第二章推理與證明

反證法1.

什么是反證法?它的基本原理是什么?2.用反證法證明命題應掌握什么要點?學習要點

問題1.

將9個球分別染成紅色或白色,同色的球至少有多少個?為什么?同色的球至少有5個.原因是:則紅色球少于5個,白色球也少于5個,即紅色球最多4個,白色球也最多4個,假設同色的球少于5個,這個結果與已知9個球矛盾.也就是結果推翻了已知條件,所以假設不成立,那么同色球至少有5個是正確的.兩種顏色的球之和最多8個.

問題2.

如果兩個平面平行,在一個平面內的直線是否平行另一個平面?為什么?abl

在一個平面內的直線一定平行另一個平面.如圖,平面a//b,直線l

a.假設l

與b

不平行,l

又不在b

內,那么l

必與b

相交,設交點為P,由于l

a,則P

a,于是a

與b

就有公共點P,P這與已知的a//b

矛盾,所以假設是錯誤的.

一般地,假設原命題不成立,經過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.反證法是間接證明的一種基本方法.用反證法證明命題時:(1)假設命題不成立要作為條件應用.(2)推證的結論不能與反證過程中已用的條件相矛盾.反證法其實就是對原命題的逆否命題的證明.

例4.

已知直線a,b

和平面a,如果a

a,b

a,且a//b,求證a//a.aab證明:因為a//b,所以a,b

確定一個平面,設為b(如圖),b因為a

a,b

a,所以b∩a=b.假設a

與a

不平行,而a

a,則a

與a

相交,設交點為P,則點P

是平面a

與b

的公共點,P所以點P

必在交線b

上,則直線a與b

相交于P,這結論與a//b

矛盾,所以假設不成立,原命題得證.例5.

求證是無理數.證明:假設不是無理數,那么它就是有理數,就可寫成分數的形式,即(m,n是互質的正整數)得m2=2n2,于是得m

是偶數,設m=2k,k

為正整數,又得4k2=2n2,即2k2=n2,于是得n

也是偶數,此結論與m,n

互質矛盾,所以假設不成立,從而得是無理數.練習:(課本91頁)第1、2題.練習:(課本91頁)

1.

證明:在△ABC中,若∠C是直角,則∠B一定是銳角.證明:假設∠B不是銳角,因為三角形中的角是正角,則∠B≥90,因為∠C是直角,所以∠B+∠C≥180,則∠A+∠B+∠C>180,此結論與三角形內角和為180

相矛盾,所以假設不成立,原命題得證.2.

求證:不可能成等差數列.證明:假設成等差數列,則得得得25=40,25=40顯然不成立,所以假設不成立,則原命題得證.【課時小結】1.

反證法

一般地,假設原命題不成立,經過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.反證法是間接證明的一種基本方法.反證法就是對原命題的逆否命題的證明.【課時小結】2.

反證法的證明要點(1)假設命題不成立要作為條件應用.(2)推證的結論不能與反證過程中已用的條件相矛盾.習題2.1A組第1、4題.1.

已知a0,證明x

的方程ax=b

有且只有一個根.證明:采用反證法.假設方程不止一個根,不妨設有兩不等根x1,x2,則ax1=b,ax2=b,①②①-②得a(x1-x2)=0,因為x1

x2,所以只有a=0,這結論與已知a0矛盾,所以假設不成立,(1)因為a0,所以一定有一根(2)證明只有一個根,原命題得證.習題2.2A組

4.

△ABC的三邊a,b,c

的倒數成等差數列,求證證明:假設不成