專題12.1幕的運算【八大題型】

【華東師大版】

?題型梳理

【題型1利用幕的運算法則進行簡便運算】.........................................................1

【題型2利用幕的運算法則求式子的值】..........................................................3

【題型3利用第的運算法則比較大小】............................................................5

【題型4利用基的運算法則整體代入求值】........................................................8

【題型5利用基的運算法則求字母的值】..........................................................9

【題型6利用哥的運算法則表示代數式】..........................................................11

【題型7鬲的混合運算】........................................................................13

【題型8新定義下的幕的運算】..................................................................15

?舉一反三

【知識點1累的運算】

①同底數塞的乘法：同底數塞相乘，底數不變，指數相加。

②暴的乘方：gm）n二amn。幕的乘方，底數不變，指數相乘。

③積的乘方：（ab）n=a"bK積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

④同底數塞的除法：a'^an=a'tt-%同底數制相除，底數不變，指數相減。

【題型1利用事的運算法則進行簡便運算】

【例1】（2023春?河北保定?八年級校聯考期末）用簡便方法計算：

32019

（D（J）x（-1.25）2。2。；

⑵（-仆（一|）、聯

【答案】⑴9

4

（2）8

【分析】（I）先將小數化為分數，再根據同底數累的運算法則進行計算即可;

（3）根據乘法結合律和積的乘方逆運算，先計算后兩項乘積，再求解即可.

\2019/<\2020

【詳解】（1）解：原式二（/§4xg）

20195

4r鳴X4

-4520195

,5X4.x-

4

5

=1X4

(2)解：原式=(-9)3X[(-|)X,3

=(-9)X號

=(-9)x?)『

=23

=8.

【點睛】本題主要考查了有理數混合運算的簡便運算，解題的關鍵是掌握有理數范圍內依舊適用各個運算律,

以及熟練運用同底數幕的運算法則.

【變式1?1】(2023春?山東煙臺?六年級統考期中)計算(一x(-0.8)2。22的結果是()

A.1B.-1C.-D.--

44

【答案】D

【分析】根據積的乘方的逆運算，即可■得到答案.

/u\2O23zzr2022/2022

【詳解】解:(-；)x(-O.8)2022=㈢x㈢Xx(YA)X

=(-!)xf(4)x(-r22=-r

故選：D.

【點睛】本題考查了積的乘方，同底數幕的乘法，解題的關鍵是積的乘方運算的逆運用進行化筒.

【變式1-2](2023春?上海楊浦?八年級統考期中)用簡便方法計算：—35X(—：)SX(—5)6

【答案】5(X)(X)()

【分析】根據枳的乘方即可求出答案.

【詳解】原式二35x(|)5x56

=63x-；5x56

3

=25x55x5

=<2x5>5x5

=5x105

=500000

【點睛】本題考查學生的運算能力，解題的關鍵是熱練運用運算法則，本題屬于基礎題型.

【變式1-3](2023春?上海?八年級上海市西延安中學校考期中)簡便方法計算：

(1)3：x202.3+87%x2023-21x20.23；

(2)(—1.5)2024x(|)2023

【答案】(1)2023

⑵1.5

【分析】(1)先變形，再利用乘法分配律合并計算；

(2)先逆用同底數塞的乘法變形，再逆用積的乘方二次變形，再計算即可.

【詳解】(1)解：3；x202.3+87%x2023-21x20.23

17

=—x10x20.23+87x20.23-21x20.23

□

=34x20.23+87x20.23-21x20.23

=(34+87-21)x20.23

=100x20.23

=2023：

/八2023

(2)(-1.5)2024x(1)

2\2023

二(-1.5)2023xQ)X(-1.5)

-(-2X3)SA

=(一1)2°23x(-1.5)

=1.5

【點睛】本題考杳了乘法分配律，積的乘方和同底數室的乘法，解題的關鍵是靈活運用公式.

【題型2利用事的運算法則求式子的值】

【例2】(2023春?江蘇宿遷?八年級校考期中)若%m=2,Xn=5,則％3m-2n=.

