第一章特殊平行四邊形

1.菱形的性質與判定（一）

教學目標：

經歷從現實生活中抽象出圖形的過程，了解菱形的概念及其與平行四邊形

的關系；

體會菱形的軸對稱性，經歷利用折紙等活動探索菱形性質的過程，發展合

情推理能力；

在證明性質和運用性質解決問題的過程中進一步發展學生的邏輯推理能力

教學過程：

本節課設計了六個教學環節：第一環節：課前準備；第二環節：設置情

境，提出課題；第三環節：猜想、探究與證明；第四環節：性質應用與

鞏固；第五環節：課堂小結；第六環節：布置作業。

第一環節課前準備

1、教師在課前布置學生復習平行四邊形的性質，搜集菱形的相關圖

片。

2、教師準備菱形紙片，上課前發給學生上課時使用。

第二環節設置情境，提出課題

【教學內容】

B

A

V

會

學生：觀察衣服、衣帽架和窗戶等實物圖片。

教師：同學們，在觀察圖片后，你能從中發現你熟悉的圖形嗎？你認

為它們有什么樣的共同特征呢？

學生1:圖片中有八年級學過的平行四邊形。教師：請同學們觀察，

彩圖中的平行四邊形與ABCD相比較，還有不同點嗎？

學生2：彩圖中的平行四邊形不僅對邊相等，而且任意兩條鄰邊也相

等。

教師：同學們觀察的很仔細，像這樣，“一組鄰邊相等的平行四邊形

叫做菱形”。

【教學目的】

通過這個環節，培養了學生的觀察和對比分析能力。上課時讓學生觀

察圖形，從直觀上把握菱形的特點，從而給出菱形的定義，讓學生明確菱

形不但是平行四邊形，而且有其特點“一組鄰邊相等”。同時，要讓學生

體會數學來源于生活，讓學生去發現生活中因為有了數學而變得更精彩，

從而提高學生學習數學的興趣。

【注意事項】

學生在通過觀察對比得到菱形定義的過程中，會提出菱形的許多

性質，如四條邊相等、對角相等和對邊平行等等，教師要對學生的答案進

行積極的有鼓勵性的評價，激發學生的學習積極性，同時又要強調菱形不

僅是平行四邊形，而且有其自身特點“一組鄰邊相等”，這樣強化了菱形

的定義，又為下面的教學內容做好了鋪墊。

第三環節猜想、探究與證明

【教學內容】

1、想一想

①教師：菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性

質。你能列舉一些這樣的性質嗎？

學生：菱形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分。

②教師：同學們，你認為菱形還具有哪些特殊的性質？請你與同伴交

流。

學生活動：分小組討論菱形的性質，組長組織組員討論，讓盡

可能多的組員發言，并匯總結果。

教師活動：教師巡視，并參與到學生的討論中，啟發同學們類

比平行四邊形，從圖形的邊、角和對角線三個方面探討菱形的性質。對學

生的結論，教師要及時評價，積極引導，激勵學生。

2、做一做

教師：請同學們用菱形紙片折一折，回答下列問題：

(1)菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間

有什么位置關系？

(2)菱形中有哪些相等的線段？

學生活動：分小組折紙探索教師的問題答案。組長組織，并匯總結

果。

教師活動：教師巡視并參與學生活動，引導學生分析怎樣折紙才能得

到正確的結論。學生研討完畢，教師要展示匯總學生的折紙方法以及相應

的結論，以便于后面的教學。

師生結論：①菱形是周對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱形對角線所在

的直線，兩條對角線互相垂直。②菱形的四條邊相等。

3、證明菱形性質

教師：通過折紙活動，同學們已經對菱形的性質有了初步的理解，下

面我們要對菱形的性質進行嚴格的邏輯證明。

教師活動：展示題目

已知：如圖1T,在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點0.

求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACXBD.

師生共析：①菱形不僅對邊相等，而且鄰邊相等，這樣就

可以證明菱形的四條邊都相等了。

②因為菱形是平行四邊形，所以點0是對角線AC與BD中

點；又因為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利

用“三線合一”來證明結論了。

學生活動：寫出證明過程，進行組內交流對比，優化證明方法，掌握

相關定理。

證明：（1）?.?四邊形ABCD是菱形，

.,.AB=CD,AD=BC（菱形的對邊相等）.

