第十四章實數

14.1平方根.................................................................-1-

14.2立方根...............................................................-12-

14.3實數..................................................................-19-

14.4近彳以數...............................................................-36-

14.5用計算器求平方根與立方根............................................-41-

14.1平方根

第一課時

教學目標

【知識與能力】

1.能說出平方根的概念,會用根號表示一個數的平方根.

2.知道開平方與平方是互逆運算,會利用這個互逆運算關系求某些非負數的平方根.

3.知道士Ja表示的是非負數a的平方根.

【過程與方法】

在學習開平方運算求一個數的平方根的過程中，體會開平方運算與平方運算之間的互

逆關系.【情感態度價值觀】

1.通過探究學習，使學生進一步感受到所學數學知識之間的內在聯系.

2.培養學生發現問題、歸納結論、應用新知的意識，培養學生學數學、愛數學的良好

情感.教學重難點

【教學重點】

平方根、算術平方根的概念及求法.

【教學難點】

有關平方根、算術平方根的運算以及它們的區別與聯系.

教學過程

一、新課導入：

導入一：

我們學習了有理數的加、減、乘、除和乘方的運算，但在現實生活中，有些問題僅

運用這五種運算是無法解決的.例如：小明家有一塊面積為100nl2的正方形花W1.花圃

周圍要用護欄圍起來，需要護欄多少米?解決這個問題就要運用一種新的運算,這種運

算叫做開平方.這節課我們就要學習開平方運算和平方根.

［設計意圖］新課程數學課堂強調，從學生已有的經驗出發,讓學生親身經歷將

實際問題抽象成數學模型并解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時,

在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展.

導入二：

小明家的新房剛剛裝修好，星期天小明的爸爸帶著小明去挑選餐桌.他們看中了

一款非常漂亮的餐桌,可是不知道邊長是多少,正當小明的爸爸犯愁

的時候，小明看了看桌子上的標簽，得意地說：‘我知道了”.

幾秒之后提問：同學們,你們知道嗎？

［設計意圖］設疑之后，引導學生發現這個問題的本質，即求平方等于10。的數

是多少.隨后，再說幾個數讓學生們找哪些數的平方等于它們.有了以上的鋪墊,解決

這一問題對于學生來說就輕而易舉了，即可輕松地引入課題.

導入三：

玲玲家最近喜事不斷,家里新購了一套房子,全家歡歡喜喜地搬進新居，爸爸媽媽

又增加了工資.條件改善了，為了給玲玲一個好的學習環境，爸爸打算給玲玲買一張桌

子供她在家做作業.爸爸問玲玲：“你喜歡長方形桌子還是正方形桌子？”玲玲認為正

方形桌子更大，可以多放點書，又可以有足夠的位置寫字,所以她更喜歡正方形桌子.

于是爸爸根據她的要求為她購置了一張正方形桌子，玲玲量了量課桌的邊長為100cm,

你能算出這張桌子的周長和面積嗎?如果玲玲更直接地告訴爸爸:“我想要一張面積約

為125dm2的正方形桌子”.爸爸能為她購置到滿意的桌子嗎？計算正方形的面積必須

要知道正方形的邊長，根據邊長求面積是乘方運算,而根據面積求邊長又是什么運算

呢?這節課我們就來探討這個問題.

［設計意圖］好的故事情境，充滿了生活氣息，讓學生感知數學與生活的密切聯

系，從中體會學習數學的重要性，使學生更能積極地衣入到本節的學習之中.

二、新知構建：

活動一:做一做一一感知平方根

［過渡語］通過導入我們知道當護欄的邊K是10山時，正方形花圃的面積是

100m2,也就是102=100.下面我們再來看兒個問題.

思路一

【課件1】

和T的平方等于多少？10和T0的平方等于多少?

2.平方等于白的數有哪些?平方等于100的數呢？

/A

3.滿足y-25的x的值是多少？

解：1.2,100.2.-,10,-10.3.5,-5.

2555

教師說明：因為5>=25,所以尸5;又因為(七尸二25,所以5或T的平方都等于25.

因為5和T的平方都等于25,我們把5和T叫做25的平方根.

歸納:一般地,如果一個數x的平方等于a,即聲國那么這個數x就叫做a的平方

根,也叫做a的二次方根.

例如：100的平方根是10與T0.因為(±10)2=100,所以10與T0都是100的平方

根.

你能說出49,144的平方根嗎？

(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-：2.)

［設計意圖］使學生初步體會到：(1)互為相反數的兩個數的平方相等；(2)初步

感受平方與開平方這種互逆關系.

【課件2】填寫下表：

33

X???-3-1013???

22

??????

學生填完表格后，引導學生觀察：

(1)當一個正數和一個負數互為相反數時,它們的平方有什么關系？

(2)正數有平方根嗎。如果有,有幾個?它們有什么關系？

(3)0有平方根嗎?如果有,它是什么數？

(4)負數有平方根嗎。

學生獨自思考,通過具體實例弄懂上述問題,然后總結出：

(1)它們的平方相等.

(2)一個正數有兩個平方根,它們互為相反數.

(3)0有一個平方根，是0本身.

(4)負數沒有平方根.

說明:通過具體數的平方根的探究，引導學生總結出正數、0、負數的平方根的情

況.

教師指出：一個正數a的正的平方根,用符號“否”表示,a叫做被開方數.正數a

的負的平方根，用符號"7窗’表示，這兩個平方根合起來可以記作"±G”.根指數

是2時,通常這個2省略不寫，如仿記作歷，讀作“根號a”;土記作土讀作“正、

負根號a”.

【課件3］觀察框圖，說一說求一個數的平方運算和求一個數的平方根運算具

有怎樣的關系.

底數----指數

_______<—0=7

Q為％的平方

嘉G的平方）

根號被開方數

x-±J~a->1______

%為。的平方根

。的平方根

教師指導學生根據框圖，明確求一個數的平方運算和求一個數的平方根運算互為

逆運算,并舉例加以說明,我們把求一個數的平方根的運算,叫做開平方.

