專題1.5實際問題與一元二次方程【十大題型】

【蘇科版】

?題型梳理

【題型1傳播問題】.............................................................................1

【題型2增長率問題】...........................................................................4

【題型3營銷問題】.............................................................................7

【題型4工程問題】............................................................................12

【題型5行程問題】............................................................................14

【題型6圖表信息題】..........................................................................19

【題型7數(shù)字問題】............................................................................22

【題型8與圖形有關(guān)的問題】...................................................................24

【題型9動態(tài)幾何問題】........................................................................28

【題型10其他問題】............................................................................36

，舉一反三

【題型1傳播問題】

【例1】（2023春?福建泉州?九年級校聯(lián)考期中）2019年年底以興，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒引

起的急性呼吸道傳染疾病。

（I）在新冠初期，人們因為不了解這種病毒所以也沒有及時進行隔離，若有1人感染后經(jīng)過兩輪的傳染將會

有144人感染了“新冠”，求每一輪傳染后平均一個人會傳染了幾個人？

（2）后來，大家眾志成城，全都隔離在家，但玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到了滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺

銷售，糖心蘋果的成本為8元/千克，她發(fā)現(xiàn)當售價為12元/千克時，每天可賣出40千克，而每漲1元時，

每天就少賣出10千克.如果每天要達到150元的利潤而且又最大限度地幫爺爺增加銷量，請你幫玲玲確定銷

售單價.

【答案】（1）11人

（2）11元

【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了工人，根據(jù)1人感染“新冠”經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染“新

冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

（2）設(shè)小玲應(yīng)該將售價定為y元，則每天可以賣出［40-10（y-124千克，根據(jù)總利潤=每斤的利潤銷售x數(shù)

量，列出一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了工人，

依題意,得：1+x+x(l+%)=144,

即(1+%)2=144

解得：Xi=11,x2=-13(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人.

(2)解：設(shè)玲玲應(yīng)該將售價定為y元，則每天可以賣出[40-10。-12)]千克，

依題意得：

(y-8)[40-10(y-12)]=150,

整理，得：y2-24y+143=0,

解得：Yi=11?y2=13

???最大限度的幫爺爺增加銷量，

小玲應(yīng)該將售價定位11元，

答：小玲應(yīng)該將售價定為11元.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2023春?遼寧沈陽?九年級統(tǒng)考期末)一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)

統(tǒng)計所有人一共握了66次手，則這次會議到會的人數(shù)是()

A.11B.12C.22D.33

【答案】B

【分析】可設(shè)參加會議有x人，每個人都與其他(％-1)人握手，共握手次數(shù)為根據(jù)一共握了66

次手列出方程求解.

【詳解】解：設(shè)參加會議有工人，依題意得，

如(％-1)=-66,

整理，得/7—132=0,

解得.=12,x2=-11,(舍去)

則參加這次會議的有12人.

故選:B.

【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，計算握手次數(shù)時，每兩個人之間產(chǎn)生一次握手現(xiàn)象，故共握手次數(shù)為

1x(x-1).

【變式1-2](2023春?黑龍江七臺河?九年級統(tǒng)考期末)某種植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又

長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111,則每個支干長出一個小分支.

【答案】10

【分析】設(shè)每個支干長出T個小分支，利用主干、支干和小分支的總數(shù)是111,列出一元一次方程，解方程即

可求解.

【詳解】解：設(shè)每個支干長出％個小分支，根據(jù)題意得，

14-x+xxx=111

即%2+%—110=0,

(x-10)(%+11)=0

解得：=10,x2=-11(舍去)

故答案為：10.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023春?廣東江門?九年級臺山市新宇中學校考期中)組織一次排球邀請賽，采取單循環(huán)的形式,

即每兩個隊都要打一場比賽.