又?AB=AD

.*.AB=BC=CD=AD

（2）VAB=AD

...△ABD是等腰三角形

又?.?四邊形ABCD是菱形

...OB=OD（菱形的對角線互相平分）

在等腰三角形ABD中，

OB=OD

/.AOXBD

即AC1BD

教師活動：展示學生的證明過程，進行恰當的點評和鼓勵，優化學生

的證明方法，提高學生的邏輯證明能力，最后強調“菱形的四條邊都相

等”“菱形的對角線互相垂直”，讓學生形成牢固記憶，留下深刻印象。

【教學目的】

學生通過折紙可以猜想到菱形的相關性質，教師在參與學生的活

動過程中，應該關注學生的口述論證過程，并根據學生的認知水平加以引

導，盡量減少學生推理論證過程中的困難。

學生經過了折紙這一操作活動后，再經過邏輯證明，把操作層面的感

知上升到了理性認識，充分了解了菱形的本質特征。本環節讓學生進行猜

想探究和證明，符合學生的認知規律。同時，操作活動得到的結論與邏輯

推理相結合，是對數學知識進行探索活動的自然延續，實現了從感性認識

到理性認識的升華。

【注意事項】

在折紙過程中，教師要與學生探討折紙的方法，明確折疊過程中的對

應點及相應的對稱軸，對稱軸是菱形對角線所在的直線，而不是菱形的對

角線，以便于學生正確迅速找出菱形中的對稱關系。掌握數學知識，離不

開“實踐f認識一再實踐f認識”這個重要的數學學習方法，通過說理論

證可以使學生充分理解菱形的本質，對這樣的過程學生也可以很好的掌

握，在這個過程中，教師要充分關注學生使用幾何語言的規范性和嚴謹

性。

第四環節性質應用與鞏固

【教學內容】

教師：通過剛才的嚴格論證，我們已經認識了菱形的特殊性質，下面

我們利用這些性質來解決一些問題。

教師活動：展示題目

1、例1如圖1-2,在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,

NBAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長。

師生共析：①因為菱形的鄰邊相等，一個內角是60。，這樣就可以得到等

邊△ABD,BD=6,菱形的邊長也是6。

②菱形的對角線互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的對角線互相平

分，可以得到0B=3,根據勾股定理就可以求出0A的長度；再一次根據菱

形的對角線互相平分，即AC=2OA,求出ACo

解：：四邊形ABCD是菱

形

，AB=AD（菱形的四條邊都相

等）ACXBD

（菱形的對角線互相垂直）

OB=OD=-BD=X6=3（菱形的對角線互相平分）

22

在等腰三角形ABC

中，

VZBAD=60°

AABD是等邊三角

形

.*.AB=BD=6

在RtZ\A0B中,由勾股定理，得0A2+0B?=AB2

OA=YAB'-OB'==班

AC=20A=6y/3

2、隨堂練習

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0.

已知AB=5cm,A0=4cm求BD的長.

師生共析：從圖中可以知道AC與BD互相垂直，可以構成直角AAOB,

因為AB=5cm,A0=4cm,這樣就可以運用勾股定理求出0B；又因為菱形的

對角線互相平分，BD為0B的兩倍，這樣就可以很方便的求出BD的數值

了。

解：：四邊形ABCD是菱形

.,.AC1BD（菱形的對角線互相垂

直）

在Rtz\AOB中，由勾股定理，得

999

AO+B0=AB

?'BO=JAB--=Vs*—4*=3

四邊形ABCD是菱形

；.BD=2BO=2X3=6（菱形的對角線互相平

分）

所以，BD的長是

6cm.

【教學目的】

學生通過本環節的學習，進一步理解和掌握了菱形的性質，對前

面所學知識進行了更加深入的認識，同時提高了學生的邏輯推理能力，培

養了學生的主動探索能力，激發了學生學習的興趣。

【注意事項】

在此活動中，教師應重點關注以下方面：（1）學生是否提出了不同

的解題方法，這種方法的優點和缺點分別是什么；（2）學生的幾何語言

是否準確、規范、嚴謹；（3）給學生充分的獨立思考時間和交流時間，

讓學生在合作交流的過程中完成題目，理解所學的知識。

第五環節課堂小結

【教學內容】

本節課我們探討了菱形的定義、性質，我們來共同總結一下：

1、菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2、菱形的性質：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的

直線；②菱形的四條邊都相等；③菱形的對角線互相垂直平分。

3、菱形具有平行四邊形的所有，應用菱形的性質可以進行計算和推

理。

【教學目的】

教師鼓勵學生交流課堂實踐的經歷、感受和收獲；培養學生的歸納能

力，使學生形成完整的知識結構，培養學生的自我評價能力、反思意識及

總結能力。

【注意事項】

學生們暢所欲言自己的收獲，老師對學生的回答給予充分的肯定和鼓

勵，及時引導學生歸納總結本節的知識。

第六環節布置作業：

課本習題1.1知識技能1、2、3數學理解4

1.菱形的性質與判定（二）

1.知識目標:

理解菱形的判別條件及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的

問題。

2.能力目標：

(1)經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初

步的符號感，發展抽象思維.

(2)經歷實際操作，探索菱形判定定理的證明過程，發展合情推理能

力和初步的演繹推理的能力；

(3)在具體問題的證明過程中，有意識地滲透實驗論證、逆向思維的

思想，提高學生的能力。

3.情感與價值觀要求

(1)積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲.

(2)通過“實驗一猜想一證明一應用"的數學活動提升科學素養.

4.教學重點

(1)菱形判定定理的證明.

(2)菱形判定定理的應用.

5.教學難點

學生獨立完成證明的過程，增強學生對待科學的嚴謹治學態度。

教學過程分析

本節課設計了六個環節：第一環節，課前準備；第二環節，溫故知

新；第三環節，展示交流，引導探究；第四環節，獨立證明，交流提高；

第五環節，實際應用，練習鞏固；第六環節，課堂小節，回顧思考；第七

環節，作業布置。

第一環節：課前準備

活動內容：制作菱形

(1)在一張紙上用尺規作圖做出邊長為10cm的菱形；

(2)想辦法用一張長方形紙剪折出一個菱形.

(3)利用長方形紙你還能想到哪些制作菱形的方法.

活動目的：通過制作棱形的過程學生可以體會菱形的判定條件，從而

為課堂上的探究，尤其是理論證明做鋪墊。同時以這種比較有趣的形式對

這部分知識進行自主預習，激發學生對本節知識的學習興趣，激發學生的

積極性和主動性。

活動的注意事項：

（1）長方形紙片（也可以用三角形紙片，詳見“拓展資源”文

件夾中的相關內容.）；

（2）記錄制作過程以備在課堂上演示講解；

（3）方法越多越好.

第二環節：溫故知新

活動內容：通過練習復習上節課探究過的菱形的性質

活動目的：通過課件中的問題回顧上節課探究過的菱形的性質定理，

從而為本節課課堂上的探究，尤其是理論證明做鋪墊。同時以這種比較有

趣的形式對這部分知識進行自主預習，激發學生對本節知識的學習興趣，

激發學生的積極性和主動性。

活動的注意事項：

鼓勵學生主動講解、相互補充完成本部分內容.

第三環節：展示交流，引導探究.

