《線性代數試卷》（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（10小題，每題3分，共30分）1.設A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，則AB的行列式（）A.一定存在B.不一定存在C.一定不存在D.與m、n的大小關系有關2.設A為n階可逆矩陣，則A的伴隨矩陣的行列式等于（）A.|A|B.|A|^2C.|A|的倒數D.|A|的相反數3.設A為n階矩陣，若A^2=A，則A（）A.一定可逆B.一定不可逆C.可逆當且僅當n為奇數D.可逆當且僅當n為偶數4.設A為n階矩陣，若A的特征值全為0，則A（）A.一定可逆B.一定不可逆C.可逆當且僅當n為奇數D.可逆當且僅當n為偶數5.設A為n階矩陣，λ為A的特征值，則λ^2為A^2的特征值（）A.一定成立B.一定不成立C.當且僅當λ≠0時成立D.當且僅當λ=0時成立6.設A為n階矩陣，若A的秩為r，則A的行列式（）A.一定等于0B.一定不等于0C.當且僅當r=n時等于0D.當且僅當r<n時等于07.設A為n階矩陣，若A的特征多項式為f(λ)，則f(0)等于（）A.|A|B.|A|C.A的跡D.A的跡8.設A為n階矩陣，若A可對角化，則A的Jordan標準形（）A.唯一B.不唯一C.當且僅當A的特征值全不相同時唯一D.當且僅當A的特征值全相同時唯一9.設A為n階矩陣，若A的特征值全為正數，則A的行列式（）A.一定為正數B.一定為負數C.一定為0D.不能確定符號10.設A為n階矩陣，若A^2=I（I為單位矩陣），則A（）A.一定可對角化B.一定不可對角化C.可對角化當且僅當n為偶數D.可對角化當且僅當n為奇數二、填空題（5小題，每題4分，共20分）11.設A為3階矩陣，且A^2=0，則A的秩為______。12.設A為n階矩陣，且A^2=A，則A的特征值只能為______或______。13.設A為n階矩陣，且A+A^T=0，則A的秩為______。14.設A為n階矩陣，且A^3=I（I為單位矩陣），則A的特征值只能為______。15.設A為n階矩陣，且A可對角化，則A的Jordan標準形的對角線元素為______。三、計算題（3小題，每題10分，共30分）16.設A為3階矩陣，且A=PBP^(1)，其中B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}，P=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}，求A。17.設A為4階矩陣，且A^2=0，求A的秩。18.設A為n階矩陣，且A^2=A，證明：A的特征值只能為0或1。四、證明題（2小題，每題10分，共20分）19.設A為n階矩陣，證明：若A的特征值全為正數，則A的行列式為正數。20.設A為n8.設A為n階矩陣，若A的特征值全為0，則A的行列式等于（）A.一定等于0B.一定不等于0C.當且僅當n為奇數時等于0D.當且僅當n為偶數時等于09.設A為n階矩陣，若A的秩為r，則A的行列式等于（）A.一定等于0B.一定不等于0C.當且僅當r=n時等于0D.當且僅當r<n時等于010.設A為n階矩陣，若A的特征多項式為f()，則f(0)等于（）A.AB.AC.A的跡D.A的跡11.設A為n階矩陣，若A可對角化，則A的Jordan標準形的對角線元素為（）A.A的特征值B.A的跡C.A的行列式D.A的秩12.設A為n階矩陣，若A20，則A的秩為（）A.一定等于0B.一定等于nC.當且僅當n為奇數時等于0D.當且僅當n為偶數時等于013.設A為n階矩陣，若A2A，則A的特征值只能為（）A.0或1B.0或1C.1或1D.0或n14.設A為n階矩陣，若A的特征值全為正數，則A的行列式為（）A.一定為正數B.一定為負數C.當且僅當n為奇數時為正數D.當且僅當n為偶數時為正數15.設A為n階矩陣，若A可對角化，則A的Jordan標準形的對角線元素為（）A.A的特征值B.A的跡C.A的行列式D.A的秩16.設A為3階矩陣，且APBP(1)，其中Bbeginpmatrix2&0&00&3&10&0&3endpmatrix，Pbeginpmatrix1&2&30&1&40&0&1endpmatrix，求A。17.設A為4階矩陣，且A20，求A的秩。18.設A為n階矩陣，且A2A，證明：A的特征值只能為0或1。19.設A為n階矩陣，證明：若A的特征值全為正數，則A的行列式為正數。20.設A為n階矩陣，證明：若A可對角化，則A的Jordan標準形的對角線元素為A的特征值。一、選擇題答案：1.B2.C3.A8.A9.C10.D11.A12.A13.A14.A15.A二、填空題答案：16.A=PBP(1)=beginpmatrix2&0&00&3&10&0&3endpmatrixbeginpmatrix1&2&30&1&40&0&1endpmatrixbeginpmatrix1&0&02&1&03&4&1endpmatrix=beginpmatrix2&2&60&3&70&0&3endpmatrix三、計算題答案：17.由A20，得r(A2)0，又因為r(A2)r(A)，所以r(A)0，即A的秩為0，所以A為0矩陣。18.設A的特征值為λ，則由A2A，得λ2λ，即λ(λ1)0，解得λ0或1，即A的特征值只能為0或1。四、證明題答案：19.證明：設A的特征值為λ1,λ2,,λn，則由已知，λ1,λ2,,λn均大于0，所以A的行列式det(A)=λ1λ2λn大于0，即A的行列式為正數。20.證明：設A的Jordan標準形為J，則由已知，A可對角化，所以J為對角矩陣，其對角線元素為A的特征值。1.矩陣的行列式：行列式是矩陣的一個重要屬性，用于判斷矩陣是否可逆。當行列式為0時，矩陣不可逆；當行列式不為0時，矩陣可逆。2.矩陣的特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩陣的兩個重要概念，用于描述矩陣的性質。特征值反映了矩陣的縮放因子，特征向量反映了矩陣的縮放方向。3.矩陣的對角化：對角化是指將矩陣轉化為對角矩陣的過程。一個矩陣可對角化的充分必要條件是它有n個線性無關的特征向量。4.矩陣的Jordan標準形：Jordan標準形是矩陣的一種特殊形式，用于描述矩陣的Jordan結構。每個Jordan塊對應一個特征值，Jordan塊的大小反映了該特征值的代數重數。5.矩陣的秩：矩陣的秩是矩陣的行向量或列向量的最大線性無關組的大小，用于描述矩陣的秩虧情況。矩陣的秩越大，其信息量越豐富。6.矩陣的特征多項式：特征多項式是矩陣的一個多項式，其根為矩陣的特征值。特征多項式用于求解矩陣的特征值和特征向量。7.矩陣的跡：矩陣的跡是矩陣對角線元素之和，用于描述矩陣