天津市河東區中考數學模擬試卷（解析版）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共12題，共計36分）

1.下列運算：sin3（T=返，V8=2V2>K°=n,22=-4,其中運算結果正確的個數為（）

2

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據特殊角三角函數值，可判斷第一個：

根據算術平方根，可判斷第二個；

根據非零的零次第，可判斷第三個；

根據負整數指數累，可判斷第四個.

【解答】W：sin300=-^-?

避=2加,

n°=l,

2.得

故選：D.

【點評】本題考查了特殊帶三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵，注意負整數指

數轅與正整數指數曷互為倒數.

2.在△ABC中，ZA：zB：ZC=3：4：5,則NC等于（）

A.45°B.60℃.75°D.90°

【分析】首先根據NA：ZB：ZC=3：4：5,求出NC的度數占三角形的內角和的幾分之

幾；然后根據分數乘法的意義，用180。乘以NC的度數占三角形的內角和的分率.，求出NC

等于多少度即可.

【解答】解：180°x5

3+4+5

=180°X9

(1乙

=75°

即/C等于75。.

故選：C.

【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三

角形的內角和是180°.

3.一元二次方程4x2+l=4x的根的情況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實數根

C.有兩個相等的實數根D.有兩個不相等的實數根

【分析】先求出△的值，再判斷出其符號即可.

【解答】解：原方程可化為：4X2?4X+1=0,

△=42-4x4x1=。，

二?方程有兩個相等的實數根.

故選C.

【點評】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（aM）的根與△的關系

是解答此題的關鍵.

4.順次連接矩形ABCD各邊中點，所得四邊形必定是（）

A.鄰邊不等的平行四邊形B.矩形

C.正方形D.菱形

【分析】作出圖形，根據三角形的中位線定理可得EF二GH|AC,FG=EH^BD,再根據

矩形的對角線相等可得AC=BD,從而得到四邊形EFGH的四條邊都相等，然后根據四條邊

都相等的四邊形是菱形解答.

【解答】解：如圖，連接AC、BD,

???E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點，

AEF=GH-|AC,FG=EHyBD（三角形的中位線等于第三邊的一半），

V矩形ABCD的對角線AC=BD,

EF=GH=FG=EH,

二四邊形EFGH是菱形.

故選：D.

H

D

【點評】本題考杳了三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的性質，作輔助線構造出三角

形，然后利用三角形的中位線定理是解題的關鍵.

5.用配方法解一元二次方程x2?6x-10=0時，下列變形正確的為（）

A.2=1C.2=19

【分析】方程移項變形后，利用完全平方公式化簡得到結果，即可做出判斷.

【解答】解：方程移項得：X2-6X=1（）,

配方得：x2-6x+9=l9.即（x-3）2=19,

故選D.

【點評】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

6.某校九年級數學興趣小組的同學調查了若干名家長對"初中學生帶手機上學〃現象的看法,

統計整理并制作了如下的條形與扇形統計圖.

依據圖中信息，得出下列結論：

（1）接受這次調查的家長人數為200人

（2）在扇形統計圖中，“不贊同”的家長部分所對應的扇形圓心角大小為162。

（3）表示“無所謂〃的家長人數為40人

（4）隨機抽查一名接受調查的家長，恰好抽到“很贊同〃的家長的概率，5.

其中正確的結論個數為（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】（l）根據表示贊同的人數是50,所占的百分比是25%即可求得總人數；

（2）利用360。乘以對應的百分比即可求得圓心角的度數；

（3）利用總人數乘以對應的百分比即可求解；

（4）求得表示很贊同的人數，然后利用概率公式求解.

（4）表示很贊同的人數是：200-50-40-90=20（人），

故選A.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，從不同的統計圖中得到必要的

信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項FI的數據，扇形統計圖直接反映

部分占總體的百分比大小,用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.總體數目

二部分數目+相應百分比.

7.若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2,則其內切圓半徑的長為（）

A/2B.V2-2C.2加D派-2

【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長,

進而可求得兩條直角邊的長；然后根據直角三角形內切圓半徑公式求出內切圓半徑的長.

