中考數學模擬題匯總《圖形的相似》專項練習及答案解析

一、綜合題

1.如圖，在菱形ABCD中，延長力8到瓦延長AD到凡使8E=DF,連接EF,連接AC并延長

交EF于點G.

(1)求證：AG1EF；

(2)連接80交4C于。，過8作BMLEF于點機若8。=2,。為4G中點，求EM的長.

2.如圖1,RtZXABC中，點D,E分別為直角邊AC,BC上的點，若滿足AD2+BEJDE2,則稱DE為RtZXABC的

“完美分割線“，顯然，當DE為AABC的中位線時，DE是AABC的一條完美分割線。

(2)如圖2,對AC邊上的點D,在RtZ\ABC中的斜邊AB上取點P,使得DP=DA,過點P畫PE_LPD交BC

丁點E,結DE,求證：DE是直角AABC的完美分割線。

(3)如圖3,在RtZ\ABC中,AC=10,BC=5,DE是其完美分割線，點P是斜邊AB的中點，一結PD、PE,

求cosZPDE的值。

3.如圖，在△ABC中，AB=9,BC=6.

B

(1)在AB上求作點E,使得EA=EC;(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)若NACB=2NA,求AE的長.

4.如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-x'+mx+n的圖象經過點A(3,0),B(m,m+1),且

與y軸相交于點C.

O

(1)求這個二次函數的解析式并寫出其圖象頂點D的坐標；

(2)求NCAD的正弦值；

(3)設點P在線段DC的延長度上，且NPA0=NCAD,求點P的坐標.

5.已知，如圖，是。。的直徑，點C為。。上一點，。尸1BC于點F,交。。于點E.AE

與BC交于點H,點、D為OE的延長線上一點，且NODB=ZAEC.

(1)求證：BD是。。的切線;

(2)求證：CE2=EHEA.

6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,40=2,BC=5,ZBAC=45°,cos^ACB.

(I)求線段AC的長；

(2)聯結BD,交對角線AC于點。，求40。的余切值.

7.如圖，反比例函數y的圖象經過點71(-273,1),射線AB與反比例函數的圖象的另一個交點為

8(—1,Q)，射線AC與x軸交于點E,與y軸交于點C,/8AC=75。，AD1y軸，垂足為D.

(2)求DC的長

(3)在x軸上是否存在點P,使得AAPE與AACD相似，若存在，請求出滿足條件點P的坐標，若不

存在，請說明理由.

8.如圖，在AABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交AB于點D,交BC于點E.

0

B

(1)求證：BE=CE；

(2)若BD=2,BE=3,求tan/BAC的值.

9.如圖，在直角三角形ABC中，直角邊AC=3cm,BC=4cm.設P,Q分別為AB、BC上的動點，在點P

自點A沿AB方向向B作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，它們移動的速度均為

每秒1cm,當Q點到達C點時，P點就停止移動.設P,Q移動的時間t秒.

(1)當t為何值時，△P5Q是以NB為頂角的等腰三角形？

(2)ZiPBQ能否與直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，說明理由.

1().如圖，在△ABC中,ZABC=90°,以AB的中點0為同心、0A為半徑的圓交AC于點D,E是BC的中點,

連接DE,0E.

(1)判斷DE與。0的位置關系，并說明理由；

(2)求證：BC=CD*20E；

(3)若COS/BADW，BE=6,求OE的長.

11.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED,DF=;DC,連接EF并延長交BC的延

4

(1)求證：△ABES/\DEF；

(2)若正方形的邊長為4,求BG的長.

12.如圖，在邊長為1的5X5的正方形網格上有兩個三角形,它們頂點都在格點上.

圖1

（1）ZXABC與ADEF是否相似？請說明理由；

（2）請在空白網格上畫出?ZXABC,并指出相似比.△MNP?△ABC,相似比為（要求△MNP

三個頂點都在格點上，并與△ABC、Z\DEF都不全等）

k于點A、B、C和點D、E、F.

（2）如果DE：DF=2：5,AD=9,CF=14,求BE的長.