且2a3b4c5d=10000,則4a+3力+2c+d的值為.

【答案】2

【分析】根據3不是10000的公約數，可得〃=0,由10000=24x54=4?x54=2。x4?x54=2-2x43x

54=24x4。X54和aVbVcVd即可得至Umb,c,d的值,故可求解.

【詳解】V10000=24x54=42x54=2°x42x54=2-2x43x54=24x4°x533不是10000的公約

數，

A3d=1

則o=0

,2"x4cx5d=10000

???整數a、b、c、d滿足aVbVcVd

/.10000=2-2x43x54符合題意

，a=-2,b=O,c=3,d=4

/.4Q+3b+2c+d=-8+0+6+4=2

故答案為：2.

【點睛】此題主要考查幕的運算，解題的關鍵是熟知累的運算法則及特點.

【題型3利用塞的運算法則比較大小】

【例3】（2023春?浙江杭州?八年級期中）如力=篇，8=喘，是比較A,B大小（）

X.A>BB.4V8C.A=BD.A.8大小不能正確

【答案】C

【分析】先運用暴的乘方的運算性質先把A和8進行轉化變成同底數暴的形式，再進行比較即可.

【詳解】解：發嗡=（割9=圖1

；?A=B；

故選：C.

【點睛】本題主要考杳了哥的大小比較的方法，一般說來，比較兀個累的大小，或者把它們的底數變得相同,

或者把它們的指數變得相同，再分別比較它們的指數或底數.

【變式3-1]（2023春?山西晉中?八年級統考期中）閱讀探究題：

【閱讀材料】

比較兩個底數大于1的正數哥的大小，可以在底數(或指數)相同的情況下，比較指數(或底數)的大小，

如：25>23,55>45.

在底數(或指數)不相同的情況下，可以化相同，進行比較，如：271。與3?5,

解：27i°=(33)i°=33°,

30>25,

330>325.

:.2710>325.

(1)上述求解過程中，運用了哪一條累的運算性質()

A.同底數耗的乘法B.同底數事的除法C.暴的乘方D.積的乘方

(2)類比解答:比較2531253的大小.

(3)拓展提高：比較35S5,4444,5333的大小.

【答案】(1)C

(2)254v1253

(3)5333V3555<4444

【分析】(1)根據幕的乘方運算法則判斷即可；

(2)根據塞的乘方運算法則解答即可；

(3)根據哥的乘方運算法則解答即可.

【詳解】(1)上述求解過程中，運用了鼎的乘方的運算性質，

故答案為：C；

(2)v254=(52)4=58,1253=(53)3=59,

58<59,

254V1253；

555m1113333111111

(3)...3=RS)I"=243,4444=(44)III=256,5=(5)=125,

125111<243111<256叫

...5333V3555V4444.

【點睛】本題考杳累的乘方與枳的乘方、有理數大小比較，解答本題的關鍵是明確有理數大小的比較方法.

【變式3-2](2023春?江蘇?八年級期末)若M=2,墳=3,比較a,匕大小關系的方法：因為Q*=(加1=

25=32,b15=(b5)3=33=27,32>27,所以。小〉〃'所以a>b.已知％§=2,y7=3,則％,y的大

小關系是%y（填“v”或.

【答案】<

【詳解】解：參照題目中比較大小的方法可知，

35755

...x35=（%5）7=2=128,y=（y）=3=243,243>128,

...x35vy35,

???x<y,

故答案為：<.

【點睛】本題考查利用累的乘方比較未知審的大小，熟練掌握哥的乘方的運算法則（底數不變，指數相乘）

是解題的關鍵.

【變式3-3]（2023春?河北張家口?八年級統考階段練習）閱讀：已知正整數a,4c,對于同底數，不同指數

的兩個轅d和a'（aH1）,若b>c,則>a。；對于同指數，不同底數的兩個箱d和c》，若a>c,則戒>c》.根

據上述材料，回答下列問題.

