2010年全國各地數學中考試題分類匯編16

二次函數的圖象和性質2

一、選擇題

1.（2010福建福州）已知二次函數y=Ax2+Bx+C的圖象如圖所示，則下列結論正確的是

（）

A.a>0B.c<（）C.b2-4ac<0D.〃+/?+c>0

【答案】D

2.（2010河北）如圖5,已知拋物線），=/+6+。的對稱軸為尤=2,點4,B均在拋物線

上，且A3與工軸平行，其中點A的坐標為（0,3）,則點B的坐標為

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

【答案】D

3.（2010山東萊蕪）二次函數y-ar2十c的圖象如圖所示，則一次函數y=的

圖象不經過

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

4.（2010年貴州畢節）函數），=ac+/?和>=方2+加+。在同一直角坐標系內的圖象大致是

5.（2010年貴州畢節）把拋物線）=r+云+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位,

所得圖象的解析式為產/-3x+5,則（)

A.b=3fc=7B.b=6,c=3C.b=-9,c=-5D.b=-9,c=21

【答案】A.

6.（2010湖北荊門）二次函數嚴加+法+c的圖象如圖所示，下列結論錯誤的是

A.ab<0B.ac<0C.當x<2時，函數值隨x的增大而增大;

當x>2時，函數值隨x的增大而減小D.二次函數廣加+反+c的圖象

與工軸的交點的橫坐標就是方程。/+法+片0的根，

【答案】B

7.(2010湖南株洲)二次函數丁二/-/以+3的圖象與大軸的交點如圖所示，根據圖中信

息可得到m的值是.

【答案】4

8.(2010四川成都)把拋物線y=f向右平移1個單位，所得拋物線的函數表達式為()

(A)y=x2+1(B)y=(x+l)2

(C)y=X1-l(D)y=(x-l)2

【答案】D

9.（2010山東濰坊）已知函數與函數》=一；工+3的圖象大致如圖，若》<），2，則自

33

C.-2<x<-D.xV-2或1〉一

22

【答案】C

10.（2010湖北荊州）若把函數y=x的圖象用E（x,x）記，函數y=2x+l的圖象用E（x,

2x+l）記，……則E（x,/一2工+1）可以由E（x,?。┰鯓悠揭频玫剑?/p>

A.向上平移1個單位B.向下平移1個單位

C.向左平移1個單位D.向右平移1個單位

【答案】D

二、填空題

1.（2010湖南株洲）己知二次函數y=（x-2a『+（〃-l）為常數），當。取不同的值

時，其圖象構成一個“拋物線系”.下圖分別是當4=-1,4=0，4=1,。=2時二次函數

的圖象.它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y=.

【答案】lx-1

2.（2010湖南郴州）將拋物線+1向下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是

【答案】yr*12-1

三、解答題

1fQ>

1.（2010江蘇泰州）如圖，二次函數），=一一/+c的圖象經過點D-V3,-,與工軸交

2\2>

于A、B兩點.

⑴求c?的值；

⑵如圖①，設點C為該二次函數的圖象在x軸上方的一點，直線4c將四邊形A3CO的面

積二等分，試證明線段被直線AC平分，并求此時直線AC的函數解析式；

⑶設點P、Q為該二次函數的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、

。，使△AQPgZXABP?如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由.（圖

②供選用）

圖②

【答案】⑴??,拋物線經過點。(一6,2)

2

A--X(-V3)2+C=-

22

/.c=6.

⑵過點力、B點分別作AC的垂線，垂足分別為E、F,設AC與交點為M,

???AC將四邊形ABC。的面積二等分，即：SAAB^ADC：.DE=BF

又,:ZDME=ZBMF,ZDEM=ZBFE

:?△DEM/ABFM

:?DM=BM即AC平分8。

,?*c—6.,??拋物線為y=——x2+6

???A(-273,0)>B(2V3,0)

G9

???M是5。的中點AM

24

設AC的解析式為廣履+分，經過A、M點、

36

-2標+/?=0；k=-----

10

逝9解得＜

——k+h=—

24

5

3739

直線AC的解析式為y=--------X4-----.

