2024-2025學年江蘇省無錫市高二下學期3月月考數學階段檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數在處的導數為12，則的值為（）A. B.4 C. D.36【正確答案】A【分析】由導數的定義求解即可.【詳解】因為函數在處的導數為12，所以.故選：A.2.已知函數的導函數為，且滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對函數求導，將代入導數中可得，從而得到函數解析式，將代入函數解析式可得答案.【詳解】，則，令得,，解得，則，將代入上式得.故選：C3.如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現在要求在其余四個區(qū)域中涂色，現有四種顏色可供選擇要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）A.64 B.72 C.84 D.96【正確答案】C【分析】根據題意可知每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，A、C不同色；A、C同色兩大類，由此可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色：有種；(2)、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色：有種．共有種，故選：C．4.若函數在定義域內的區(qū)間上不是單調函數，則實數k的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先確定函數的定義域，求出導數，判斷出函數的單調性；再根據題目信息列出不等式組求解即可.【詳解】由函數可知函數定義域為，且.令，可得；令，可得，即函數區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增.因為函數在定義域內的區(qū)間上不是單調函數，所以，解得.故選：B5.現有5人站成一排照相，其中甲、乙相鄰，且丙、丁不相鄰，則不同的站法有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【正確答案】B【分析】甲、乙相鄰捆綁作為一全元素，丙、丁不相鄰用插入法．【詳解】由題意不同站法數為：．故選：B.6.動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】當點處的切線和直線平行時，的值最小，結合導數和解析式求得點，再由點到直線距離公式即可求解.【詳解】設點是直線上任意一點﹐點是曲線上任意一點，當點處的切線和直線平行時，這兩條平行線間的距離的值最小﹐因為直線的斜率等于，曲線的導數，令，可得或(舍去)，故此時點的坐標為，，故選：A.7.設，當時，恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由等價于，利用導數求在的最大值即可.【詳解】當時，恒成立等價于，所以，當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，，所以，即.故選：A.8.已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】求導，將問題轉化為有兩個不同的零點，也即是關于x的方程有兩個不同的解，構造函數，求導，分析導函數取得正負的區(qū)間，從而得函數的單調性和最值，從而可得選項.【詳解】函數的定義域為R，，因為函數有兩個極值點，所以有兩個不同的零點，故關于x的方程有兩個不同的解，令，則，當時，，當時，，所以函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調遞減，又當時，；當時，，且，，故，即.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是導數的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（

）A.在上是增函數B.當時，取得極小值；C.在上是增函數、在上是減函數；D.當時，取得極大值【正確答案】BC【分析】由圖可判斷的正負號，即可判斷的單調性，即可選出答案.【詳解】由圖可知：當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，函數取得極小值，其中不是函數的極值點.故選：BC.10.口袋中裝有6個白球和8個紅球，每個球編有不同的號碼，現從中取出2個球，下列說法正確的有（）A.恰好是白球、紅球各一個的取法有48種 B.恰好是兩個白球的取法有30種C.至少有一個白球的取法有63種 D.兩球的顏色相同的取法有43種【正確答案】ACD【分析】由兩個計數原理結合組合數逐個判斷即可；【詳解】對于A：由分布乘法原理可知恰好是白球、紅球各一個的取法有，正確；對于B：恰好是兩個白球的取法有：，錯誤；對于C：至少有一個白球的取法有:，正確；對于D：兩球的顏色相同的取法有，正確；故選：ACD11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數在處取得極大值B.方程有兩個不同的實數根C.D.若不等式在上恒成立，則【正確答案】AC【分析】當時，函數有極大值，故選項A正確；方程不可能有兩個不同的實數根，選項B錯誤；，選項Ｃ正確；，選項D錯誤.