(I)如果有四個隊參賽，則需要打多少場比賽？

(2)寫出比賽的總場數(shù)y與參賽隊伍數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式：

(3)經(jīng)過最后統(tǒng)計，共打了28場比賽，求這次比賽共有多少個隊參加？

【答案】(1)6：

(2)y=jx(x-1)

(3)8

【分析】(1)采取單循環(huán)的形式，如果有四個隊參賽，則需要打：；x4x(4—l)場;

(2)直接根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可;

(3)根據(jù)參賽的每兩個隊之間都要比賽一場結(jié)合總共28場，即司.得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】(1)如果有四個隊參賽，則需要打:

|x4x(4—1)=6場;

解得，a%=:,或a%=0（舍去）

6

故a%的值為:

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?黑龍江大慶?九年級校考期末）隨著我國數(shù)字化閱讀方式的接觸率和人群持續(xù)增多，數(shù)

字閱讀憑借獨有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑.某市2020年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為400萬元，

2022年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為576萬元.

⑴求2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率；

（2）若年平均增長率不變，求2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是多少萬元？

【答案】（1）20%

（2）預(yù)計2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是691.2萬元

【分析】（1）設(shè)2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率為，利用2022年該市數(shù)字閱讀

市場規(guī)模=2020年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模x（1+

2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率）1即可得出關(guān)于”的一元二次方程，解之取其符

合題意的值即可得出結(jié)論；

（2）利用2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模=2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模x（1+

2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率），可預(yù)計出2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模.

【詳解】（1）解：設(shè)2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率為工

根據(jù)題意得:400（1+4）2=576

解得：右=0.2=20%,不=一2,2（不符合題意，舍去）

答：2020年到2022年該市數(shù)字I兌讀市場規(guī)模的年平均增長率為20%

（2）576X（1+20%）=691.2（萬元）

???預(yù)計2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是691.2萬元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（I）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；

（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算.

【變式2-2］（2023春?河北承德?九年級承德市第四中學校考期中）在國家的宏觀調(diào)控卜,某市的商品房成交

價由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m?

⑴問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？

(2冽果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預(yù)測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破3000元/nf?

請說明理由.

【答案】(1)10%

(2)不會，理由見解析

【分析】(1)設(shè)4、5兩月平均每月降價的百分率是x,那么4月份的房價為5000(1—幻，5月份的房價為

5000(1-%)2,然后根據(jù)5月份的4050元/m2即可列出方程解決問題；

(2)根據(jù)(I)的結(jié)果可以計算出今年7月份商品房成交均價，然后和300()元/nF進行比較即可作出判斷.

【詳解】(1)解：設(shè)4、5兩月平均每月降價的百分率是工，

5000(1-%)2=4050

Xi=^=10%,x2=^(舍)

答：4、5兩月平均每月降價的百分率是10%.

(2)否，理由如下：

V4050X(1=3280.5(元)

3280.5>3000,

???預(yù)測到7月份該市的商品房成交均價不會跌破3000元/m2.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，和實際生活結(jié)合比較緊密，正確理解題意，找到關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系,

然后列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?山西太原?九年級期末)某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進貨價為2500元,

已知該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺.

⑴求該商店II,12兩個月的月均增長率；

(2)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當該冰箱伐價為2900元時，平均每天能伐出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4

臺.該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達到5(X)0元，求每臺冰箱的售價.

【答案】(1)20%

(2)2750元

【分析】(1)設(shè)該商店11,12兩個月的月均增長率為％,則該商店去年II月份售出50(1+%)臺，12月份

售出50(l+x)2臺，根據(jù)該商店去年第四季度累計售出182臺，可得出關(guān)于％的一元二次方程，解之取其符

合題意的值即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)每臺冰箱的售價為y元，則每臺的銷售利潤為2500)元，平均每天可售出(8+4X%羅)臺，利

用總利潤=每臺的銷售利潤x平均每天的銷售量，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：設(shè)該商店II,12兩個月的月均增長率為X,則該商店去年II月份售出50(1+%)臺，12

月份售出50(1+幻2臺,

根據(jù)題意得:50+50(1+%)+50(14-%)2=182,

整理得：25/+75%-16=0,

=~

解得：=0.2=20%,%23,2(不符合題意，舍去).

答：該商店11,12兩個月的月均增長率為20%；

(2)設(shè)每臺冰箱的售價為y元，則每臺的俏售利潤為2500)元，平均每天可售出(8+4x罷了)臺，

Ov

根據(jù)題意得：(y-2500)(8+4x嗤斗=5000,

整理得：y2-5500y+7562500=0,

解得：%=%=2750.