105

⑶存在.設拋物線頂點為M0,6),在RtzMQN中，易得AN=4有，于是以A點為圓心，AB=4g

為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點Q,連接AQ,再作N04B平分線AP交拋物線于P,

連接8P、PQ,此時由“邊角邊"易得"QPgAABP.

2.(201()福建福州)如圖，在AABC中，ZC=45°,BC=1(),高40=8,矩形EFPQ的一

邊QP在BC邊上,E、/兩點分別在A8、AC上，A。交E尸于點”.

AH=EF

(1)求證:~AD~~RC;

(2)設EF=x,當“為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值；

(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形臼子。以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速

運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為/秒，矩形臼小。與△ABC重疊部分的面

積為S,求S與，的函數關系式.

【答案】解：(1)???四邊形以了。是矩形，??.EF//QP.

???/\AEF^/\ABC.

XVADA.BC,:.AHA.EF.

?AHEF

?*AD=^C

AUvA

(2)由(1)得管AH=*.

oiuJ

4

???EQ=HD=AD-AH=8一交

444

/.S矩形EFPQME/7?EQ=x(8—gx)=-5/+8x=—5(x—5)2+20.

4

?????當時，矩形"PQ有最大值，最大值為

.-^J<0,x=5S2().

(3)如圖I,由(2)得Er=5,EQ=4.

???ZC=45°,???是等腰直角三角形.

???PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.

分三種情況討論：

①如圖2.當0W/V4時，

設ERPF分別交AC于點M、N,則△MFN是等腰直角三角形.??.FN=MF=t.

:?S=S矩形EQQ—SRSM卬=20—52=—1/2+20；

②如圖3,當4Wf<5時,則ME=5—f,QC=9-t.

???S=S梯形EMCO=M(5一八+(9-r)]X4=—4：+28；

③如圖4,當5W/W9時，設EQ交AC于點K,則Kg0C=9一九

?*-S=SziK°c=1(9—r)2=1(r-9)2.

4

第21題圖2第21題圖3第21題圖4

綜上所述:S與/的函數關系式為:

--r+200<r<4),

2

S=<-4t-28(4<r<5),

2

1(/-9)(5</<9).

3.(2010福建福州)如圖1,在平面直角坐標系中，點〃在直線y=2x上，過點〃作尤軸的

垂線，垂足為A，OA=5.若拋物線y=*+/?x+c過。、A兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若A點關于直線)=2x的對稱點為C,判斷點。是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，G)Oi是以3c為直徑的圓.過原點。作。。的切線OP,

P為切點(點P與點C不重合).拋物線上是否存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與。01相切?

若存在，求出點。的橫坐標；若不存在，請說明理由.

(2)點C在該拋物線上.

理由：過點。作CO_Lx軸于點。，連結OC,設AC交05于點E.

,/點8在直線)，=2x上，IB(5,10)

???點A、。關于直線y=2x對稱，

???OBLAC,CE=AE,BCJ_OC,OC=OA=5,BC=BA=]0.

又??,軸，由勾股定理得。8=5小.

SRL^OAB=^AE?OB=^OAAB,

乙乙

???AE=2小，???AC=4小.

■:ZOBA+ZCAB=9(J°,NCAD+NCAB=90°,/.ZCAD=ZOBA.

又丁ZCDA=ZOAB=90°,/./\CDA^/\OAB.

?CDADAC.

??~OA=~AB=~OB??C￡>=4,AO=8C(-3,4)

當x=-3時,y=7X9—1x(-3)=4.

5

-X上

，點c在拋物線y=7^6

(3)拋物線上存在點。使得以PQ為直徑的圓與。O1相切.

過點產作PELx軸于點F,連結01P,過點。|作軸于點兒

???CD//O\H//BA.1C(-3,4),3(5,10),

???Oi是3c的中點.???由平行線分線段成比例定理得AH=O"=夕0=4,

???OH=OA-AH=\.同理可得O|H=7.?,?點。的坐標為(1,7).

'/BCA.OC,：.OC為。Oi的切線.

又〈OP為。Oi的切線,???0C=0P=0]C=0]P=5.

：.四邊形OPOC為正方形.??.NCOP=90°.??.NPOF=/OCD.

又V/PFD=/ODC=90°，:.W'

設直線O\P的解析式為y="+8(原()).

