專題10矩形的判定題型全覆蓋（25題）

【思維導圖】

【考查題型】

考查題型一添加一個條件使四邊形是矩形

1.（2020江陰市八年級期中）已知平行四邊形ABCD,下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB±BC

【答案】B

【提示】由矩形的判定方法即可得出答案.

【詳解】A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以/A=ZB=90°,可以判定這個平行四邊形為矩形，正確：

B、/A=/C不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤；

C、AC=BD,對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確：

D、AB±BC,所以NB=90。，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確，

故選B.

【名師點撥】本題考查了矩形的判定，熱練掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形

是矩形、有三個角是直角的四邊形是矩形”是解題的關鍵.

2.（2020?遼寧營口市?八年級期末）四邊形ABCO的對角線互相平分，要使它變為矩形，需要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.AB=BCD.AD=BC

【答案】B

【提示】

四邊形ABCD的對角線互相平分，則說明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理可得，只需添加條件是對角線相

等.

【詳解】

可添加AC=BD,理由如下：

?「四邊形ABCD的對角線互相平分，

四邊形ABCD是平行四邊形，

?「AC=BD,根據矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，

四邊形ABCD是矩形.

故選B.

【名師點撥】

考查了矩形的判定，關鍵是矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直

角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.（2020?遼寧沈陽市?九年級期末）四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變為矩形，需要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AB=BCC.AC±BDD.AC=BD

【答案】D

【提示】

四邊形ABCD的對角線互相平分，則說明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理知，只需添加條件是對角線相等.

【詳解】

添加AC=BD,

?「四邊形ABCD的對角線互.相平分，

四邊形ABCD是平行四邊形，

?「AC=BD,根據矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，

了.四邊形ABCD是矩形，

故選D.

【名師點撥】

考查了矩形的判定，關鍵是掌握矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三

個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形.

4.（2020?鄭州市八年級期中）如圖，順次連接四邊形ABCD各邊的中點的四邊形EFGH,要使四邊形EFGH為矩形,

應添加的條件是（）

A.ABIIDCB.AC=BDC.AC±BDD.AB=CD

2

【答案】C

【提示】

根據矩形的判定定理（有一個角為直痢的平行四邊形是矩形）.先證四邊形EFGH是平行四邊形，要使四邊形EFGH

為矩形，需要NEFG=90度.由此推出AC_L8D.

【詳解】

依題意得：四邊形EFGH是由四邊形ABCD各邊中點連接而成，連接AC、BD,EFWACWHG,EHWBDWFG,所以

四邊形EFGH是平行四邊形，要使四邊形EFGH為矩形，根據矩形的判定（有個角為直角的平行四邊形是矩形），

當AC±BD時，ZEFG=NEHG=90度，四邊形EFGH為矩形.

故選C.

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定定理，難度一股.矩形的判定定理：

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）有三個角是直角的四邊形是矩形.

（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

5.（202。自貢市八年級期中）如圖，要使平行四邊形A8C。成為矩形，需添加的條件是（）

【答案】C

【提示】

根據矩形的判定定理（①有一個角是直角的平行四邊形是矩形，②有三個角是直角的四邊形是矩形，③對角線相

等的平行四邊形是矩形）逐一判斷即可.

【詳解】

4根據48=8C和平行四邊形48co不能得出四邊形48co是矩形，故本選項錯誤；

8、四邊形A8CD是平行四邊形,

3

1/GA=GD,ZAGF=ZCGD.

△AGF^△DGC,

AF=CD,

AB=AF.

（2）解：結論：四邊形ACDF是矩形.

理由：AF=CD,AFIICD,

四邊形ACDF是平行四邊形，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZBAD=ZBCD=120°,

ZFAG=60°,

???AB=AG=AF,

△AFG是等邊三角形,

/.AG=G卜，

△AGa△DGC,

FG=CG,?/AG=GD,

AD=CF,

四邊形ACDF是矩形.

【名師點撥】

本題考查平行四邊形的判定和性質、矩形的判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三

角形解決問題.