活動內容：利用實物投影或者課件，請學生說明自己制作的菱形的過

程，教師從中抓住“對角線垂直的平行四邊形是菱形”、“四條邊相等的

四邊形是菱形（菱形的尺規作圖）”和“利用長方形紙剪折菱形”等的實例

資源，引導學生認識到理論證明的必要性，并引導學生思考菱形的判定與

菱形的性質之間的關系。

用實物投影、課件、板書等方式羅列發現的學生資源：

（1）對角線垂直的平行四邊形是棱形

（2）四條邊相等的四邊形是菱形請學生交流大體思路

（3）菱形的尺規作圖

（4）利用長方形紙剪折菱形

活動目的：菱形的性質學生剛剛學完，也經過了嚴格的證明，學生對

問題證明的分析和格式要求有一定的認知，教師引導學生認識判定定理與

性質定理是互逆定理后，可以讓學生獨立思考，逐步鍛煉學生的推理論證

能力，最后通過互查的形式讓每個學生都能嚴格的證明，培養嚴謹的作

風。通過小組合作，在合作中讓學生相互幫助共同進步。

活動注意事項：

（1）在學生的展示過程中教師要能及時撲捉學生資源；

（2）展示交流時，應當鼓勵學生提出自己的意見，鼓勵學生多提“為

什么”，鼓勵學生質疑，從而使學生認識到證明的必要性。

（3）如果學生資源不足，教師可以運用課件展示教材上的課例。

第四環節：教師引導，獨立證明

活動內容：組織學生以小組合作的方式獨立完成“對角線垂直的平行

四邊形是菱形”和

“四條邊相等的四邊形是菱形”兩個判定定理的證明，并進行全班交流。

（一）對角線垂直的平行四邊形是菱形

已知：如圖1-3,在0ABCD中，對角線AC與BD交于點0,ACXBD.

求證：C7ABCD是菱形

證明：四邊形ABCD是平行四邊形

/.0A=0C

XVACXBD

；.BD是線段AC的垂直平分線

，BA=BC

...四邊形ABCD是菱形（菱形定義）

（二）四條邊相等的四邊形是菱形

已知：如圖1-5,四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA.

求證：四邊形ABCD是菱形

證明：,.,AB=CD,AD=BC

...四邊形ABCD是平行四邊形

又：AB=BC

...四邊形ABCD是菱形（菱形定義）

活動目的：菱形判定定理的證明首先可以讓學生對菱形的性質和判定

的關系有一定的認識，再對比性質定理的證明進行，同時，通過教師引導

和獨立思考，培養學生遇到題目時冷靜思考，找到解題思路的良好習慣。

在分析思路時，逐步鍛煉學生的推理論證能力，最后通過互查的形式讓每

個學生都能嚴格的證明，培養嚴謹的作風。通過小組合作，在合作中讓學

生相互幫助共同進步。

活動注意事項：

可以通過分組的形式，讓學生選擇自己要證明的判定定理，加入那個

小組，每個小組去證明一個定理，這樣不僅有利于學生的合作交流，同時

還能合理安排課堂時間，讓學生把精力投入到對思想方法的研究上去；同

時，采取小組合作時，應當鼓勵學生提出自己的意見，鼓勵發現更多的方

法來證明這些定理，在小組討論形成結果的時候，由代表為其他同學進行

講解，并把自己組所有想到的方法向大家展示。此時，教師應該關注學生

的思路是否清晰、證明是否嚴謹，對學有余力的學生要關注他們是否有新

的想法，對學困生則要關注他們是否掌握了基本的證明思路。

第五環節：實際應用，練習鞏固

活動內容：小組合作完成教材中的兩個習題

1.教材P7隨堂練習

畫一個菱形，使它的兩條對角線長分別是4cm、6cm.

2.教材P8知識技能1

已知：如圖，在。ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD、AC、BC

相較于點E、0、F.

求證：四邊形AECF是菱形

活動目的：運用剛剛證明的兩個判定定理解決問題，進一步發展學生

的推理能力，同時，通過對教材P7隨堂練習的解決，讓學生找尋不同的解

題方法，培養學生的分析能力，深刻體會數學思想的多樣性和靈活性。在

一題多解的過程中，貫徹分層教學的理念，讓學生在思維最活躍的時候，

最大化地提高學生能力。

活動注意事項：

（1）在小組合作過程中教師要能及時發現學生資源，及時點明共性的

問題；

（2）鼓勵學生提出自己的意見，采用不同的思路解決問題，并能運用

本節課的知識解釋其中的道理。

（3）強調證明過程書寫的規范性;

（4）教材P8知識技能1

此題完成證明過程后，應當點明可以采用類似方法用長方形紙制作菱

形，與第一環節呼應起來。

第六環節：課堂小結

活動內容：學生互相交流菱形的性質與判定定理，何時該選用性質定

理，何時選擇判定定理，菱形與平行四邊形的關系，遇到菱形實際題目時

如何分析思路，以及遇到困難時如何克服等。

活動目的：鼓勵學生結合前面的準備活動暢所欲言自己的感受和收

獲，讓學生在不知不覺中提高自己的推理論證能力，并且對于研究科學需

要嚴謹的作風這一點有深刻的認識。

活動注意事項：鼓勵學生互相補充，暢所欲言，不要由老師替學生總

結，特別要關注一些在數學學習中有困難的學生，要通過這個環節來給他

們樹立信心，同時幫助他們發現困難以便今后更好的解決困難。

第六環節：作業布置

1.教材P8知識技能2

此題要求有能力的同學分別運用本節課學習的菱形的兩條判定定理

進行證明.