【解答】解：???等腰直角三角形外接圓半徑為2,

???此直角三角形的斜邊長為4,兩條直角邊分別為貝，

.??它的內切圓半徑為：Ry（/+/-4）=#-2.

故選B.

【點評】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內切圓，等腰直角三角形的性質，要注意直

角三角形內切圓半徑與外接圓半徑的區別：直角三角形的內切圓半徑：r*（a+b?c）；（a、

h為直角邊，c為斜邊）直角三角形的外接圓半徑：Ryc.

_2_

8.函數y=-x+l與函產一戛在同一坐標系中的大致圖象是（）

【分析】根據一次函數的圖象性質得到y=-x+l經過第一、二、四象限；根據反比例函數

的圖象性質得到y=J分布在第二、四象限，然后對各選項進行判斷.

【解答】解：函數y=-x+l經過第一、二、四象限，函數分布在第二、四象限.

故選A.

【點評】本題考查了反比例函數的圖象：反比例函數盧（Q0）的圖象為雙曲線，當k>0,

圖象分布在第一、三象限；當kVO,圖象分布在第二、囚象限.也考查了一次函數的圖象.

9.如圖，直線1與半徑為5cm的OO相交于A、B兩點，且與半徑0C垂直，垂足為H.若

AB=8cm,1要與OO相切，貝也應沿OC所在直線向下平移（）

A.1cmB.2cme.3cmD.4cm

【分析】連接OB,根據已知條件可以推出HB-4w,所以OH-3W,HC-2um,所以1應沿

0C所在直線向下平移2cm.

【解答】解：連接0B,

/.OB=5cm,

,?,直線10O相交于A、B兩點，且與AB1.OC,AB=8cm,

HB=4cm,

OH=3cm,

HC=2cm.

【點評】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、切線性質，解題的關鍵在于求HC和0H的

長度.

10.如圖，在直角NO的內部有?滑動桿AB,當端點A沿直線AO向下滑動時，端點B會

隨之自動地沿直線OB向左滑動，如果滑動桿從圖中AB處滑動到AB，處，那么滑動桿的中

A.直線的一部分B.圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到oc￡AB￡AB，=OC,從而得

出滑動桿的中點C所經過的路徑是一段圓弧.

【解答】解：連接oc、0C,如圖,

/zAOB=90°,C為AB中點,

11

OC另AB^A'B'=OC',

「?當端點A沿直線AO向下滑動時，AB的中點C到O的距離始終為定長,

「?滑動桿的中點C所經過的路徑是一段圓弧.

故選B.

【點評】本題考查了軌跡，圓的定義與性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

是解題的關鍵.

11.如圖，在x軸的上方，直角NBOA繞原點0按順時針方向旋轉，若NBOA的兩邊分別

12

與函數丫=二、y—的圖象交于B、A兩點，則NOAB的大小的變化趨勢為(

人A

A.逐漸變小B.逐漸變大C.時大時小D.保持不變

BM0M1

【分析】如圖，作輔助線；首先證明ABOMs△OAN,得而為：設B(-m%),

2122V2

A(n-),得到BM-,AN—,OM=m,ON=n,進而得到mn,mn=，此為解

nmninn

決問題的關鍵性結論；運用三角函數的定義證明知tan/OAB班為定值，即可解決問題.

【解答】解：如圖，分別過點A、B作ANJ_=/OAN,

???ZBMO=ZANO=90°,

△BOM'-'△OAN,

副二創

ON^AN；

12

設B(-nL),A(n—),

mn

12

則BM-，AN-,OM=m,ON=n,

mn

2V2

/.mn，mn=；

inn

?/ZAOB=90°,

OB

「.tan/OAB§^①;

,/△BOM-△OAN,

盟理工返

OAONinnT〃

由①②知tanz為定值,

ZOAB的大小不變,

故選：D.

【點評】該題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定等知識點及其

應用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關鍵是靈活運用相似三角形

的判定等知識點來分析、判斷、推理或解答.