把01(1,7)、尸(4,3)分別代人尸"+8,

一

k+b=Q,3

得4解得彳

4k+b=3.,25

b=-?

3

425

直線OiP的解析式為y=—1X+天.

若以PQ為直徑的圓與G)Oi相切，則點Q為直線。產與拋物

415

2-

鏟+-2-5n-6

線的交點，可設點。的坐標為(〃?，〃)，則有〃=T6,??

=7/W2—TA/.整理得加2+3機一5()=(),

解得機=錯誤！

???點。的橫坐標為錯誤!或錯誤!.

4.（2010江蘇無錫）如圖，矩形力筋的頂點力、8的坐標分別為（-4,0）和（2,0）,叱26.設

直線4c與直線產4交于點￡

（1）求以直線產4為對稱軸，且過。與原點。的拋物線的函數關系式，并說明此拋物線一

定過點E\

（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為A；V是該拋物線上位于C、/V,之間的一動

點，求/C協V面積的最大值.

【答案】解：（1）點。的坐標（2,2g）.設拋物線的函數關系式為y-a（x-4）2+tn,

16a+機=0J3

4a+m=2v363

，所求拋物線的函數關系式為》=-且（X-4『+她

63

-4k+b=0,解得2=正,力=友

設直線力。的函數關系式為），=尿+b,則

2k+b=2\[333

???直線/C的函數關系式為y=YL+九5,???點E的坐標為（4,

33

把尸4代入①式，得＞=一正（4-4）2+迪=空，，此拋物線過E點.

633

（2）（1）中拋物線與力軸的另一個交點為N（8,0）,設材（必y）,過"作..盼J_x軸

于Gy則S&NS&KG+S梯形W—SAC?N=—(8—x)丁4—(y+-2)—x(8—2)x2\/3

222

3y+V3x-8V3=3(--?+^^x)+V3x-8V3=--/+5\[ix-Sy/i

632

22

當A=5時，SzXOA有最大值——■

2

5.（2010湖南邵陽）如圖（十四），拋物線y=—,d+x+3與x軸交于點A、B,與y軸

4

相交于點C,頂點為點O,對稱軸/與直線8c相交于點￡,與x軸交于點色

（1）求直線NC的解析式；

（2）設點尸為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作。凡

①當點尸運動到點〃時，若G）P與直線相交，求〃的取值范圍；

4x/5

②若尸士,是否存在點〃使。P與直線8c相切，若存在，請求出點P的坐標；若不存在,

5

請說明理由.

bAac—b2

提示：拋物線）=依2+法+以。工0）的頂點坐標,對稱軸％=—2

、2〃’4。)2a

【答案】解（1）令）=0,求得A點坐標為（-2,0）,B點坐標為（6,0）；

令x=0,求得。點的坐標為（0,3）

6Z+b=01

設3C直線為丫=履+江把從。點的坐標代入得：解得攵=--，b=3

b=32

故3c的解析式為：產-;x+3

（2）①過點。（2,4）作〃G/8C于點G,因為拋物線的對稱軸是直線產2,所以點￡的

坐標為（2,2）,所以有所'=2,FB=4,EB=2y^,DE=2,從圖中可.知，RtDEGRtBEF,

解得〃G=勺但故當r>士無，點，運動到點〃時，。戶與直線8C

所以有:

55

相交

②由①知，直線BC上方的點〃符合要求。設過點D并與直線BC平行的直線為y=-lx

2

12o

y——x+x+3

+〃，把點D的坐標代入，求得?=5,所以聯立：I4解得兩點（2,4）

y=--x+5

I2

為D點，（4,3）也符合條件。

設在直線6。下方到直線灰的距離為^的直線龍與x軸交于點機過點秋作MNLBC千

點M所以趙性士也，又tan/NBM="~=—所以NAe①，BM=4,所以點"與點尸

50B25

重合。設直線ni為廠-,x+b把點/的坐標，代入得：0=-'x2+b得6=1,所以直線

22

m的解析式為：y=--x+1

2

）,=二八"

聯立方程組：\4解得：X=3±J17

所以適合要求的點還有兩點即(3-717,士近)與(3+J萬，土典)

22

4^5

故當廠、一,存在點〃使。尸與直線相切，符合條件的點尸有四個，即是0(2,4),

5

-1+V17(3+如，%叵)的坐標.