2.教材P8數學理解3

1.菱形的性質與判定（三）

1.知識與技能目標

能靈活運用菱形的性質定理及判定定理解決一些相關問題，并掌握菱

形面積的求法。

2.過程與方法目標

經歷菱形性質定理及判定定理的應用過程，體會數形結合、轉化等思

想方法。

3.情感與態度目標

在學習過程中感受數學與生活的聯系，增強學生的數學應用意識；在

學習過程中通過小組合作交流，培養學生的合作交流能力與數學表達能

力。

教學過程分析

本節課設計了六個教學環節：第一環節：知識回顧；第二環節：知識

應用；第三環節：拓展提高；第四環節：效果檢測；第五環節：課堂小

結；第六環節：因人作業。

第一環節：知識回顧

內容：同學們通過前兩節課的學習我們已經知道了菱形的性質及判

定，你能完成下面幾個題目嗎？

1.如圖1所示：在菱形ABCD中，AB=6,請回答下列問題：

圖

(1)其余三條邊AD、DC,BC的長度分別是多少？

(2)對角線AC與BD有什么位置關系？

(3)若NADC=120°,求AC的長。

2.如圖2所示：在。ABCD中添加一個條件使其成為菱形:

添加方式

1:

添加方式

2：____________________________________________________________

目的：通過一些簡單題目的設計，幫助學生回顧菱形的相關性質及判

定方法，學生從題目入手，不會顯得那么古板枯燥，不僅能回顧相關知識

而且能激發學生學習興趣。

效果：學生通過題目很好地回顧了相關知識，為后續的學習打下了基

礎。

第二環節：知識應用

1.典型例題：

例3如圖3,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長為

10cm.求：

(1)對角線AC的長度；

(2)菱形ABCD的面積.

解:⑴???四邊形ABCD是菱形,

/.AC±BD,BPZAED=90°,

DE=BDX10=5(cm)

...在Rt^ADE中，由勾股定理可得:

JE=^AD2-DE2=g-52=1%7孫

.?.AC=2AE=2X12=24(cm).

(2)S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2XSAABD=2XXBDXAE

o

=BDXAE=10X12=120(cm).

目的：通過例3讓學生對菱形的相關性質進行靈活應用，同時學生對

于具體的問題通過自主思考、小組交流、學生展講、教師點撥后基本能形

成比較好的解題思路。

效果：學生對于第一個問題的解決比較容易，但是學生的書寫過程不

規范；對于第二個問題，學生很容易求一邊上的高，經過討論交流點撥后

學生能接受這種方法。在實際過程中教師應追問學生菱形的面積和對角線

有什么關系，引起學生的思考，進而突破這一教學難點。

2.變式訓練：如上圖3,四邊形ABCD是菱形，其中對角線BD長為

12cm,AC長為16cm.求：

(1)菱形的邊長；

(2)求菱形一條邊上的高。

目的：變式訓練的設計，是想讓學生更加深入地掌握菱形的相關性

質，同時對于第二問，學生必須靈活運用菱形的面積等于對角線乘積的一

半，這一結論求出面積進而求出一邊上的高。

效果：學生對于第一個問題解決比較順暢，書寫較例3規范多了，但

對于第二問仍然有疑問，教學時注意引導。

3.方法啟迪：

同學們在我們剛才完成的例題及變式訓練中你有什么方法感悟或者經

驗？

目的：學生完成典型例題后及時總結經驗是幫助學生形成解題思路的

好辦法，教師借助這一環節既幫助學生梳理了思路，同時對于學習還有困

難的學生是一個好的學習機會。

效果：學生對解決菱形性質類題目有了自己的思路，同時在例題和變

式訓練中有問題的同學通過思路的梳理與解析，也基本能掌握解題的方

法。

4.知者加速與補讀幫困：

知者加速1：已知菱形的周長為40cm,一條對角線長為16cm,則這個菱形

的面積是cm".

目的：對于數學學科的學習，大多數數學老師我想都有這樣的感受，

無論是新授課還是復習課，學生掌握知識的差異太大了，為了不讓掌握較

快的同學（我們稱為“知者”）在陪讀中浪費大量的時間，自然分材教學

主張這部分同學能夠先行一步，課堂上能盡可能多的掌握知識（我們稱為

“加速”）o

正是因為數學每一節課的知識點都比較集中，數學課堂上對于學困生

的幫助才比較容易操作。教師在面向全體學生實施教學后，對掌握較慢接

受能力較差的同學（我們稱為“補讀生”）應及時幫困。

效果：知者加速的操作主要是從熟練掌握知識點和拓寬學生知識面兩

個方面來進行的?！爸摺睂W完新授知識以后，最主要的任務還是熟練掌

握知識點，此時教師應可以通過典型例題的反復練習提高學生對于知識點

熟練程度為后面的靈活運用打好基礎。當“知者”已經掌握知識點以后，

教師就應該及時通過變式訓練或增加難度，拓寬學生的知識面，提高學習

興趣。

通過補讀幫困讓學習有困難的這部分同學能夠在數學課上盡可能地掌

握知識，以樹立學習數學的信心。

第三環節：拓展提高

1.如圖4,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分ABCD是菱形

嗎？為什么？

圖M

2.如圖5,你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使NA成

為菱形一個內角嗎？

目的：很多學生在玩耍的時候經常玩紙條，學生非常熟悉這一背景，

但是他們很少發現其中的數學知識，這樣也能引起學生的興趣，同時通過

這一題目對于菱形的相關判定方法也進行了鞏固。

效果：學生學習的興致非常高，討論積極，通過學生討論、教師點撥

后對問題基本理解。

第四環節：效果檢測

1.如圖6所示，菱形ABCD的周長為40cm,它的一條對角線BD長

10cm,貝！J

NABC=0,AC=cm.

2.如圖7,四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點0,

AC=4cm,BD=8cm,則這個菱形的面積是cm.

3.已知，如圖8,在四邊形ABCD中，AD=BC,點E、F、G、H分別是

AB、CD、AC、BD的中點，四邊形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

4.已知：如圖9,在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點,

且BE=BF,

求證：(l)AADE^CDF；(2)NDEF=NDFE.

圖S

知者加速2：已知：如圖10,在Rt^ABC=90°,NBAC=60°,BC的

垂直平分線分別交BC和AB于點D、E,點F在DE延長線上，且AF=CE,求

證：四邊形ACEF是菱形.

第五環節：課堂小結

內容：通過本節課的學習你有哪些收獲，你還存在什么疑問？請從以

下三個方面進行總結：知識收獲、方法收獲、關注問題。總結完成后請小

組內進行交流。最后教師應對本節課方法上，解題思路上進行升華點撥。

目的：學生能從以上三個方面對本節課進行總結、反思，能起到鞏固

所學知識，歸納學習方法，提高學生的歸納概括能力的作用。

效果：學生從以上三個方面進行了系統的總結與反思，同時通過小組

交流暢所欲言，既回顧了知識又幫助了同學。

第六環節：因人作業

必做題：課本P27知識技能第3題，第4題，第8題；選做題：如圖

11,在四邊形ABCD中，AD〃BC,E為BC的中點，BC=2AD,EA=ED=2,

AC與ED相交于點F.當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱

形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積.