M.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（6,0）,且AO=AB=S,AHx軸于點H,過B作

BCLx軸交過點A的反比例函數y=：Q>0）于點C,連接0C交AB于點D,AH于點M.

（1）求該反比例函數的表達式;

（2）求”的值.

15.在直角梯形ABCD中，AB〃CD,ZABC=90°,AB=2BC=2CD,對角線AC與BD相交于點0,線段0A,0B的

中點分別為E,F.

(1)求證：Z^FOEg△0()€；

(2)求sinZOEF的值；

(3)若直線EF與線段AD,BC分別相交于點G,H,求—Gn—的值.

16.閱讀與思考

請閱讀下列材料，并完成相應的任務.

《周髀算經》的啟示

早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，

那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》中.如圖，

已知2ABC是大家熟悉的勾三，股四，弦五的三角形，即AC：BC：AB=3：4；5,在其內部作正方形

DEFG和正方形GHMN，點、D,N在邊AB上，點E,F,H在邊BC上，點在邊AC上，則MC=

HF.

下面是一位同學的部分證明過程：

證明：?.?四邊形DEFG是正方形,

，ZDEF=ZGFE=90".

ZDEB=ZGFH=90".

二?四邊形GHMN是正方形，

:?GH=HM,NGHM=90°.

任務：

(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)若正方形DEFG的邊長為1,求正方形GHMN的邊長.

參考答案與解析

1.【答案】（1）解：:四邊形ABCD是菱形

.'?/I=Z2,AD=AB

YBC=DF

：.AE=AF

：.AG±EF

(2)解：?.?菱形ABCD

:?BD1AC,AO=OC=\AC,

'：BMLEF,AGA.EF

/./BOG=NOGM=NGMB=90

，四邊形OBMG是矩形

VC為AG中點，

._AOBO_1

"AG~EG—4

'：BD=2,

.*.E0=l,

：.EG=4.

VGM=08=1

：.ME=3.

2.【答案】(1)v

J

(2)解：如圖2,

VEA=DP.AZI)AP=ZI)PA

VFE1PD,「.NDPA+NEPB=90°

又NA+NB=90°,

.,.ZEPB=ZB,

???EP=EB——6分

AAD2+BE2=I)p2+EP2=DE2,

ADE是直角△ABC的完美分割線

(3)解：延長DP至點F,使得PF=DP,連結BF,PF,EF,

VAP=BP,ZAPD=ZBPF,AA/XPD^ABPFn

.*.AD=BF,ZA=ZEBPo

/.NEBF=NCBA+NFBP=NCBA+NA=90°

.?FE是完美分割線，

.,.CE2=AD2+BE2=BF2+BE2=EF2,HPED=EF

又PD=PF,AZEPD=90°

法一：，點C,D,P,E出現在以DE為直徑的圓上,

連結CP,

貝J|NEDP-NPCE-NPBC。

.-.cosZPDE=cosB=?

法二：過點P作PM_LAC,PN±BC,

則NMPD=NNPE=900-ZMPE,

.?.△MPDs-PE,.?端=*氣

???COSNPDE=f

3.【答案】(1)解：如圖，點E即為所求作的點,

（2）解：???EA=EC,

???4=/ECA,

vZACB=2/4=/BCE+ZACE.

???/BCE="

???ZB=ZB,

???△BCEBAC,

?嗑=案'而AB=9,BC=6.

36

BE=—=4,

9

???AE=AB-BE=5.

4.【答案】(1)解：,二次函數y=-x^+mx+n的圖象經過點A(3,0),B(m,m+1),

.（0=-94-3m+n

??Im+1=—m2+m2+n

解得｛：二,

.?.二次函數的解析式為：y=-x2+2x+3,頂點D的坐標為(1,4)

(2)解：如圖所示，

VA(3,0),D(1,4),

.,.CD=V2,AC=3yf2,AD=2圾,

.\CD::+AC2=AD%

...△ACD是直角三角形，且NACD=90°,

?'sinNACD二黑=盤=噂

(3)解：:直線CD經過C(0,3),D(1,4),

???設可設直線Q）為y=kx+b,則

3=b

4=k+b

解得｛浮

；?直線Q）為y=x+3,

設點P的坐標為（a,a+3）,

①如圖所示，當點P在x軸上方附，過點P作PE_Lx軸于E,則

PE-a+3,AE=3-a,

VZAEP=ZACD=90",ZPAO=ZCAD,

.'.△ACD^AAEP,

.PEAEa+3_3-a

??正二就，即an育二荻，

解得a：

a+3=-,

???此時P的坐標為（-T,I）:

②如圖所示，當點P在X軸下方時，過點P作PF_Lx軸于F,則

PF=-（a+3）,AF=3-a,

VZAFP=ZACD=90°,ZPAO=ZCAD,

.,.△ACD^AAFP,

.PF_AFa3_3a

..拓二就，即0n《"二猊，

解得a=-6,

a+3=-3,

此時P的坐標為（-6,-3）；

綜上所述，點P的坐標為（一,,|）,（一6,—3）

5.【答案】（I）證明：???/4EC=4/?C.

又二NODB=ZAEC,AZODB=ZABC,

'：0F1BC,:./BFD=90",

ZODB+/DBF=90°,

,ZABC+/DBF=90°,

即/OBD=90°,：.BD1OB,

：?RD是0。的切線

（2）證明：連接AC,如圖所示：

OF1BC,

*zajr*

..0E=Cfi,

ZCAE=NECB,

：^CEA=/HEC,

：.ACEH-AAEC,

：.CE:AE=EH'.CE,

：.CE2=EH-EA

6.【答案】（1）解：作BE垂直AC于E,

Vcos^CF=|,BC=5,

AEC=3,

由勾股定理可得：BEM,

VZBAC=45°,

/.AE=BE,

.?.AE=4,

/.AC=AE+EC=4+3=7,

即AC的長為7,

(2)解：由題意作圖，

VAI)IIBC,

AZ0BC=ZAD0,

AAO：0C=AD:BC(平行線分線段成比例)，

???AO：OC=2：5,

VAC=7,

.,.CC=5,

做OP垂直BC于P,

'/cos^ACB=5-,

，FC=3,

由勾股定理可得:0P=4.

VEC=5,

.,.EP=2,

OBC的余切值為,

即NADO的余切值為1.

7.【答案】(1)解：???反比例函數y=W的圖象經過點力(一2百，1),

:?k=(-2>/3)x1=-2V3,

???反比例函數的解析式為：y=*;

-'-AM=BM=2^3-1,

???ZBAM=45°,

???ZBAC=75°,

ZDAC=75°-45°=30°

=2V3x—=2;

J

(3)解：?.?AD_Ly軸，

???AD〃x軸，

.*.Zl=Z0EC=ZI)AC=30°,

①當AP^x軸時，AAP^-ACDA,此時：P】(一2，5,0);

②當>4^21AE時，AAP2E-ADCA,

?.TPi=l,4P2Pl=90°-30°=60°,

???P2Pi=1+V5=當，

，P2（一子,0）?

綜上所述：%（—2，5,0）,22（-苧,0）.

8.【答案】（1）解：證明：連結AE

?「AC為。0的直徑，

AZAEC=90°,

，AE_LBC,

而AB=AC,

.*.EE=CE；

(2)解：連結DE,AE,CD則CDJLAB,

VBE=CE=3,

.,.EC=6,

???ZBED=ZBAC,

而NDBE=NCBA,

/.△BED^ABAC,

.些一處?n±

*"RARC'RA

/.EA=9,

/.AC=BA=9.

AD=7,CD=AC2—AD2~4V2,

???4tanZ/BDA"C=-CD=—4yf2

AD7

9.【答案】(1)解：???直角邊4c=3cm,8c=4cm,

二由勾股定理可得，AB=y/AC2+BC2=V32+42=5*

.\AP=t,BP=5—t,BQ=t,

「APBQ是以/B為頂角的等腰三角形,

/.EP=BQ,即5-t=t,解得t=3秒，

??.當t=|秒，APBQ是以為頂角的等腰三角形；

(2)解：能.

理由：當△PBQs/\ABC時，

冷第即T解得：t=>

當△PBQsZ\CBA時，整=案,即”一，解得：￡=g秒,

ABBC549

?二當￡二§或弓秒時，aPBQ與直角三角形ABC相似?