(4,3)和(3-#7,)9

2

6.(2010年上海)如圖8,已知平面直角坐標系xOy,拋物線)，=一/+以+c過點A(4,0)、

B(l,3).

(I)求該拋物線的表達式,并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標;

(2)記該拋物線的對稱軸為直線1,設拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關于直線1的對

稱點為E,點E關于y軸的對稱點為F,若

四邊形OAPF的面積為20,求m、n的值.

4

小y3

4-

2

3-

2-1

1-

O1~2~~3-4*

圖8

【答案】解：(1)拋物線y=—云+c過點

f-16+4/?+c=0f/?=4

A(4,0)B(l,3).

-l+Z?+c=3c=0'

y=-x24-4x,y=-(x-2)2+4,對

稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,4)

(2)??,直線EP〃OA,E與P兩點關于直線元=2對稱，???0E=AP,???梯形OEPA為等

腰梯形,

???N0EP=NAPE,??'0E=0F,工Z0EP=ZAFE,AN0FP=NAPE,??.OF〃AP,

，四邊形OAPF為平行四邊形，???四邊形OAPF的面積為20,???4("/-4附=20,

??〃％=—1(舍1)〃力=5,??/2=-5.

7.(201()重慶恭江縣)已知拋物線y=o?+bx+c(〃>())的圖象經過點8(12,0)和C(0,

-6),對稱軸為x=2.

(I)求該拋物線的解析式；

(2)點。在線段上且AD=AC,若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速

度勻速運動，同時另一動點。以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時

刻，使線段PQ被直線CO垂直平分？若存在，請求出此時的時間f(秒)和點。的運動速度;

若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的結論下，直線x=l上是否存在點M使，△MP。為等腰三角形？若存在，請

求出所有點M的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)方法一：:拋物線過點C(0,-6)

c=-6,即y=ax1+bx~6

1-2=21i

由《2a'解得：G--,b--

164

[144。+12匕-6=0

???該拋物線的解析式為)，=，d一_1工一6

-164

方法二：??.48關于x=2友稱

??"(一8,0)設y=a(x+8)(x-12)

1

C在拋物線上，???-6=aX8X(T2),即。=一

16

該拋物線解析式為：y=-x2--x-6

164

(2)存在，設直線CO垂直平分尸0,

在RtZ\AOC中，AC=ylS2+62=\0=AD

?,?點。在拋物線的對稱軸上，連結。。，如圖:

顯然NPDC=NQDC,

由已知NPZ）C=ZACD

：.ZQDC=ZACD,：.DQ//AC

DB=AB-AD=20-\0=\0

.?.DQ為△ABC的中位線

：.DQ=^AC=5

AP=AD-PD=AD~DQ=10-5=5

??"=5+1=5（秒）

???存在/=5（秒）時，線段PQ被直線CO垂直平分

在RtZ\BOC中，BC=府+122=6方

：.CQ=3sf5

???點。的運動速度為每秒9百單位長度.

(3)存在.如圖，

過點。作QH_Lx軸于”，則QH=3,PH=9

在RtaPQ”中，@+3?=3癡

①當MP=MQ,即M為頂點，

設直線CQ的直線方程為y=br+h(ZWO),則:

氏田解得:k=3

b=-6

??y—3x-6

當工=1時，y=-3

???Mi(L-3)

②當PQ為等腰△MPQ的腰時，且P為頂點，

設直線工=1上存在點M(1,y),由勾股定理得:

42+)2=90,即y=±774

：.M2（1，凡）；M3（1,一舊）

③當PQ為等腰△MPQ的腰時，且Q為頂點.