圖山

目的：教師根據學生掌握水平的不同把作業分為必做題和選做題，必

做題是學生必須掌握的題目，對于鞏固本節課的基礎知識能起到較好的作

用，選做題是對于學有余力的學生準備的，讓他們在掌握基礎的同時向更

高的目標邁進。

2.矩形的性質與判定（一）

1.知識與技能：

（1）掌握矩形的的定義，理解矩形與平行四邊形的關系。

（2）理解并掌握矩形的性質定理;會用矩形的性質定理進行推導證明；

(3)會初步運用矩形的定義、性質來解決有關問題，進一步培養學生的分

析能力.

2.過程與方法：

(1)經歷探索矩形的概念和性質的過程，發展學生合情推理的意識；

(2)通過靈活運用矩形的性質解決有關問題，掌握幾何思維方法，并滲

透運動聯系、從量變到質變的觀點.

3.情感態度與價值觀：

(1)在觀察、測量、猜想、歸納、推理的過程中，體驗數學活動充滿探索

性和創造性，感受證明的必要性，培養嚴謹的推理能力，體會邏輯推理的

思維價值。

(2)通過小組合作展示活動，培養學生的合作精神和學習自信心。

(3)從矩形與平行四邊形的區別與聯系中，體會特殊與一般的關系，滲透

集合的思想。

教學過程分析

本節課設計了七個教學環節：第一環節：創設情景，導入新課；第二

環節：分組討論、探求新知；第三環節：層層遞進，推理驗證；第四環

節：乘勝追擊，完善性質；第五環節：建構新知，發展問題；第六環節：

合作交流，解決問題；第七環節：反思交流，反饋提高。

第一環節：創設情景，導入新課

活動內容：1、平行四邊形具有哪些性質？

2、探究矩形的定義。

利用一個活動的平行四邊形教具演示，使平行四邊形的一個內角變

化，讓學生注意觀察。在演示過程中讓學生思考：

(1)在運動過程中四邊形還是平行四邊形嗎？

(2)在運動過程中四邊形不變的是什么？

(3)在運動過程中四邊形改變的是什么？

不變：對邊仍保持相等，對邊仍分別平行，所以仍然是平行四邊形

變：角的大小

（4）角的大小改變過程中有特殊值嗎？這時的平行四邊形是什么圖形。

（矩形）

矩形的定義：有一個內角是直角的平行四邊形是矩形

活動目的：從學生的已有的知識出發，通過教具演示，讓學生經歷了矩形

概念的探究過程，自然而然地形成矩形的概念

活動的注意事項：讓學生觀察從平行四邊形到矩形的變化過程，事

實上是在學生已有的平行四邊形相關認知的基礎上建構，讓他們認識到矩

形是平行四邊形，但卻是角度特殊的平行四邊形。從而自然得到矩形定義

需滿足兩個條件。（1）平行四邊形，（2）有一個角是直角。定義是本節

的關鍵點，因此觀察過程不能省略。

第二環節：分組討論，探究新知

活動內容：1.既然矩形是平行四邊形，那么它具有平行四邊形的哪些性

質？

在同學回答的基礎上進行歸納：

性質

邊角對角線對稱性

類別

對邊平行中心對稱

矩形對角相等對角線互相平分

且相等圖形

2.但矩形是特殊的平行四邊形，它還具有一些特殊性質。下面我們

來進一步研究矩形的其他性質。

（1）請同學們以小組為單位，測量身邊的矩形（如書本，課桌，鉛筆盒

等）的四條邊長度、四個角度數和對角線的長度及夾角度數，并記錄測量

結果；

（2）根據測量的結果，猜想結論。當矩形的大小不斷變化時，發現的結

論是否仍然成立？

（3）通過測量、觀察和討論，你能得到矩形的特殊性質嗎？

教師在學生口答的基礎上，引導學生得出（板書）：

矩形的性質定理1：矩形的四個角都是直角.

矩形的性質定理2：矩形的對角線相等.

活動目的：讓學生分組探索。教師可引導學生，根據研究平行四邊形獲得

的經驗，分別從邊、角、對角線三個方面探索矩形的特性，還可提醒學

生，這種探索的基礎是矩形“有一個角是直角”，學生通過動手測量，動

腦思考，動口討論，自主發現矩形的性質。

活動的注意事項：學生通過對比平行四邊形的性質及觀察從平行四邊

形到矩形的變化的過程，再通過測量、觀察和討論，從邊、角、對角線三

方面不難發現矩形的性質。學生自己討論得出的結論會更讓他們樂于接

受，而方法也在此過程中滲透給了學生。因此，教師不要覺得內容比較簡

單，就越俎代庖，應該給學生留出足夠的活動時間。

第三環節：層層遞進，推理論證

活動內容：提問：怎樣證明你的猜想？

（教師寫出定理1、2的已知、求證，請同學分析思路寫出證明過程）

訂正完畢后，請同學說出性質的推理形式，教師板書。

已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，NABC=90°對角線AC與DB相交于點

Oo

An

求證：(1)NABC=NBCD=NCDA=NDAB=90°

(2)AC=BD

活動目的：根據新課標的精神，不僅要發展學生的合情推理能力，還要發

展學生的演繹推理能力。在上一環節觀察，測量，猜測的基礎上，學生較

易得出結論。但結論是否真的正確，必須經過嚴謹的證明。該環節旨在訓

練學生規范寫出推理過程。

活動的注意事項：特殊四邊形這一部分，可以很好地發展學生的邏輯

推理能力。既然該環節旨在訓練學生規范寫出推理過程。那么在活動過程

中，就一定要先讓學生獨立完成，并挑兩名學生板演，然后教師點評，最

后教師規范的寫出推理過程，才可以達到訓練的效果。

第四環節：乘勝追擊，完善性質

活動內容：問題1：請同學們拿出準備好的矩形紙片，折一折，觀察并思

考。

①矩形是不是中心對稱圖形？如果是，那么對稱中心是什么？

②矩形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？

結論：矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。

問題2：請你總結一下矩形有哪些性質？

歸納概括矩形的性質：

從邊來說，矩形的對邊平行且相等；

從角來說，矩形的四個角都是直角；

從對角線來說，矩形的對角線相等且互相平分；

從對稱性來說，矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

問題3：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（)