12.二次函數產ax2+bx+c（aH0）的部分圖象如圖，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=2,

下列結論：

①4a+b=0：（2）9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④當x>?1時，y的值隨x值的增大而增大.

A.1個B.2個C.3個D.4個

b

【分析】根據拋物線的對稱軸為直線x=五=2,則有4a+b=0；觀察函數圖象得到當x=-3

時，函數值小于小則9a-3b+cV0,即9a+cV3b；由于x=-l時,y=0,則a-b+c=O,易

得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,再根據拋物線開口向下得aVO,于是有

8a+7b+2c>0；由于對稱釉為直線x=2,根據二次函數的性質得到當x>2時，y隨x的增大

而減小.

b

【解答】解：???拋物線的對稱軸為直線=2,

/.b=-4a,即4a+b=0,（故①正確）；

二,當x=?3時，yV0,

9a-3b+c<0,

即9a+cV3b,（故②錯謾）；

.??拋物線與x軸的一個交點為（-1,0）,

/.a-b+c=0,

而b=-4a,

/.a+4a+c=0,即c=-5a,

/.8a+7b+2c=8a-28a-IOa=-30a,

???拋物線開口向下，

/.a<0,

/.8a+7b+2c>0,（故③正確）；

???對稱軸為直線x=2,

.?.當-1VXV2時，y的值隨x值的增大而增大，

當x>2時，y隨x的增大而減小，（故④錯誤）.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（axO）,二次項系

數a決定拋物線的開I」方句和大小，當a>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下

開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab>0）,

對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即abVO）,對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線

與y軸交點.拋物線與》軸交于（0,c）；拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b?-4ac

>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點；△=b2-

4acV0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題（每小題3分，共6題，共計18分）

13.計算/V3）<2V3）的結果為-1.

【分析】根據平方差公式：(a+b)(a-b)=a2?b2,求出算式讓正)立無)的

結果為多少即可.

【解答】解：近的)/正)

版)2-(與2

=2-3

=-1

/.V2V3)/2V3)的結果為-i.

故答案為：-1.

【點評】(1)此題主要考查了二次根式的混合運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明

確：①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號

里面的.②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式〃，多個不同類的二次根式的和可以

看“多項式〃.

(2)此題還考查了平方差公式的應用：(a+b)(a-b)=a2-b2,要熟練掌握.

14.因式分解：4m2-16=4(m+2)(m?2).

【分析】此題應先提公因式4,再利用平方差公式繼續分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)

(a-b).

【解答】解：4m2-16,

=4(m2-4),

=4(m+2)(m-2).

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公

因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

15,用2,3,4三個數字排成一個三位數，則排出的數是偶數的概率為著—.

【分析】首先利用列舉法可得：用2,3,4三個數字排成一個三位數，等可能的結果有：234,

243,324,342,423,432；且排出的數是偶數的有:234,324,342,432；然后直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：???用2,3,4三個數字排成一個三位數，等可能的結果有：234,243,324,

342,423,432：且排出的數是偶數的有：234,324,342,432：

42

二排出的數是偶數的概率為至石.

故答案為.

【點評】此題考查了列舉法求概率.用到的知識點為：概率二所求情況數與總情況數之比.

16.如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折

疊后端點D恰好落在邊0C上的點F處.若點D的坐標為（10,8）,則點E的坐標為（10,

【分析】根據折疊的性質得到AF二AD,所以在直角aAOF中，利用勾股定理來求OF=6,

然后設EC=x，則EF=DE=8-x,CF=10-6=4,根據勾股定理列方程求出EC可得點E的坐

標.

【解答】解：二.四邊形A0CD為矩形，D的坐標為（10.8）,

/.AD=BC=10,DC=AB=8,

?矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，

/.AD=AF=10,DE=EF,

在RtAAOF中，OFVAF2-A0z=6,

FC=10-6=4,

設EC=x,MDE=EF=8-x,

在RtaCEF中，EF2=EC2+FC2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,

即EC的長為3.

.??點E的坐標為(10,3),

故答案為：(10,3).

y

【點評】本題考查折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等；對應

點的連線段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性質以及勾股定理.