⑴比較大小：28_8?（填“或“廿）；

（2）比較233與322的大小（寫出具體過程）；

（3）比較99】3x10210與991°X10213的大小（寫出具體過程）.

【答案】⑴〉

（2）233<322,過程見解析

（3）9913x1O210<9910X10213,過程見解析

【分析】（1）根據材料提示,正整數Q,（C,對于同底數，不同指數的兩個塞成和提（Q-1）,指數越大,值

越大；對于同指數，不同底數的兩個轅心和犬，底數越大，值越大，由此即可求解；

（2）根據幕的運算將233與322轉換成同指數，不懂底數的兩個號，進行比較即可；

（3）將9913x10210與991°x102,3轉換為同底數不同指數，同指數不同底數的形式，結合材料提示即可求

解.

【詳解】（1）解：???28=（24）2=162,16>8,

A162>82,

故答案為：>.

(2)解：???233=(23)11=811,322=(32)11=911,8<9,

/.811<9n,

A233<322.

(3)解：V9913x1O210=9910x993x1O210=(99x1O2)10x993,9910x10213=9910x1O210x1023=

(99x1O2)10x1023,993<1023,

/.(99x1O2)10x993<(99x1O2)10x1023,

/.9913x1O210<9910x10213.

【點睛】本題主要考查幕的知識，幕的乘方，積的乘方等運算的綜合，掌握以上知識及運算是解題的關鍵.

【題型4利用塞的運算法則整體代入求值】

【例4】（2023春?江蘇鹽城?八年級統考期中）若a+b+c=l,則（-2尸一】X（-2嚴+2*（-2產+3c的值

為.

【答案】16

【分析】根據同底數箱的乘法可進行求解.

(詳解］解：*.*a+h+c=1?

???(一2尸x(一2產+2X(-2)2。+3c_(_2)a-l+3b+2+2a+3c=(-2)3(a+*c)+l=16：

故答案為16.

【點睛】本題主要考杳同底數制的乘法，熟練掌握同底數幕的乘法是解題的關鍵.

【變式4-1]（2023春?江蘇蘇州?八年級統考期末）已知2%+y=l,則於?2,的值為

【答案】2

【分析】根據基的乘方，同底數呆的乘法法則，進行計算即可解答.

【詳解】解：2x+y=1,

:*針?2〉=（22y-2y

=22X?2y

=2,

故答案為:2.

【點睛】本題考查了累的乘方與枳的乘方，同底數哥的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵.

【變式4-2]（2023春?四川成都?八年級成都嘉祥外國語學校校考期中）己知2x+4y-3=0,則4大?16、-8

的值為（）

A.3B.8C.0D.4

【答案】C

【分析】根據哥的乘方與同底數辱的乘法將原式化為22%+"-8,再整體代入計算即可.

【詳解】解：2%+4y-3=0,即2x+4y=3,

原式二22x?2”-8

=22x+4y-8

=23-8

=8-8

=0?

故選：C.

【點睛】本題考查哥的乘方與同底數索的乘法，掌握事的乘方與同底數基的乘法的計算方法是正確解答的前

提，將原式化為22》+”-8是正確解答的關鍵.

【變式4-3]（2023春?廣西崇左?八年級統考期中〉若2a十3b-牝-2=0,則9。x27“十81，的值

為.

【答案】9

【分析】由霜的乘方進行化簡，然后把2a+3b-4c=2代入計算，即可得到答案.

【詳解】解：???2Q+3b-4c-2=0,

?.2a+3b—4c=2,

x27b+81c=32ax33匕+34c=32a+3ft_4c=32=9；

故答案為:9.

【點睛】本題考查了暴的乘方的運算法則，求代數式的值，解題口勺關鍵是熟練掌握運算法則，正確的進行化

簡.

【題型5利用零的運算法則求字母的值】

【例5】（2023春?上海浦東新?八年級統考期中）己知42X.52X+1—42X+I.52X=203A4,求工的值；

【答案】x=4

【分析】根據積的乘方的逆運算即可解得.