［設計意圖］理解和掌握平方根的性質，認識平方與開平方互為逆運算.

思路二

說明：導入一中的問題，實際就是要求一個數，這個數的平方等于100,結合以前

乘方的知識,我們不難得出10:100.所以護欄的邊長是10m.

教師說明：一般地,如果一個數x的平方等于%即*=&那么這個數x就叫做a的

平方根，也叫做a的二次方根.

因為5-25,所以5是25的一個平方根.

說明：除5?二25外,可以由學生多舉幾個例子，以加深對概念的認識,從具體到抽象,

便于學生理解和接受平方根的概念.

問1:25的平方根只有一個嗎?有沒有其他的數,它的平方也是25?

學生思考，快速得到:因為（T）2=25,所以T也是25的一個平方根.

問2:從上述解決問題的過程中，你能總結一下求一個數的平方根的方法嗎？

（根據平方根的意義，可以利用平方來尋找或檢驗一個數的平方根）

【課件4】求100的平方根.

問1:你能按照上述問題解決的方法求出100的平方根嗎？

問2:你能正確書寫解題過程嗎？

解：???(10)2=100,(-10)2=100,???100的平方根為10或。0(也可以寫成土成).

說明：理解概念的基礎上，引導學生思考，由學生口述，教師適時糾正易出現的錯

誤,板書規范解題格式.

【課件5】試一試.

(1)144的平方根是什么？

(2)0.0001的平方根是什么？

(3)0的平方根是什么？

討論:通過剛才的“試一試”你能發現什么規律？

總結：1.正數的平方根有兩個,它們互為相反數.

2.0的平方根是0.

由以上討論發現,有時候我們已知一個數要求這個數的二次幕時，只有一個,也有

些時候,我們已知某數的二次事,要求出這個數，發現此時通?？烧业絻蓚€數，且這兩

個數互為相反數.

［設計意圖］進一步鞏固有關平方根的概念,在練習中總結平方根的有關性質，

培養學生的總結歸納能力.教師引導,學生自己總結出平方根的性質，充分反映了“教

師主導，學生主體”的理念.

問1：Y有沒有平方根?為什么？

學生思考得出：一個負數沒有平方根,因為任何數的平方都是非負數.

結論：

1.正數的平方根有兩個,它們互為相反數.

2.0的平方根只有一個，為0.

3.負數沒有平方根.：補充:非負數才有平方根

問2:a有沒有平方根?為什么？

結合問1:當時,a有平方根;當水0時,a沒有平方根.

［設計意圖］引導學生學會用簡練的數學語言來表達,促進學生數學思維的發展

及數學語言的運用.

注：學生剛開始接觸平方根時，有兩點可能不太習慣：一是正數有兩個平方根，即

正數進行開平方運算時有兩個結果，這與學生過去遇到的運算結果啡一的情況有所不

同；另一個是負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算.教學時，可以通過較多實

例說明這兩點,并在本節以后的教學中繼續強化這兩點.

說明：正數a的兩個平方根記為土亞其中a叫做被開方數.如4的平方根為土",

被開方數是4;0.01的平方根為被開方數是0.01.

活動二:例題講解

［過渡語］我們把求i個數平方根的運算，叫做開平方.我們可以借助平方運算

來求一個正數的平方根.

【課件6】

例題求下列各數的平方根.

⑴81;⑵日;(3)0.04.

JL4工

指導學生利用平方與開平方的互逆關系求各數的平方根.

解：(1)因為(±9)2=81,所以81的平方根為±9,即土W二±9.

⑵因為(±5)2=券所以含的平方根為土.即土焉土*

(3)因為(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根為二0.2,BP±Vo7O4=±O.2.

教師規范書寫格式.

思考：土歷表示什么意思,這里的a可取什么樣的數呢？

7FT乂該怎樣理解呢?這里的x又可取什么樣的數呢？

學生討論回答.

【課件7】

(補充)下列各數有平方根嗎?如果有,求出它的平方根,如果沒有,說明理由.

-64,0,I)?.

學生分組討論,選派一名代表回答.

解：與4沒有平方根;0的平方根是0;(Y)2的平方根是±4.

［知識拓展］(1)平方根是一個數,是開平方的結果;而開平方和加、減、乘、除、

乘方一樣,指的是一種運算,是求平方根的過程.

(2)平方和開平方互為逆運算,我們可以用平方運算來檢驗開平方的結果是否正

確.

⑶平方和開平方之間的關系我們可以這樣來理解:①已知底數勿和指數2,求痛

是平方運算，即序二(?)；②已知幕a和指數2,求底數,是開平方運算，即(?)2F.

［設計意圖］通過例題，讓學生掌握平方根的計算方法，強化對平方根性質的理

解，進一步掌握正數有兩個平方根，它們互為相反數；負數沒有平方根;0的平方根是

0.

三、課堂小結：

一般地,如果一個數x的平方等于a,即/=a那么這個數x就叫做a

平方根的定義

的平方根，也叫做&的二次方根.

表示方法當a為正數時,a的平方根為土

(1)一個正數有兩個平方根，它們互為相反數.

平方根的性質(2)0只有一個平方根，是0本身.

(3)負數沒有平方根.

第二課時

教學目標

【知識與能力】

1.了解數的算術平方根的概念,會用根號表示一個數的算術平方根.

2.理解算術平方根與平方根的聯系與區別.

【過程與方法】

1.通過教學過程中學生的參與，培養學生學習的主動性,提高數學表達和運算能力.

2.通過舉例使學生明確平方根與算術平方根的區別和聯系.

【情感態度價值觀】

1.學生通過積極參與教學活動獲取新知,通過小組活動發展獨立思考和競爭意識.