答：每臺冰箱的售價為2750元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【題型3營銷問題】

【例3】(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期中)春節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購物的高峰期，

2023年元月某水果商從農(nóng)戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售

價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件.(注：利潤=銷售價-進貨價)

⑴水果店第一次用720元購進A、8兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數(shù)；

⑵第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進4、B兩種紅富士蘋果共80件(進貨價和銷售

價都不變)，且進貨總費用不高于2O(X)元.應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤

是多少？

(3)春節(jié)臨近結(jié)束時，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對6種紅富士蘋果調(diào)價銷售.如果按

照原價銷售，平均每天可售4件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，

將銷售價定為每件多少元時，才能使8種紅京士蘋果平均每天銷售利潤為90元？

【答案】(1)4中蘋果購進10件，8中蘋果購進2()件

⑵購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元

(3)將銷售價定為每件27元時，才能使8種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元

【分析】(1)設(shè)A,8兩種蘋果分別購進工件和y件，列方程組求解即可.

(2)設(shè)購進4種蘋果m件，利潤為w元，列出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式討論最值即可.

(3)設(shè)8種蘋果降價a元銷售，根據(jù)利潤=90元，列出一元二次方程求出a,得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)A,8兩種蘋果分別購進工件和y件，

5

由題意得：［28X+22y=720

解蹴:公

答：A中蘋果購進10件，3中蘋果購進20件.

(2)解：設(shè)購進A種蘋果m件，則購進8種蘋果(80-m)件，

由題意得:28m+22(80-m)<2000,

m<40,

設(shè)利潤為w元，

則w=(42-28)m+(34-22)(80-m)=2m+960,

???2>0.

???W隨TH的增大額增大，

???當m=40時，=2x40+960=1040.

故購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元.

(3)解：設(shè)8種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天每件利潤為(12-Q)元，

由題意得：(4+2a)(12-a)=90,

解得，a=3或a=7,

???為了盡快減少庫存，

,a=7,

.??34-7=27,

答：將銷售價定為每件27元時，才能使8種紅富士蘋果平均每天俏售利潤為90元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組，一次函數(shù)，一元一次不等式以及一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意找出

等最或不等關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3-1]（2023春?廣東江門?九年級期末）汽車專賣店銷售某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為10

萬元/輛，銷售?段時間后發(fā)現(xiàn)：當該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬

元，平均每周多售出2輛.

（1）當售價為13.5萬元/輛時，求平均每周的銷售利澗.

（2）若該店計劃下調(diào)售價，增大銷量，但要確保平均每周的銷售利潤為40萬元，每輛汽車的售價定為多少合

適？

【答案】（I）平均每周的銷售利潤是49萬元

⑵每輛汽車的售價定為12萬元更合適

【分析】（1）根據(jù)當該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周

多售出1輛，即可求出當售價為13.5萬元/輛時，平均每周的銷售量，再根據(jù)銷售利澗=一輛汽車的利澗x銷

售數(shù)量列式計算：

（2）設(shè)每輛汽車降價％萬元，根據(jù)每輛的盈利X銷售的輛數(shù)=40萬元，列方程求出"勺值，進而得到每輛汽

車的售價.

【詳解】（1）解：???當售價為13.5萬元/輛時，平均每周銷量為：8+/薩X2=14（輛），

???平均每周利潤為：（13.5-10）x14=49（萬元），

答：平均每周的銷售利潤是49萬元；

（2）解：設(shè)每輛汽車的售價是％萬元，

（%-10）（8+*X2）=40.

化簡，得（％-10）（17-x）=10,

x2-27%4-180=0,

解得：=12,x2=15，

由于希望增大銷量，定價12萬元售價更合適，

答：每輛汽車的售價定為12萬元更合適.

【點睛】本題主要考查了?元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意找準數(shù)量關(guān)系與等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2023春?四川樂山?九年級統(tǒng)考期末）今年超市以每件25元的進價購進?批商品，當商品售價

為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎(chǔ)上，五月

份的銷售量達到400件.

(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率.

