極限與連續知識日期：}演講人：目錄極限概念及性質函數連續性及判斷方法極限計算方法與技巧微分學基本概念與導數計算微分中值定理與導數應用不定積分與定積分概念及計算極限概念及性質01“無限靠近而永遠不能到達”，描述函數在某一點的變化趨勢。極限定義使用“lim”符號，如lim(x→∞)f(x)=A，表示x趨近于無窮大時，f(x)的極限為A。極限表示方法分別表示從數軸的左側和右側趨近于某一點時的極限值。極限的左右極限極限定義與表示方法極限存在條件與性質極限存在的必要條件函數在該點的左右極限都存在且相等。極限的唯一性若函數在某點的極限存在，則該極限值唯一。極限的局部保號性若函數在某點的極限為A，則在該點附近的函數值無限趨近于A。極限的運算性質線性運算、積的極限、商的極限等。無窮小量與無窮大量在自變量趨近于某點的過程中，其絕對值趨近于零的變量。無窮小量在自變量趨近于某點的過程中，其絕對值趨近于無窮的變量。有限個無窮小量之和仍為無窮小量，無窮小量乘以有限量仍為無窮小量。無窮大量無窮小量的倒數是無窮大量，反之亦然。無窮小量與無窮大量的關系01020403無窮小量的性質01020304lim(f(x)*g(x))=lim(f(x))*lim(g(x))，要求兩個極限都存在。極限運算法則積的極限法則若lim(g(x))=u，且f(u)在u處連續，則lim(f(g(x)))=f(lim(g(x)))。復合函數的極限法則若lim(g(x))≠0，則lim(f(x)/g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))。商的極限法則lim(a*f(x)+b*g(x))=a*lim(f(x))+b*lim(g(x))，其中a、b為常數。線性運算法則函數連續性及判斷方法02設函數y=f(x)在點x?的某一鄰域內有定義，若當自變量x在x?處取得增量Δx（Δx可正可負但絕對值很小），對應的函數值f(x?+Δx)與f(x?)的差（即Δy=f(x?+Δx)-f(x?)）的極限為0，即limΔx→0Δy=0，則稱函數y=f(x)在點x?處連續。連續函數定義連續函數在定義域內某點連續，則在該點具有極限值且極限值等于函數值；連續函數在定義域內的區間上連續，則在該區間內具有介值性和最大值最小值性質。連續函數性質連續函數定義與性質第一類間斷點（包括可去間斷點和跳躍間斷點）和第二類間斷點（包括無窮間斷點和振蕩間斷點）。間斷點類型根據函數在間斷點處的左右極限情況來判斷。若左右極限存在且相等，則為可去間斷點或跳躍間斷點；若左右極限至少有一個不存在，則為第二類間斷點。間斷點判斷依據間斷點類型及判斷依據初等函數連續性分析連續性分析這些初等函數在其定義域內都是連續的，但在某些特定點（如分母為零的點、對數函數的自變量小于等于零的點等）可能不連續。因此，在分析初等函數的連續性時，需要特別注意這些特殊點。初等函數類型多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數及其反函數等。介值定理若函數在閉區間[a,b]上連續，且f(a)≠f(b)，則對于f(a)與f(b)之間的任意一個值c，都存在一個ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c。最大值最小值定理若函數在閉區間[a,b]上連續，則該函數在[a,b]上必能取得最大值和最小值。這一性質在求解函數的最值問題時非常重要。閉區間上連續函數性質極限計算方法與技巧03極限四則運算法則應用若lim(f(x)+g(x))存在，則等于limf(x)與limg(x)的和。極限加法運算法則若lim(f(x)-g(x))存在，則等于limf(x)減去limg(x)。若lim(f(x)/g(x))存在且limg(x)≠0，則等于limf(x)除以limg(x)。極限減法運算法則若lim(f(x)*g(x))存在，則等于limf(x)乘以limg(x)。極限乘法運算法則01020403極限除法運算法則若函數f(x)、g(x)和h(x)在x趨近于a時滿足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=L，則limf(x)=L。夾逼準則單調遞增且有上界的數列必有極限，單調遞減且有下界的數列必有極限。單調有界原理夾逼準則和單調有界原理運用洛必達法則求解不定式極限洛必達法則適用于“0/0”或“∞/∞”型的不定式極限。通過對分子分母同時求導，將原極限轉化為新的極限形式，從而簡化計算。洛必達法則可以多次使用，直到得到可以確定極限的形式。在求極限時，可以利用泰勒公式將復雜的函數轉化為簡單的多項式形式，從而簡化計算。泰勒公式的展開精度可以根據需要調整，以滿足不同的精度要求。泰勒公式可以將函數在某點展開為多項式，從而用多項式來近似原函數。泰勒公式在極限計算中應用微分學基本概念與導數計算04微分學的核心研究函數的導數與微分，探究函數在某一點的變化率及其應用。微分學的意義為研究函數的性態提供有力工具，如判斷單調性、極值、曲線的凹凸性等。