【詳解】易知函數的定義域為，，令，則，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，函數有極大值，故選項A正確；因為，且當時，，當時，，所以方程不可能有兩個不同的實數根，選項B錯誤；因為函數在上單調遞增，且，所以，選項Ｃ正確；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，則，令，則，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，函數有最大值，所以，選項D錯誤.故選：AC方法點睛：零點問題求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（畫出函數的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令得，分析的圖象得解）.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______．【正確答案】6【分析】利用排列數公式求解.【詳解】因為，所以，即，解得（舍去）．故6.13.已知直線是曲線與的公切線，則__________.【正確答案】【分析】分別設兩條曲線上的切點，寫出切線方程，建立方程組，解出切點，計算.【詳解】設曲線上切點，，切線斜率，切線方程，即同理，設曲線上切點，，切線斜率，切線方程，即，所以，解得，所以，，.故答案為.14.若函數在上不存在最值，則實數的取值范圍為________．【正確答案】【分析】求導，然后分類討論和兩種情況即可確定實數的取值范圍.【詳解】由題可得，當時，，函數在上單調遞減，不存在最值；當時，令，可得，令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，若函數在上不存在最值，則，即，綜上所述，實數的取值范圍為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，且.（1）求的值；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導即可代入求解，（2）根據導數求解斜率，即可由點斜式求解.【小問1詳解】由，得，又，所以，解得.【小問2詳解】由，得，所以，即切點為，又切線的斜率為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即.16.在0，1，2，3，4，5這6個數字中選擇若干個數.（1）能組成多少個無重復數字的四位偶數？（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？（3）能組成多少個無重復數字且不大于3450的四位數？【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）分個位數否為零兩種情況討論，再根據分步乘法計數原理即可得解；（2）分個位數為和兩種情況討論，再根據分步乘法計數原理和分類加法計數原理即可得解；（3）分千位數為或和兩種情況討論，再根據分步乘法計數原理和分類加法計數原理即可得解.【小問1詳解】當個位數為時，則千位數有種選法，則百位數有種選法，十位數有種選法，所以能組成個無重復數字的四位偶數；當個位數不為時，則個位數有種選法，則千位數有種選法，則百位數有種選法，十位數有種選法，所以能組成個無重復數字的四位偶數，綜上所述，能組成個無重復數字的四位偶數；【小問2詳解】當個位數為時，則萬位數有種選法，則千位數有種選法，百位數有種選法，十位數有種選法，所以能組成個無重復數字且為5的倍數的五位數；當個位數為時，則萬位數有種選法，則千位數有種選法，百位數有種選法，十位數有種選法，所以能組成個無重復數字且為5的倍數的五位數，綜上所述，能組成個無重復數字且為5的倍數的五位數；【小問3詳解】當千位數為或時，則能組成個無重復數字且不大于3450的四位數；當千位數為，百位數為，十位數為時，則符合題意的數只有一個；當千位數為，百位數為，十位數不為時，則十位數有種選法，個位數有種選法，所以符合題意的數有種；當千位數為，百位數不為，則百位數有種選法，十位數有種選法，個位數有種選法，所以符合題意的數有種，綜上所述，能組成個無重復數字且不大于3450的四位數.17.已知函數，且當時，函數取得極值為．（1）求的解析式；（2）若關于x的方程在上有兩個不同的實數解，求實數m的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據，可得可得結果；（2）先化簡方程得，再利用導數研究函數在上單調性，結合函數圖象確定條件解得結果.【詳解】（1），由題意得，，即，解得，∴.（2）由有兩個不同的實數解，得在上有兩個不同的實數解，設，由，由，得或，當時，，則在上遞增，當時，，則在上遞減，由題意得，即，解得，即的取值范圍是.18.已知函數（1）討論函數的單調性；（2）設函數，若函數在上為增函數，求實數a的取值范圍.【正確答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，（2）【分析】（1）對函數進行求導，參數進行分類討論，再利用函數的單調性與導數的關系即得；（2）由題可得函數在上為增函數，在上恒成立，再利用導數求函數的最值即可.【小問1詳解】由題意得，，當時，，函數在上單調遞增；②當時，令，解得，，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，【小問2詳解】因為函數在上為增函數，所以，在上恒成立．即在上恒成立．令，當時，?′x=所以，在上單調遞增，．所以，，解得，所以，實數的取值范圍為．19.已知函數．（1）當時，求的極值；（2）設，若對，都有恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）極小值為，無極大值；（2）【分析】（1）求定義域，求導，得到單調性，極值情況；（2）參變分離得到，構造，求導得到單調性和最值，得到的取值范圍.【小問1詳解】當時，，定義域為，故，令，解得，令，解得