(2)經(jīng)市場預(yù)測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),

該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？

【答案】⑴25%

(2)5元

【分析】(1)利用平均增長率的等量關(guān)系：。(1+幻2=從列式計算即可；

(2)利用總利潤=單件利潤x銷售數(shù)最，列方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)平均增長率為％,由題意得：

256x(1+%)2=400,

解得：k=0.25或;v=-2.25(含:，；

???四、五這兩個月的月平均增長百分率為25%；

(2)解：設(shè)降價y元，由題意得：

(40-y-25)(400+5y)=4250,

整理得：y2+65y-350=0,

解得：、=5或、=一70(舍)；

，當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元.

【點睛】本題考杳?元二次方程的實際應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列出?元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學校考開學考試)正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——

元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習俗.位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計劃在元

宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天

能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉(每天只能生產(chǎn)其中一種).

(I)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？

(2)為保證手工湯圓的最佳風味，湯圓店計劃把達21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢.據(jù)統(tǒng)計，每袋手工

湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋.湯圓店按

售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全

部賣給古城小吃店，若最終獲利”)500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？

【答案】(1)總共生產(chǎn)了9000袋手工湯圓

(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元

【分析】(1)設(shè)總共生產(chǎn)了Q袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方

程即可;

(2)設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價%元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可.

【詳解】(1)設(shè)總共生產(chǎn)了Q袋手工湯圓，

依題意得，鬻+翳=21

解得a=9000,

經(jīng)檢驗Q=9000是原方程的解，

答：總共生產(chǎn)了9000袋手工湯圓

(2)設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價%元，

當剛好10天全部賣完時，

依題意得，225x2x(25-13)+8(25-13-%)(225+=40500

整理得：x2-6%+45=0

△=62-4x45<0,

???方程無解

A10天不能全部賣完

???第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為(15-13)[9000-

2X225-8(2254-y%)]=12600-600x

，依題意得，225X2x(25-13)+8(25-13-x)(225+y%)4-12600-600%=40500

解得》1=l,x2=3

???要促銷

Ax=3

即促銷時每袋應(yīng)降價3元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：(1)找準等量關(guān)系，正

確列出一元?次方程；(2)找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論.

【題型4工程問題】

【例4】(2023春?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學校考期末)某工程隊采用4、3兩種設(shè)備同時對長度為4800

米的公路進行施工改造.原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時恰好完成

改造任務(wù).

⑴求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；

(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米.在實際施工中，8型設(shè)備在鋪路效率

不變的情況下，時間比原計劃增加了(6+25)小時，同時,A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，

而使用時間增加了m小時，求m的值.

【答案】(l)A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米

⑵18

【分析】(1)設(shè)3型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面工米，可得：32x+32(2x+30)=4800,解方程即可解得答案；

(2)根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+8型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案.

【詳解】(1)設(shè)5型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面x米，則A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面(2x+30)米，由題意得

32%+32(2%+30)=4800,

解得x=40,

2%+30=80+30=110米，

所以A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米：

(2)根據(jù)題意得：40(32+m+25)+(110-3m)(m+32)=4800+1000,

解得771=18,771=0(舍去)，

答：〃，的值是18.

【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程.

【變式4-1](2023春?寧夏中衛(wèi)?九年級校考期中)隨著鐵路運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為

了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時

間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間

之和的6倍.

(1)求甲、乙隊單獨完成這項工程各需幾個月？

(2)若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元，在保證工程質(zhì)量的前提下，為

了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程.在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時

間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過15（X）萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整

數(shù)）

【答案】（1）甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月.

（2）甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元.

【分析】（1）若乙隊單獨完成這項工程需x個月，則中隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，等量關(guān)系為：“兩

隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍”，據(jù)此列方程求解即可.

（2）設(shè)甲隊施工小個月，求出乙施工的時間，根據(jù)工程款不超過1500萬元，列不等式求解.

【詳解】解：（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需『個月，則中隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，

根據(jù)題意，得x（x+5）=6（x+x+5）,

即7—7%—30=0,

解得%1=10，亞=-3（不合題意，舍去）.

A+5=15.

答：甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月.

（2）設(shè)甲隊施工6個月，則乙施工的時間為，〃個月，

由題意得，100m+（100+50）*1500,

解得：m<8：

;施工時間為整數(shù)，

;?<8,

答：完成這項工程，甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，難度一般，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)

出未知數(shù)列出方程及不等式求解.