微分學基本思想及意義函數在某一點的變化率，即函數值隨自變量變化的瞬時速率。導數定義曲線在某一點的切線斜率，反映了曲線在該點的彎曲程度。幾何意義分別表示函數在某點左側和右側的變化率，相等時函數在該點可導。左導數與右導數導數定義與幾何意義010203常數函數導數若函數為常數c，則其導數為0。冪函數導數(x^n)'=nx^(n-1)，特別地，對于(x)'=1，(x^0)'=0（x≠0）。指數函數導數(a^x)'=a^x*lna，（e^x)'=e^x。對數函數導數(log_ax)'=1/(x*lna)，（lnx)'=1/x。三角函數導數(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=1/(cosx)^2等。基本初等函數導數公式表0102030405參數方程求導若函數由參數方程給出，如x=t^2，y=t^3，則可通過求參數t的導數來得到函數的導數。復合函數求導法則鏈式法則，即(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。隱函數求導方法利用隱函數的導數關系，通過對方程兩邊同時求導來求解未知函數的導數。復合函數、隱函數求導方法微分中值定理與導數應用05如果R上的函數f(x)滿足在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在至少一個c屬于(a,b)，使得f'(c)=0。羅爾定理如果函數f(x)在閉區間上[a,b]連續，在開區間(a,b)上可導，那么在開區間(a,b)內至少存在一點c，使得f'(c)等于f(b)與f(a)的差除以b與a的差，即f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。拉格朗日中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理內容VS如果函數f(x)和g(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)上可導，且g(x)在(a,b)內每一點都不為零，則至少存在一點c屬于(a,b)，使得f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。推廣形式對于多個函數，可以將其轉化為柯西中值定理的形式，通過構造輔助函數來證明。柯西中值定理柯西中值定理及其推廣形式利用羅爾定理證明如果函數在閉區間上連續、開區間上可導，且兩端點函數值相等，則可以通過羅爾定理找到一點使得導數為零，進而利用這一點證明不等式。利用中值定理證明不等式問題利用拉格朗日中值定理證明通過拉格朗日中值定理，可以將函數在某點的導數與整個區間的平均變化率聯系起來，從而證明不等式。利用柯西中值定理證明通過構造輔助函數，將原不等式轉化為柯西中值定理的形式，進而證明不等式。利用導數判斷函數單調性函數的單調性與其一階導數的符號有關。當一階導數大于零時，函數單調遞增；當一階導數小于零時，函數單調遞減。利用導數求函數的極值利用導數解決實際問題導數在函數單調性、極值中應用函數的極值點可以通過求一階導數的零點來獲得。同時，還需要檢查二階導數的符號來確定是極大值還是極小值。在實際問題中，經常需要求函數的最大值或最小值，這時可以通過求導數并令其為零來找到可能的極值點，然后進一步判斷是否為最大值或最小值。不定積分與定積分概念及計算06不定積分定義與性質回顧不定積分定義在微積分中，一個函數f的不定積分，或原函數，或反導數，是一個導數等于f的函數F，即F′=f。不定積分性質包括線性性質、積分常數性質、積分區間可加性等，這些性質在求解不定積分時具有重要作用。不定積分與微分關系不定積分是微分的逆運算，通過不定積分可以求解函數的原函數。換元積分法通過變量替換簡化積分形式，包括湊微分法和整體換元法。湊微分法將復雜的被積函數轉化為簡單的形式，便于積分。整體換元法將復雜的被積函數看作一個整體，進行變量替換。分部積分法將復雜的被積函數拆分為兩部分進行積分，包括乘積法則和分部積分公式。乘積法則對于兩個函數的乘積進行積分，可以先求其中一個函數的積分，再求另一個函數的原函數。分部積分公式將復雜的被積函數拆分為兩部分進行積分，適用于不同類型的函數。換元積分法和分部積分法技巧010203040506定積分定義及其幾何意義定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。定積分定義定積分表示函數在區間[a,b]上與x軸圍成的面積，其中x軸上方的面積為正，下方的面積為負。定積分是一個具體的數值，而不定積分是一個函數表達式，它們之間通過微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）相聯系。定積分幾何意義包括線性性質、積分區間可加性、保號性等，這些性質在求解定積分時具有重要作用。定積分性質01020403定積分與不定積分關系牛頓-萊布尼茨公式應用公式應