A.N4+N6=NC

B.N/-N8=NC

C.ZJ：/B：AC=\：2：3

D.NA=NB=3NC

2.如圖，正方形網格中有△48C,若小方格邊長為1,則△?1%的形狀為(A)

C.鈍角三角形【).以上答案都不對

3.命題“全等三角形的周長相等”的逆命題是周長相等的三角形是全等三角形.

4.如圖所示，以i?fAABC的三條邊為邊長分別向外作正方形，其面積分別為S1、S2、

S3,且Si=4,52=8,則Sa=12.

5.如圖，CD是應△ABC斜邊上的高.

(1)求證：ZACD=ZB；

⑵若AC=3,BC=4,AB=5,則求CD的長.

(1)證明：CD是a△ABC斜邊上的高，AZACB=ZADC=90°,AZA+ZACD=ZA

+NB=90°,AZACD=ZB.

(2)解：VAC=3,BC=4,AB=5,?CD='c?BC,/.CD=*B

LLAB33

活動3拓展延伸(學生對學)

【例4】如圖所示，在等腰直角三角形OAA1中，Z0AA!=90O,OA=1,以0人為直角邊

作等腰直角三角形0A也，以OA?為直角邊作等腰直角三角形OA2A3,…，則0An的長度為.

【互動探索】???△OAAi為等腰直角三角形，OA=1,???0Ai=，50A=qi??'△OA也為等腰

直角三角形，???042=4(^=2=(m)2.???△04次為等腰直角三角形，???0八3=*0八2=24=

(乖尸.〈△OAq為等腰直角三角形，???0人4=m0飽=4=(m)4,???，???0An=m()Ai=(m)n.

【答案】（乖尸

【互動總結】（學生總結，老師點評）此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及勾股定

理，熟練應用勾股定理是解題關鍵.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生總結，老師點評）

1.直角三角形的性質：（1）直角三角形的兩個銳角互余；（2）直角三角形兩條直角邊的

平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

2.直角三角形的判定

有兩個角互余的三角形是直角三角形

?如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

、那么這個三角形是直角三角形

3.逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條

件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

4.如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們為互逆定理.

練習設計

請完成本課時對應練習！

第2課時直角三角形全等的判斷

教學目標

一、基本目標

1.能夠證明直角三角形全等的“應”定理，并能利用“應”定理解決實際問題.

2.進一步掌握推理證明的方法，提升演繹推理能力和思維能力.

二、重難點目標

【教學重點】

直角三角形全等的判定方法.

【教學難點】

直角三角形全等的判定的應用.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

（5min閱讀】

閱讀教材n8?P20的內容，完成下面練習.

[3加〃反饋】

1.證明三角形全等的方法有：AAS、ASA、SAS、SSS.

2.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理可以簡述為“斜邊、

直角邊”或“HL”.

3.如圖，ABAD=ABCD=W,AB=CB,可以證明△物作△的的理由是（A）

A.HLB.ASA

C.SASD.AAS

4.下列條件中能判定兩個直角三角形全等的有（D）

①有兩條直角邊對應相等；②有兩個銳角對應相等；③有斜邊和一條直角邊對應相等;

④有一條直角邊和一個銳角對應相等；⑤有斜邊和一個銳角對應相等；⑥有兩條邊相等.

A.6個B.5個

C.4個D.3個

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，已知NA=/D=90°,E、F在線段BC上，DE與AF交于點0,且AB=

CD,BE=CF.求證：行△ABFgAYADCE.

【互動探索】（引發學生思考）證明三角形全等的方法有哪些？已知兩邊對應相等可以尋

找哪些條件證明三角形全等？

【證明】?；BE=CF,；.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.丁NA=ND=90°,.?.△人8尸與4

BF=CE,

DCE都為直角三角形.在7?fAABF和??fADCE中，:，應AABF絲應△DCE（/〃）.

[AB=CD,

【互動總結】（學生總結，老師點評）利用“比”判定三角形全等，首先要判定這兩個三

角形是直角三角形，然后找出對應的斜邊和直角邊相等即可.

【例2】如圖，已知AD、AF分別是兩個鈍角AABC和4ABE的高，若AD=AF,AC=AE.

求證：BC=BE.