2.通過主動參與使學生勇于面對困難并能夠解決困難,發展合作交流意識.

教學重難點

【教學重點】

算術平方根的概念和性質.

【教學難點】

對算術平方根意義的理解.

教學過程

一、新課導入：

導入一：

【課件11學校要舉行美術作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為25dm2

的正方形畫布,畫上他自己的得意之作參加比賽,這塊正方形畫布的邊長應取多少？

師:怎樣算出畫布的邊長為5dm的呢？(思考1分鐘)

【課件2】填表：

4

正方形面積191636

25

正方形邊長

教師在學生完成的基礎上與學生共同總結：已知正方形的面積求邊長，本質

上就是已知一個正數的平方，求這個正數的問題.那么這個正數與這個正數的平方是

什么關系呢?下面我們來共同探討這個問題.

［設計意圖］從正方形的面積，引出求一個正數的正的平方根，讓學生初步認識

算術平方根,為下面的學習做好鋪墊.

導入二：

同學們,2003年10月15日是我們每個中國人值得驕傲的日子.因為這一天，“神

舟”五號飛船載人航天飛行取得圓滿成功，實現了中華民族千年的飛天夢想（多媒體同

時出示“神舟”五號飛船升空時的畫面）.那么你們知道宇宙飛船離開地球進入軌道正

常運行的速度是在什么范圍嗎?這時它的速度要大于第一宇宙速度■（米鄧）而小于

第二宇宙速度丹（米鄧）/?的大小滿足說二g兄匕=2就怎樣求匕外呢?這就要用到

算術平方根的概念,也就是本節要學習的內容.

［設計意圖］“神舟”五號成功發射和安全著陸,標志著我國在攀登世界科技高

峰的征程上乂邁出具有重大歷史意義的一步，是我們偉大祖國的榮耀.此內容有感染

力，使學生對本章知識的應用價值有一個感性認識，同時激發學生的好奇心和學習的

興趣.這里的計算實際上是已知界和指數求底數的問題,是乘方的逆運算,學生以前沒

有見過，由此引出了本章所要研究的主要內容，以及研究這些內容的大體思路.

導入三：

【課件3】

1.（1）625的平方根是多少?這兩個平方根的和是多少？

（2）-7和7是哪個數的平方根？

（3）正數力的平方根怎樣表示？

（4）求下列各數的平方根.

①64;②0;③（為人尸；④卜1|）2；⑤16；⑥（⑷）

2.已知正方形的面積等于a,那么它的邊長等于多少？

解:設正方形的邊長為x,則根據平方根的定義,得產土因為正方形的邊

長是正數,所以正方形的邊長是

［設計意圖］復習鞏固平方根的知識,進一步掌握平方根的計算方法，為學習算

術平方根做準備.

二、新知構建：

活動一:感知算術平方根的定義

思路一

［過渡語］上面的問題，可以歸納為“已知一個正數的平方，求這個正數”的問題.

實際上是乘方運算中，已知一個數的指數和它的幕求這個數.

一個正數的兩個平方根互為相反數,我們把一個正數a的正的平方根叫做a的

算術平方根.

一般地,如果一個正數x的平方等于a,即是a,那么這個正數x叫做a的算術平

方根.a的算術平方根記為迎，讀作“根號a”,a叫做被開方數.規定:0的算術平方根

是0.也就是,在等式x=a(^0)中，規定產歷.

思考:這里的數。應該是怎樣的數呢？

試一試:你能根據等式“2=121說出121的算術平方根嗎?并用等式表示出來.

解：121的算術平方根是11,用等式表示為

L知識拓展」平方根與算術平方根的區別和聯系.

區別：(1)概念不同：如果一個數的平方等于&那么這個數就叫做a的平方根;非

負數a的非負平方根叫做日的算術平方根.

(2)表示方法不同：正數a的平方根表示為土迎;正數a的算術平方根表示為

(3)個數及取值不同:一個正數的算術平方根只有一個，是正數;一個正數的平方

根有兩個,一正一負且互為相反數.

聯系：(1)具有包含美系：平方根包含算術平方根，一個數的算術平方根是一個數

的平方根中的一個.

(2)存在條件相同:平方根和算術平方根都只有非負數才有.

(3)0的平方根、算太平方根都是0.

(4)求算術平方根、平方根都可看成是平方的逆運算.

思路二

說明：正數a有兩個平方根(表示為±6)，我們把其中正的平方根,叫做石的算術

平方根,表示為VH.

0的平方根也叫做0的算術平方根，因此0的算術平方根是0,即歷二0.

幾何圖形可以直觀地表示算術平方根的意義,面積為江蘇0)、邊長為傷的正方形,

邊長就表示a的算術平方根.

“J”是算術平方根的符號,就表示a的算術平方根.

思考:石的被開方數是什么樣的數?它的結果又是怎樣的數？

的意義有兩點：

(1)被開方數a表示非負數，即打20;

(2)也表示非負數,即VS20.

也就是說，非負數的算術平方根是非負數，負數不存在算術平方根，即水0時，正

無意義.

如：75=3,8是64的算術平方根,C無意義.

強調:這里需要說明的是，算術平方根的符號不僅是一個運算符號，如d

三0時,傘表示非負數a進行開平方運算，也是一個性質符號，即表示非負數a的非負

平方根.

例如,再表示對9進行開平方運算,也表示9的正的平方根.

［設計意圖］讓學生在小組間進行必要的合作與交流，以加深學生對平方根及算

術平方根意義的理解.

活動二:強化一一算術平方根的計算

［過渡語］理解了算術平方根的意義以及表示方法,我們就可以求出一個非負數

的算術平方根.

【課件4］(教材第63頁做一做)求下列各數的算術平方根.

(1)144;(2)0.01;⑶士(4)132;⑸(-16)2.

49

1.引導學生正確應用算術平方根的表示方法計算.

2.學生口述過程.