過點。作QE_L），軸于E,交直線x=l于凡則尸（1,-3）

設直線工=1存在點M（1,），）由勾股定理得：

（y+3）2+52=90,即產一3士病

MA（1，—3+A/65）；A/5（1>—3—y/65）

綜上所述，存在這樣的五個點：Mi（l,—3）；M2（1,，五）；M3（1，-74）;M4（1,-

34-765）；M5（1,-3->/65）

8.（2010山東臨沂）如圖，二次函數>=/+辦+人的圖象與％軸交于A（_g,o）,以2,0）兩

點，且與），軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式，并判斷A48C的形狀；

（2）在x軸上方的拋物線上有一點D,且以A、C、。、3四點為頂點的四邊形是等腰梯形，

請直接寫出。點的坐標；

（3）在此拋物線上是否存在點P,使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若

【答案】解：根據題意，將A（--,0）,B（2,0）代入y=-x?+ax+b中,

2

~—a+h=O,

得「a2

-4+2o+b=0.

_3

解這個方程，得

h=\.

3

所以拋物線的解析式為y=-x24--x+1.

2

當x=0時、y=l.所以點C的坐標為（0,1）。

所以在△AOC中，AC=yjo^^OC-=.

在ABOC中，BC=yJOB2+OC2=45.

1c5

AB=OA+OB=-+2=-.

22

i25

因為AC2+BC2=-+2=—=A52.

44

所以4ABC是直角三角形。

（2）點D的坐標是（1,1.

V

（3）存在。一

由（1）知，AC±BC,

①若以BC為底邊，則BC〃幽如圖（1）所示，可求得

直線BC的解析式為

V=--X+1.

2

直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設直

線AP的解析式為y=-gi+。，

將A（--,0）代入直線AP的解析式求得b=-所以

24

圖1

直線AP的解析式為），=

24

311

因為點P既在拋物線上，又在直線AP上，所以點P的縱坐標相等，即-X2+-X+1=--X--.

224

解得玉=|%=—g（不合題意，舍去）.

53

當x=一時，y=----.

22

52

所以點P的坐標為（一，一二）.

22

②若以AC為底邊，貝UBP〃AC,如圖（2）所示，可求得

直線AC的解析式為

y=2x+l.

直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設直

線BP的解析式為y=2x4-/?,

將B（2,0）代入直線BP的解析式求得b=-4,所以直線

BP的解析式為y=2x-4.

因為點P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點P的

縱坐標相等，即-X2+』X+1=2X-4

2

圖2

解得內二一^,工2二2（不合題意，舍去）.

當x=-|?時，y=-9.

所以點P的坐標為（--,-9）.

2

535

綜上所述，滿足題目的點P的坐標為（一，-一）或（?一，?9）

222

.9.（2010四川宜賓）將直角邊長為6的等腰用△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中,

點。為坐標原點，點、C、4分別在X、y軸的正半軸上，一條拋物線經過點4、C及點8（-3,

0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是線段8C上一動點，過點。作A8的平行線交AC于點E,連接AP,當

△APE的面積最大時，求點P的坐標；

（3）在第一象限內的該拋物線上是否存在點G,使△AGO的面積與（2）中aAPE的最

大面積相等?若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)由題意知：A(0,6),C(6,0),

設經過點A、B、C的拋物線解析式為產ax?+bx+c

6=c

則；＜0=9。一3b+c

J0=36ci+6b+c

1

a——

3

解得：\b=\

c=6

?,?該拋物線的解析式為y=/+x+6

(2)如圖：設點P(x,0),

VPE/7AB,.,.△CPE^AABC,

?,^ACPE_(6\2

^△ABCBC

又,*,SAABC=—BCX0A-27

2

?S^CPE=(6?X2

27~9~

2

：.SACPE=(6^21=1X-4X+12

S%BP」BPX0A=3X+9

2

設AAPE的面積為S

1),1,3、227

則S=SAABC-SAABP—SACPE=一+工+6=一§。一萬)+—

327

當*二一時，S最大值為—

24

3

???點P的坐標為（-，（））

2

（3）假設存在點G（x,y）,使aAGC的面積與（2）中4APE的最大面積相等.

27

在（2）中，4APE的最大面積為一，過點G做GF垂直y軸與點F.

4

①當y>6B寸，SAAGC二S梯形GFOC-SAGFA—SAAOC=~（x+6）y——x（y-6）——X6X6

444

=3x+3y-18

27

即3x+3yT8二—?

4

1、

又???點G在拋物線上，），=一一JT+x+6,

3

[27

.?.3x+3（-+x+6）-18=

93915327

解得：x,=-,x2=-,當x=2時，y=—,當x=±時，y=—.