7.（2020?石家莊市八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點0.過點C作BD的平行線，過點

D作AC的平行線，兩直線相交于點E.

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）若CE=LDE=2,ABCD的面積是.

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【提示】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內角為90度即可:

（2）由菱形的對角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答.

5

【詳解】（1）---四邊形ABCD是菱形，

/.AC±BD,

/.ZCOD=90°.

?/CEIIOD,DEIIOC,

四邊形OCED是平行四邊形，

又/COD=90°,

平行四邊形OCED是矩形；

（2）由（1）知,平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1,DE=OC=2.

???四邊形ABCD是菱形，

AC=2OC=4,BD=2OD=2,

：菱形ABCD的面積為：-AC?BD=-x4x2=4,

22

故答案為4.

【名師點撥】本題考查了矩形的判定與性質，菱形的性質，熟練掌握矩形的判定及性質、菱形的性質是解

題的關鍵.

8.（2020?株洲市八年級期中）在CJABCD,過點D作DE_LAB于點E,點F在邊CD上，DF=BE,連接AF,BF.

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若CF=3,BF=4,DF=5,求證：AF平分NDAB.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

試題提示：（1）根據平行四邊形的性質，可得48與CD的關系，根據平行四邊形的判定，可得8FDE是平行四邊形，

再根據矩形的判定，可得答案；

（2）根據平行線的性質，可得以=/以8,根據等腰三角形的判定與性質，可得NOAFND以，根據角平分線的

判定，可得答案.

試題提示：（1）證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

4811CD.

'：BEWDF,BE=DF,

四邊形8FDE是平行四邊形.

6

DE±AB.

：.ZDEB=9Q°,

四邊形BFD￡是矩形；

(2)二?四邊形488是平行四邊形，

.\AB\lDC,

ZDFA=Z.FAB.

在RtA8C尸中，由勾股定理，得

8C=yjFC2+FB1=舊+42=5，

/.AD=EC=DF=5,

ZDAF=Z.DFA,

/.ZDAF=AFAB,

即AF平分NDAB.

【名師點撥】本題考查了平行四邊形的性質，利用了平行四邊形的性質，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質，

利用等腰三角形的判定與性質得出NDAFMDFA是解題關鍵.

9.(2020?揚州市八年級期末)如圖，AABC中，點O是邊AC上一個動點,過。作直線MNIIBC,設MN交NACB的

平分線于點E,交/ACB的外角平分線于點F,

(2)若CE=12,CF=5,求OC的長：

(3)當點。在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

【答案】解：(1)證明：如圖，:MN交NACB的平分線于點E,交NACB的外角平分線于點F,

,/MNIIBC,/.Z1=Z5,3=Z6.

7

Z1=Z2,Z3=N4.EO=CO,FO=CO.

OE=OF.

（2）,/Z2=Z5,Z4=Z6,/.Z2+Z4=Z5+Z6=90°.

CE=12,CF=5,」.EF=Vl22+52=13.

1

...OC=—EF=6.5.

2

（3）當點。在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.理由如下：

當O為AC的中點時,AO=CO,

???EO=FO,/.四邊形AECF是平行四邊形.

vzECF=90%平行四邊形AECF是矩形.

【詳解】

（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出/1=/2,Z3=Z4,進而得出答案.

（2）根據已知得出N2+N4=Z5+N6=90。，進而利用勾股定理求出EF的長，即可根據直角三角形斜邊上的中線性質

得出CO的長.

（3）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可.

10.（2020?湖北咸寧市?八年級期末）如圖，在OABCD中，對角線AC與BD相交于點。，點E,F分別為OB,

OD的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

（1）求證：△ABE"&CDF；

（2）當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

A________________D

【答案】（1）見解析；（2）AC=2AB時,四邊形EGCF是矩形，理由見解析.