解：⑴12.(2)0.1.(3號(4)13.(5)16.

觀察“做一做”中⑷和⑸的結果，你有什么發現？

a(a>0),

小組討論得出:、宇=\a\=0(a=0),

-a(a<0).

語言表述:一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值.

說明：首先讓學生體驗一個數的算術平方根應滿足怎樣的等式，應該用怎樣的符

號來表示，在此基礎上再求出結果.在開始階段，宜讓學生適當模仿，熟練后直接寫出

結果.

【課件5】

例1計算下列各式.

(1)71769；(2)^225;

(4)"17)2.

說明：要讓學生明白各式所表示的意義；根據平方關系和算術平方根的概念進行

求解，注意解題格式.

(2)^225=^15^=-15.(3)土后土屑號

解：(l)YT^=VT字=1.3.

(4)=-V172=-17.

【課件6】

例2某小區有一塊長方形草坪，為了加強保護，小區管理人員準備用籬竺沿草

坪邊緣將具圍起來.已知該長方形草坪的長是寬的4倍,草坪的面積是900m',求所需

籬笆的總長度.

(解析)(1)如果設所需籬笆的寬為次,它的長是多少?怎樣列方程？(2)怎樣求

出x的值？

解:設這塊長方形草坪的寬為須,則長為4Am.

因為長方形草坪的面積是900m2,所以4x?尸900,即*=225.

所以^=±V225=±V152=±15.

A=-15不合題意，舍云.

所以A=15,2X(15+4X15)=150(m).

答:所需籬笆的總長度是150nL

［設計意圖］體會平方根和算術平方根的實際意義,理解實際情境中值的取舍;

規范步驟,讓學生養成良好的書寫習慣.

三、課堂小結：

算術平方根的定

一個正數a的正的平方根內叫做a的算術平方根.

義

算術平方根的表

?S20)(即非負數有算術平方根)

示方法

表示一個數的平方的算術平方根，它等于這個數的絕對值.

后的意義a(a>0),

即:=|a|=0(a=0),

-a(a<0).

注意的問題

（1）只有非負數有算術平方根；（2）算術平方根具有雙重非負性,一個是被開方

數是非負數,二是結果是非負數；（3）百（a20）的最小值是0.

14.2立方根

教學目標

【知識與能力】

1.了解立方根的概念，初步學會用根號表示一個數的立方根，讓學生體會一個數的立

方根的唯一性.

2.了解開立方與立方互為逆運算，會用立方運算求某些數的立方根，分清一個數的立

方根與平方根的區別.

【過程與方法】

1.幫助學生了解數的立方根的概念和性質，會用三次根號表示數的立方根,讓學生體

會一個數的立方根的唯一性.

2.幫助學生了解開立方運算與立方運算之間的互逆關系，掌握用立方運算求一個數的

立方根的方法，幫助學生了解用計算器求某些數的立方根的方法.

3.通過學生的積極參與,培養學生獨立思考的能力,提高數學表達和運算能力.

【情感態度價值觀】

1.通過立方根的學習，認-只數學與人類生活的密切聯系,激發學生的學習興趣.

2.通過探究活動，鍛煉克服困難的意志，增強自信心，激發學生的探索熱情.

教學重難點

【教學重點】

立方根的概念和性質.

【教學難點】

區別立方根和平方根.

教學過程

一、新課導入：

導入一：

師:請同學們回憶我們是怎樣定義平方根的?它的符號怎么表示？

生:如果代a那么x叫做a的平方根（或二次方根）.符號表示：土其中a2

o.（教師板助

師:我們還學習了一種新的運算,是什么運算呢。它是怎么定義的？

生：開平方:求一個數的平方根的運算,叫做開平方,與平方互為逆運算.

師:那么平方根有什么樣的性質呢？

生:正數有兩個平方艱,它們互為相反數;0的平方根還是0;負數沒有平方根.

教師引導學生回憶，并回答出平方根的定義、符號表示及性質，對定義及符號進行

板書，性質利用表格的形式板書出來,有利于跟本節課的新知識進行對比.

被開方數平方根

正數2個,互為相反數

00

負數無

［設計意圖］通過對平方根的復習，可以增加學生對平方根的印象，同時,教

師也能通過學生復習過程的表現，間接了解學生對知識的掌握程度，也能讓學生在學

習完立方根后，更好地對這兩個概念進行比較.

導入二：

傳說很久以前,在古希臘的某個地方發生大旱,地里的莊稼都干了，于是大家一起

到神廟里去向神祈求.神說：“我之所以不給你們降水,是因為你們給我做的這個正方

體的祭壇太小，如果你們給我做一個比它大一倍的祭壇放在我面前，我就會給你們降

下雨水.”大家覺得這好辦,于是很快做好一個新祭壇送到神那兒,新祭壇的邊長是原

祭壇的2倍,可是神更加惱怒,他說:“你們竟愚弄我!這個祭壇的體積根本不是原來的

2倍,我要懲罰你們！”

要做一個體積是原來2倍的新祭壇,它的邊長應該是原來的多少倍呢?學完這節

課，同學們一定會有所收獲.

［設計意圖］通過故事情境的導入,讓學生對本節內容的學習充滿了期待，能更

加積極地投入到本節的學習之中.一個良好的學習態度，是學生學習知識的基礎,學生

積極性的調動,更是一節課成功的靈魂.

二、新知構建：

活動一:感知立方根

【課件1】（教材第66頁觀察與思考）如圖所示，已知小正方體的棱長為2,那么

它的體積是多少?反過來,如果大正方體的體積匕27,你能不能求出它的棱長x呢？

(1)想一想:正方體的體積公式是什么？

體積=棱長3

(2)你能解答這道題嗎？

指名口述：由正方體的體積公式可知,棱長是2的正方體的體積是2~8.因為33=27,

所以當f=27時，產3.

說明:將此題轉化為求一個數,使它的立方是27,得出這個數是3.

