專題32與圓有關的位置關系【十六大題型】

?題型梳理

【題型1點和圓的位置關系】......................................................................2

【題型2直線與圓的位置關系】....................................................................3

【題型3求平移到與直線相切時圓心坐標或運動距離】...............................................4

【題型4根據直線與圓的位置關系求交點個數】.....................................................5

【題型5判斷或補全使宜線成為切線的條件】.......................................................6

【題型6利用切線的性質求值】....................................................................7

【題型7證明某條直線是圓的切線】...............................................................8

【題型8利用切線的性質定理證明】...............................................................9

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】...........................................................11

【題型10作圓的切線】...........................................................................13

【題型11應用切線長定理求解或證明】............................................................14

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】..........................................................15

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】......................................................16

【題型14由三角形的內切圓求值】................................................................17

【題型15與三角形內心有關的應用】..............................................................18

【題型16三角形外接圓與內切圓綜合】............................................................19

【知識點與圓有關的位置關系】

1.點和圓的位置關系

設。。的半徑為乙點夕到圓心的距離為0P=&則有：

點尸在圓外Od>r;

點P在圓上Od=r;

點〃在圓內ODVT.

性質：不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

定義：經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心是三角形三條

邊的垂直平分線的交點,叫做這個三角形的外心.

2.直線和圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點時,我們說這條直線和圓相交.這條直線叫做圓的割線.

直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線和圓相切.這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

直線和圓沒有公共點時,我們說這條直線和圓相離.

設。。的半徑為/;圓心。到直線1的距離d,則有：

直線/和。。相交=d<r;

直線/和。。相切=d=r;

直線/和。。相離<=>4r.

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角.

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的

內心.

【題型1點和圓的位置關系】

[例J1]（2023?上海閔行-校聯考模擬預測）矩形/BCD中，=8,BC=3遮,點P在邊AB上,且BP=3AP,

如果圓P是以點P為圓心,PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點均在圓P外B.點B在圓P外，點C在圓戶內

C.點B在圓P內，點C在圓P外D.點均在圓P內

【變式1-1]（2023?四川涼山-統考模擬預測）在Rt△力8c中，〃=90°,BC=3,AC=4,〃為48的中

點.以/I為圓心，廠為半徑作0/1,若以a〃三點中只有一點在O力內，則OA的半徑二的取值范圍是

（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2,5<r<4I）.2.5<r<4

【變式1-2]（2023?四川成都?統考二模）已知P是O。內一點（點P不與圓心。重合），點P到圓上各點的距離

中,最小距離與最大距離是關于x的一元二次方程Q/-12ax-20=0的兩個實數根,則O。的直徑

為?

【變式1-3]（2023?江蘇揚州?統考一模）如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點尸是平面內一點，以P、

B、。為頂點的三角形是等腰三角形，則勿的最小值為（）

47

A.；B.1C.（I）.2.5

【題型2直線與圓的位置關系】

【例2】（2023?河北秦皇島-模擬預測）如圖，已知乙AC8=30。,CM=2,AM=5,以M為圓心,r為半徑作。

M,。M與線段AC有交點時，則r的取值范圍是.

【變式27]（2023?上海青浦?統考二模）如圖，在直角梯形4BCD中，4D||BC,〃=90。”'是4D上一定

點，48=3,8。=6,4。=8,力5=2.點夕是比、上一個動點，以.。為圓心,用、為半徑作。“若02與以/?為

圓心，1為半徑的。夕有公共點,且與線段力〃只有一個交點,則用長度的取值范圍是.

【變式2-2]（2023?河北秦皇島-統考模擬預測）如圖，線段BC=16cm,過點8在線段8C的上方作射線84

且tan乙48C=/動點。從點8出發,沿射線BA以lcm/s的速度運動，同時動點。從點。出發，沿線段C8以

2cm/s的速度向點“運動，當點0到達點4時，點〃”都停止運動.以點。為圓心,OB長為半徑的半圓與線

段BC交于點〃,與射線84交于點P.連接PQ,設運動時間為t秒（t>0）

備用圖

【變式3-2］（2023?四川涼山?統考模擬預測）如圖，在半徑為5陰的。。中，直線/交。。于力、“兩點，且

弦'=8剛要使直線/與。。相切，則需要將直線/向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.Acm

【變式33】（2023?北京?統考二模）在平面直角坐標系kOy中，。。的半徑為2.對于直線/和線段3C,給

出如下定義：若將線段8c關于直線/對稱，可以得到。。的弦夕。（夕,C'分別是反。的對應點），則稱線段

"是以直線，為軸的O0的“關聯線段”.例如，圖1中線段BC是以直線/為軸的0。的“關聯線段”.