【提示】

（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD,ABIICD,OB=OD,OA=OC,由平行線的性質得出NABE=ZCDF,證出BE=DF,

由SAS證明△ABE合△CDF即可；

（2）正出AB=OA,由等腰三角形的性質得出AGJLOB,ZOEG=90°,同理：CF±OD,得出EGIICF,由三角形中位

線定理得出OEIICG,EFIICG,得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結論.

【詳解】

（1）記明：二.四邊形ABCD是平行四邊形，

8

---AB=CD,ABIICD,OB=OD,OA=OC,

/.ZABE=ZCDF,

??.點E,F分別為OB,OD的中點，

11

BE=—OB,DF=—OD,

22

BE=DF,

在^ABE和4CDF中，

AB=CD

?/ABE=/CDF

BE=DF

：nABE^]CDF(SAS)

(2)當AC=2AB時,四邊形EGCF是矩形;理由如下:

?/AC=2OA,AC=2AB,

AB=OA,

???E是OB的中點,

/.AG±OB,

/.ZOEG=90°,

同理：CF±OD,

/.AGIICF,

/.EGIICF,

?「EG=AE,OA=OC,

OE是△ACG的中位線，

/.OEIICG,

/.EFIICG,

.??四邊形EGCF是平行四邊形，

,/ZOEG=90°,

二.四邊形EGCF是矩形.

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是

靈活運用所學知識解決問題.

考查題型三根據矩形的性質與判定求角度

9

11.(2。20?江西八年級期末)如圖，四邊形ABCD中，對角線AC.BD相交于點O,AO=OC,BO=OD,且NAOB=

2ZOAD.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)若NAOB：ZODC=4：3,求NADO的度數.

【答案】⑴證明見解析；(2)/ADO==36°.

【提示】

⑴先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，繼而根據己知條件推導出AC=BD,然后根據對角線相等的平行四邊形是矩形

即可；

(2)設NAOB=4x,ZODC=3x,則NOCD=ZODC=3x.,在4ODC中，利用三角形內角和定理求出x的值，繼而求得NODC

的度數，由此即可求得答案.

【詳解】

(1)/AO=OC,BO=OD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又NAOB=2NOAD,NAOB是△ACD的夕卜角，

/.ZACB=ZOAD4-ZADO.

ZOAD=NADO.

/.AO=OD.

又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=20D,

/.AC=BD.

「?四邊形ABCD是矩形.

(2)設NAOB=4x,ZODC=3x,則NODC=ZOCD=3x,

在△ODC中，ZDOC+ZOCD+ZCDO=180°

4x+3x+3x=180°,解得x=18°,

ZODC=3xl80=54°,

四邊形ABCD是矩形，

ZADC=90°,

/.ZADO=ZADC-ZODC=90°—54°=36°.

10

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

12.(2020?南陽市八年級期中)如圖，在四邊形48C。中，對角線AC,8,相交于點0,40=C。,8。=。。，H.ZABC+NADC

(1)求證：四邊形48CD是矩形；

(2)若NADF：ZFDC=3：2,DF±AC,求N8DF的度數.

【答案】(1)見解析；(2)ZBDF=13°.

【提示】

(1)先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出NABC=90。，然后根據矩形的判定定理，即可得到結論；

(2)求出NFDC的度數，根據三角形的內角和，求出NDCO,然后得到OD=OC,得到NCDO,即可求出/BDF的度

數.

【詳

(1)記明：AO=CO,BO=DO,

「?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZABC=ZADC,

,/ZABC+ZADC=180°,

/.ZABC=ZADC=90°,

.??四邊形ABCD是矩形；

(2)解：,/ZADC=90°,ZADF：ZFDC=3：2,

/.ZFDC=36°,

,/DF_LAC,

ZDCO=90°-36°=54°,

?「四邊形ABCD是矩形，

/.CO=OD,

ZODC=ZDCO=54°,

/.ZBDF=ZODC-ZFDC=18°.

