PAGE1-2.3.1直線與平面垂直的判定A級基礎鞏固一、選擇題1．已知平面α及α外一條直線l，給出下列命題：①若l垂直于α內兩條直線，則l⊥α；②若l垂直于α內全部直線，則l⊥α；③若l垂直于α內隨意一條直線，則l⊥α；④若l垂直于α內兩條平行直線，則l⊥α.其中，正確命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3解析：依據直線與平面垂直的定義可知，②③正確，①④不正確．答案：C2.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°解析：∠ABO是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.答案：A3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：因為AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.答案：B4.如圖所示，假如MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.明顯直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關系是垂直但不相交．答案：C5.如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數是()A．1 B．2C．3 D．4解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：D二、填空題6．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則直線l和三角形的第三邊AB的位置關系是________．解析：因為l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，所以l⊥平面ABC.又AB?平面ABC，故l⊥AB.答案：垂直7．已知正三棱錐S-ABC的全部棱長都相等，則SA與平面ABC所成角的余弦值為________．解析：因為S-ABC為正三棱錐，所以設點S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O，連接SO，AO，如圖所示，則∠SAO為SA與底面ABC所成的角，設三棱錐的棱長為a，在Rt△SOA中，AO＝eq\f(2,3)·asin60°＝eq\f(\r(3),3)a，SA＝a，所以cos∠SAO＝eq\f(AO,SA)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)8．如圖所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，則CD與AB的位置關系是________．解析：因為EA⊥α，CD?α，依據直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA.同樣，因為EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因為AB?平面AEB，所以CD⊥AB.答案：垂直三、解答題9．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為DD1的中點，O為ABCD的中心，求證：B1O⊥平面PAC.證明：連接AB1，CB1，D1B1，OP，PB1，BD，設AB＝1.所以AB1＝CB1＝D1B1＝eq\r(2).因為O為正方形ABCD的中心，所以AO＝CO，所以B1O⊥AC.因為OBeq\o\al(2,1)＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\f(9,4)，OP2＝PD2＋DO2＝eq\f(3,4)，所以OBeq\o\al(2,1)＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)，所以B1O⊥PO.又因為PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.10．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.證明：因為AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，所以AE⊥BC.因為BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.又因為BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.B級實力提升1．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或多數個 D．不存在解析：若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．答案：B2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中點，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如圖所示，取BC的中點E，連接DE，AE，則AE⊥平面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD與平面BB1C1C所成角即為∠ADE，設AB＝a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(a,2)，有tan∠ADE＝eq\r(3)，所以∠ADE＝60°.答案：60°3．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求證：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D為B1C1的中點，求AD與平面A1B1C1所成角的正弦值．(1)證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B.又因為AB1?平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1.又因為BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.(2)解：連接A1D.設AB＝AC＝AA1＝1，因為AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD與平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D為斜邊的中點，所以A1D＝eq\f(1,2)×B1C