2x2x+1

【詳解】解：4-52X+1-4?52X=2031

2X.=203X-4

42x.52x.5_4.4S2x

2

202X?5-4.20X=203X-4

2

20X=203X-4

2x=3%—4

x=4

【點睛】此題考查了積的乘方的逆運算，題解的關鍵是轉化成同底數.

【變式5-1】(2023春?河北邯鄲?八年級校考期中)計算：

(1)已知2?8n?32n=225,求n的值；

(2)已知〃是正整數，且=2,求(3/力2+(一2/“)3的值.

【答案】⑴3；

(2)4.

n5n3n25

【分析】(1)由2?8?32"=2?RD”.(2)=2-2-25n=28?+I=2,得到一元一次方程8ii+1=25,

即可求解：

3n2n

(2)把(3/力2十(一2/n)3變形為(3/n)2-0(X),再把爐=2代入計算即可.

【詳解】(1)解：???2?8〃?32n=2?(23)”?(25)”=2-23n-25n=28n+1=225,

8n+1=25,

解得九=3.

(2)解：???(3%3n)2+(-2x2n)3=(3%3n)2-8a3n)2,

當％3"=2時，

原式=(3x2)2-8x22

=36-32

=4.

【點睛】本題考查廣導的乘方與積的乘方，掌握轅的乘方與積的乘方的法則是解題的關鍵.

【變式5-2](2023春?浙江紹興?八年級統考期末)若2a=3,2匕=72=m,且a+b=c,則此時m值為.

【答案】21

【分析】根據同底數鼎的乘法運算法則求解即可.

【詳解】解：S=3,2b=7,

：,2a?2b=2a+b=21,

a+b=c,

/.2C=21,又2c=m,

771=21?

故答案為：21.

【點睛】本題考查同底數幕的乘法，解答的關鍵是熟練掌握運算法則：。7*即=。帆+巳

【變式5-3]（2023春?山東淄博?六年級統考期中）若5?x5m=5]。，9n-r3n=3,則m+n=.

【答案】9

【分析】根據系的運算即可得出：求出m、n的值，即可得出答案.

In=1

【詳解】解：V52X5m=510,+3n=3,

A52+m=51°,32n4-3n=3n=3,

.（2+m=10

**1n=1

tn=1

Am+n=9.

故答案為：9.

【點睛】此題考查了同底數暴相乘和同底數基相除的運算，利用甯的運算得出方程組解出字母的值是解題的

關鍵.

【題型6利用寡的運算法則表示代數式】

【例6】（2023春?江蘇泰州?八年級校考期中）若無=2巾+1,y=4m-l.

⑴當m=2時，分別求％,y的值.

（2）用只含％的代數式表示y.

【答案】（1）X=5；y=15

（2）y=x2-2x

【分析】（1）將m=2代入％=2根+1,、=4加一1中計算即可；

（2）由％=2.+1可得2m=》-1,再根據幕的乘方運算解答即可.

【詳解】（1）解：將m=2分別代入％=2巾+1,〉=4加一1中

22

Ax=2+1=5>y=4-1=15；

（2）解：???％=2m+1,

:*2m=X-1,

y=4m—1=(2m)2—1=(%—l)2—1=x2—2x.

【點睛】本題主要考查了代數式求值以及鼎的乘方的逆運算，解題的關鍵是熟練利用輕的乘方的逆運算對式

子進行變形.

【變式6-1](2023春?福建漳州?八年級漳州三中校考期中)已知"-4=加，用含m的代數式表示*正確的是

()

A.167nB.8mC.m+4D.—

4

【答案】A

【分析】利用幕的除法的逆運算即可求解.

【詳解】解：???2、T=m,

2X

.?.萬二n

:,2X=16m,

故選：A.

【點睛】本題考查廣暴的除法的逆運算，解題的關鍵是掌握相應的運算法則.

【變式6-2](2023春?江蘇揚州?八年級統考期中)若43*=2021,47、=2021,則代數式沖與T+y之間關

系是.

