2024-2025學年江蘇省沭陽縣高一下學期第一次月考數學質量檢測試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，則與同向的單位向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據單位向量的定義即可求解.【詳解】則與同向的單位向量為,故選：C2.若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用同角三角函數的基本關系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】因為，則，所以，，因此，.故選：C.3.下列說法正確的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.【正確答案】C【分析】由向量的坐標運算可得A錯誤；當時可得B錯誤；由模長的運算和數量積的運算律可得C正確；由數量積的定義結合數乘向量定義可得D錯誤.【詳解】A：設，則，且，但，故A錯誤；B：當時，由于零向量與任意向量都共線，所以與不一定平行，故B錯誤；C：因為，所以，所以，所以，故C正確；D：由數量積的運算可得與共線，與共線，由于不知道間關系，所以原式不一定相等，故D錯誤；故選：C.4.若中，，則此三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】A【分析】根據三角函數和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.【詳解】中，，已知等式變形得，，即，整理得，即，或（不合題意，舍去）．，，則此三角形形狀為直角三角形．故選：A5.是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用二倍角公式可求值，從而可根據必要不充分條件的定義求解.【詳解】因為，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6.（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用切化弦、輔助角公式、二倍角公式以及誘導公式化簡可得所求代數式的值.【詳解】.故選：C.7.在中，是直線上一點且，則（）A.-2 B. C. D.0【正確答案】B【分析】根據給定條件，利用共線向量定理的推論求出，再利用數量積的運算律及定義計算得解.【詳解】由，，得，由共線，得，解得，則，，所以.故選：B8.設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數對叫做向量在斜坐標系xOy中的坐標，記作.同時把有序數對叫做點在斜坐標系xOy中的坐標，記作，已知在斜坐標系xOy中，的三個頂點，且A，B，C異于點，則下列結論錯誤的是（）A.B.C.若，則D.的重心的坐標為【正確答案】B【分析】先計算，再根據新定義計算、、，判斷ABC的正誤，利用向量線性運算得，根據斜坐標系坐標定義求解判斷D的正誤.【詳解】依題意，.由向量，，則，故A正確；，故B錯誤；若，則，即，即，所以，故C正確；設為的中點，根據三角形重心性質知，則，所以，所以，所以，故D正確.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.9.下列式子運算正確的有（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據同角平方關系計算即可判斷A；根據兩角和的余弦公式計算即可判斷B；根據二倍角的正切公式計算即可判斷C；根據兩角和正切公式計算即可判斷D.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯誤；C：由得所以，故C正確；D：，，，故D正確.故選：ACD10.下列命題中，正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，則必是等腰直角三角形D.在中，若，，則必是等邊三角形【正確答案】ABD【分析】由正弦定理可判斷A；由正弦函數的單調性可判斷B；由正弦定理邊化角判斷C，利用余弦定理可判斷D.【詳解】對于A，在中，若，則，由正弦定理可得，A正確；對于B，銳角中，，則，故，B正確；對于C，中，若，則，即得，故或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，，，則，故，，結合，可知是等邊三角形，D正確，故選：ABD11.圓O半徑為2，弦，點C為圓O上任意一點，則下列說法正確的是（）．A.的最大值為6 B.C.恒成立 D.滿足的點C僅有一個【正確答案】AB【分析】根據題意建立適當的平面直角坐標系，設，分別寫出，，的坐標，利用向量數量積的坐標表示可判斷A；先寫出的坐標，再將向量的模轉化為求三角函數的值域可判斷B；根據極化恒等式可判斷C；令，得到可判斷D.【詳解】由題意，以O為原點，以平行于AB的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，設，，對于A，，∵，∴，∴，∴的最大值為6，故A正確；對于B，∴∵，∴，∴，故B正確；對于C，取AB的中點為E，則，故C錯誤；對于D，當時，即，解得，∵，∴或，即符合條件的點C有兩個，故D錯誤．故選：AB．思路點睛：平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行求解；②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.12.在中，，若此三角形恰有兩解，則BC邊長度的取值范圍為___________．【正確答案】【分析】依題意得，由求解【詳解】若恰有兩解，則，解得，即邊長度的取值范圍為．故13.△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，中線AM長為m，角平分線AD的長為n，則__________【正確答案】【分析】中線用向量即可求的值；角平分線用即可求的值.【詳解】AM為中線，則，則，則，AD為角平分線，則，即，得，則故14.如圖，已知足球比賽的球門寬度大約為7米，在場地的底線上，與點距離5米，與底線垂直，長為15米，若在訓練中，球員亞馬爾從點開始帶球沿直線向點奔跑并選擇一點處射門，要想獲得最大的射門角度()，則他需要帶球的距離是_________米【正確答案】【分析】設得出，由正切函數單調性，兩角差的正切公式及基本不等式即可求解．【詳解】設同理可得則，當且僅當，即時等號成立，此時故四、解答題：本大題共6小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知（1）求在上的投影向量的坐標.（2）若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據給定條件，直接求出在上的投影向量的坐標.（2）利用向量夾角公式，結合向量共線列式計算即得.【小問1詳解】依題意，，故在上的投影向量為【小問2詳解】依題意，，，由與的夾角為鈍角，得，且與不共線，則且，解得，且，所以實數的取值范圍是16.在平面直角坐標系中，以軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別交單位圓于，兩點.已知點的橫坐標為，點的縱坐標為.（1）求；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據條件求得，，再根據同角三角函數基本關系式，以及兩角和的正弦公式，即可求解；（2）首先利用角的變換求，即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，，，，所以，，；【小問2詳解】，，，由，得，，則，所以.17.如圖，某大型廠區有三個值班室，值班室在值班室的正北方向3千米處，值班室在值班室的正東方向4千米處，倉庫在邊上且滿足．（1）求倉庫到值班室的距離；（2）保安甲沿從值班室出發行前往值班室，保安乙沿從值班室出發行前往值班室，甲乙同時出發，甲的速度為，乙的速度為．若甲乙兩人通過對講機聯系，對講機在廠區內的最大通話距離不大于3千米，請問有多長時間兩人不能通話？【正確答案】（1）千米（2）小時【分析】（1）借助勾股定理與正弦定理計算即可得；（2）表示出甲乙所出發后所處位置及到點的距離后，借助余弦定理可表示出甲乙距離，結合要求計算即可得.【小問1詳解】是直角三角形，且，則，，又，在中，；【小問2詳解】設甲乙出發后的時間為小時，甲在線段上的位置為，乙在線段上的位置為，則，且，由（1）可知：，在中，由余弦定理可知：，即：，若甲乙不能通話，則，即，解得或，又，故不能通話的時間為小時.18.如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點，與交于點．（1）令，，用，表示；（2）求線段的長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的線性運算求解；（2）利用三點共線，三點共線，求得，同時證明是等邊三角形，然后把平方可得．【小問1詳解】∵，分別為，的中點，∴；【小問2詳解】設，∵，分別為，的中點，所以，因三點共線，三點共線，所以，解得，即，由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，所以，是等邊三角形，所以．19.已知函數．（1）若存在，使得成立，則求的取值范圍；（2）將函數的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，求函數在區間內的所有零點之和．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先把函數關系式變形成正弦型函數，進