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相

平分

活動目的：在前面學習了菱形的基礎上學生已經知道怎么研究圖形的對稱

性，在知道方法的條件下，學生完全可以通過自己的操作、觀察、猜想，

最終得到矩形的對稱特征，這對學生來說是富有意義的活動，學生對此也

很感興趣。

活動的注意事項：在學習了矩形的性質后，一定要引導學生歸納總

結，把新學到的知識和自己的已有知識經驗穿成串，從而讓自己的認識升

華，形成自己的知識系統。

第五環節：建構新知，發展問題

活動內容：（1）提出問題：由矩形的四個角都是直角可得幾個直角三角

形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一條特殊線段嗎？你能發現它有

什么特殊的性質嗎？你能借助于矩形加以證明嗎？

（2）教師板書推論及推理語言：

定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

（3）練一練

已知AABC是RtA,ZABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.

⑴若BD=3cm,貝AC=cm;

（2）若NC=30°,AB=5cm,則AC=cm,BD=cm.

活動目的：先從矩形的對角線相關性質推出直角三角形的性質，達到“學

數學，用數學”的目的。再通過習題，讓學生掌握“在直角三角形中斜

邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質，達到學以致用的目的，培養了學

生的應用意識。

活動的注意事項：“在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一

半”，是直角三角形中的一個重要性質。在活動過程，一定要讓學生理解

該定理的應用需滿足兩個條件：（1）直角三角形（2）斜邊的中點。

第六環節：合作交流，解決問題

活動內容：例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點0,

NA0D=120°,AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

證明：?.?四邊形ABCD是矩形,

AC=BD（矩形的對角線相等）

0A=0C=2AC,0B=0D=2BD,

/.0A=0Do

VZA0D=120°,

AZ0DA=Z0AD=2(180°-120°)=30°。

又???NDAB=90°（矩形的四個角都是直角）

.\BD=2AB=2X2.5=5.

活動目的：這個例題主要目的是應用矩形的邊和對角線的性質來解決問

題。在學過矩形的性質后，如何熟練、靈活的應用矩形的性質解決實際問

題，就是關鍵。活動的注意事項：該例題中，學生要得出結論難度不

大，但是要簡潔、清楚寫出推理過程有一定的難度，教師在講解時，要重

點訓練，要把推理過程規范進行板書。

第七環節：反思交流，反饋提高

活動內容：1.本節課你學到了什么？

（1）矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

（2）矩形的性質

（3）直角三角形的性質

（4）矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條

對角線把矩形分成兩對全等的等腰三角形。因此，有關矩形的問題往往可

化為直角三角或等腰三角形的問題來解決。

2.自我檢測。

（1）下列說法錯誤的是（）.

