6.3.2平面向量的正交分解及其坐標表示盛琪第六章

平面向量及其應用2025/4/6引

入問題1（1）什么是平面向量基本定理？

如果e1，e2是同一平面內的兩個_________向量，那么對于這一平面內的_______向量a，_______________實數λ1，λ2，使a＝___________.有且只有一對λ1e1＋λ2e2

不共線任一若e1，e2_______，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內_____向量的一個基底.不共線

所有

平面向量相等的充要條件

如果e1，e2不共線，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么引

入重力G可以分解為兩個分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力F1垂直于斜面的壓力F2問題1（2）已知向量e1，e2，作出向量a在e1，e2方向上的分解．OMN探究新知

在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便.問題2e1，e2的長度為多少時更方便研究呢？MNO把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.1.平面向量的正交分解探究新知Oxy在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j，取{i，j}作為基底．問題3在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數（即它的坐標）表示.那么，如何表示直角坐標平面內的每一個向量呢？MN對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj

.探究新知我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，yxOxy對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj

.2.平面向量的坐標表示記作:x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a＝(x，y)叫做向量a的坐標表示，注：每個向量都有唯一的坐標.特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).探究新知問題4向量的坐標與點的坐標有何區別與聯系？2．以原點O為起點作的坐標關系如何？點A的坐標與向量兩者相同1．以原點O為起點作點A的位置由誰確定?由

唯一確定注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可以不同.3．向量

與

相等，利用坐標如何表示？當且僅當向量的起點為原點時，向量終點的坐標等于向量坐標.xy重要結論2重要結論1探究新知4．區別：（1）表達形式不同，如a＝(1,2)，A(1,2).（3）符號(x，y)在平面直角坐標系中有雙重意義：①表示一個固定的點②表示一個向量.為了加以區分，在敘述中，常說點(x，y)或向量(x，y).向量有等號，點無等號（2）給定一個向量，它的坐標是唯一的；給定一個有序實數對，由于向量可以平移，故以這個有序實數對為坐標的向量有無窮多個.向量的坐標與點的坐標區別與聯系例題講解例1

如圖，用基底

，分別表示向量、、、，并求它們的坐標．-4-3-2-11234AB12-2-1y453-4-3-5課堂練習練習1

如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i，j，{i，j}作為基底，分別用i，j表示，并求出它們的坐標.課堂小結1.知識點：

平面向量的正交分解及坐標表示