青海省互助縣第一中學2025年高三下學期期中考試數學試題（文理）試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員?面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4322．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．3．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．4．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．5．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．156．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．7．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則,，的大小關系為（）A． B． C． D．9．函數在的圖象大致為（）A． B．C． D．10．我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．10011．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分別為BC，CD上的點，，若線段EF上存在一點M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）14．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.15．展開式中的系數為________．16．平面向量，，（R），且與的夾角等于與的夾角，則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設為的中點，且，的平分線交于點，求線段的長.18．（12分）已知函數.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設函數的極值點為，當變化時，點構成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.20．（12分）設數列是等差數列，其前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.21．（12分）在考察疫情防控工作中，某區衛生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛生運動，從人居環境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區任選一位居民，試估計他在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數為．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．2、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點睛】本題考查向量的數量積與投影．掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵．3、C【解析】

利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.4、A【解析】

根據或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.5、A【解析】

根據題意可知最后計算的結果為的最大公約數.【詳解】輸入的a，b分別為,,根據流程圖可知最后計算的結果為的最大公約數，按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數為16，故選:A.【點睛】本題考查的是利用更相減損術求兩個數的最大公約數,難度較易.6、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.7、A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解。【詳解】函數可化為：，將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。8、C【解析】

根據函數的奇偶性得，再比較的大小，根據函數的單調性可得選項.【詳解】依題意得，，當時，，因為，所以在上單調遞增，又在上單調遞增，所以在上單調遞增，，即，故選：C.【點睛】本題考查函數的奇偶性的應用、冪、指、對的大小比較，以及根據函數的單調性比較大小，屬于中檔題.9、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷，屬于常考題.10、B【解析】

根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算．【詳解】由題意，．故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵．11、D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.12、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意，設，則，所以，解得，所以，從而有.14、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據同角三角函數的基本關系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當且僅當時等號成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.15、30【解析】

先將問題轉化為二項式的系數問題，利用二項展開式的通項公式求出展開式的第項，令的指數分別等于2，4，求出特定項的系數．【詳解】由題可得：展開式中的系數等于二項式展開式中的指數為2和4時的系數之和，由于二項式的通項公式為，令，得展開式的的系數為，令，得展開式的的系數為，所以展開式中的系數，故答案為30.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式解決二項展開式的特定項的問題，考查學生的轉化能力，屬于基礎題．16、2【解析】試題分析：，與的夾角等于與的夾角，所以考點：向量的坐標運算與向量夾角三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據面積公式和數量積性質求角及最大邊；（2）根據的長度求出，再根據面積比值求，從而求出．【詳解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因為在中，，所以，因為（當且僅當時取等），所以長的最小值為；（2）在三角形中，因為為中線，所以，，所以，因為，所以，所以，由（1）知，所以，或，，所以，因為為角平分線，，，或2，所以，或，所以．【點睛】本題考查了平面向量數量積的性質及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．18、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構造函數，求導可判斷出的單調性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構造函數，分、和三種情況，分別證明函數在上有唯一的零點，即可證明結論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調遞增，又，時，；時，，即時，；時，，時，單調遞減；時，單調遞增，時，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結合二次函數性質可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點，則，，，曲線的方程為.故只需證明對任意，方程有唯一解.令，則，①當時，恒成立，在上單調遞增.，，，存在滿足時，使得.又單調遞增，所以為唯一解.②當時，二次函數，滿足，則恒成立，在上單調遞增.，，存在使得，又在上單調遞增，為唯一解.③當時，二次函數，滿足，此時有兩個不同的解，不妨設，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當時，的極大值為.，，，，，..下面來證明，構造函數，則，當時，，此時單調遞增，，時，，，故成立.，存在，使得.又在單調遞增，為唯一解.所以，對任意，方程有唯一解，即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性的應用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調性研究圖象交點問題，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.19、（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.20、（1）（2）見解析【解析】

（1）設數列的公差為，由，得到，再結合題干所給數據得到公差，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設數列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的計算，放縮法證明數列不等式，屬于中檔題.21、（1）（2）（3）【解析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，根據古典概型求出即可；（2）設該區“衛生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設事