【變式4-2】（2023春?重慶云陽?九年級校聯(lián)考期中）2020年初，武漢爆發(fā)了新型冠狀病毒引起的肺炎，并

迅速在全國傳染開來，與此同時醫(yī)護人員一直堅守在抗擊肺炎的前線，為我們保駕護航！羅曼?羅蘭說：“凡

是行為善良與高尚的人，定能因之而擔當患難.”他們是最可親可敬的人！由此，醫(yī)療物資護目鏡的需求量

大大增加，兩江新區(qū)某護目鏡生產(chǎn)廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗，在接到單位的返崗通知后，

員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用自己的實際行動踐行著一份責任和擔當.已知該廠擁

有兩條不同的護目鏡加工生產(chǎn)線4,8.原計劃A生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡400個，8生產(chǎn)線每小時生產(chǎn)護目鏡

500個.

（1）若生產(chǎn)線48一共工作12小時，且生產(chǎn)護目鏡的總數(shù)量不少于5500個，則8生產(chǎn)線至少生產(chǎn)護目鏡多少

小時？

（2）原計劃48生產(chǎn)線每天均工作8小時，但現(xiàn)在為了盡快滿足我市護目鏡的需求，兩條生產(chǎn)線每天均比原

計劃多工作了相同的小時數(shù)，但因為機器損耗及人員不足原因，A生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的

產(chǎn)量將減少10個，B生產(chǎn)線每增加1小時，該生產(chǎn)線每小時的產(chǎn)量將減少15個.這樣一天生產(chǎn)的護目鏡將比

原計劃多3300個，求該廠實際每天生產(chǎn)護目鏡的時間.

【答案】（1）B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩7小時；（2）該廠實際每天生產(chǎn)口罩的時間為14九.

【分析】（I）設(shè)B生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩不小時，根據(jù)生產(chǎn)護目鏡的總數(shù)量不少于5500個列出不等式求解即可;

（2）設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩比原計劃多的時間為匕根據(jù)實際一天生產(chǎn)的護目鏡將比原計劃多3300個列出

方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)6生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩3小時

（12-x）400十500x>5500

解得：x>7

答：8生產(chǎn)線至少生產(chǎn)口罩7小時.

（2）解：設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩比原計劃多的時間為t

（400-10t）（8+t）+（500-15t）（8+t）=8x400+8x500+3300

解得:ti=22,t2=6

生產(chǎn)時間：6+8=14九

答：設(shè)該廠實際每天生產(chǎn)口罩的時間為14,

【點睛】此題主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的

不等關(guān)系和等量關(guān)系，列山不等式和方程.

【變式4-3]（2023春?重慶合川?九年級校考期中）甲、乙兩工程隊共同承建某高速路隧道工程，隧道總長

200）米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米.因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完

成I米隧道施工所需成本不一樣.甲每合格完成I米，隧道施工成本為6萬元；乙每合格完成1米，隧道

施工成本為8萬元.

（1）若工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的右求甲最多施工多少米？

（2）實際施工開始后因地質(zhì)情況比預(yù)估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化.甲每合格完成1

米隧道施工成本增加〃，萬元時，則每天可多挖米，乙因特殊地質(zhì)，在施工成本不變的情況下，比計劃每

天少挖米，若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求〃?的值.

4

【答案】（1）1000米；（2）4

【分析】（1）設(shè)甲工程隊施工工米，則乙工程隊施工（2000.）米，由工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總

施工成本的土即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總成本:每米施工成木x每天施工的長度結(jié)合每天實際總成本比計劃多萬元，即可得出關(guān)

于加的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（I）設(shè)甲工程隊施工方米，則乙工程隊施工（2000-x）米，

依題意，得：8（2000-x）、x6.r,

解得:爛1000.

答：甲最多施工1000米.

（2）依題意，得：（6+〃］）（6+，”）+8（6-，〃）=6x（6+8）+1\in-S,

整理，得：〃?2-8帆+16=0,

解得:"〃="72=4.

答："?的值為4.

【點睛】考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（I）根據(jù)各數(shù)量之間的

關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

【題型5行程問題】

【例5】（2023春?重慶云陽?九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著?起去公園跑步鍛煉身體若兩人同

時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小

紅早5分鐘到達B地.

（1）求小明、小紅的跑步速度；

（2）若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始

前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量1（）卡路里，超過30分鐘后，每多跑步I分鐘，平均每分鐘消耗的熱量

就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分

鐘.