【互動探索】（引發學生思考）從圖中可以知道，要證BC=BE,可以從三角形全等入手.觀

察圖形判斷7?fAADC和/?tAAFE全等嗎？/?tAABD和/?fAABF呢？

【證明】；AD、AF分別是兩個鈍角AABC和4ABE的高，??.ND=/F=90°.在aZ\ADC

AC=AE,

和欣ZXAFE中，；，心△ADCg欣Z\AFE（比），???CD=EF.在^AABD和欣ZXABF

AD=AF,

[AB=AB,

中,Vj/.^△ABD^^AABF（^）,ABD=BF,ABD-CD=BF-EF,BPBC=BE.

AD=AF,

【互動總結】（學生總結，老師點評）證明線段相等可通過證明三角形全等解決.直角三

角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

活動2鞏固練習（學生獨學）

1.下列條件中能說明兩個直角三角形全等的是（D）

A.銳角分別相等

B.一條直角邊分別相等

C.斜邊分別相等

D.兩直角邊分別相等

2.如圖所示，AB//EF//DC,/力比、=90。，AB=DC,那么圖中共有全等三角形（C）

3.在以ZkABC和服Z\DEF中，AB=DE,ZA=ZD=90°,再補充一個條件BC=EF（答

案不唯一），便可得放ZXABCg應2XDEF.

4.如圖，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,EF過點C,BE_LEF于點E,DF_LEF于點F,

BE=DF.求證：a△BCEga/XDCF.

證明：連結BD.???AB=AD,/.ZABD=ZADB.VZABC=ZADC=90°,AZCBD=ZCDB,

BC=DC,

ABC=DC.VBE±EF,DF±EF,/.ZE=ZF=9O0.在7?fABCE和^ADCF中，,乂

BE=DF,

A^ABCE>?fADCF（//L）.

活動3拓展延伸（學生對學）

【例3】如圖，在欣ZXABC中，NC=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.點P、Q分別在

線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A、C重合，那么當點P運動

到什么位置時，才能使aABC與△APQ全等？

【互動探索】本題要分情況討論：（□/△APQg??〃\CBA,此時AP=BC=10,可據此求

出點P的位置；（2）應ZXQAPg應Z\BCA,此時AP=AC,P、C重合，不合題意.

【解答】分情況討論：⑴當點P運動到AP=BC時，在放AABC和服4QPA中，ZC=

ZQAP=90°,BC=AP,AB=PQ,，/ZXABC也以4QPA（血），即AP=BC=10；（2）當點P運

動到與點C重合時，AP=AC,不合題意.綜上所述，當點P運動到距離點A為10時，4ABC

與4APQ全等.

【互動總結】（學生總結，老師點評）判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于

本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解.

環節3課堂小結，當堂達標

（學生息結，老師點評）

直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個宜角三角形全等.這一

定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”.

練習設計

請完成本課時對應練習！

3線段的垂直平分線

第1課時線段的垂直平分線

教學目標

一、基本目標

1.掌握線段的垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些問題.

2.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明能力，豐富對幾何圖形

的認識.

二、重難點目標

【教學重點】

掌握線段垂直平分線的性質定理及判定定理.

【教學難點】

證明線段的垂直平分線的性質定理及判定定理.

教學過程

環節1自學提綱，生成問題

（5min閱讀】

閱讀教材？2?P23的內容，完成下面練習.

[3加〃反饋】

1.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

2.到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.如圖所示，已知直線1W是線段力8的垂直平分線，垂足為〃，點尸是腑,上一點，若

45=10cm,則占9=5cm；若處=10cm,則加=10cm.

M

P

\DB

N

環節2合作探究，解決問題

活動1小組討論（師生互學）

【例1】如圖，在△力比'中，48=4C=20cm,應垂直平分力8,垂足為￡,交AC于點、D,

若△胸的周長為35cm,則用的長為（）

A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm

【互動探索】（引發學生思考）ZWBC的周長等于哪些線段的和？利用線段的垂直平分線

的性質可?以將4DBC的周長轉化為哪些線段的和（差）關系？

【分析】由題意可知，ADBC的周長=BC+BD+CD=35cm.丁DE垂直平分AB,二AD=

BD,.\BC+AD+CD=35cm,XVAC=AD+DC=20cm,/.BC=35-20=15（efl7）.

【答案】C

【互動總結】（學生總結，老師點評）利用線段垂直平分線的性質，可以實現線段之間的

相互轉化，從而求出未知線段的長.

【例2】