17.如圖，點A,B,C,D在OO上，點O在ND的內部，四邊形OABC為平行四邊形,

則NOAD+ZQCD=60\

【分析】利用四邊形OABC為平行四邊形，可得NAOO/B,ZOAB=ZOCB,

ZOAB+ZB=180°.利用四邊形ABCD是圓的內接四邊形，可得ND+NB=18(T.利用同弧

所對的圓周角和圓心角可得/DaNAOC,求出ND=60。，進而即可得出.

【解答】解：..?四邊形OABC為平行四邊形，

ZAOC=ZB,ZOAB=ZOCB,ZOAB+ZB=180°.

v四邊形ABCD是圓的內接四邊形，

ND+ZB=I8O°.

乂NZAOC,

3ZD=180°,

解得ND=60°.

/.ZOAB=ZOCB=1800-ZB=60。.

ZOAD+ZOCD=360°-(ZD+ZB+ZOAB+ZOCB)=360°-(60°+120°+60°+60°)=60°.

故答案為：60.

【點評】本題考查了平行叫邊形的性質、圓的內接四邊形的性質、同弧所對的圓周角和圓心

角的關系，屬于基礎題.

18.如圖，已知平行四邊形ABCD四個頂點在格點上，每個方格單位為1.

（1）平行四邊形ABCD的面積為6；

（2）在網格上請畫出一個正方形，使正方形的面積等于平行四邊形ABCD的面積.（尺規

作圖，保留作圖痕跡）并把主要畫圖步驟寫出來.

【分析】（I）平行四邊形ABCD的面積二矩形的面積-2個直角三角形的面積，即可得出

結果；

（2）由正方形的面積和相交弦定理得出正方形的邊長，畫出圖形即可.

【解答】解（1）平行四邊形ABCD的面積=4x2-2-xlx2=6；

故答案為：6

（2）①作AE_LBC于E,DF_LBC于F；

②延長AD至G,使DG二DF；

③以AG為直徑作半圓；

④延長FD交半圓于H,則DH即為所求的正方形邊長；

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、正方形的性質、作圖-復雜作圖、相交弦定理；作

出正方形的邊長是解決問題的關鍵.

三、綜合題（共7題，共計66分）

[5x-l>3x-4

19.解不等式2_'一工，并把不等式組的解集在數軸上表示出來.

IIIBIIII

a-3-2-101234

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數軸上表示出來即可.

'5x-l>3x-4①

【解答】解2r〉.上②

L33

???由①得x>一趣，

由②得：X<1,

??.不等式組的解集為一,

在數軸上表示不等式組的解集為：

*IJ?IIII

-4-3-2-101234

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次不等式，在數軸上表示不等式組的解

集的應用，解此題的關鍵是能根據不等式的解集求出不等式組的解集，難度適中.

20.商場為了促銷某件商品，設置了如圖的?個轉盤，它被分成了3個相同的扇形.各扇形

分別標存數字2,3,4,指針的位置固定，該商品的價格由顧客自由轉動此轉盤兩次來獲取，

每次轉動后讓其自由停止，記下指針所指的數字（指針指向兩個扇形的交線時，當作右邊的

扇形），先記的數字作為價格的十位數字，后記的數字作為價格的個位數字，則顧客購買商

品的價格不超過30元的概率是多少？

【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數，再找出顧客購買商品的價格不超過30元

的結果數，然后根據概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

234

/1\/N/T\

234234234

共有9種等可能的結果數，其中顧客購買商品的價格不超過30元的結果數為3,

31

所以顧客購買商品的價格不超過30元的概率§y.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出

n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后根據概率公式求出事件A或B的概率.

21.1種進價為每件40元的T恤，若銷售單價為60元，則每周可賣出300件.為提高利

潤，欲對該T恤進行漲價銷仕：.經過調查發現：每漲價1元，每周要少賣出5件.

(1)請確定該T恤漲價后每周的銷售利潤y(元)與銷雪單價x(元)之間的函數關系式，

并求銷售單價定為多少元時，每周的銷售利潤最大？

(2)若要使每周的銷售利潤不低于7680元，請確定銷售單價x的取值范圍.