⑴如圖2,點Bi，G，B2,C2,B3,C3的橫、縱坐標都是整數.

①在線段8傳口82c2，/。3中，以直線小y=x+4為軸的0。的“關聯線段"是二

②在線段仇的，82。2,83c3中，存在以直線5丫=一工+8為軸的。。的“關聯線段”，求。的值；

（2）已知直線，3：y=-V3x+m（m>0）交x軸于點A.在448c中,AB=6,BC=2,若線段BC是以直線“為

軸的。。的“關聯線段”，直接寫出勿的最大值與最小值，以及相應的AC的長.

【題型4根據直線與圓的位置關系求交點個數】

【例4】（2023?河北滄州?校考三模）題目：〃如圖，在Rt△力BC中，4B=90°,AB=3,AC=5,以點B為圓心

的08的半徑為r,若對于r的一個值,OB與4c只有一個交點，求7?的取值范圍.”對于其答案，甲答：r=

4.乙答：3<r<4.丙答：r=￡.則正確的是（）

A.只有乙答的對B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

【變式4-1]（2023?湖南?中考真題）已知。。的直徑等于12cm,圓心。到直線1的距離為5cm,則直線/與

。。的交點個數為（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【變式4-2]（2023?江蘇鹽城?統考模擬預測）在矩形48。。中,48=8,BC=6.點。為對角線/C上一點（不

與人重合），O0是以點。為圓心,40為半徑的圓.當。0與矩形各邊的交點個數為5個時,半徑04的范圍

是.

【變式4-3]（2023?四川樂山?統考中考真題）如圖，已知。力=6,08=8,8。=2,。。與。8、48均相切，

點P是線段力C與拋物線y=a/的交點,則a的值為（）

[例5]（2023?廣東揭陽?統考一模）如圖,4B是。。的直徑,8c交。。于點D,DE14C于點E,下列說法不

正確的是（）

A.若DE=D。，則OE是00的切線B.若AB=AC,貝UDE是O。的切線

C.若則DE是。。的切線D.若0E是。。的切線，則48=AC

【變式5-1]（2023?天津西青-模擬預測）如圖所示,在平面直角坐標系x分中，半徑為2的。尸的圓心〃的

坐標為（-3,0）,將。尸沿x軸正方向平移，使。尸與y軸相切，則平移的距離為.

【變式5-2]（2023?吉林?一模）已知△ABC內接于。0,過點力作直線EF.

⑴如圖1所示,若為。。的直徑,要使“成為。。的切線,還需要添加的一個條件是

⑵如圖2所示,如果48是不過圓心。的弦,且“AE=LB,那么EF是。。的切線嗎?試證明你的判斷.

【變式5-3]（2023?貴州?中考真題）如圖,AB是。0的直徑,BC交。0于點D,DEJ_AC于點E,要使DE是。0

的切線，還需補充一個條件,則補充的條件不正確的是（）

C.CD=DBD.AC/70D

【題型6利用切線的性質求值】

【例6】（2023?安徽?校聯考模擬預測）如圖，已知A8是。。的直徑,BC與。。相切于點8.若AA8C一△

CBO,則sin/ACB=.

（變式6-1]（2023?海南三亞?統考二模）如圖，P力與O。相切于點4P。與O。相交于點B,點C是O。上一

點，若44C8=32°,則NP的度數為.

【變式6-2]（2023?安徽?模擬預測）如圖,E是O0的直徑48延長線上一點，過點E作。。的切線EC,C為切

點,。是O。上一點（在直徑AB的下方）.若〃EC=50°,貝I」乙4DC的度數為.

【變式6-3]（2023?廣東汕頭?汕頭市第六中學校考一模）如圖，內接于。O.4B是直徑,過點/作直

線MN,且MN是。。的切線.

（1）求證：/.MAC=Z.ABC.

（2）設。是弧AC的中點,連接8。交4c于點G,過點。作DE1AB于點E,交力C于點F.

①求證：FD=FG.

②若=3,4B=5,試求力E的長.