活動二:立方根的定義

［過渡語］我們知道了平方根的定義，那么什么叫做立方根呢?請同學們完成下

面的問題.

【課件2］(教材第66頁試著做一做)求滿足下列各式的x的值.

(1)A-1;⑵爐工64;(3)V工0.008;(4)^=—.

125

指導學生獨立完成,然后指名回答.

解：(1).Y=T.(2)x=4.(3)A=0.2.(4)產二.

5

本題是已知一個數A的立方,求這個數的值,而平方根是已知一個數的平方,求這

個數,從而學生可以類比平方根的概念歸納出立方根的概念.

師:對比平方根的定義，你能歸納出立方根的定義是什么嗎？

學生談論思考,教師引導歸納概念：

概念歸納:一般地,如果一個數x的立方等于冬即爐=&那么這個數x就叫做d的

立方根,也叫做a的三次方根.(教師板書)

師:在上面問題中，因為33=27,所以3是27的立方根.

類比開平方的運算,我們也可以定義出開立方運算:求一個數的立方根的運算，叫

做開立方.(板書)

正如開平方與平方互為逆運算一樣,開立方與立方也互為逆運算.因此,我們可以

通過開立方與立方的這種關系來求一個數的立方根.

［設計意圖］聯系平方根的概念,讓學生類比,給出立方根的概念,學生初步體會

到立方根與平方根的聯系和區別.

活動三:立方根的性質及表示方法

1.立方根的性質

思路一

探究:根據立方根的意義填空，看看正數、0、負數的立方根各有什么特點。

教師將題目板書出來,然后要求學生口答,最后讓學生觀察、討論,歸納出立方根

的性質.

【課件3】

①因為23=8,所以8的立方根是(2);

②因為(0.5)W).125,所以0.125的立方根是(0.5);

③因為(V.5/=4).125,所以~0.125的立方根是(a5);

④因為03=0,所以0的立方根是(0);

3

⑤因為(-|)二吟,所以吟的立方根是(-|).

【課件4】(教材第67頁大家談談)

1.一個正數有幾個立方根?正數的立方根是正數還是負數？

2.一個負數有幾個立方根?負數的立方根是正數還是負數？

3.0的立方根是什么數？

生:一個正數有一個立方根，正數的立方根是正數;一個負數有一個立方根，負數

的立方根是負數;0的立方根是0.

歸納:任何數(正數、負數、0)都有立方根，并且只有一個.

教師根據學生的回答將以下的表格填寫完整，可以清晰地看出平方根和立方根的

區別，同時要求學生記在筆記上.

被開方數平方根立方根

正數兩個,互為相反數有一個，是正數

000

負數無有一個，是負數

教師還要指導學生:我們發現，進行立方運算，當底數互為相反數時，它們的

鼎也互為相反數，這與平方運算不同.平方運算的底數互為相反數，但它們的幕相等，

故一個正數的平方根有兩個，但一個正數的立方根卻只有一個.

［設計意圖］讓學生動手計算,親身感受任何一個數都有一個立方根，以及一個

數的立方根的唯一性,并體會到開立方與立方互為逆運算,求一個數的立方根可以通

過立方運算來求的道理.教學中，教師注意引導學生養成邊做邊總結的習慣,有利于學

生明晰道理.

思路二

想一想:平方根的性質是什么？

學生思考后得出：(1)正數的平方根有兩個，它們互為相反數；(2)0的平方根是

0；(3)負數沒有平方根.

［過渡語］那么立方根又有怎樣的性質呢？下面我們共同探討一下.

【課件5】求下列各組數的立方根.

(1)125,0.004,3-;

648

(2)0;

(3)-125,-0.004,—64,-3-8.

說明：引導學生說出以上三組數的立方根,并討論能得出哪些結論?

教師根據學生的回答進行歸納：

【總結歸納】

(一個正數有一個正的立方根;

|o有一個立方根,是它本身；

一個負數有一個負的立方根;

、任何數都有唯一的立方根.

大多數同學也會得到,互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數，教師也要及

時加以表揚和肯定.

［規律總結］

(1)求一個數的立方艱時要注意:一個正數只有一個正的立方根，一個負數只有一

個負的立方根,這和一個正數有兩個平方根，一個負數沒有平方根不同.

(2)立方根等于它本身的數只有三個:0,T,1.

(3)當一個分數是帶分數時,先將它化為假分數再求它的立方根.

2.立方根的表示方法

［過渡語］通過計算我們會發現,這樣表述一個數的立方根太復雜了，是否立方

根也能像平方根一樣用一個符號來表示呢？

類似于平方根，一個數a的立方根用符號“表示,讀作“三次根號a”,其中，a

是被開方數,3是根指數.

師:現在我們學習了立方根的符號表示，就可以用立方根的符號表示一個數的開

立方運算.

【課件6】

例1

(1)2-7;(2)-8;(3)-0.064.

解：⑴因為(I?=弟所以.的立方根為|,即

(2)因為(-2尸=-8,所以-8的立方根為-2,即

(3)因為(4).4)3:4).064,所以4).064的立方根為4).4,即60.064二~0.4.

教師在書寫過程中要重點強調：“孤”的根指數3不能省略，同時3的書寫位置

也要重點注意.此處教師可以通過舉反例的方法來引起學生的注意.

問題1:學習了立方根的符號后,大家是否有個疑問，立方根有根指數3,那么算術

平方根有沒有根指數呢?如果有,它的根指數是多少。

教師通過學生的回答情況,強調：算術平方根也有根指數,且為2,因此傷也可以

讀作“二次根號a"，但是這里的根指數可以省略.

問題2:我們已經學過算術平方根的符號中的a必須是非負數,那么立方根的符號

中的a的取值有什么限制嗎？

生:立方根的符號中的，沒有限制，可以取任何數.

教師通過這個問題總結出：任何數都有立方根，且它的立方根都只有一個，但只有

非負數才有平方根.