【分析】(1)用每件的利潤乘以銷售量即可得到每周銷售利潤，即y=(x-40)[300-5(x

-60)],再把解析式整理為?般式，然后根據二次函數的性質確定銷售單價定為多少兀時，

每周的銷售利潤最大.

(2)由函數值求出自變量的兩個值，再根據二次不等式的解集即可求得x的取值范圍.

【解答】解：(1)根據題意得y=(x-40)[300-5(x-60)]

=-5(x2-160x+4800)

=-5(x-80)2+8000,

,/a<0,

.?.當x=80時，y的值最大=8000,即銷售單價定為80元時，每周的銷售利潤最大：

(2)當y=7680時,-5(x-80)2+8000=7680,

整理得：(x-80)2=64,

x-80=±8,

xi=88,X2=72,

724x488.

【點評】本題考查了二次函數的應用：利用二次函數解決利潤問題，在商品經營活動中，經

常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解

析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次

函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

22.已知如圖，以R3ABC的AC邊為直徑作。O交斜邊AB于點E,連接E0并延長交

BC的延長線于點D,點F為BC的中點，連接EF.

(1)求證：EF是OO的切線；

(2)若。0的半徑為3,ZEAC=60%求AD的長.

【分析】(I)連接F0,由F為BC的中點，AO=CO,得到OFIIAB,由于AC是。。的

直徑，得出CE_LAE,根據OFIIAB,得出OFJLCE,于是得到OF所在直線垂直平分CE,

推出FOFE,OE=OC,再由/ACB=90°,即可得到結論.

(2)證出△AOE-是等功三角形，得到/EOA=60。，再由直角三角形的性質即可得到結果.

【解答】證明：(1)如圖1,連接F0,

?.F為BC的中點，AO=CO,

OFIIAB,

??1AC是。0的直徑，

CE_LAE?

???OFIIAB,

OF±CE,

???OF所在直線垂直平分CE,

FC=FE,OE=OC,

/.ZFEC=ZFCE,ZOEC=ZOCE,

?/ZACB=90°,

即：ZOCE+ZFCE-90%

/.ZOEC+ZFEC=90°,

即：ZFEO=90%

FE為G)O的切線；

(2)如圖2,???OO的半徑為3,

/.AO=CO=EO=3,

.?ZEAC=60°,OA=OE,

ZE0A=6()°,

/.ZCOD=ZEOA=60°,

..在RsOCD中，ZCOD=60°,OC=3,

/.CD,

?.在RSACD中,ZACD=90%

CD,AC=6,

/.AD.

【點評】本題考查了切線的判定和性質，三角形的中位線的性質，勾股定理，線段垂直平分

線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握定理是解題的關鍵.

23.如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正

前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30。，朝著這棵樹的方向走到臺階

下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60。.已知A點的高度AB為2m,臺階AC的坡度為

1代，且B,C,E三點在同一條直線上.請根據以上條件求出樹DE的高度（測傾器的

高度忽略不計）.

D

【分析］由于AF±AB,則四邊形ABEF為矩形，設DE=x,在RtACDE中，CE^/DCE

DEa1

tan60°V在RtAABC中,V3,求出BC,在RtZkAFD中，求出AF,

由AF=BC+CE即可求出x的長.

【解答】解：?,AF_LAB,AB_LBE,DEXBE,

四邊形ABEF為矩形,

/.AF=BE,EF=AB=2

DEDEV3

X>

設DE=x,在RSCDE中,CEtanZDCE*。。T

在RtAABC中，

AB1

BC，AB=2,

BC=VS,

在RtAAFD中，DF=DE-EF=x-2,

DFx-2V3

A，；tanZDAFtan30°=㈠-2),

AF=BE=BC+CE.

解得x=6.

答：樹DE的高度為6米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用--仰角、坡度問題、矩形的判定與性質、三角函

數；借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解決問題的關鍵.