【題型7證明某條直線是圓的切線】

【例7】（2023?江蘇連云港-模擬預測）如圖，直線P/1交O。于力、8兩點,4E是。。的直徑，點C為。。上一

點,且4c平分匕P4E,過C作CD1PA,垂足為D.

(1)求證：CD為O。的切線；

(2)若4c=5,zF=30°,求CD的長.

【變式7-1](2023?江蘇淮安-校考模擬預測)如圖，已知直線/與。。相離，。41，于點A,交O。于點P,

點B是O。上一點,連接BP并延長,交直線1于點C,使得AB=AC.

(1)判斷直線48與。。的位置關系并說明理由；

(2)PC=2痣，0A=4,求線段P3的長.

【變式7-2](2023?廣東肇慶?統考三模)如圖,48是。。的直徑，C,〃是。。上的兩點,且8c=DC,BD交

AC于點E,點尸在AC的延長線上，BE=BF.

(1)求證：8尸是。。的切線；

(2)若EF=6,cosz4BC=：,

①求的長；

②求。0的半徑.

【變式7-3](2023?廣東茂名?統考三模)如圖，力8是。。的直徑，點E是劣弧80上一點，"/W=^AED,且

DE=或，4E平分48力。，力E與8。交于點F.

(1)求證：PA是。0的切線；

⑵若tan/DAE=當，求EF的長;

⑶延長。E,AB交于點C,若OB=BC,求。。的半徑.

【題型8利用切線的性質定理證明】

【例8】(2023?廣東江門?統考一模)如圖1,已知48是。。的直徑=2,C為圓上任意一點，過點C作圓

的切線,分別與過A,8兩點的切線交于P,0兩點.

AAP

(1)求(；，?(；Q的值；

(2)如圖2,連接PB,AQ交于點M證明直線MC1AB.

【變式8-1](2023?內蒙古包頭?統考一模)如圖,P4PB是。。的兩條切線,48是切點，連接40并延長，與

PB的延長線相交于點C,連接PO,交。。于點。,連接。氏

⑴求證：4”。=乙BP。；(用兩種證法解答)

(2)若DP=DB,試探究P8與P。之間的數量關系,寫出并證明你的結論.

【變式8-2](2023?四川?校聯考模擬預測)如圖，圓。中內接△/18C,過點力作圓。的切線/,作直線。。使

得乙1CD=乙B,并交48于E.

(1)證明：CD||/;

(2)若CE=CA=2EA=2,求ED的值；

(3)證明：BC2-ED=CE-BE-BA.

【變式8-3](2023?河南許昌?統考二模)《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部教學著作，書

中以23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發點,給出了119個定義和465個命題.其中，命題4.2

的內容是：給定一個三角形,可作圓內接相似三角形.

小冉想嘗試對這個命題進行證明，于是根據書中命題的內容及圖形的畫法寫出了已知和求證:

已知:如圖1,△48c為已知三角形,如圖2,HG是。。的切線，D為切點，乙EDH=乙B,Z.FDG=LC.

求證：&DEF“ACB.

小冉在圖2的基礎上，添加了輔助線;如圖3,連接并延長0。，交O。于點P,連接P￡PE

(1)請在小冉所添輔助線的基礎上,求證：△DEFACB;

(2)若48=AC=5,BC=8,EF=16,求O0的半徑.

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】

【例9】(2023?廣東肇慶?統考二模)如圖,矩形/BCD中，AB=13,AD=6.點E是CD上的動點，以4E為直

徑的O。與48交于點凡過點?作FG1BE于點G.

(D當E是CO的中點時：的值為;

(2)在(1)的條件下,證明：FG是0。的切線；

(3)試探究：BE能否與。。相切?若能，求出此時BE的長;若不能，清說明理由.

【變式9-1](2023?山西太原?太原五中校考一模)我們學習過利用尺規作圖平分一個任意角，而〃利用尺規

作圖三等分一個任意角”曾是數學史上一大難題，之后被數學家證明是不可能完成的.人們根據實際需要，

發明了一種簡易操作工具-三分角器.圖1是它的示意圖，其中48與半圓。的直徑在同一直線上，且48的

長度與半圓的半徑相等,08與低垂直與點氏足夠長.