A.矩形的對角線互相平分B.矩形的對

角線相等。

C.有一個角是直角的四邊形是矩形D.有一個角是直角

的平行四邊形叫做矩形

（2）已知矩形的一條對角線長為10cm,兩條對角線的一個交角為

120°,則矩形的邊長分別

為。

活動目的：讓學生對學習情況進行小結，主要包括：知識小結和學法小

結。通過小結，讓學生梳理學習內容，明確本節課重點知識以及該掌握的

解題方法和技巧，使教師及時了解學生對本節課重點知識以及解題方法和

技巧的掌握情況，以便答疑補漏。及時的課堂檢測，及時反饋學生學習

的效果便于進行課堂教學和優化。

活動的注意事項：教學時要注重使不同的學生都能得到發展，對于學

習程度較好的學生要增加思維深度，題目可以適當加調整，隨學生水平的

不同稍作增減。對學習有困難的學生，則鼓勵學生先運用自己的語言說明

理由，以幫助學生加深對所學結論的認識，逐步訓練數學語言。

2.矩形的性質與判定（二）

教學目標為：

1.能夠運用綜合法和嚴密的數學語言證明矩形的性質和判定定理

以及其他相關結論；

2.經歷探索、猜測、證明的過程，發展學生的推理論證能力，培

養學生找到解題思路的能力，使學生進一步體會證明的必要性以及

計算與證明在解決問題中的作用；

3.學生通過對比前面所學知識，體會證明過程中所運用的歸納、

概括以及轉化等數學思想方法；

4.通過學生獨立完成證明的過程，讓學生體會數學是嚴謹的科

學，增強學生對待科學的嚴謹治學態度，從而養成良好的習慣。

教學過程分析

本節課設計了六個教學環節：第一環節：創設情境，提出問題；第二

環節：先猜想再實踐，發展幾何直覺；第三環節：再創情境，猜想實踐；

第四環節：實際應用，范例教學；第五環節：反饋練習，注重參與；第六

環節：課堂小結，布置作業。

第一環節：創設情境，提出問題

活動內容：課前準備小木板和橡皮筋，制作一個如圖所示的平行四邊

形的活動框架。在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩

個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什

么變化？

活動目的：通過這個活動，首先是學生能夠主動地對平行四邊形的相

關知識有一個系統的回顧和認知，讓學生以一種比較有趣的形式對這部分

知識進行自主的復習，激發學生對本節知識的學習興趣。同時，對平行四

邊形進行歸納，可以使學生清楚地認識到平行四邊形與特殊平行四邊形之

間的關系，為后面連續幾節研究特殊的平行四邊形提供有力的支持。此

外，這個活動，也可以激發學生的積極性和主動性。

活動的注意事項：因為前面對平行四邊形及菱形、矩形的學習，學生

回答問題比較有針對性，能概括地從“邊、角、對角線”等幾個方面回

答，較有條理。當然也有個別學生語言表述不到位，需老師同學適時點

撥、補充、鼓勵。

第二環節：先猜想再實踐，發展幾何直覺

活動內容：根據上面的實踐活動提出以下兩個問題：

(1)隨著的變化，兩條對角線將發生怎樣的變化？

(2)當兩條對角線相等時，平行四邊形有什么特征？由此你

能得到一個怎樣的猜想？

學生在小組中完成這個活動的過程中，會引發對于這兩個問題的討論，請

學生根據實踐的結果對問題進行回答，再對比前面所學的平行四邊形及菱

形的判定定理的證明過程，來思考如何證明矩形的判定定理。然后通過小

組合作，將定理的證明嚴格的完成，最后同學實物投影的形式，各小組之

間進行交流。

對比前一節學習的菱形和矩形的性質定理，引導學生對矩形獨有的第

一個判定定理進行證明:

教師板書本題證明過程。

定理兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。

(5)學生獨立畫出圖形，在教師引導下寫出已知、求證；

(6)對比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對已知、求證

進行分析；

(7)請學生交流大體思路；

(8)用規范的數學語言寫出證明過程；

(9)同學之間進行交流，找出自己還存在的問題。

活動目的：矩形的性質學生已經非常熟悉，對比矩形的性質得到矩形

的判定，通過教師引導和獨立思考，培養遇到題目時冷靜思考，找到解題

思路的良好習慣。在分析思路時，逐步鍛煉學生的推理論證能力，最后通

過互查的形式讓每個學生都能嚴格的證明，培養嚴謹的作風。通過小組合

作，在合作中讓學生相互幫助共同進步。

活動注意事項：通過這個活動，學生能夠很容易想出矩形的這個判定

定理，而且通過對比平行四邊形和菱形的相關證明，不難證明。所以，教

師在這里可以放手讓學生通過分組的形式，自主證明，這樣不僅有利于學

生的合作交流，還能讓學生多些時間來研究一題多解，開闊了學生的思

路，讓學生把精力投入到對思想方法的研究上去。

同時，采取小組合作時，應當鼓勵學生提出自己的意見，特別是有沒

有更多的方法來證明這些定理，在小組討論形成結果的時候，由代表為其

他同學進行講解，并把自己組所有想到的方法向大家展示。此時，教師應

該關注學生的思路是否清晰、證明是否嚴謹，對學有余力的學生要關注他

們是否有新的想法，對學困生則要關注他們是否掌握了基本的證明思路。

對學生的證明要求不高，但需要學生畫圖，并寫出已知求證，這對部

分學生來說有一定困難，教師在此時可以注意引導，讓學生首先分析出定

理中的條件和結論，然后讓學生仿照前面平行四邊形和菱形的證明，寫出

已知和求證，同時對他們做出分析，這個學生分析的環節是發展學生推理

論證能力的關鍵。

在證明過程中，對于重點步驟，應該要求學生寫明理由，同時，還要

關注學生的證明過程是否嚴謹清晰。

第三環節：再創情境，猜想實踐

活動內容：

教師給出PPT中的情境二：李芳同學用四步畫出一個四邊形，“邊、

直角、邊--一直角、邊----直角、邊”，她說這就是一個矩形，她說的對

嗎？為什么？

學生現猜想然后小組討論，將討論的結果進行證明。

定理三個角是直角的四邊形是矩形。

(1)學生獨立畫出圖形，在教師引導下寫出已知、求證；

(2)對比平行四邊形和菱形的判定定理的證明，對已知、求證

進行分析；

(3)請學生交流大體思路；

(4)用規范的數學語言寫出證明過程；

(5)同學之間進行交流，找出自己還存在的問題。

活動目的：通過上面的一個判定定理的證明，學生已經學會如何分析

命題，找出條件和結論，畫出圖形，根據圖形寫出已知和求證，到現在為

止學生有兩種證明一個四邊形是矩形的方法，在這個環節中，應引導學生

對方法的適當選擇，并通過實物投影的方式對比較嚴謹清晰的方法進行展

Zj\O

活動注意事項：通過這個活動，學生能夠很容易想出矩形的這個判定

定理，而且通過對比平行四邊形和菱形的相關證明，不難證明。所以，教

師在這里可以放手讓學生通過分組的形式，自主證明，這樣不僅有利于學

生的合作交流，還能讓學生多些時間來研究一題多解，開闊了學生的思

路，讓學生把精力投入到對思想方法的研究上去。

第四環節：實際應用，范例教學；

活動內容：

1.教師實際問題：

①如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是平行四邊形？

②如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是菱形？

③如果僅有一根足夠長的繩子，如何判斷一個四邊形是矩形？

請說明如何操作，并說明這樣做的原因。

2.教師給出書中例二，學生進行分析，并解決這個問題，然后互相交流解

法。

例：如圖在。/夕口中，對角線和功相較于點。，ZX”。是等邊三

角形，AB=4,求￡74?切的面積.

教師板書本例題

活動目的：運用剛剛證明的兩個定理解決實際問題，進一步發展學生

的推理能力，將課本中的問題拆分成三個問題，發散學生思維，從而能將

平行四邊形菱形和矩形聯系起來，分析三者之間的區別和聯系。在活動2

的證明中，通過讓學生找尋不同的解題方法，培養學生的分析能力，深刻

體會數學思想的多樣性和靈活性。在一題多解的過程中，貫徹分層教學的

理念，讓學生在思維最活躍的時候，最大化地提高學生能力。

活動注意事項：在證明過程中，對于重點步驟，應該要求學生寫明理

由，同時，還要關注學生的證明過程是否嚴謹清晰。

第五環節：反饋練習，注重參與

活動內容：

1.已知：如圖，M為平行四邊形ABCD邊AD的中點，且MB=MC.

