f.第田章復數

DIQIZHANG7.2復數的四則運算

IB7.2.1復數的加、減運算及其幾何意義

E3IWE3S30(教師獨具內容)

課程標準：1.掌握復數代數表達式的加、減運算法則.2.了解復數代數表達式的加、減運算的幾何意義.

教學重點：復數代數表達式的加、減運算.

教學難點：復數加、減運算的幾何意義以及應用.

核心概念掌握

◎

--知位導學---------------

知識點一復數的加法與減法

(1)復數的加減法運算法則

(a+Z?i)±(c+Ji)=1^1(a±c)+(/?±d)i.

(2)復數加法的運算律

復數的加法滿足嗎交換律、畫結合律,即對任何Zl,Z2,Z3GC,有Zl+

Z2=I更IZ2~I~Z1;(ZI+Z2)+Z3=131Z1+(Z2+Z3).

知識點二復數加'減法的幾何意義

(1)復數加法的幾何意義

->—?—>—>

設OZ1,OZ2分別與復數a+bi,c+di對應，則OZi=(a,b),OZ2=(c,d).由

—>—>—>—>

平面向量的坐標運算法則，得OZi+OZ2=(a+c,b+e.這說明兩個向量OZi與OZ2

的和就是與復數(a+c)+S+c/)i對應的向量.因此復數的加法可以按照向量加法

來進行.

(2)復數減法的幾何意義

復數ZI—Z2是連接向量。Zl,OZ2的回一終點,并指向被減向量的向量Z2ZI所

—>

對應的復數.設zi=xi+yii,Z2=X2+y2i,則d=|ZiZ2|=|Z2Zi|=|zi—Z2|=|(xi+yii)

—(X2+y2i)|=|(Xl-X2)+(yi-y2)i|=7(X1—X2)2+-”)2.

(3)復平面內的兩點間距離公式：J=B|ZI-Z2|.

其中Zl,Z2是復平面內的兩點Z1和Z2所對應的復數，△為Zl和Z2間的距離.

―>—>

如圖：設復數Zi,Z2對應向量分別為OZi,OZ2,四邊形OZ|ZZ2為平行四邊

-->f—y--A

形，則與Zl+Z2對應的向量是畫OZ,與Z1-Z2對應的向量是畫Z2Z1.

新知拓展

復數模的兩個重要性質

|Z2||W|zi土Z2|W|zi|+|Z2卜

(2)|ZI+Z2|2+|ZI~Z2|2=2|zi|2+2|z2|2.

O評價自測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(1)復數與向量一一對應.()

(2)復數與復數相加減后結果只能是實數.()

(3)因為虛數不能比較大小，所以虛數的模也不能比較大小.()

(4)兩個共軻虛數的差為純虛數.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)計算：(3+5i)+(3-4i)=.

(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=.

―?-?―>

(3)已知向量OZi對應的復數為2—3i,向量OZ2對應的復數為3—4i,則向量Z0

對應的復數為.

答案(l)6+i(2)-Hi(3)1-i

核心素養形成

題型一復數的加、減運算

例1計算：(1)(3—算)+(—4一。一(3+4。；

(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).

［解］(1)原式=(3—4—3)+(—5—1—4)i=-4—10i.

(2)原式=(5-9+3)+(—7+8—2)i=-1—i.

金版點睛」

復數代數形式的加、減法運算，其運算法則是對它們的實部和虛部分別進行

加、減運算.在運算過程中應注意把握每一個復數的實部和虛部.這種運算類似

于初中的合并同類項.

「跟蹤訓練1

計算：(1)(1+2i)+(—2+i)+(—2—i)+(l—2i)；

(2)(i2+i)+|i|+(l+i).

解(1)原式=(—l+3i)+(—2—i)+(l—2i)=(—3+2i)+(l—2i)=—2.

(2)原式=(—l+i)+-\Jo+12+(1+i)=—l+i+l+(l+i)=l+2i.

題型二復數加、減運算的幾何意義

例2已知四邊形A8CO是復平面內的平行四邊形，且A,B,。三點對應的

復數分別是l+3i,—i,2+i,求點。對應的復數.

［解J解法一：設點。對應的復數為x+yi(x,yGR),

則D(x,y).

又由已知得A(l,3),B(O,-1),C(2,l),

AC中點為仔，2),80中點為修，寫

2-2,

?.?平行四邊形對角線互相平分，,

?<x=3,

?j=5.

即點。對應的復數為3+5i.

解法二：設點。對應的復數為尤+W(x,yGR).

―>

則對應的復數為(x+yi)—(l+3i)=(x—1)+。一3)i,

—?

又對應的復數為(2+i)—(一i)=2+2i.

—>—>

由已知得AO=BC,.\(x-l)+(y-3)i=2+2i,

fx-l=2,[x=3,

lv—3=2,1=5,

即點。對應的復數為3+5i.

［條件探究］若一個平行四邊形的三個頂點對應的復數分別為l+3i,-i,2+

i,求第四個頂點對應的復數.