10.【笞案】(1)證明：連接0D,BD,

;AB為圓0的直徑,

???NADB=90°,

在RtZXBDC中，E為斜邊BC的中點，

.,.CE=I)B=BE=1BC,

ZC=ZCDE,

V0A=0D,

,ZA=ZAD0,

VZABC=90°,即/C+/A=90°,

.??/AD0+NCDE=9()°,MFZ01)E=90o,

ADE10D,又0D為圓的半徑，

???DE為GO的切線.

(2)證明：是BC的中點，。點是AB的中點,

.??CE是AABC的中位線，

???AC=20E,

VZC=ZC,ZABC=ZBDC,

，AABC^ABDC,

.,燃=器即BC2=AC?CD.

CDDC

.?.腰=2。)?OE.

(3)解：VcosZBAD=1,

o

../nsBC4

..sinZBAC=-：=",

AC5

又?.?BE=6,E是BC的中點,即BC=12,

.\AC=15.

又?.?AC=2OE,

11.【答案】(1)證明：TABCD為正方形，.??AD=ABROBC,NA=ND=90°,

VAE=ED,

.AE1

..一=",

AB2

VDF=-4DC,

.LF1

..一=-,

DE2

.AE__DF_

"AB-DE'

.,.△ABI^ADEF

(2)解：TABCD為正方形，，ED〃BG,

.ED_DF

99CG~CF'

又?,?【）「=正方形的邊長為

74DC,4,

.??ED=2,CG=6,「.BG=BC+CG=10

12.【答案】（1）結論：△ABCSADEF

2222

,:DE=Vl+2=底DF=Vl+3=y/10fFE=5,

AB=Vl2+l2=V2,CB=Vl2+32=710,4C=2,

.竺一些—回竺_四EF_5_V1O

''AB~V2~2/AC~21BC-V1O-2

.DE_DF_EF

??布一就一BC,

AAABC^ADEF.

⑵包

2

13.【答案】（1）解：???AD〃BE〃CF,

.些_竺

?'~LF-'AC'

VAB=6,BC=8,DF=21,

.霹窗

.\DE=9

（2）解：過點D件DG〃AC,交RE于點H,交CF于點G,

則CG=BH=AD=9,

AGF=14-9=5,

VHE/7GF,

,HE_DE

"GF"DF'

VEE：DF-2:5,GF-5,

???HE=2,

.,.BE=9+2=11.

1

D

14.【答案】（1）解：?.?點B的坐標為（6,0）,且AO=AB=5,AH1.x軸，

.\CB=6,0H=HB=3,

A.AH=y/AO2-OH2=V52-32=4,

（3,4）,

?.k=3X4=12,

二?該反比例函數的表達式為：y=j（x>o）.

（2）解：?.?點B的坐標為（6,0）,y=Y（x>0）,8C_L%軸交過點A的反比例函數y=>0）于

點C

.,.點C（6,2）,

ABC-2,

設0C的解析式為y=kx,

A2=6k,

???CC的解析式為y=；x,

當x=3時，y=：x=i,

，點M(3,1),

.\AM=3,

**AH1x軸，BCJLx軸，

.,.△ADM^ABDC,

AAD：DB=AM：BC=3：2.

15.【答案】(1)證明：YEF是AOAB的中位線,

，EF〃AB,EF=；1AB,

而CD〃AB,CD=|AB,

JEF二CD,NOEF二NOCD,ZOFE=ZODC,

...ZOEE=ZCAB,

???在Rt^ABC中，AC=VAB2+BC2=V4BC2+BC2=V5BC,

.,.sinZOEF=sinZCAB=筆=蠢=g

(3)解：VAE=OE=OC,EF〃CD,

/.△AEG^AACD,

=3=3即EG=5CD,

CDAC33

同理FH=1CD,

.AB+CD2CD+CD9

..----------=CD,,CD=-

GH—+CD+—5

16.【答案】(1)解：?.?四邊形DEFG是正方形，

/DEF=/GFE=90°.

/./DEB=NGF