【答案】（l）480m/min：400m/min

(2)70min

【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關(guān)系式,

按照分式方程即可求解.，求解后檢驗所求解是不是方程解.

（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最

后求解.

【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為xm/min,則小明的速度為1.2xm/min,

依據(jù)題意列方程得，港—粵=5,

xl.2x

12000x1.2-12000=5x1.2r,

???x=400,

經(jīng)檢驗，x=400是原式方程的解.

???1.2x400=480m/min.

???小紅的速度為400m/min,小明的速度為480m/min.

故答案為:480m/min；400m/min.

（2）解：???小明的速度為480m/min,

.??小明從A地道B地需要的時間為:12000+480=25min.

???小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里,

30-25=5min.

設(shè)B地到C地的距離為%m,依據(jù)題意列方程得,

(x-480x5)/x-480x5\

30x10+

480X(1°+F^)=23。。

二3。。+（急-5）x（10+急一5）=23。。,

二島—5）x（焉+5）=2。。。,

薪-25=2。。。,

???(方=2。25,

二%=21600或3=—21600(舍去).

.-.A地到C地所需要時間為：…u『uu=70min

480

故答案為:70min.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系

式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分熱是屬于B地到C地時間.

【變式5-1］（2023春?重慶?九年級西南大學附中校考期中）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25

分鐘.若返回時，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時少用

2.5分鐘.

（1）求返回時A、B兩地間的路程；

（2）若小明從A地步行到B地后.以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個鍛煉過程不休息）.據(jù)測試，在他整

個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量

10卡路里;鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加I卡路里.測

試結(jié)果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量.問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘.

【答案】（1）1800米；（2）52分鐘.

【分析】（1）可設(shè)AB兩地之間的距離為x米，根據(jù)兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；

（2）可設(shè)從A地到C地一共鍛煉時間為y分鐘，根據(jù)在整個鍛煉過程中小明共消耗900卡路旦熱量，列出

方程即可求解.

【詳解】解：（1）設(shè)返回時A,B兩地間的路程為x米，由題意得：

X+2D0_X

25-25-2.5’

解得X=l800.

答：A、B兩地間的路程為1800米；

（2）設(shè)小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：

25x6+5x10+110+（y-30）xlj（y-30）=904,

整理得y2?50y?104=0,

解得yi=52,y2=-2（舍去）.

答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘.

【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程.

【變式5-2］（2023?九年級單元測試）甲、乙兩個機器人分別從相距70/〃的A、B兩個位置同時相向運動.甲

第I分鐘走2〃?，以后每分鐘比前I分鐘多走Im,乙每分鐘走5，〃.

⑴甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？

（2）如果甲、乙到達A或3后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1〃?，乙繼續(xù)按照每分鐘5機的速度行

走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同?位置？

【答案】（1）7分鐘

（2）15分鐘

【分析】（1）根據(jù)題意先設(shè)〃分鐘后第1次相遇，利用數(shù)列求和知識得到關(guān)于〃的方程，解此方程即可得甲、

乙開始運動后幾分鐘相遇；

（2）先設(shè)〃分鐘后第2次相遇，依路程關(guān)系得到一個關(guān)于〃的方程，解方程即得第2次相遇是在開始后多少

分鐘.

【詳解】⑴解：設(shè)〃分鐘后第1次相遇，依題意，有"?%5〃—70,

整理得/+13心140=0,

解得〃=7,〃=-20（不符合題意，舍去）

第1次相遇是在開始后7分鐘.

答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達同一位置：

（2）解：設(shè)〃分鐘后第2次相遇，依題意，有也羅+5/7=3x70,

整理得〃2+⑶?-420=0,

解得〃=15,ii=-28（不符合題意，舍去）

故第2次相遇是在開始后15分鐘.

答：開始運動后15分鐘第二次同時到達同一位置.

【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等最關(guān)系，設(shè)恰當未知數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023.四川成都.成都實外校考一模）為切實推進廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到

陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動.學生堅持長跑，

不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅.周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步.若兩人同

時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的8地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊

早5分鐘到達B地.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（I）小明每分鐘跑多少米？

（2）若從A地到達8地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息）.據(jù)了解，從他跑步開始，前

30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就

增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘.