[答案】xy=x+y

【分析】由條件可得(43%)y=2021y,(47?=202尸，可得43。?47寸=(43xyx(47、尸=2021yx

2021x=2021＞曠,而43盯x47^=(43x47)秒=2021秒,從而可得答案.

【詳解】解：T43X=2021,47曠=2021,

.\(43x)y=2021\(47y)x=2021\

???43肛?47個=(43x)yx(47y)x=2021yx2021x=2021%+匕

而43肛x47秒=(43x47)秒=2023秒,

???2021秒=202戶+匕

/.xy=x+y.

故答案為：xy=x+y.

【點睛】本題考查的是同底數昂的乘法運算，積的乘方的逆運算，掌握“利用哥的運算與逆運算進行變形''是

解本題的關鍵.

【變式6-3](2023春?江西南昌?八年級南昌市第十九中學校考期末)若。m=心(。＞0且?"、"是正

整數)，則m=n.利用上面結論解決下面的問題：

(1)如果8%=25,求x的值;

(2)如果2"2+2"i=24,求x的值；

(3)若無=5根-3,y=4-25m,用含x的代數式表示y.

【答案】(1口=：

(2)%=2

(3)y=-x2-6x-5

【分析】(I)根據哥的乘方運算法則把8"化為底數為2的累，解答即可；

(2)根據同底數哥的乘法法則把2"2+2門1=24變形為2?22+2)=24即可解答；

(3)由％=5巾一3可得5m=%+3,再根據哥的乘方運算法則解答即可.

【詳解】(1)解：8^=(23)X=23X=25,

3x=5,

解得％=

?5

(2)解：?.?2"+2+2>1=24,

2Xx22+2Xx2=24

:.6x2"=24,

:.2X=4,

AX=2：

(3)解：vx=5m-3,

:.5m=%+3,

2n,

vy=4-25m=4_(5)

=4-(57n)2

=4-(x+3)2,

：,y=-x2—6x-5.

【點睛】本題考查了同底數基的乘法以及鼎的乘方，掌握利用同底數昂的乘法、累的乘方及其逆運算對式子

進行變形是關鍵.

【題型7幕的混合運算】

【例7】(2023春?山東棗莊?八年級統考期中)計算：

(l)(i4+(-2a2)3-a8-ba4；

(2)2a2b-Sab2—3ab?(ah')2.

【答案】(1)-8小

(2)7a3/73

【分析】(1)運用積的乘方、同底數幕相除及合并同類項進行求解；

(2)運用積的乘方、單項式乘以單項式進行運算.

【詳解】(1)解：。4+(_2a2)3-08+Q4

=G4—8a6—a4

=-8a6：

(2)解：2a2b-Sab2—3ab■(czb)2

=10a3b3_3ab.Q2b2

-10a3b3-3aRR

=7a3b3.

【點睛】此題考查了積的乘方、同底數寤相除、單項式乘以單項式及合并同類項的運算能力，關鍵是能準確

理解并運用以上知識進行計算.

【變式7-1](2023春?浙江金華?八年級校考期中)計算：

(1)2%3y2.(—2xy2Z)2；

32

(2)(—27)3+x2.x4_(_3x).

【答案】⑴8%5y6z2；

(2)-16x6.

【分析】(1)直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式運算法則計算得出答案；

(2)直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式運算法則、合并同類項法則計算得出答案.

【詳解】(1)解：2爐y2.(_2盯2Z)2

=2x3y2-4x2y4z2

=8x5y6z2；

(2)解：(-2x2)3+%2-x4-(-3r3)2

=-8x6+x6-9x6

=-16x6.

【點睛】此題主要考查了單項式乘單項式以及積的乘方運算法則：正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

【變式7-2］（2023春?上海青浦?八年級校考期中）計算：（-齊力2.8/,2一（2/72）3.

【答案】-6x6y6

【分析】分別按照暴的乘方，積的乘方，單項式乘單項式的運算法則進行計算，最后合并同類項即可.