24.（1）操作發現：

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到aGBE,且點G在矩

形ABCD內部.小明將BG延長交DC丁點F,認為GF-DF,你同意嗎？說明理由.

（2）問題解決：

AD

保持（1）中的條件不變，若DC=2DF,初的值；

（3）類比探求：

AD

保持（1）中條件不變，若DC=nDF,施的值.

G

RC

【分析】（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF,證^EGa△EDF

即可;

（2）可設DF=x,BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG,

即可得到BG的表達式，由（1）證得GF二DF,那么GF=x,由此可求出BF的表達式，進

AD

而可在RSBFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得市的值；

（3）方法同（2）.

【解答】解：（1）同意，連接EF,

則根據翻折不變性得，

ZEGF=ZD=90°,EG=AE=ED,EF=EF,

在RtAEGF和RtAEDF中，

「EG二ED

<EF=EF

RtAEG於RIAEDF（HL）,

/.GF=DF：

（2）由（1）知，GF=DF,設DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

DC=2DF,

CF=x,DC=AB=BG=2x,

BF=BG+GF=3x；

在RsBCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=（3x）2

AB2x=^2；

（3）由（1）知，GF=DF,設DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

DC=nDF,

二BF=BG+GF=（n+1）x

在RSBCF中，BC2+CF2=BF2,BPy2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2

y=2?,

【點評】此題考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質、勾股定理的

應用等重要知識，難度適中.

25.如圖甲，四邊形OABC的邊OA、0C分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋

物線交x軸于點A、D,交y軸于點E,連接AB、AE、BE.已知(anZCBEy,A(3,0),

D(-1,0),E(0,3).

(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標；

(2)求證：CB是△ABE外接圓的切線；

(3)試探究坐標軸上是否存在一點P,使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存

在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由：

(4)設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(OV33)時，△AOE與△ABE重疊部分的

圖甲圖乙(備用圖)

【分析】(1)已知A、D、E三點的坐標，利用待定系數法可確定拋物線的解析式，進而

能得到頂點B的坐標.

(2)過B作BMJ_y軸于M,由A、B、E三點坐標，可判斷出△BME、△AOE都為等腰

直角三角形，易證得NBEA=90°,UPAABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，

因此只需證明AB與CB垂直即可.BE、AE長易得，能求由tanZBAE的值，結合tanZCBE

的值，可得至l」NCBE=NBAE,由此證得NCBA=NCBE-NABE=NBAE+NABE=90°,此題

得證.

(3)△ABE中，NAEB=90。，tan/BAE￡,即AE=3BE,若以D、E、P為頂點的三角形

與^ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個條件：①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1：

3的比例關系；然后分情況進行求解即可.

(4)過E作EFIIx軸文AB于F,當E點運動在EF之間時，△AOE與^ABE重疊部分是

個四邊形；當E點運動到F點右側時，△AOE與△ABE重疊部分是個三角形.按上述兩種

情況按圖形之間的和差關系進行求解.

【解答】(1)解：由題意，設拋物線解析式為y=a(x-3)(x+1).

將E(0,3)代入上式，解得：a=-I.

y=-x2+2J_y于點M,則M(0,4).

在RSAOE中，OA=OE=3,

??.N1=Z2=45°,AEV0A2+0E2=戶.

在RQEMB中，EM=OM-OE=I=BM,

JEM+BM

...ZMEB=ZMBE=45°,BE

...ZBEA=1800-Z1-ZMEB=90°.

AB是^ABE外接圓的直徑.

BE1

在RIAABE中，tanzBAEAE~3=tanzCBE,

ZBAE二NCBE.

在RtZkABE中，ZBAE+Z3=90°,/.ZCBE+Z3=90°.

/.ZCBA=90°,即CB_LAB.

CB是^ABE外接圓的切線.

(3)解：為△ABE中，ZAEB=9O°,tanZBAE717，sinZBAEV-1io-r-,cosZBAE3V-^1r0—；

J1U1U

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形：

①DE為斜邊時，Pi在x軸上，此時Pi與O重合；

由D(-1,0)、E(0,3),得OD=1>OE=3,即tanzDEo4=tan