求證：四邊形ABCD是矩形.

2.已知：如圖，菱形”口中，對角線/C和劭相較于點0,

CM//BD,DM//AC.

活動目的：通過2道練習題進一步鞏固矩形的判定定理，提高學生的邏輯

推理能力。

活動注意事項：通過學生的板書，查看存在問題，查漏補缺。鼓勵學生一

題多解，注重發散思維培養。

第六環節：課堂小節，作業布置

活動內容：學生互相交流矩形的判定定理，何時選擇判定定理，矩形

與平行四邊形的關系，遇到矩形實際題目時如何分析思路，以及遇到困難

時如何克服等。

活動目的：鼓勵學生結合前面的準備活動暢所欲言自己的感受和收

獲，讓學生在不知不覺中提高自己的推理論證能力，并且對于研究科學需

要嚴謹的作風這一點有深刻的認識。

活動注意事項：鼓勵學生互相補充，暢所欲言，不要由老師替學生總

結，特別要關注一些在數學學習中有困難的學生，要通過這個環節來給他

們樹立信心，同時幫助他們發現困難以便今后更好的解決困難。

作業布置不能一概而論，對于不同層次的學生，要注意提出不同的要

求。課后習題3.4的要求較低，要求學生都能獨立完成，對于有能力的同

學，可以提出更高的要求，同時，對于數學學習存在困難的學生，應該要

求他們在課后，把課堂上講過的題目進行再整理，加深印象。

2.矩形的性質與判定（三）

知識與技能：

①知識目標：能夠運用綜合法和嚴密的數學語言證明矩形的性質和判

定定理以及其他相關結論；提高實際動手操作能力。

②能力目標：經歷探索、猜測、證明的過程，發展學生的推理論證能

力，培養學生找到解題思路的能力，使學生進一步體會證明的必要性以及

計算與證明在解決問題中的作用；

過程與方法：通過學生獨立完成證明的過程，讓學生體會數學是嚴謹

的科

學，增強學生對待科學的嚴謹治學態度，從而養成良好的習慣。

情感態度價值觀：通過課堂的自主探究活動，讓學生感受合作學習的

成功，培養主動探求、勇于實踐的精神，激發學生學習數學的激情，樹立

學好數學的信心。

教學過程

本節課設計了六個教學環節：第一環節：復習導入；第二環節：講授

新課；第三環節：鞏固提高；第四環節：課堂小結；第五環節：布置作

業。

第一環節復習導入

1.如圖1,矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,已知NA0D=120。，

AB=2.5cm,則NDA0=,AC=cm,.

2.如圖2,四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條

件,可使它成為矩形。

目的：

1、通過兩道題目復習矩形的性質和判定，復習舊知識為本節課的進行

熱身。

2、學生回答解題時使用的方法，進一步為本節課的開展做鋪墊。

第二環講授新課

例3如圖1-14,在矩形ABCD中，AD=6,對角線AC與BD交于點

0,AEXBD,垂足為E,ED=3BE.求AE的長.

圖1-14

解：四邊形ABCD是矩形,

.?.A0=B0=D0=2BD（矩形的對角線相等且互相平分）.

ZBAD=90°（矩形的四個都是直角）.

VED=3BE,

；.BE=0E.

又：AE±BD,

/.AB=AO.

.?.AB=AO=BO.

即aABO是等邊三角形.

/.ZAB0=60°.

NADB=90°-ZAB0=30°.

在RtAAED中，

VZADB=30°,

.?.AE=AD=X6=3.

方法和目的：這里的證明首先可以讓學生對矩形的性質和判定有更深

刻的認知，同時，通過教師引導和獨立思考，培養遇到題目時冷靜思考，

找到解題思路的良好習慣。在分析思路時，逐步鍛煉學生的推理論證能

力，最后通過互查的形式讓每個學生都能嚴格的證明，培養嚴謹的作風。

通過小組合作，在合作中讓學生相互幫助共同進步。

注意事項：九年級的學生在知識的掌握和思維上有一定的差異，教師

可以通過分組合作的形式完成本題的求解；本題的解法不是唯一的，采取

小組合作時，應當鼓勵學生提出自己的意見，特別是有沒有更多的方法來

證明這些定理，在小組討論形成結果的時候，由代表為其他同學進行講

解，并把自己組所有想到的方法向大家展示。此時，教師應該關注學生的

思路是否清晰、證明是否嚴謹，對學有余力的學生要關注他們是否有新的

想法，對學困生則要關注他們是否掌握了基本的證明思路。這樣不僅有利

于學生的合作交流，同時還能合理安排課堂時間，讓學生把精力投入到對

思想方法的研究上去。

例4如圖1—15,在AABC中，AB=AC,AD為NBAC的平分線，AN為

△ABC外角NCAM的平分線，CE1AN,垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩

形.

E

BC

圖1-15

證明：：AD平分NBAC,AN平分NCAM,

NCAD=2/AC,ZCAN=2ZCAM.

NDAE=NCAD+NCAN

=2(NBAC=NCAM)

1

=5X180°

=90°.

在AABC中，

：AB=AC,AD為NBAC的平分線，

/.ADXBC.

/.ZADC=90°.

XVCEXAN,

/.ZCEA=90°.

四邊形ADCE為矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.

注意事項：本題在解決上一題的基礎上，運用已有知識解決問題,

進一步發展學生的推理能力，通過證明，讓學生體會轉化的數學思想。在

例題4的證明中，通過讓學生找尋不同的解題方法，培養學生的分析能

力，深刻體會數學思想的多樣性和靈活性。在一題多解的過程中，貫徹分

層教學的理念，讓學生在思維最活躍的時候，最大化地提高學生能力。

第三環節鞏固提高

在例題4中，若連接DE,交AC于點F(如圖1-16)

(1)試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結論.

(2)線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結論.

D

圖1T6

注意事項：本題的綜合性比較強，對于不同層次的學生，本題的考慮方

法也會有區別，教師都應該鼓勵學生大膽嘗試，用自己的方法去試著解

決