【詳解】解：（-1xy2）2-8x4y2-（2x2y2）3

=^x2y4-8x4y2-8x6y6

=2x6y6—8x6y6

=-6x6y6

【點睛】本題考杳了整式的乘法運算.用到的知識點有哥的乘方，積的乘方，單項式乘單項式.累的乘方法

則：棄的乘方，底數不變，指數相乘：積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把

所得的因式相乘；單項式乘單項式，把他們的系數、相同字母的晶分別相乘，其余字母和字母指數不變，

作為積的因式.

【變式7-3］（2023春?湖南邵陽?八年級統考期中）計算：。〃-5@+%3時2）2+3-1產-2）3（一匕3加+2）.

【答案】0

【分析】根據積的乘方，單項式乘以單項式的計算法則求解即可.

【詳解】解：原式二屋一5（。2八+2am-4）+33叱3匕3爪-6）（—b3m+2）

=c3幾-386m-4+3b6m-4)

_々3幾一3b6m—4_Q3/I-4

=0.

【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

【題型8新定義下的騫的運算】

【例8】（2023春?上海徐匯?八年級上海市第四中學校考期中）閱讀下列材料：一般地，"個相同的因數。相

乘記為如2x2x2=23=8,此時，3叫做以2為底8的對數，記為log28（即1。弱8=3）.

般地，若a〃=b（Q>0且。工1,b>0）,則〃叫做以。為底。的對數，記為logab（即logab=n.如34=81,

則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381=4）.

（1）計算以下各對數的值：/。924=，log216=，log264=.

（2）寫出。“。外聯log216.《勿64之間滿足的關系式______.

⑶由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：logaM+logc/V=（a>0且aW1,M>0,N>0）.

（4）設cf?=N,ain=M,請根據黑的運算法則以及對數的定義說明上述結論的正確性.

【答案】(1)2,4,6

(2)logz4+log216=log264

⑶loga(MN)

(4)正明見解析

【分析】(I)根據對數的定義求解；

(2)認真觀察,即可找到規律：4x16=64,log24+log216=log264i

(3)由特殊到一般，得出結論:logaM+logaN=loga(MN').

(4)設logaM=bi，log(I^=/)2?根據同底數塞的運算法則：和給出的材料證明結論.

【詳解】(1)V22=4,24=16,26=64

??lo^2^=2,log216=4,Iog264=6,

故答案為：2,4,6；

(2)V4x16=64,log24=2,log216=4,log264=6,

log+log216=log264,

故答案為：log2^+log2^=logz64；

(3)由(2)的結果可得Zog.M+logaN=/og/MN),

故答案為：loga(MN).

(4)設】OgaM=bi，】OgaN=Z)2,

則成|=M,a%=N

?：MN=。如。匕2

=Qbl+b2,

/.fcj+b2=loga(MN),

：.logaM+logaN=loga(MN).

【點睛】本題是開放性的題目，難度較大.借考查同底數哥的乘法，對數，實際考查學生對指數的理解、掌

握的程度；解題的關鍵是要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數

應有的性質.

【變式8-11(2023春?廣東揭陽?八年級校考期中)若定義

2543

A.一127n3九4B.-6mnC.12THHD.12m3M

【答案】A

【分析】根據新定義列出算式進行計算，即可得出答案.

【詳解】解：根據定義得:

=3x/〃x〃x2x（-2）x〃?2x〃3

=-12/MV,

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，根據新定義列出算式是解決問題的關鍵.

【變式8-2］（2023春?江蘇淮安?八年級期中）定義一種事的新運算：產十”=—非+%請利用這種運

算規則解決下列問題：

（1）22十23的值為」

（2）若2P=3,2<7=5,3<，=7,求2P?2。的值;

【答案】（1）96

⑵22

【分析】（1）根據新運算規則計算，即可求解；

（2）根據新運算規則原式可變形為27"+2口+。，再由幕的乘方和同底數塞的逆運算計算，即可求解.

【詳解】（1）解：根據題意得：

2365

2?2=22x3+