解設l+3i,—i,2+i對應A,B,C三點，。為第四個頂點，則①當四邊形

A8CO是平行四邊形時，點。對應的復數是3+5i.②當四邊形ABOC是平行四邊

形時，點。對應的復數為l—3i.③當四邊形ADBC是平行四邊形時，點。對應的

復數為-1+i.

金版點睛」

(1)根據復數的兩種幾何意義可知：復數的加、減運算可以轉化為點的坐標運

算或向量運算.

(2)復數的加減運算用向量進行時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.

(3)復數及其加減運算的幾何意義為數形結合思想在復數中的應用提供了可

能.

「跟蹤訓練2

已知復平面內平行四邊形ABC。，A點對應的復數為2+i,向量84對應的復

->

數為l+2i,向量對應的復數為3—i,求:

(1)點C,。對應的復數；

(2)平行四邊形A8CD的面積.

—>—>

解(1)因為向量84對應的復數為l+2i,向量3c對應的復數為3—i,

->

所以向量AC對應的復數為(3—i)-(l+2i)=2-3i.

—>—>—>

又OC=QA+AC,所以點C對應的復數為(2+i)+(2—3i)=4—2i.

->—?—>—>

因為AO=8C,所以向量A0對應的復數為3—i,即AO=(3,-1),

―>

設O(x,y),貝UAD=(九-2,y—1)=(3,-1),

x―2=3,x=5,

所以解得<

j—1=-1,j=0.

所以點。對應的復數為5.

-?—>—?—?

⑵因為84BC=|BA||BacosB,

―>—>

BABC3-2_1__巫

所以cosB=

——y[5Xy[lO5y[21。'

\BA\\BC\

7_7/

所以sinB=

5小—10'

7歷

所以S=|BA||BGsinB=^X?X%=7.

所以平行四邊形ABC。的面積為7.

題型三復數加、減運算的幾何意義的應用

例3已知|Z1|=|Z2|=|ZLZ2|=l,求|Z1+Z2|.

[解]解法一：設zi=a+hi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),

V|Z||=|Z2|=|Z|-Z2|=l,

.,.a1+b2=cr+d1=1,①

(a-c)2+(Z?-d)2=i.②

由①②得2ac+2bd=l.

/.|zi+z2|=^/(<z+c)2+(/?+J)2

=，\+廿+62+心+240+2bd

解法二：設。為坐標原點，Zl,Z2,Z1+Z2對應的點分別為A,B,C.

,.,|Z1|=|Z2|=|Z|-Z2|=1,.?.△OAB是邊長為1的正三角形，

...四邊形。4cB是一個內角為60。，邊長為1的菱形，且|Z1+Z2|是菱形的較

長的對角線。。的長，

：.\zi+z2\=\OC\

=，|0Aj+|AC|2一2QA||AC|cosl20o=小.

金版點睛」

掌握以下常用結論：

在復平面內，zi,Z2對應的點為A,8,Z1+Z2對應的點為C,O為坐標原點,

則四邊形OACB：

①為平行四邊形；

②若|zi+z2|=|zi—Z2|,則四邊形O4CB為矩形；

③若|zi|=|z*則四邊形。ACB為菱形;

④若|zi|=|Z2|且|zi+z2|=|zi—Z2|,則四邊形OACB為正方形.

「跟蹤訓練3

若復數z滿足|z+i|+|z—i|=2,求|z+i+1|的最小值.

解解法一：設復數一i,i,—(1+i)在復平面內對應的點分別為Zi,Z2,Z3.

如圖，

所以復數z對應的點Z的集合為線段Z1Z2.

問題轉化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，由圖可知|ZiZ3|

為最小值且最小值為1.

解法二：設z=x+yi(x,yGR).

因為|z+i|+|z—i|=2,

所以出2+3+1)2+??+(廠1)2=2,

又"+(y+l)2=2—1)220,

所以0W1(W2,

因為:x2+(y+l)2=2Ip,

所以兩邊平方可得1—產"+(廠1)2,

即(1一卜)2=/+0—1)2,且0W1—yW2.

所以x=0且一1WyWl,貝Uz=yi(—lWyWl).

所以|z+i+11=11+。+1)i|=4阡6不F21，

等號在y=—1即2=-i時成立.

所以|z+i+l|的最小值為1.

隨堂水平達標

1.復數zi=3+i,Z2=l—i,則zi—Z2在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析..,zi-Z2=(3+i)—(1—i)=2+2i,...zi—Z2在復平面內對應的點位于第

一象限.

2.已知|z|=3,月.z+3i是純虛數，則W等于()

A.-3iB.3i

C.±3iD.4i

答案A

解析設z=x+yi(x,yGR),由z+3i=x+(y+3)i為純虛數，得x=0,且yW

—3,又|z|=?r2+y2=|y|=3,.'.y=3,/.z=3i,二z=-3i.故選A.

->—?

3.非零復數Zl,Z2分別對應復平面內的向量OA,OB,若|zi+z2|=|zi—Z2|,

則()

―>—>—>—>

A.OA=OBB.\OA\=\OB\

—>—>—>—>

C.OALOBD.OA,03共線

答案C

―?—?―?—?―>

解析如圖，由向量的加法及減法法則可知，OC=OA+08,BA=0A—

―>