［知識拓展］平方根與立方根的聯系與區別.

聯系:①都有相應的乘方運算與開方運算互為逆運算,開平方與平方互為逆運算，

開立方與立方互為逆運算;②0的平方根與立方根都是它本身.

區別:①用根號表示平方根時，根指數2可以省略，而用根號表示立方根時，根指

數不能省略;②平方根只有非負數才有,而立方根任何數都有.如T沒有平方根，但有

立方根,為-2;③正數的平方根有2個,而正數的立方根只有1個.如2的平方根是土企,

而立方根只有血.

［課件7］探究:因為V2年,-V8=,所以班-我.

因為V-0.125=,-VO7125=，所以-0.125

-VO.125.

問題3:請同學們計算出上式,看看你能得出什么結論？

學生計算出各題的答案后，能得出兩者是相等的，教師再引導學生總結出一般規

律:①=o；②V7港-亞.

開立方和立方互為逆運算關系,求一個數的立方根,就可以利用這種互逆關系，檢

驗結果的正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相

反數，即諄二-孤.（互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數）

問題4:想一想:一個數a的立方的立方根等于多少?請舉出幾個例子加以說明.

教師指導學生舉正數、負數、0的立方的立方根，從中發現規律.

歸納:一個數的立方的立方根等于它本身，即/二a

【課件8】

例2求下列各式的值.

⑴“0.027;(2)

(解析)教師分析出每題的含義,然后再求解.

含義：(1)表示3.027的立方根.(2)表示白的立方根.

216

解:(1)V-0.027=-V0.027=-Vo.33=-0.3.

⑵告得

【課件9】拓展練習.

⑴廣!；⑵V-B+27;(3)+V27.

教師重點關注學生的解題格式，以及第二題的計算順序是否正確，再將第三題與

之對比，讓學生體會其中的區別.同時，教師要向學生強調混合運算中的計算順序問

題.

解:⑴疹=席=需/

(2)"-8+27=V19.

(3)部兩+舊=-2+3=1.

［設計意圖］在了解立方根的性質的同時，讓學生掌握立方根的表示方法;通過

對問題的探究,讓學生掌握立方根的一些規律,從而能夠靈活應用.例題著重于弄清立

方根的概念,不僅讓學生會求立方根,還讓學生學會從開立方與立方是互為逆運算中

尋找解題途徑.

三、課堂小結：

立方根一般地,如果一個數X的立方等于&即那么這個數x就叫做a的立方

的定義根，也叫做。的三次方根.

立方根

一個數a的立方根,用符號“正”表示,讀作“三次根號a"，其中，,是被開

的表示

方法方數,3是根指數.

(1)一個正數有一個立方根,正數的立方根是正數；

立方根

(2)一個負數有一個立方根,負數的立方根是負數；

的性質

(3)0的立方根是0.

14.3實數

第一課時

教學目標

【知識與能力】

1.理解和掌握無理數和實數的概念.

2.能正確識別無理數.

3.能正確地對實數進行分類.

【過程與方法】

通過實際問題的探究，使學生認識到數的擴充的必要性.

【情感態度價值觀】

經歷從有理數逐步擴充到實數的過程，體會人類對數的認識是不斷發展的，認識到數

學的發展源于生活實際，又作用于生活實際.

教學重難點

【教學重點】

了解無理數和實數的概念.

【教學難點】

對無理數的認識.

教學過程

一、新課導入：

導入一：

1.復習提問：

(1)正數的平方根怎樣表示?平方根的性質是什么？

(2)什么叫做算術平方根?什么樣的數有算術平方根？

(3)立方根的概念是葉么？它有怎樣的性質？

2.(教材第69頁一起探究)如圖⑴所示，在半透明紙上畫一個兩條直角邊都是

2cm的直角三角形力的然后剪下這個三角形,再沿斜邊上的高切剪開后,拼成如圖(2)

ADB

所示的正方形.(1)(2)

這個二角形的面積和拼成的正方形的面積是不是相等的？面積是多少？

讓學生求出面積，提問：如果設正方形的邊長為疣叫那么x與這個正方形的面積

有怎樣的關系？

引導學生說出：V=2,因為正方形的邊長是正數，所以x是2的算術平方根,即企.

或是一個什么樣的數呢？

［設計意圖］通過復習使前后知識銜接，為學習后續知識做鋪墊；學生通過動手

操作，培養學生的動手能力，學生在回答問題的過程中積極思考，加深對無理數的認

識.

導入二：

幾千年來,人們為了尋求圓周率”的精確的近似值付出了巨大的努力，我國南北

朝時期偉大的數學家祖沖之，第一個將圓周率幾精確到小數點后的第七位，這一記錄

保持了近一千年.進入電腦時代，圓周率的計算突飛猛進，1999年，日本學者金田安政

及合作者在一臺日立SR—800計算機上算得的n的值竟然精確到了2061億多位.現

在，計算人的近似值已成為測試計算機運行速度的一個重要指標，那么n到底是一個

什么樣的數呢？

［設計意圖］利用圓周率n一一這個學生早已熟悉的數，把數進一步擴充，使

學生認識到這個數與以前學過的有理數不同，增加神秘感和學生的好奇心，使學生產

生濃厚的學習興趣.

導入三：

師:隨著年齡的增長、學習的深入，我們對數的認識也在不斷地更新，請同學們回

憶一下,到目前為止,我們己經認識了哪些數？（舉一個具體的例子）

生：（學生可能說出的數）自然數、整數、分數、正整數、負整數、正分數、負分

數、小數、有限小數、無限循環小數、無限不循環小數、偶數、奇數、質數、合數、

正數、負數……

（讓學生大膽地說，一個學生講完,其他學生補充,教師在黑板上記錄）

師：不得了，我們已經認識了這么多數，那么這些數與數之間有什么關系，你能不

能幫我整理一下，理出一個思路呢？

比如:整數（板書），你能把屬于整數的都找出來嗎？

生:正整數、負整數、0、自然數、素數（質數）、合數、奇數、偶數.

