北京市第四十三中學2025屆高三下學期第二次階段檢測試題-數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．43．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．4．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．5．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．16．已知拋物線經過點，焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．7．已知（i為虛數單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．8．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發現，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發現的密率．設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．9．已知，則不等式的解集是（）A． B． C． D．10．一個超級斐波那契數列是一列具有以下性質的正整數:從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項為2，某一項為2020的超級斐波那契數列的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．611．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．12．設集合，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在各項均為正數的等比數列中，，且，成等差數列，則___________.14．數列滿足遞推公式，且，則___________.15．若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____16．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）證明：．18．（12分）的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.19．（12分）的內角的對邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）已知函數，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.22．（10分）在中，設、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

構造函數（），求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.選B。3、A【解析】

由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A．【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數基礎題．4、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據得到：，即，根據得到：，即，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、A【解析】

根據題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據導數的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當等號成立，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.6、A【解析】

先求出，再求焦點坐標，最后求的斜率【詳解】解：拋物線經過點，，，，故選：A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式，基礎題.7、A【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題．8、D【解析】

設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．9、A【解析】

構造函數，通過分析的單調性和對稱性，求得不等式的解集.【詳解】構造函數，是單調遞增函數，且向左移動一個單位得到，的定義域為，且，所以為奇函數，圖像關于原點對稱，所以圖像關于對稱.不等式等價于，等價于，注意到，結合圖像關于對稱和單調遞增可知.所以不等式的解集是.故選：A【點睛】本小題主要考查根據函數的單調性和對稱性解不等式，屬于中檔題.10、A【解析】

根據定義，表示出數列的通項并等于2020.結合的正整數性質即可確定解的個數.【詳解】由題意可知首項為2，設第二項為，則第三項為，第四項為，第五項為第n項為且，則，因為，當的值可以為；即有3個這種超級斐波那契數列，故選：A.【點睛】本題考查了數列新定義的應用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準確，屬于中檔題.11、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．12、A【解析】

根據交集的結果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用等差中項的性質和等比數列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數列通項公式即可.【詳解】因為，成等差數列，所以，由等比數列通項公式得，，所以，解得或，因為，所以，所以等比數列的通項公式為.故答案為：【點睛】本題考查等差中項的性質和等比數列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數列通項公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.14、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得，依次寫出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點睛】本題考查數列遞推式和累加法的應用，屬于基礎題15、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經過點時,取最大值5.故答案為：5【點睛】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．16、【解析】

利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數列求和公式，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數列是以1為首項，2為公比的等比數列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【點睛】本題主要考查根據的關系式求通項公式以及利用等比數列的前n項和公式求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.18、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結合誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據可求得結果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當且僅當時取等號）即三角形面積的最大值為：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應用、基本不等式求積的最大值、誘導公式的應用等知識，屬于常考題型.20、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然后根據與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點到平面的距離，因為是中點，所以為到平面的距離，因為與平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解