2025屆安徽省潛山市第二中學4月高三階段性檢測試題考試數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內所有直線與l異面B．α內只存在有限條直線與l共面C．α內存在唯一的直線與l平行D．α內存在無數條直線與l相交2．已知函數，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．4．設集合，，則()A． B．C． D．5．在復平面內，復數（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉的角為，則，法國數學家棣莫弗發現了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．166．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．8．設雙曲線的右頂點為，右焦點為，過點作平行的一條漸近線的直線與交于點，則的面積為（）A． B． C．5 D．69．若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B11．已知定義在上的偶函數滿足，且在區間上是減函數，令，則的大小關系為（）A． B．C． D．12．設為虛數單位，為復數，若為實數，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是_________.14．已知a，b均為正數，且，的最小值為________.15．如圖，已知圓內接四邊形ABCD，其中，，，，則__________．16．設集合，，則____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內角的對邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．18．（12分）已知奇函數的定義域為，且當時，.（1）求函數的解析式；（2）記函數，若函數有3個零點，求實數的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標；（2）設P是橢圓上的動點，求面積的最大值.20．（12分）為了實現中華民族偉大復興之夢，把我國建設成為富強民主文明和諧美麗的社會主義現代化強國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創造性勞動的舞臺.借此“東風”，某大型現代化農場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創造更大價值，提高畝產量，積極開展技術創新活動.該農場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產量的區別，該農場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產量數據信息如下圖：（1）如果你是該農場的負責人，在只考慮畝產量的情況下，請根據圖中的數據信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農場共有大棚100間（每間1畝），農場種植的該蔬菜每年產出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據題中所給數據，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；（3）農場根據以往該蔬菜的種植經驗，認為一間大棚畝產量超過5.25千斤為增產明顯.在進行夜間降溫試點的20間大棚中隨機抽取3間，記增產明顯的大棚間數為，求的分布列及期望.21．（12分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）記函數的最小值為.（1）求的值；（2）若正數，，滿足，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.2、A【解析】

作出函數的圖象，得到，把函數有零點轉化為與在（2，4]上有交點，利用導數求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數的圖象如圖，由圖可知，，函數有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數零點的判定，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，訓練了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．3、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據平面向量的數量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點睛】本題考查平面向量的數量積及其運算律的應用，屬于基礎題.4、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.5、D【解析】

根據復數乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復數的新定義題目、同時考查了復數模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復數化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.6、A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮悼苫癁椋海瑢⒑瘮档膱D象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。7、A【解析】

根據向量坐標運算求得，由平行關系構造方程可求得結果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據向量平行關系求解參數值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關鍵是明確若兩向量平行，則.8、A【解析】

根據雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標，再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中：，因此右頂點的坐標為，右焦點的坐標為，雙曲線的漸近線方程為：，根據雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點作平行的一條漸近線的直線與交于點，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點的坐標是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用，考查了兩直線平行的性質，考查了數學運算能力.9、B【解析】

求導函數，求出函數的極值，利用函數恰有三個零點，即可求實數的取值范圍.【詳解】函數的導數為，令，則或，上單調遞減，上單調遞增，所以0或是函數y的極值點，函數的極值為：，函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關結合函數零點個數，來確定參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數研究函數圖象的走向，利用數形結合思想，轉化為函數圖象間交點個數的問題，難度不大.10、C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關系11、C【解析】

可設，根據在上為偶函數及便可得到：，可設，，且，根據在上是減函數便可得出，從而得出在上單調遞增，再根據對數的運算得到、、的大小關系，從而得到的大小關系.【詳解】解：因為，即，又，設，根據條件，，；若，，且，則：；在上是減函數；；；在上是增函數；所以，故選：C【點睛】考查偶函數的定義，減函數及增函數的定義，根據單調性定義判斷一個函數單調性的方法和過程：設，通過條件比較與，函數的單調性的應用，屬于中檔題.12、B【解析】

可設，將化簡，得到，由復數為實數，可得，解方程即可求解【詳解】設，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復數的模長、除法運算，由復數的類型求解對應參數，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意首先研究函數的性質，然后結合函數的性質數形結合得到關于a的不等式，求解不等式即可確定實數a的取值范圍.【詳解】當時，函數在區間上單調遞增，很明顯，且存在唯一的實數滿足，當時，由對勾函數的性質可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，結合復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且當時，，考查函數在區間上的性質，由二次函數的性質可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，函數有6個零點，即方程有6個根，也就是有6個根，即與有6個不同交點，注意到函數關于直線對稱，則函數關于直線對稱，繪制函數的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實數的取值范圍是.故答案為．【點睛】本題主要考查分段函數的應用，復合函數的單調性，數形結合的數學思想，等價轉化的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、【解析】

本題首先可以根據將化簡為，然后根據基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為，所以，當且僅當，即、時取等號，故答案為：.【點睛】本題考查根據基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉化思想，是中檔題.15、【解析】

由題意可知，，在和中，利用余弦定理建立方程求，同理求，求，代入求值.【詳解】由圓內接四邊形的性質可得,．連接BD，在中，有．在中，．所以,則，所以．連接AC，同理可得,所以．所以．故答案為：【點睛】本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數基本關系，意在考查方程思想，計算能力，屬于中檔題型，本題的關鍵是熟悉圓內接四邊形的性質，對角互補.16、【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由已知條件和正弦定理進行邊角互化得，再根據余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得，，代入得，運用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】（1）由及正弦定理得，即由余弦定理得，，.（2）設外接圓的半徑為，則由正弦定理得，，，.【點睛】本題考查運用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，關鍵在于熟練地運用其公式，合理地選擇進行邊角互化，屬于基礎題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據奇函數定義，可知；令則，結合奇函數定義即可求得時的解析式，進而得函數的解析式；（2）根據零點定義，可得，由函數圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數為奇函數，且，故；當時，，，則；故.（2）令，解得，畫出函數關系如下圖所示，要使曲線與直線有3個交點，則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯立，化簡可得，令，即，解得，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據函數奇偶性求解析式，分段函數圖像畫法，由函數零點個數求參數的取值范圍應用，數形結合的應用，屬于中檔題.19、（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標方程；聯立直線和曲線的極坐標方程，即可求得交點坐標；（2）設出點坐標的參數形式，將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標方程：聯立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線.設點，則點到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化，涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.20、（1）見解析；（2）（i）該農場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）估計第一組數據平均數和第二組數據平均數來選擇.（2）對于兩種方法，先計算出每畝平均產量，再算農場一年的利潤.（3）估計頻率分布直方圖可知，增產明顯的大棚間數為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應的概率，寫出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數據平均數為千斤/畝，第二組數據平均數為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長光照時間的方法；（（2）（i）對于采用延長光照時間的方法：每畝平均產量為千斤.∴該農場一年的利潤為千元.（ii）對于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產量為千斤，∴該農場一年的利潤為千元.因此，該農場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元.（3）由圖可知，增產明顯的大棚間數為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的