222424

點G的坐標為

②當yV6時，如圖：

SAAGC=SAGAF+S梯形GFOC-SAAOC=-x(6—y)+—>'(x+6)-18=3x+3y-18

22

27

即3x+3yT8二—，

4

1,

又???點G在拋物線上，)，二一一jr+x+6,

3

1、

?，?3x+3(-gX"+x+6)-18二工-

解得：％='9/=3二，當x=9二時，y=1—5,當x=3二時，y=2—7.

222424

915

又因為yV6,所以點G的坐標為（一，—）

24

綜和①②所述，點G的坐標為（工3，,27）和,915、

2424

（3）解法2：可以向x軸作垂線，構成了如此下圖的圖形:

貝U陰影部分的面積等于SAAGC-SAGCE+S梯形AGFO—SAAOC

下面的求解過程略.這樣作可以避免了分類討論.

10.（2010江蘇連云港）（本題滿分8分）已知反比例函數的圖象與二次函數），=〃2

+1的圖象相交于點（2,2）

（1）求。和攵的值；

（2）反比例函數的圖象是否經過二次函數圖象的頂點，為什么？

【答案】

《1》閃為二次鼎收與反比例順我y-，交于點(2?2)?

所以2,4“+2?1?X之得<!■；....................................................................2分

2?亨?所以34?...................................................................................................4分

《2》反比例畸敗的圖象經過二次雨敷圖象的U點............................5分

由《】〉知.二次嫉口如反比例隨數的關系式分別是和?

因為y?：，+>￡-1?1(/+4JT-4)>■+《Jr1+4x+4-8)

?"a+z/TlTa+z)—.6分

所以二次函數圖象的演點坐標墨《一2?一2),.........................................................7分

g為,--2時.￥?，2?一2?所以反比例卡敗困象也過二次隨數圖象的01點?……

11.(2010黃岡)(15分)己知拋物線y二公？+Z?X+C(Qw0)頂點為C(1,1)且過原點

O.過拋物線上一點P(x,y)向直線y=*作垂線，垂足為M,連FM(如圖).

4

(I)求字母a,b,c的值；

(2)在直線x=l上有一點F(1,3),求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證

4

明此時4PFM為正三角形；

(3)對拋物線上任意一點P,是否總存在一點N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在請求

出I值，若不存在請說明理由.

【答案】(1)a=-1,b=2：c=0

(2)過P作直線x=l的垂線，可求P的縱坐標為,，橫坐標為1+,道.此時，MP=MF

42

=PF=1,故AMPF為正三角形.

(3)不存在.因為當IV),xVl時，PM與PN不可能相等，同理，當x>l時，

44

PM與PN不可能相等.

12.(2010山東省德州)(己知二次函數〉二0？+Z?JI+C的圖象經過點A(3,0),8(2,-3),

C(0,-3).

⑴求此函數的解析式及圖象的對稱軸;

(2)點。從8點出發以每秒0.1個單位的速度沿線段8c向C'點運動，點。從。點出發以相同

的速度沿線段04向A點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動?設運動時

間為/秒.

①當/為何值時，四邊形A5PQ為等腰梯形；

②設P。與對稱軸的交點為M,過M點作_

X

x軸的平行線交于點M設四邊形ANPQ

的面積為S,求面積S關于時間，的函數解析式,

并指出/的取值范圍；當，為何值時，

S有最大值或最小值.

解得：a=\,b=-2.

/.y=x2-2x-3.

配方得：y=a—1)2-4,所以對稱軸為x=l.

(2)由題意可知:BP=OQ=OAt.

???點B,點C的縱坐標相等，

：.BC//OA.

過點&點P作BD_LQ4,PEA.OA,垂足分別為。，E.

要使四邊形A8PQ為等腰梯形，只需PQ=AB.

即QE=AD=].

又Q￡=OE—OQ=(2-0.⑺-0.1r=2-0.23

A2-0.2/=1.

解得z=5.

即t=5秒時，四邊形ABPQ為等腰梯形.

②設對稱軸與BC,x軸的交點分別為EG.

???對稱軸x=\是線段BC的垂直平分線，

：.BF=CF=OG=\.

