第七章復數7.1.2復數的幾何意義人教A版高一數學必修二第二學期7.1.2復數的幾何意義核心素養目標1.數學抽象：抽象概括出復數與復平面內的點、平面向量的一一對應關系。2.直觀想象：通過復平面直觀理解復數的幾何意義，建立數與形的聯系。3.邏輯推理：依據對應關系，合理推導復數模的性質及相關結論。4.數學運算：準確計算復數的模，以及根據幾何意義進行簡單運算。教學重點：理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系；掌握實軸、虛軸、模等概念；教學難點：掌握用向量的模來表示復數的模的方法.教學目標一、復習回顧：復數的有關概念1.復數的一般形式實部虛部虛數單位2.兩個復數相等的充要條件實部=實部虛部=虛部知識講解3.復數的分類實數

虛數純虛數b=0b≠0a=0且b≠0知識講解知識講解我們大膽假設存在一個新數（叫做虛數單位）.規定：①；②可以和實數進行運算且原有的運算律仍然成立.

1.復數

2.復數相等知識講解思考：虛數單位是數學家想象出來的，由此可以得到復數集.實數恰可以看成特殊的復數集（虛部為零）.另外，由復數相等的意義可以知道復數由實部和虛部唯一確定.那么，復數集還有什么性質和特點呢？復數有什么作用呢？思考1：在幾何上我們用什么來表示實數？實數數軸上的點一一對應實數的幾何意義就是數軸上的點0A1-1BxC（數）（形）知識講解知識講解思考2：一個復數由哪兩個部分唯一確定？實部虛部因為任何一個復數z=a+b?都可以用一個有序實數對(a,b)唯一確定，并且任意給一個復數也可以唯一確定一個有序數對，所以復數z=a+b?與有序數對(a,b)是一一對應的，而有序數對(a,b)與平面直角坐標系中的點是一一對應的，所以復數與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應的關系.一、復平面知識講解一、復平面如圖，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+b?可以用點Z(a,b)表示.這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，象限內的點都表示非純虛數.知識講解1.復數的幾何意義（一）一一對應一一對應一一對應撫平，復平面實軸虛軸OxyabZ(a,b)知識講解一、復平面yxO2-1-23例如，復平面內原點(0,0)表示實數0，實軸上的點(2,0)表示實數2，虛軸上的點(0,-1)表示純虛數?i

，點(-2,3)表示復數?2+3i等.注意：復數z=a+b?(a,b∈R)在復平面內對應點的坐標為(a,b)，而不是(a,bi)，也就是說，復平面內虛軸上的單位長度是1，而不是i.知識講解二、復數的幾何意義1.復數的幾何意義——與點對應由上可知，每個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數與它對應.復數集C中的數與復平面內的點建立了一一對應的關系，即復數

z=a+b?

復平面內的點

Z(a,b)一一對應注意：(1)復數的實質是有序數對；(2)復數z=a+b?(a,b∈R)中的z，書寫時應小寫；復平面內點

Z(a,b)中的Z，書寫時要大寫.知識講解說出下列各點所對應的復數思考：實軸上的點是什么數？虛軸上的點是什么數？有沒有例外？知識講解說出下列各點所對應的復數實軸上的點都是實數除原點外,虛軸上的點都是純虛數知識講解實數x分別取什么值時，復數z=(x-3)+(2-x)i對應的點z在：（1）第三象限（2）虛軸上（3）第四象限（4）實軸上解：純虛數知識講解實數x分別取什么值時，復數z=(x-3)+(2-x)i對應的點z在：（1）第三象限（2）虛軸上（3）第四象限（4）實軸上解：純虛數二、復數的幾何意義2.復數的幾何意義——與向量對應在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序數對和復數又是一一對應的.這樣我們就可以用平面向量來表示復數.知識講解二、復數的幾何意義2.復數的幾何意義——與向量對應如圖，設復平面內的點Z表示復數z=a+b?

，連接OZ

，顯然向量OZ由點Z唯一確定；反過來，點Z也可以由向量OZ唯一確定，因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量也建立了一一對應的關系(實數0與零向量對應),即為了方便起見，我們常把復數z=a+b?說成點Z或說成向量OZ，并且規定，相等的向量表示同一個復數.yxObaZ：a+bi一一對應復數z=a+b?

平面向量知識講解知識講解實數a的模就等于|a|設復數z1=4+3i，z2=4-3i(1)在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量（2）求復數z1，z2的模長，并比較它們的模的大小知識講解設復數z1=4+3i，z2=4-3i(1)在復平面內畫出復數z1，z2對應的點和向量（2）求復數z1，z2的模長，并比較它們的模的大小思考：這兩個復數有什么聯系？(1)實部相等，虛部相反(2)復平面內對應的點關于實軸對稱，模相等三、復數的模如果b=0，那么z=a+b?是一個實數a，它的模就等于|a|(a的絕對值)向量的模叫做復數

z=a+b?的模，記作|z|或|a+bi|.即，其中a,b∈R

.知識講解三、復數的模1.復數的模是個非負實數，任意兩復數的模可以比較大小；2.復數的模的幾何意義：復數z=a+b?(a,b∈R)的模|z|表示復數在平面內對應的點Z(a,b)到原點的距離.類比向量的模可以作推廣：|z1?z2|表示點Z1和點Z2之間的距離；3.復數的模，復數在復平面內對應的點到原點的距離，復數所對應向量的模，這三者是相等的.注意：知識講解四、共軛復數一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.z=a+b

?z=a?b

?共軛復數注意：復數z的共軛復數用z表示，即如果z=a+b?(a,b∈R)，那么.z=a?b?，特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.1.定義：知識講解四、共軛復數2.幾何意義：互為共軛的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱.特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上.P(a,b)Q(a,?b)yxO共軛復數的常用結論：設復數z=a+b?(a,b∈R)在復平面內所對應的點為P(a,b)，z=a?b?在復平面內對應的點為Q(a,?b)，如圖所示，它們關于實軸對稱.（1）z+z=2a（2）z?z=2bi（3）|z|=|z|知識講解知識講解練習2.復數z=3-4i共軛復數對應的點在第_______象限1.說出下列復數的共軛復數：-2+2i,3i,3-3i,-3+2i,-i，2i-1(1)以原點O為圓心，以1為半徑的圓。(2)以原點O為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環，但不包括圓環的邊界。知識講解例題講解例1求實數a分別取何值時，復數對應的點Z滿足下列條件：(1)在復平面的第二象限內；(2)在復平面內的x軸上方．知識講解解：(1)點Z在復平面的第二象限內，解得a＜－3.(2)點Z在x軸上方，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.知識講解解題技巧利用復數與點的對應的解題步驟：1、復平面內復數與點的對應關系的實質是：復數的實部就是該點的橫坐標，虛部就是該點的縱坐標．2、已知復數在復平面內對應的點滿足的條件求參數取值范圍時，可根據復數與點的對應關系，建立復數的實部與虛部滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解．知識講解例2已知平面直角坐標系中O是原點，向量，對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對應的復數是()

A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5i D．－5－5i知識講解解:向量對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，根據復數的幾何意義，可得向量由向量減法的坐標運算可得向量(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量對應的復數是5－5i.答案B知識講解解題技巧復數與平面向量對應關系的解題技巧：

1、根據復數與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數即為向量對應的復數．反之復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數對應的向量．2、解決復數與平面向量一一對應的題目時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具，實現復數、復平面內