河南省扶溝縣2025年高三第一次模擬考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在的圖象大致為()A． B．C． D．2．設集合，集合，則=（）A． B． C． D．R3．已知集合則（）A． B． C． D．4．若復數為虛數單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數a為（）A． B．2 C． D．5．等比數列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．6．如圖是甲、乙兩位同學在六次數學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（）A．甲得分的平均數比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數和乙相等7．方程的實數根叫作函數的“新駐點”，如果函數的“新駐點”為，那么滿足（）A． B． C． D．8．在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：．假設螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．9．已知是虛數單位，若，，則實數（）A．或 B．-1或1 C．1 D．10．已知定義在上的奇函數滿足：（其中），且在區間上是減函數，令，，，則，，的大小關系（用不等號連接）為（）A． B．C． D．11．設分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．12．已知數列為等差數列，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等差數列的前項和為，若，，則數列的公差________，通項公式________.14．若四棱錐的側面內有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.15．在的二項展開式中，x的系數為________．（用數值作答）16．為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫藥公司研究出一種消毒劑，據實驗表明，該藥物釋放量與時間的函數關系為（如圖所示），實驗表明，當藥物釋放量對人體無害.（1）______；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過______分鐘人方可進入房間.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）網絡看病就是國內或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯網或者其他局域網對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機器故障進行查找詢問、診斷治療、檢查修復的一種新興的看病方式.因此，實地看病與網絡看病便成為現在人們的兩種看病方式，最近某信息機構調研了患者對網絡看病，實地看病的滿意程度，在每種看病方式的患者中各隨機抽取15名，將他們分成兩組，每組15人，分別對網絡看病，實地看病兩種方式進行滿意度測評，根據患者的評分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖：（1）根據莖葉圖判斷患者對于網絡看病、實地看病那種方式的滿意度更高？并說明理由；（2）若將大于等于80分視為“滿意”，根據莖葉圖填寫下面的列聯表：滿意不滿意總計網絡看病實地看病總計并根據列聯表判斷能否有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關？（3）從網絡看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，求這2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，過左焦點的直線交橢圓于、兩點（異于、兩點），當直線垂直于軸時，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設直線、的交點為；試問的橫坐標是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．20．（12分）的內角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.21．（12分）記函數的最小值為.（1）求的值；（2）若正數，，滿足，證明：.22．（10分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先根據函數奇偶性排除B，再根據函數極值排除A；結合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數，則，所以為奇函數，排除B選項；當時，，所以排除A選項；當時，，排除D選項；綜上可知，C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查根據函數解析式判斷函數圖像，注意奇偶性、單調性、極值與特殊值的使用，屬于基礎題.2．D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算3．B【解析】

解對數不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數不等式解法，屬于基礎題.4．D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．5．A【解析】

利用等比數列的性質可得，即可得出．【詳解】設與的等比中項是．

由等比數列的性質可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題．6．B【解析】

由平均數、方差公式和極差、中位數概念，可得所求結論．【詳解】對于甲，；對于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，故正確．故選：．【點睛】本題考查莖葉圖的應用，考查平均數和方差等概念，培養計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．7．D【解析】

由題設中所給的定義，方程的實數根叫做函數的“新駐點”，根據零點存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解：由題意方程的實數根叫做函數的“新駐點”，對于函數，由于，，設，該函數在為增函數，，，在上有零點，故函數的“新駐點”為，那么故選：．【點睛】本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出存在范圍是解題的關鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于基礎題..8．C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.9．B【解析】

由題意得，，然后求解即可【詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【點睛】本題考查復數的運算，屬于基礎題10．A【解析】因為，所以，即周期為４，因為為奇函數，所以可作一個周期[-2e,2e]示意圖，如圖在（０，１）單調遞增，因為，因此，選Ａ．點睛：函數對稱性代數表示（1）函數為奇函數，函數為偶函數（定義域關于原點對稱）；（2）函數關于點對稱，函數關于直線對稱，（3）函數周期為T,則11．C【解析】

如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據勾股定理：，解得.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.12．B【解析】

由等差數列的性質和已知可得，即可得到，代入由誘導公式計算可得．【詳解】解：由等差數列的性質可得，解得，，故選：B．【點睛】本題考查等差數列的下標和公式的應用，涉及三角函數求值，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

直接利用等差數列公式計算得到答案.【詳解】，，解得，，故.故答案為：2；.【點睛】本題考查了等差數列的基本計算，意在考查學生的計算能力.14．【解析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數值，屬于中檔題.15．-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.16．240【解析】

（1）由時，，即可得出的值；（2）解不等式組，即可得出答案.【詳解】（1）由圖可知，當時，，即（2）由題意可得，解得則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過分鐘人方可進入房間.故答案為：（1）2；（2）40【點睛】本題主要考查了分段函數的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）實地看病的滿意度更高，理由見解析；（2）列聯表見解析，有；（3）.【解析】

（1）對實地看病滿意度更高，可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可；（2）先完成列聯表，再由獨立性檢驗得有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關；（3）利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】（1）對實地看病滿意度更高，理由如下：（i）由莖葉圖可知：在網絡看病中，有的患者滿意度評分低于80分；在實地看病中，有的患者評分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（ii）由莖葉圖可知：網絡看病滿意度評分的中位數為73分，實地看病評分的中位數為87分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iii）由莖葉圖可知：網絡看病的滿意度評分平均分低于80分；實地看病的滿意度的評分平均分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iV）由莖葉圖可知：網絡看病的滿意度評分在莖6上的最多，關于莖7大致呈對稱分布；實地看病的評分分布在莖8，上的最多，關于莖8大致呈對稱分布，又兩種看病方式打分的分布區間相同，故可以認為實地看病評分比網絡看病打分更高，因此實地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.（2）參加網絡看病滿意度調查的15名患者中共有5名對網絡看病滿意，10名對網絡看病不滿意；參加實地看病滿意度調查的15名患者中共有10名對實地看病滿意，5名對實地看病不滿意.故完成列聯表如下：滿意不滿意總計網絡看病51015實地看病10515總計151530于是，所以有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關.（3）網絡看病的評價的分數依次為82，85，85，88，92，由小到大分別記為，從網絡看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，所有可能情況有：；；；共10種，其中，這2人評分都低于90分的情況有：；；共6種，故由古典概型公式得這2人評分都低于90分的概率.【點睛】本題主要考查莖葉圖的應用和獨立性檢驗，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則，，解得：，同理，平面的法向量，設二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉化以及二面角的求法，還考查了轉化化歸的思想和推理論證、運算求解的能力，屬于中檔題.19．（1）（2）是為定值，的橫坐標為定值【解析】

（1）根據“直線垂直于軸時，四邊形的面積為1”列方程，由此求得，結合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，化簡后寫出根與系數關系.求得直線的方程，并求得兩直線交點的橫坐標，結合根與系數關系進行化簡，求得的橫坐標為定值.【詳解】（1）依題意可知，解得，即；而，即，結合解得，，因此橢圓方程為（2）由題意得，左焦點，設直線的方程為：，，．由消去并整理得，∴，．直線的方程為：，直線的方程為：．聯系方程，解得，又因為．所以．所以的橫坐標為定值．【點睛】本小題主要考查根據橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線交點坐標的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）根據三角形面積公式和正弦定理可得答案；（2）根據兩角余弦公式可得，即可求出，再根據正弦定理可得，根據余弦定理即可求出，問題得以解決．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，則由，可得：，由，可得：，，可得：