又，：BP=OQ,

:?PF=QG.

又?：/PMF=/QMG,

:,MF=MG.

???點M為PG的中點

,,S二S四邊形A3PQ-SgPN，

二S四邊形ABPG-SgpN?

由S四亞=7（BF+AG）FG=—.

S>&BPN=-2BP,—2FG=—40

3

而

又802,。4=3,

???點P運動到點C時停止運動，需要20秒.

A0</<20.

???當?當秒時,面積S有最小值3.

13.(2010山東萊蕪)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y+hr+c交x軸于

42,0),8(6,0)兩點，交)，軸于點。(0,2退).

(I)求此拋物線的解析式；

(2)若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點。，作。。與x軸相切，。。交y軸于點E、

尸兩點，求劣弧”的長；

(3)P為此拋物項在第二象限圖像上的一點，PG垂直于x軸，垂足為點G,試確定P點的位

置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分.

(第24題圖)

【答案】解：(1)??,拋物線)，=。幺+〃龍+。經過點42,0),8(6,0),。(0,2百).

4。+2/?+c=06

<3&z+6Z?+。=0，解得力」行

3

c=2^/3

c=2百

2

???拋物線的解析式為:y=-x-—43x+2y/3.

“63

(2)易知拋物線的對稱軸是x=4.把，4代入y=2x得y=8,?,?點。的坐標為(4,8).V?

。與x軸相切，???。。的半徑為8.

連結OE、DF,作。M_Ly軸，垂足為點M.

在RtZ\MFO中，FD=8,MD=4.AcosZMDF=-.

2

/.ZA/DF=60°,/.Z￡￡>F=120°.

—12016

劣弧EF的長為：---x兀x8=—兀.

1803

(3)設直線AC的解析式為產"+A???直線AC經過點A(2,0),C(0,2A/3).

2k+b=0[k=—V3

L，解得/L.???直線AC的解析式為:y=-\[3x+2V3.

b=2C,=26

設點P(m,y/3m+26)(加<0),PG交直線AC于N,

63

則點N坐標為+273).VS居照：SAGVA=PN:GN.

3

???①若PN:GN=\：2,則PG:GN=3:2,PG=-GN.

2

即-in2--V3m+273=-(-+273).

632

解得：，川二一3,"22=2(舍去).當小二一3B寸，in2-—V3//1+2A/3=—V3.

632

???比時點尸的坐標為(—3,y73).......................10分

②若PN:GN=2：1,則PG：GN=3：1,PG=3GN.

即—m2--6m+2V3=3(-0n+273).

63

-m2--V3m+2V3=42V3.

解得：町=-12,m2=2（舍去）.當町二一12時,

63

???比時點P的坐標為（-12,4273）.

綜上所述，當點P坐標為（-3,9百）或（一12426）時，

△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分.

14.（2010廣東珠海）如圖，平面直角坐標系中有一矩形ABCD（0為原點），點A、C分別在

x軸、y軸上，且C點坐標為（0,6）；將BCD沿BD折疊（D點在0C邊上），使C點落在0A

邊的E點上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD的點F上.

⑴直接寫出NABE、NCBD的度數，并求折痕BD所在直線的函數解析式；

⑵過F點作FGJ_x軸，垂足為G,FG的中點為H,若弛物線y=ar2+Z?x+。經過B、IkD

三點，求拋物線的函數解析式；

（3）若點P是矩形內部的點，旦點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作

PM_LBC分別交BC和BD于點N、M,設h=PM-MN,試求出h與P點橫坐標x的函數解析式，并

畫出該函數的簡圖，分別寫出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍。

【答案】解：(1)ZABE=ZCBD=30°

在AABE中，AB=6

ARL

BC=BE=------------=4V3

cos30°

CD=BCtan30°=4

/.0D=0C-CD=2

???B(473,6)D(0,2)

設BD所在直線的函數解析式是尸kx+b

46k+b=6

3

b=2L/?=2

所以BD所在直線的函數解析式是y=^-x+2

(2)VEF=EA=ABtan30°=273ZFEG=180°-ZFEB-ZAEB=60°

XVFGXOA

AFG=EFsin60°=3GE=EFcos600二6O