（在開始記錄的數的前方編號①）

師：同樣,分數（板書），你能把屬于分數的都找出來嗎？

生:正分數、負分數、有限小數、無限循環小數、帶分數.（在開始記錄的數的前

方編號②）

師：剩下還有一些數，它們是整數嗎？是分數嗎？

如果學生說到“小數”：首先小數有哪幾類？

有限小數可以化為分數（如1.3）;

無限循環小數可以化為分數（如0.3）：

還有沒有其他的小數呢？（學生舉例：冗）它是整數嗎？是分數嗎？那到底是什么數

呢？

如果學生說到“無限不循環小數幾”，它是整數嗎？是分數嗎？誰知道"是多

少?3.1415926…（追問：后面呢?）課件展示j盡可能位數多一點，讓學生觀察其特點

（無限、不循環）.

這樣的數,生活中還有嗎?我們來玩一個拼圖游戲.

［設計意圖］使學生重新認識以前學過的數，了解數的發展和擴充,逐步深化,最

后引出無限不循環小數，即本節課要研究的內容一一無理數.

二、新知構建：

活動一：無理數的初步感知

思路一

［過渡語］&這個數是客觀存在的，導入一中直角邊長是2的等腰直角三角形的

斜邊上的高以及邊長是1的正方形的對角線長都是您.

1.大家談談——初步感知

【課件1】

1.或是整數嗎？-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2嗎?你認為有平方后等于2的整

數嗎？

2.魚是分數嗎？3,3,4"，|，浙平方等于2嗎?你認為有平方后等于2的分

數嗎？

3.企會是有理數嗎？

說明：引導學生在小組內交流，使學生認識到:

（1）整數的平方是整數,沒有平方后得2的整數.

（2）分數的平方是分數,沒有平方后等于2的分數.

（3）平方后等于2的數既不是整數，也不是分數，所以加不是以前熟悉的有理數.

想一想:遮到底是什么樣的數呢？

2.計算機計算一一強化認識

讓學生用計算機計算,展示計算機計算的結果，學生觀察，說出自己的看法.

可設置如下問題：

（1）小數可以分成幾類？

（有限小數

學生得出：小數|上“9.米/f無限循環小數

無限小數,

II無限不循環小數

（2）或是什么樣的小數？

（加是無限不循環小數）

教師展示圓周率幾二

3.1415926535897932384626433832795028841971….實際上，圓周率,也是一個

無限不循環小數.

［設計意圖］對無理數有個初步的認識，加和n都是無限不循環小數，讓學生了

解它們不是以前學過的有理數，滲透知識的形成過程.

思路二

（針對導入一）

1.活動:請同學們拿出準備好的兩個邊長為1的小正方形和剪刀,將小正方形沿

著對角線剪開,設法重新拼成一個大正方形,大家動手試一試.

師:經過同學們的努力，基本都完成了任務，請一位學生把自己拼的圖在黑板上展

示出來.

師:你們知道這個大正方形的面枳是多少嗎？為什么？

生:它的面積為2,因為它是由兩個面積為1的公正方形拼成的.

師:你知道了這個圖形的面積,對這個正方形，你還想知道它的一些什么信息呢？

生:邊長.

師:你知道它的邊長是多少嗎？

如果有學生說出企,先表揚（看來你對數學是很有興趣的，肯鉆研），那么魚是什

么數呢？若回答1J14…（后面呢？）；若回答無限不循環小數（你怎么知道的呢？）.

2.為了便于探究這個問題,我們假設拼成的大正方形的邊長為x,那么A2.

探究：（l）x是整數嗎？

生：因為22=4,x是1和2之間的數，1〈水2,所以x不可能是整數.

（2）x是分數嗎？

通過EXCEL,讓學生尋找是否有這樣的一個分數,它的平方正好是2?

找不到這樣的一個分數,它的平方正好是2（直觀感受），x也不是分數.

換個角度：如果x是分數,那么兩個相同的分數相乘,積一定還是分數，不可能是2

的.

（3）x是怎樣的數？

1.5X1.5=2.25,1.41X1.41=1.9881,

1.4X1.4=1.96,1.42X1.42=2.0164,

1.4<KL5,1.41<x<l.42,1.414<JK1.415-

探索中,得到1.4<X1.5,1.4KK1.42,1.414a<1.415……由此可以得到：片是一

個無限小數，它總介丁?兩個有限小數之間，但永遠找不到這樣的個有限小數等丁及

同時,這些小數都不是循環小數.

按照這種方法探索下去,x的值是

1.414213562373095048801688724209698078569-.

師:你們發現這個數和H有什么共同點嗎？

生:無限、不循環.

［設計意圖］通過拼圖得到魚,然后采用逐步逼近的方法,通過計算與類比讓學

生發現這個數是無限不循環小數,在操作的過程中，著重學生動手能力和計算能力的

培養,讓學生主動發現問題、研究問題,體現了知識的獲取過程.

活動二:無理數概念的形成

1.形成概念

［過渡語］通過剛才的探究和計算,我們已經知道了夜和H都是無限不循環小

數,那么有理數可以化成怎樣的小數呢？

想一想：（1）什么叫做有理數？

（2）整數和分數都可以化成怎樣的小數？

說明：整數可以寫成小數部分是0的小數.如TO=T0.0,0,0=0.0等.

師：任何分數都可以化成怎樣的小數？

讓學生把忌,弓7,53,i5化成小數,并觀察其特點.

1UU5Z1633ZZ

歸納:分數可以寫成有限小數或無限循環小數.

思考:任意給定一個分數，你能將它寫成有限小數或無限循環小數嗎?請你利用計

算器再計算幾個分數.