圖1圖2

使用方法如圖2所示，若要把七N三等分，只需適當放置三分角器，使"8經過的頂點E,點A落在邊

EM上,半圓。與另一邊EN恰好相切,則EB,E。就把NMEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明.如下給出了不完整的“已知"和“求證”，請補充完整，并

寫出“證明”過程.

己知：如圖2,點A,B,0,。在同一直線上,EB1AC,垂足為點B,.

求證：.

【變式9-2](2023?山東?統考中考真題)如圖，已知48是。。的直徑,CD=CB,BE切。。于點&過點C作

CF1OE交BE于點、F,若EF=2BF.

(1)如圖1,連接BD,求證：2ADBw〉OBE;

(2)如圖2,N是上一點，在48上取一點M,使匕MCN=60。,連接MN.請問：三條線段MN,EM,DN有怎、

樣的數量關系？并證明你的結論.

【變式9-3](2023?浙江杭州?校考二模)知：如圖】，48是。0的弦，點C是。。的半徑OB的延長線上一點,

4尋SA8C翻折得到^ABC',AC'交半徑08于點O.

圖I圖2

⑴求證:BC||0A.

(2)若AC與。。相切.

①如圖2,點C'落在。。上,求sinC的值.

②如圖3,若0A=10,AB=12,求河BDC'的面積.

【題型10作圓的切線】

【例10】(2023?江蘇南京?一模)過。0上一點4可以用尺規按以下方法作出。。的切線；

①另取。。上一點A以4為圓心,月8為半徑作圓,將OB與O0的另一個交點記為點C\

②以A為圓心,/1C為半徑作弧,將。A與O8的另一個交點記為點〃，作直線AD.

直線力。即為。。的切線.

如圖，小明已經完成了作圖步驟①.

(1)用尺規完成作圖步驟②；

(2)連接AC,3。，求證：平分乙C40;

(3)求證：直線為。。的切線.

【變式10-1](2023?福建福州?統考三模)如圖，已知。0及圓外一點P,請你利用尺規作。的切線PA.(不

寫作法，保留作圖痕跡)

[變式10-2](2023?湖北?校聯考三模)如圖，在Rt△4BC中，4=90°,BD平分MABC交配4于〃點，0是BC

上一點，經過4、〃兩點的。。分別交8C、BA于點E、F.

(1)用尺規補全圖形(保留作圖痕跡,不寫作法)；

(2)求證：CA與。。相切:

⑶當8。=2膽/ABD=30。時,求劣弧BD的長.

【變式10-3](2023?山東?統考中考真題)如圖，/BPD=120。,點4、C分別在射線P8、PD上，匕PAC=

30°,AC=2Vs.

(1)用尺規在圖中作一段劣弧，使得它在4、。兩點分別與射線尸B和PO相切.要求：寫出作法,并保留作圖痕

跡；

(2)根據(1)的作法,結合已有條件,請寫出已知和求證,并證明；

(3)求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積.

【題型11應用切線長定理求解或證明】

【例11](2023?河北邯鄲?校考三模)如圖，在四邊形仍切中，Z/!=Z^=90°,A/)=4,BC=10.sinC=1以

力〃為直徑作。a把。。沿水平方向平移『個單位,得到。。‘，為直徑力?平移后的對應線段.

⑴當x=0,且3為。。上一點時,求〃"的最大值；

⑵當8'與C重合時，設。0'與切相交于點A；求點N到力?的距離；

(3)當。。與⑦相切時，直接寫出x的值.

【變式H-1J(2023?山東威海?統考一模)如圖，。。的直徑4?=12,槐外是。。的兩條切線，如切。。于

E交8V于C,設AD=x,BC=y.

(1)求證：力口2=4DE-CE;

(2)求y與x的函數關系式；

⑶若My是方程2/-3Ox+a=0的兩個根,求aOCD的面積.

【變式11-2](2023?北京石景山?統考二模)如圖"。是O。的直徑,P是。。外一點，連接P。交。。于點

C,PB,PD分別切。。于點8,D,連接43,AC.

（1）求證：AB//OP-,

（2）連接P4若PA=2V2,tan,BAD=2,求PC長.

【變式11-3]（2023?廣東中山?統考三模）如圖，已知是。。的直徑,48=2,C為圓上任意一點，過點C

作圓的切線,分別與過4B兩點的切線交于P,Q兩點.

⑴求CP-CQ的值；

（2）如圖,連接尸交于點M,證明直線MC1AB.