【答案】（1）480米

（2）70分鐘

【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑X米，則小明每分鐘跑1.2%米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得;

（2）設(shè)小明從⑷也到C地鍛煉共用y分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得.

【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑”米，則小明每分鐘跑1.2%米，

12000_12000

由題意得:----------5=

1.2X

解得：X=4U0,

經(jīng)檢驗，％=400既是所列分式方程的解也符合題意，

則1.2%=1.2x400=480,

答：小明每分鐘跑480米.

（2）解：設(shè)小明從4地到。地鍛煉共用y分鐘，

由題意得:10x30+（y-30）（10+y-30）=2300,

解得：yi=70,y2=-20（不符合題意，舍去），

答：小明從4地到C地鍛煉共用70分鐘.

【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵.

【題型6圖表信息題】

【例6】（2023春?河北衡水?九年級校考期末）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城

市的難題.某城市環(huán)境保護局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水最每

月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取

水費（水費+污水處理費）.

（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應(yīng)交水費多少元：

（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；

月份用水量（噸）交水費總金額（元）

4770

5540

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值.

（3）結(jié)合當?shù)厮Y源狀況，談?wù)勅绾伍_展水資源環(huán)境保護？如何節(jié)約用水？

【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見解析；

【分析】（1）根據(jù)總費用=10+超出費用列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意分別列出5a（7-a）+10=70,5a（5-a）

+10=40,取滿足兩個方程的a的值即為本題答案；(3)結(jié)合當?shù)厮Y源狀況，敘述合理即可；

【詳解】(1)3月份應(yīng)交水費10+5a(8-a)=10+40a-5a27t;

(2)由題意得:5a(7-a)+10=70,

解得：a=3或a=4

5a(5-a)+10=40

解得：a=3或a=2,

綜上，規(guī)定用水量為3噸；

(3)既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節(jié)水技術(shù)、防治水污染、植樹造林.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解本題的水費收取標準.

【變式6-1](2023春?江蘇蘇州?九年級統(tǒng)考期末)根據(jù)龍灣風景區(qū)的旅游信息，某公司組織一批員工到該風

景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？

高果人數(shù)不選陽果超230人每\

增加1人,人均旅游費

用降低10元，但人均旅

游費用不圖軒500元

【答案】參加旅游的人數(shù)40人.

【分析】首先設(shè)有x人參加這次旅游，判定》>30,然后根據(jù)題意列出方程，再判定出符合題意的解即可.

【詳解】設(shè)有工人參加這次旅游

V30X800=24000<28000

，參加人數(shù)%>30

依題意得：%(800-X10)=28000

解得：=40,x2=70

當勺一40時，800—七含x10=700>500,符合題意.

當起=70時，800=^x10=400<500,不符合題意

答：參加旅游的人數(shù)40人.

【點睛】此題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，列出方程.

【變式6-2](2023春?江蘇蘇州?九年級統(tǒng)考期中)某旅行社一則旅游消息如下：

旅游人數(shù)收費標準

不超過10人人均收費2400元

超過10人每增加一人，人均收費減少60元，但人均收費不低于1500元

⑴甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有人.

（2）乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員T多少人？

【答案】（1）15；

（2）乙公司20人.

【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費用和人均收費標準，判斷出兩次都不超過

10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；

（2）設(shè)乙公司員工工人，根據(jù)支付的費用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收

費減少60元，列出方程，求出x的值，再根據(jù)人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù).

【詳解】（1）解:設(shè)甲公司有無人，

12000+2400+24000+2400,

=10+5,

=15（人）.

故答案為：15

（2）設(shè)乙公司工人，

[2400-60（x-10）]x=36000,

xt=20,x2=30,

若x=30,每人費用：2400-60X20=1200<1500,不符舍去，

若x=20,每人費用：2400-60X10=1800>1500,符合，

答：乙公司20人.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3】（2023春?九年級課時練習）海洲市出租車收費標準如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N<15）

N牯走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應(yīng)收29.1元，你能依據(jù)以上信息，

推算出起步價N的值嗎？

里程X(如)0<后33〈爛6x>6

2225

單價y(元)N

~N~N

【答案】見解析

【分析】里程11公里，應(yīng)收29.1元，即：起步價+3公里到6公里這段的收費+大于6公里部分的價格=29.1

元.據(jù)此相等關(guān)系即可列方程求解.

