2025屆江蘇省鎮江市重點名校高三3月周日測試（1）數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，當時，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若函數（）的圖象過點，則（）A．函數的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸3．已知（i為虛數單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．4．若樣本的平均數是10，方差為2，則對于樣本，下列結論正確的是（）A．平均數為20，方差為4 B．平均數為11，方差為4C．平均數為21，方差為8 D．平均數為20，方差為85．若單位向量，夾角為，，且，則實數（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－16．記為數列的前項和數列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．已知函數，的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．8．設，若函數在區間上有三個零點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，（其中e是自然對數的底數），若，則實數a的值為()A． B．3 C． D．10．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．11．已知實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設函數在上可導，其導函數為，若函數在處取得極大值，則函數的圖象可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位，當它的底面半徑和高的比值為______.時，可使得所用材料最省.14．已知數列的前項和且，設，則的值等于_______________.15．已知函數，則曲線在處的切線斜率為________.16．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，是函數的導數.（1）若，證明在區間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知函數（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數的周期為；②是函數的對稱軸；③且在區間上單調.（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數的解析式；（Ⅱ）若，求函數的值域.19．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統紙質媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質廣告收入如下表所示：根據這9年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.243；根據后5年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預測該雜志社2019年的紙質廣告收入，現在有兩個方案，方案一：選取這9年數據進行預測，方案二：選取后5年數據進行預測．從實際生活背景以及線性相關性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關性檢驗的臨界值表：（2）某購物網站同時銷售某本暢銷書籍的紙質版本和電子書，據統計，在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，現用此統計結果作為概率，若從上述讀者中隨機調查了3位，求購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率．20．（12分）已知函數，（1）若，求的單調區間和極值；（2）設，且有兩個極值點，，若，求的最小值.21．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）某學校為了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計這100人體重數據的平均值和樣本方差；(結果取整數，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)（2）從全校學生中隨機抽取3名學生，記為體重在的人數，求的分布列和數學期望；（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態分布.若，則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構造函數,結合的單調性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設,由,顯然在上單調遞增,因為,所以等價于,即,則.設,則.令,解得,易得在上單調遞增,在上單調遞減,從而，故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數單調性是解決本題的關鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎題.2．A【解析】

根據函數的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數的圖像與性質，得出結論.【詳解】由函數（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.3．A【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題．4．D【解析】

由兩組數據間的關系,可判斷二者平均數的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數是10，方差為2，所以樣本的平均數為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數是，方差為，則的平均數為,方差為.5．D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數量積的運算，求得實數的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.6．A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數列為等差數列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.7．D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數的解析式，又因為當時，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以函數的最小正周期，則，所以，當時，，所以是函數的一條對稱軸，故選：D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數的周期性和對稱性.8．D【解析】令，可得.在坐標系內畫出函數的圖象（如圖所示）.當時，.由得.設過原點的直線與函數的圖象切于點，則有，解得.所以當直線與函數的圖象切時.又當直線經過點時，有，解得.結合圖象可得當直線與函數的圖象有3個交點時，實數的取值范圍是.即函數在區間上有三個零點時，實數的取值范圍是.選D.點睛：已知函數零點的個數（方程根的個數）求參數值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解，對于一些比較復雜的函數的零點問題常用此方法求解.9．B【解析】

根據題意，求得函數周期，利用周期性和函數值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數是一個以4為周期的周期函數，所以，解得，故選：B.【點睛】本題考查函數周期的求解，涉及對數運算，屬綜合基礎題.10．A【解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.11．B【解析】

畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.12．B【解析】

由題意首先確定導函數的符號，然后結合題意確定函數在區間和處函數的特征即可確定函數圖像.【詳解】函數在上可導，其導函數為，且函數在處取得極大值，當時，；當時，；當時，.時，，時，，當或時，；當時，.故選：【點睛】根據函數取得極大值，判斷導函數在極值點附近左側為正，右側為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設圓柱的高為，底面半徑為，根據容積為個立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導數求出最值，從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調遞減，在上單調遞增.∴當時，取得最小值，即材料最省，此時.故答案為：.【點睛】本題考查函數的應用，解答本題的關鍵是寫出表面積的表示式，再利用導數求函數的最值，屬中檔題．14．7【解析】

根據題意，當時，，可得，進而得數列為等比數列，再計算可得，進而可得結論.【詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，故，又，，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數列遞推關系、函數求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.15．【解析】

求導后代入可構造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導數的幾何意義，屬于基礎題.16．【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導數的四則運算法則和導數公式求出，再由函數的導數可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，，可知在區間上恒成立，即在區間上沒有零點；（2）由題意可將轉化為，構造函數，利用導數討論研究其在上的單調性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設，則，，，故函數是奇函數．當時，，，這時，又函數是奇函數，所以當時，.綜上，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減.又，，故在區間上恒成立，所以在區間上沒有零點.（2），由，所以恒成立，若，則，設，.故當時，，又，所以當時，，滿足題意；當時，有，與條件矛盾，舍去；當時，令，則，又，故在區間上有無窮多個零點，設最小的零點為，則當時，，因此在上單調遞增.，所以.于是，當時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數的四則運算法則和導數公式的應用，以及利用導數研究函數的單調性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應用，難度較大，意在考查學生的數學建模能力，數學運算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．18．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數的值域為.【點睛】本題考查了三角函數的周期，對稱軸，單調性，值域，表達式，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.19．（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續數據的依據，而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系，從而可得結論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質書的概率為,購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書，由此能求出購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數據中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現逐年下降的趨勢，可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續數據的依據.②相關系數越接近1，線性相關性越強，因為根據9年的數據得到的相關系數的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關關系；而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系.(2)因為在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質書的概率為，購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書.概率為：.【點睛】本題主要考查最優方案的選擇，考查了相關關系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.20．（1）增區間為，減區間為;極小值，無極大值；（2）【解析】

（1）求出f（x）的導數，解不等式，即可得到函數的單調區間，進而得到函數的極值；（2）由題意可得，，求出的表達式，，求出h（t）的最小值即可．【詳解】（1）將代入中，得到，求導，得到，結合，當得到：增區間為，當，得減區間為且在時有極小值，無極大值.（2）將解析式代入，得，求導得到，令,得到,，，，，，，，因為，所以設,令，則所以在單調遞減,又因為所以,所以或又因為，所