2024-2025學年吉林省延邊朝朝鮮族自治州延吉市高一下學期3月月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【正確答案】C【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.【詳解】若，則.故選：C.2.設，為一組基底，已知向量，，，若，，三點共線，則實數k的值是（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】利用向量的加法法則求出，將，，三點共線轉化為與共線即可求解.【詳解】，，，又，且，，三點共線，，即，，.故選：C.3.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則B=（）A. B.或 C. D.或【正確答案】A【分析】利用正弦定理進行求解即可．【詳解】在中，已知，，可知，所以．由正弦定理得，所以，則．故選：A．4.平面向量與向量滿足,且，,則向量與的夾角為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據向量數量積的性質，得到，代入已知等式得到，設向量與的夾角為，結合向量數量積的定義和，，算出，最后根據兩個向量夾角的范圍，可得答案【詳解】，則又，解得設向量與夾角為，則，即解得，，故選本題給出兩個向量的模，并且在已知它們的和向量與其中一個向量數量積的情況下，求兩個向量的夾角，著重考查了平面向量數量積的運算和兩個向量夾角等知識，屬于基礎題．5.已知，向量與向量夾角為，與向量共線同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據投影向量的公式計算即可.【詳解】．故選：C.6.已知，，點P在直線上，且，則點P的坐標為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】C【分析】設點P的坐標為，表示出，的坐標，由且P在直線上，故分或兩種情況討論，根據向量相等得到方程組，解得．【詳解】解：設點P的坐標為，，則，．由且點P在直線上，得或．∴或解得或∴點P的坐標為或．故選：本題考查向量的坐標運算，屬于基礎題.7.中，角的對邊分別為，且，則的形狀是（）A等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【正確答案】B【分析】根據正弦定理進行邊換角和兩角和的正弦公式得，再分和討論即可.【詳解】由正弦定理得，因為在中，則，則，即，即，因為，則當時，即時，上式成立，此時為直角三角形；當時，即時，則有，因為，則，此時為等腰三角形；綜上，為等腰三角形或直角三角形.故選：B.8.在中，，是的中點，與交于點，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】利用向量的線性運算及三點共線求得，由此求得的值，即可得到結果.【詳解】∵，∴，∴.∵A，P，D三點共線，∴.∵，∴.∵E是邊AB的中點，∴.∵E，P，F三點共線，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（）A.復數的共軛復數的模為1 B.復數在復平面內對應的點在第一象限C.復數是方程的解 D.【正確答案】AD【分析】由復數的除法，可得標準式，根據共軛復數、幾何意義、模長、乘方運算，可得答案.【詳解】，，故A正確；復數在復平面上的對應點為，則該點在第四象限，故B錯誤；由，則，解得，故C錯誤；，故D正確.故選：AD.10.若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則與同向的單位向量為C.若，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為D.若，則的最小值為【正確答案】BD【分析】根據向量線性運算可判斷AB選項，再根據向量夾角公式可判斷C選項，結合向量垂直的坐標表示及基本不等式可判斷D選項.【詳解】由，，A選項：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；B選項：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項正確；C選項：時，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項錯誤；D選項：由，得，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，D選項正確；故選：BD.11.東漢末年的數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”，根據面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形．對于圖2．下列結論錯誤的是（）A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B.若，則C.若，則D.若是的中點，則的面積是面積的5倍【正確答案】ACD【分析】對于A選項：由，即可判斷A；對于B選項：在中，利用正弦定理求得，進而可判斷B；對于C選項：在中，設，利用余弦定理即可求得，進而可判斷C；對于D選項：利用三角形的面積公式，可得，進而可判斷D．【詳解】對于A，根據題意，題圖2是由三個全等的針角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯誤；對于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因為，所以，故選項B正確；對于C，不妨設，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故選項C錯誤；對于D，若是的中點，，所以，故選項D錯誤．故選：ACD．關鍵點點睛：關鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進行分析，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，．若，則________．【正確答案】【分析】由兩向量共線的坐標關系計算即可．【詳解】由題可得,即故答案為本題主要考查向量的坐標運算，以及兩向量共線的坐標關系，屬于基礎題．13.如圖，在海面上有兩個觀測點B，D，點B在D的正北方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在C處，此時測得，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得，，，，則該船行駛的距離為_______km【正確答案】【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得.【詳解】依題意，,，在中，，，則，又，則km，在中，，，則，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以該船行駛的距離km.故14.在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，則的取值范圍是_______．【正確答案】【分析】利用正弦定理和余弦定理的應用求出的值，再由正弦定理，結合三角函數恒等變換把變形成正弦型函數，利用正弦函數的性質求解.【詳解】銳角中，由正弦定理及，得，整理得，由余弦定理得，而，則，又，由正弦定理，得，又為銳角三角形，則，因此，由，得，則，所以的取值范圍是.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數．（1）若復數為純虛數，求實數的值；（2）若復數在復平面內對應點位于第二象限，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據純虛數的定義即可求解，（2）根據復數的幾何意義，結合第二象限點的特征即可求解.【小問1詳解】因為復數為純虛數，所以，解的解得，；【小問2詳解】因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以解之得得．所以實數的取值范圍為．16.已知向量和，則,,求：（1）的值；（2）的值；（3）與的夾角θ的余弦值．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）（2）根據平面向量的數量積的定義即可求解；（3）根據平面向量的夾角公式即可求解．【小問1詳解】∵,,.∴；【小問2詳解】∵,∴；【小問3詳解】∵,∴17.的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為．求的周長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用和差角正弦公式化簡即得.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由，得，則，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由，得，即，又，則，整理得，因此，解得，所以的周長為.18.折紙是一項玩法多樣的活動.通過折疊紙張，可以創造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術形式，還蘊含了豐富的數學知識.在紙片中，，，所對的邊分別為，，，的面積為，.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若，是的中點，現需要對紙片做一次折疊，使點與點重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理和面積公式即可證明；（2）利用面積代換，再結合三角恒等變形，即可求解；（3）設對應邊長，再利用余弦定理得到邊角關系，然后利用方程組思想來求解即可.【小問1詳解】證明：由正弦定理可得，則，又因為，所以；【小問2詳解】將代入，得即，所以，即，解得：，又因為，所以；【小問3詳解】由余弦定理得，則，即，所以解得則；設折痕為線段，其中在上，在上，設，，則，，，在中，由余弦定理得，解得在中，由余弦定理得，解得重疊部分的面積為的面積，.因為所以.所以19.如圖，設是平面內相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系.在仿射坐標系中，若，記.（1）在仿射坐標系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F分別為BD，BC中點，求的最大值.【正確答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開方即可得到；②由表示出和，再由已知用表示出，因為與的夾角為，然后由，即可得到；（2）由題意，設出坐