天津職業技術師范大學

人教A版數學必修5第48-52頁

2.4等比數列

理學院數學0801劉瑞平

等比數列教案

一、課題：等比數列

二、課型：新授課

三、教材分析

等比數列的學習在本章中占很大的比重。在日常生活中，人們經常遇到的像存款利息等問題，都需要

用有關等比數列的知識來解決。本節內容可以類比等差數列進行教學。

四、學情分析

學生已經已經有了必要的數學知識儲備和一定的數學思維能力，在學完等差數列的基礎上，也已經具

有了必要的及數列相關的知識。因此，可以通過生活中的例子引入等比數列的概念；然后，再類比等差通

項的迭加思想引導學生用迭乘的思想推導等比數列的通項公式。這樣，學生既學習了知識又培養了能力。

五、教學目標：

1）知識目標：使學生理解等比數列的概念；學會利用等比數列的定義判斷一個數列是否為等比數列；利

用通向公式求項。

2）能力目標：讓學生感知數學及生活的普遍聯系，培養學生類比的思想方法，掌握迭乘的思想，調動學

生積極觀察思考。

3）情感目標：使學生體驗數學活動充滿著探索，感受數學思維的嚴謹性，提高學生數學思維的情趣。

4）教學重點及教學難點

教學重點：等比數列的概念

教學難點：等比數列通項的推導，有關等比數列的證明。

六、教學方法：講授法，討論法

七、教學過程：

1、導入，設問激疑

師：上課之前，先問大家一個問題：一張報紙（厚度大約為0.1mm）,將它對折50次會有多厚？如果拿

它做云梯能到哪？

（師生互動，一起來分析這道題目）報紙厚度為

初始0.1mm

折疊1次0.1X2=0.1X21

折疊2次0.1X2X2=0.1x2

折疊3次0.1X2X2X2=0.1X23

折疊4次0.1X2X2X2X2=0.1X24

可以猜想得出，折疊50次之后，報紙厚度為0.1X25°。lg250215.05,也就是說25°是一個

250xO.l一

15位整數，2§5°0x0.1nim=-------------------km,這個數字我們不知道他確切的值是多少，但可以知道它是一

1000X1000

個八位數。而地球到月球的距離僅有385400km（六位數）。（讓學生感受事實及想象之間的差距）

2、新課引入

回過頭來，再次分析報紙的折疊問題。將報紙每次折疊后的厚度，看成是一個數列。

初始0.1mm

折疊1次0.lx2=0.1X21

2

折疊2次0.1X2X2=0.lx2

3

折疊3次0.1X2X2X2=0.lx2

4

折疊4次OJX2X2X2X2=0.lx2

按等差數列來看，它是等差數列嗎？

顯然不是等差數列，同學們觀察一下，這個數列的前項及后項有什么關系？

我們會發現一些特點：從第二項開始，每一項及前一項的比都等于2。

以后，我們就把具有這種特點或特征的數列稱為等比數列。今天我們就一起來認識這種新的數列一

等比數列。（板書課題）

（ppt定義）一般地，如果一個數列從第二項起，每一項及它前一項的比等于同一常數，則這個數列叫等

比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比常用字母q來表示（q^0）o

師：等比數列的定義還可以用怎樣的式子刻畫呢？

生：—=q（常數）（n=l,2,3……）

%

師：以上我們學習了等比數列的定義，接下來我們就利用定義一起來判斷以下一個數列是否為等比數列。

例1、判斷以下數列是否為等比數列？

1）1,2,4,8,16,20....

生：1）是等比數列，因為4_=',（n=l,2,3……）

%2

2）不是等比數列，因為"=2,"=9,不等于同一個常數。

%a54

3）是等比數列，因為&*=q=i

ana

師：有不同意見嗎？

生：當aw0時是等比數列，當z=O時不是。

師：由此可以聯想到等比數列的項和公比有何限制？

生：61rl手。,q手0.

2、設首項為％,公比為q,它的通項怎么寫？

下面，我們類比等差數列，一起來推導等比數列的通項：

在等差數列｛〃〃｝中，

類比推導：

我們用迭乘的方法證明了猜想的正確性，迭乘的方法在這里體現了極大的優越性，當然迭乘不是求數列

通項公式的唯一方法，等我們學完數學歸納法之后，我們還可以給出另一種關于數列通項的推導。我們把

這個結果稱為等比數列的通項公式。（w0,qw0.〃￡N*）

（及剛學過的知識進行類比）

例2、（已知某些項，求a和q）已知一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項和第

二項。

解：設這個等比數列的第1項是《，公比是q,則

因此

a2=ar-q

答：這個數列的第1項和第2項分別是—及8

3

例3、已知數列｛%｝和物,｝是項數相同的等比數列，求證數列｛4?也是等比數列。

bn｝

（板書證明）

證明：設數列｛%｝的公比為P,也“｝的公比為q，｛%｝則數列｛4方“｝的第n項和第n+1項分別為：

nln即與。

ax-p~-bx?與%?p"也?q,

因為%+i,包+1=a/'pq\=p%它是一個及n無關的常數，所以數列｛%?2｝是一個以pq為

an-bnaA（pq）

公比的等比數列。

（師生一起總結證明思路）

例4、（已知項，求項）已知｛｝是一個等比數列，在下表中填入適當的數。

an

Q

%。3。5%

28

223

（學生完成教師預先發下的表格，思考）

（課后探索題）已知｛。“｝是一個無窮等比數列，公比為4。思考：

1）取出數列｛%,｝中的奇數項，組成一個新的數列，這個新數列是等比數列嗎？如果是，請給出證明，并

求出它的首項和公比。

2）在數列｛。，｝中，每隔10項取出一項，組成一個新的數列，這個新數列有什么特點呢？證明你的猜想。

八、本課小結

這節課，我們一起認識學習了一種新的數列一一等比數列。通過學習，我們知道，這種數列的特點是:

從第二項開始，每一項及前一項的比都是同一個定值，稱之為q.

通過及等差數列的類比學習，可以知道等比數列的通項是：n

an=a｝-q-'

九、板書設計

等比數列

證明：設數列｛4｝的公比為P,也“｝的公比為q,｛a｝則

等差：+（〃-1）6?n

nx數列,2｝的第n項和第n+1項分別為：

等比：an=-q~

%?p"T?仇與

通項推導：

%?pn?&1-q",

迭ax

即6仇（P4廣與岫（pq）"o

乘

慶|為""+1'""+1。14（的）A

。2BK

思因為----------=-----7―=pq，匕是一個及n

a“。曲小滬

&=q

想

無關的常數，所以數列｛。“?