得出結論:有理數總可以寫成有限小數或無限循環小數.

那么我們思考一下企,通是不是有理數?為什么？

通過前面的學習，學生可以知道&二1.41421356…,它是一個無限不循環小數.

我們把無限不循環小數叫做無理數.其實，無理數有很多，很多數的平方根和立方

根都是無理數,如:V3=l.732-,V5=2.23606-,V2=l.25992-,祈口二2.15443…等都

是無限不循環小數,它們都是無理數.

［知識拓展］（1）判斷一個數是不是無理數,一是看它是不是無限小數;二是看它

是不是不循環小數，滿足“無限”和“不循環”這兩個條件,才是無理數.

（2）初中階段所學的無理數主要包含以下幾種:①特殊意義的數:如圓周率n及

含冗的一些數，如2-n等;②開方開不盡的數，如遙，-y/2,V5等;③特殊結構的數，如

2.01001000100001…（每兩個1之間依次多一個0）等.

（3）帶根號的數不一定是無理數，如而二0,仆二3,它們不是無理數,而是有理數,無

理數也不一定帶根號,如n.

學習了有理數和無理數兩個概念后，下面我寫幾個數，你們來判斷一下，它是有理

數還是無理數？

-3,1.1414,2冗，0.1010010001…（每兩個1之間依次多一個0）,-0.1010010001-

（每兩個1之間依次多一個0）.

師:你還能寫出一個無理數嗎？

教師說明：無理數包括正無理數和負無理數,你們可以舉出一些實例嗎？

強調:一般a是一個正無理數，那么-a是一個負無理數.

我們把有理數和無理數統稱為實數.

想一想:有理數與無理數有?什么區別？

（i）rr理數總可以寫成rr限小數或無限循環小數的形式，而無理數是無限不循環

小數.

（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成分母是1的分數），而無理

數不能化成分數的形式.

［設計意圖］引導學生認識到有理數可以化成有限小數或無限循環小數的形式,

使學生類比有理數的特點，總結出無理數的概念.了解數的擴充的必要性和實數的意

義,提高學生對數的理解.

2.歷史背景

［過渡語］實際上，第一個發現無理數的人卻被拋進大海,你想知道這其中的故

事嗎？

【課件2】小故事:2500年前，當時的數學家畢達哥拉斯認為“宇宙中存在的數

都是有理數”，擁護他的人認為畢達哥拉斯是至高無上的,他所說的一切都是真理.但

后來有一位年輕學者希伯索斯發現邊長為1的正方形的對角線的長不能用有理數來

表示,這個發現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，為此希伯索斯被投入大海.他為真理獻

出了寶貴的生命,但真理是不可戰勝的.后來人們正視了希伯索斯的發現，也就是我們

前面談到的“2中的x穴是有理數.

我們現在所學的知識都是前人給我們總結出來的，我們一方面應積極地學習這些

知識，另一方面我們也不能死搬教條,要大膽質疑,如不這樣,科學就會停滯不前,要向

希伯索斯學習，學習他為追求真理而大無畏的精神.

［設計意圖］通過史實介紹,讓學生受到思想教育，培養學生追求真理的精神,從

而體現數學課堂中對學生的思想教育.

三、課堂小結：

（有理數:總可以化成有限小數或無限循環小數

1.實數《

（無理數:無限不循環小數

2.無理數滿足的三個條件：（1）首先是小數；（2）其次是小數中的無限小數；（3）并

且是無限小數中的不循環小數.

第二課時

教學目標

【知識與能力】

1.知道實數與數軸上的點具有一一對應關系.

2.能正確對實數進行分類.

3.能求出實數的絕對值、相反數、倒數.

【過程與方法】

通過在數軸上畫出表示I和J2的點，理解實數和數軸上的點一一對應，體會數形結

合的思想.

【情感態度價值觀】

引導學生積極參與教學活動，產生探求新知的欲望，增強學習數學的興趣.

教學重難點

【教學重點】

實數的分類.

【教學難點】

實數與數軸上的點一一而應.

教學過程

一、新課導入：

導入一：

當數從有理數擴充到實數以后，相反數和絕對值的意義以及運算法則對于實數來說是

否還適用呢？

【課件1】

【提出問題】

(1)2的相反數是,-2的相反數是,0的相反數是;

⑵|3|二,|-3|=,|0|=；

(3)5的倒數是,-的倒數是.

(4)有理數可以用數軸上的點表示嗎？

［設計意圖］復習鞏固有理數的知識,為學習新知識做好準備.

導入二：

【課件2】閱讀下面的一段對話.

小明說：“有理數和數軸上的點是一一對應的

小麗說：“你說得不對，應是實數和數軸上的點是一一對應的.”

同學們，兩人到底誰說得對呢?我相信，當你認真學完本節后,答案自然能見分曉.

［設計意圖］以兩人對話的形式引入本節課題，易提高學生的學習興趣.

導入三：

【課件3】

1.填空:無限不循環小數叫做,有理數和統稱為實數.

2.判斷對錯:對的畫“”，錯的畫“X”.

(1Q是有理數.()

⑵々是無理數.()

(3)我是無理數.)

(4)n是無理數.()

(5)3.14159265是無理數.()

(6)0.谷是無理數.()

師:上節課我們學習了什么是實數，那么什么是實數呢？(出示下圖)

師:初一的時候,我們學過有理數，有理數包括整數和分數.這學期我們學習了一種新

的數，什么數?無理數.無限不循環小數就是無理數.無理數的出現，使數的范圍擴大了.

有理數和無理數合在一起統稱為實數.

師:大家還記不記得,初一的時候我們學過不少有關有理數的結論,這些結論當時是針

對有理數說的,現在數的范圍擴大到了實數,這些結論還成立嗎?我們一起來看一看.

［設計意圖］復習無理數與實數的相關知識,從數的擴充和發展了解數的范圍的擴大,

設置疑問，確定本節課要