【詳解】由題意，可列出方程可+[6-3)管+(11-6虛=29.1.

解之，N2—29.1N+191=0.

ANi=IO,N2=19.1(不合題意舍去)

，起步價是10元.

【點睛】本題主要考查了列方程解決實際問題，正確理解收費標準是解決本題的關(guān)鍵.

【題型7數(shù)字問題】

【例7】(2023春?山西太原?九年級統(tǒng)考期中)直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系，在中國稱為“商

而定理“，在國外又稱為“畢達哥拉斯定理由此發(fā)現(xiàn)三個連續(xù)正整數(shù)3,4,5,滿足32+42=52,即前兩

個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方.請你探究：是否存在五個連續(xù)正整數(shù)，滿足前三個數(shù)的平方和等于后

兩個數(shù)的平方和？若存在，請求出這五個正整數(shù)；若不存在，請說明理由.

【答案】存在五個連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：10、11、12、13、14

【分析】假定存在這樣的五個正整數(shù)，設(shè)其中第一個數(shù)為Q,則連續(xù)的其他四個數(shù)為：(Q+l)、(a+2)、(a+3)、

(a+4),再根據(jù)題意，得出a?+(Q+1)2+(Q+2y=(Q+3產(chǎn)+(a+4產(chǎn)，解出然后再根據(jù)題意，得出符

合題意的Q的值，進而即可得出第?個正整數(shù)，再通過計算即可得出這五個正整數(shù).

【詳解】解：假定存在這樣的五個正整數(shù)，設(shè)其中第一個數(shù)為Q，則連續(xù)的其他四個數(shù)為：3+1)、3+2)、

(a+3)、(a+4),

，可得：a2+(a+I)2+(a+2)2=(a4-3)2+(a+4)2,

解得：Q=10或a=-2,

???這五個數(shù)為正整數(shù)，

.*.G=10,

G+1=11,a+2=12>a+3=13,a+4=14,

???這五個正整數(shù)為:10、11、12,13、14,

???存在五個連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：10、11、12、13,14.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在設(shè)出這五個正整數(shù)，再找到等量關(guān)系準確列出方

程.

【變式7-1](2023春?廣東梅州?九年級校考開學考試)一個兩位數(shù)，其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)的和等于6,

而個位與十位上的數(shù)的積等于這兩位數(shù)的三分之一求這個兩位數(shù).

【答案】24或15

【詳解】試題分析：首先設(shè)個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為(6-x),由題意得等量關(guān)系：兩個數(shù)字的積=這個

兩位數(shù)的%根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可.

試題解析：設(shè)個位上的數(shù)為x,見十位數(shù)字為(6-x),由題意得：

x(6-l)=^[10(6-x)+x],

3

解得：xi=4,xz=5,

十位數(shù)字為：6-4=2,或6-5=1

這個兩位數(shù)是：15或24

【變式7-2](2023春?遼寧沈陽?九年級統(tǒng)考期末)2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表

上可以用小方框圈出四個數(shù)(如圖所示)，圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65,若能

求出最小數(shù)：若不能請說明理由.

2021年07月

日一二三四五六

建1加節(jié)23

45678910

11121314p5~16117

202112223124

1819

25262728293031

【答案】最小的數(shù)是5,理由見解析

【分析】設(shè)這個最小數(shù)為無則最大數(shù)為(x+8),根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33,即可得出關(guān)于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解:設(shè)最小的數(shù)為工，則最大數(shù)為。+8),

由題意得x(x+8)=33,

解得3=11,必=3.由表格知不符合實際舍去;

由題意得x(x?8)=65,

解得x/=-13（舍去），歷二5,

所以當最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2023春?福建南平?九年級統(tǒng)考期中）解讀詩詞（通過列方程算出周瑜去世時的年齡）：大江東去

浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位

學子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)，H立數(shù)字比

個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡.

【答案】周瑜去世時的年齡為36歲

【分析】設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為％-3根據(jù)題意建立方程10（%-3）+%=/求出

其值即可.

【詳解】解：設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為“-3,依題意得：

10（x—3）+x