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】

【例12]（2023?江蘇無錫-模擬預測）下列說法：（1）三個點確定一個圓；（2）相等的圓心角所對的弦相

等；（3）同弧或等弧所對的圓周角相等；（4）二角形的外心到二角形二條邊的距尚相等；（5）外心在二角形的一

邊上的三角形是直角三角形;其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式12-1]（2023?浙江溫州?模擬預測）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是

（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

【變式12-2]（2023?河北滄州?模擬預測）當一個三角形的內心與外心重合時，這個三角形一定是

（）

A.直角三角形B.等腰直.侑三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式12-3]（2023?廣西玉林?統考中考真題）如圖，在5x7網路中，各小正方形邊長均為1,點

（）、/,氏C,〃，少均在格點上，點。是△力BC的外心,在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也

是0的三角形都寫出來.

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】

【例13】(2023?湖北武漢?校考模擬預測)如圖,△ABC中=AC,。。是△ABC的外接圓,50的延長線

交邊AC于點D.

(1)求證：LBAC=2/.ABD;

(2)若AD:DC=2:3,BC=2夕時,求。0的半徑.

【變式13-1】(2023?江蘇南京?統考一模)如圖，△ABC內接于。0,NBAC=45°,AD_LBC,垂足為D,BD=

6,DC=4.

(1)求。0的半徑；

⑵求AD的長.

【變式13-2](2023?浙江溫州-校考一模)如圖，△ABC在平面直角坐標系中，點力

(1)利用網格確定△ABC的外接圓的圓心坐標為______;

(2)作出△48C的外接圓；

(3)利用直尺作出N4cB的角平分線.

【變式13-3】(2023?山東濟寧?校考二模)如圖，在平面直角坐標系中，Zk/IBC三個頂點的坐標分別為

力(-2,1),8(-1,4),。(-3,2)

⑴以原點。為位似中心，位似比為2:1,在y軸的左側畫出△ABC放大后的44181GL；

(2)在(1)中，若點M(7%7。為線段BC上任一點,寫出變化后點M的對應點W的坐標___________.

(3)直接寫出△為從G外接圓的圓心。坐標.

【題型14由三角形的內切圓求值】

【例14】(2023?黑龍江雞西-校考三模)如圖，在直角坐標系中，一直線］經過點與淵、y軸分別

交于48兩點，且K4=M8,若OOi是△480的內切圓，。。2與。0］、I、y軸分別相切,。。3與。。2、2、

y軸分別相切，按此規律,則。。2023的半徑r2023=.

【變式14T】(2023?福建泉州?模擬預測)作圖題：如圖，在矩形48co中，已知710=10,718=6,

(1)用直尺和圓規在力。上找一點￡使七。平分NBED,(不寫作法，架留作圖痕跡)；

(2)求△COE內切圓半徑r的值.

【變式14-2］(2023?山東淄博?統考一模)如圖，在RtzMBC中,LA=90。,點D,E分別在",BC上,且CD-

BC=AC-CE,以E為圓心,長為半徑作惻，。E經過點8,與力B,BC分別交于點F,G.

(1)求證：力。是。￡1的切線；

⑵若AF=4,CG=5,求O￡的半徑;

(3)在(2)的條件下,若RtZL45c的內切圓圓心為/,直接寫出/E的長.

【變式14-3】(2014?江蘇南京?統考中考真題)如圖，在放歐中，N/1?90°於3cm,為

△九％的內切圓,

（1）求O0的半徑;

（2）點尸從點8沿邊刃向點A以點1c勿/s的速度勻速運動，以點尸為圓心,加長為半徑作圓，設點刀運動的

時間為￡s，若。尸與相切，求￡的值.

【題型15與三角形內心有關的應用】

【例15]（2023?陜西西安-西安市鐵一中學校考模擬預測）綜合與實踐：（1）如圖（1），有一-塊三角形材料公

ABC,準備裁剪成一個面積最大的員I形，已知乙C=90。,BC=3,AC=4,求裁剪出的最大圓形面積.

（2）如圖（2）,市政部門準備把一塊四邊形區域改造成公園，計劃在主干道A8上確定大門M的位置，且在M與

另外兩個小門￡?、F連接而成的三帶形區域內設計一個面積盡?可?能?大?的圓形花園，部分數據如下：乙B=

4c=60°,BE=CD=2EC=400米,