【名師點撥】

11

木題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，能靈活運用定理進行推理是解題的關鍵.注意：矩形的對

角線相等，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

13.（202。云南迪慶藏族自治州?八年級期末）如圖,四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,ABIICD,AB=CD,

且OA=OD.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）DFJ_AC于點F,若/ADF：ZFCC=3：2,則/BDF的度數是多少？

【答案】（1）詳見解析；（2）18。

【提示】

（1）利用對邊平行旦相等證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用對角線相等的平行四邊形是矩形，即可證明四邊

形ABCD是矩形；

（2）先求出NFDC=36°,再求出NOCD=ZODC=54°,即可求出/BDF.

【詳解】

（1）,.'ABIICD,AB=CD,

---四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC,OB=OD,

0A=0D,

AC=BD,

四邊形ABCD是矩形；

（2）V四邊形ABCD是矩形，

/.ZADC=90°,OC=OD,

/.ZODC=ZOCD,

???ZADF:ZFDC=3:2,

ZADF=54°,ZFDC=36°,

?「DF±AC,

ZOCD=ZODC=900-ZFDC=54°,

ZBDF=ZODC-ZFDC=54°—36°=18°.

12

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的判定與性質，并能

進行推理計算是解決問題的關鍵.

14.（202。渠縣九年級期末）如圖，在口ABCD中，對角線AC,BD相交于點0，且OA=OB.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若AD=4,ZAOD=60°,求AB的長.

DC

【答案】（1）證明見解析；（2）4班

【提示】

（1）由。ABCD得至I」OA=OC,OB=OD,由OA=OB,得到；OA=OB=OC=OD,對角線平分且相等的四邊形是矩形，即可

推出結論；

（2）根據矩形的性質借用勾股定理即可求得AB的長度.

【詳解】

（1）記明：在平行四邊形ABCD中，

11

OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

22

又/OA=OB,

AC=BD,

「?平行四邊形ABCD是矩形.

（2）?.四邊形ABCD是矩形,

/.ZBAD=90°,OA=OD.

又「/AOD=60%

*'-LAOD是等邊三角形，

/.OD=AD=4,

BD=2OD=8,

在RtUABD中，AB=《BD?-心=廊=46.

15.（2020?江蘇無錫市?八年級期末）如圖，已知AOAB中，OA=OB,分別延長40、BO到點C、D，使得

OC=AO,OD=BO,連接AO、DC、CB.

13

(1)求證：四邊形A3CD是矩形;

(2)以04、。3為一組鄰邊作口4。5石，連接CE,若CE工BD,求NAOB的度數.

【答案】(1)證明過程見解析；(2)乙404=120°

【提示】

(1)根據已知條件推出四邊形ABCD是平行四邊形，求得A0=，AC,B0=，BD,等量代換得到AC=BD,于是

22

得到四邊形ABCD是矩形；

(2)連接0E,設EC與BD交于F,根據垂直的定義得到NCFD=90。，根據平行四邊形的性質得到AEIIB0,根據直

角三角形的性質得到E0=A0,推虛AAE0是等邊三角形，于是得到結論.

【詳解】

(1)記明：V0C=A0,0D=B0,

/.四邊形ABCD是平行四邊形，

11

A0------AC,BO-------BD,

22

,/AO=BO,

?*.AC=BD,

四邊形ABCD是矩形；

(2)解：連接0E,設EC與BD交于F,

nc

1/EC_L3D,

ZCFD=90°,

14

1--四邊形AEBO是平行四邊形，

AEIIB0,

ZAEC=ZCFD=90\

即△AEC是直角三角形，

「E0是RtAAEC中AC邊上的中線,

EO=AO,

???四邊形AEBO是平行四邊形，

OB=AE,

,/OA=OB,

AE=DA=OE,

「.AAEO是等邊三角形,

ZOAE=60°,

,/ZOAt+ZAOB=18U°,

/.ZACB=120°.

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確的識別圖

形是解題的關鍵.

考查題型四根據矩形的性質與判定求線段長

16.（202。遼寧阜新市?九年級期中）如圖，在口488中，AE工BC于點、E點、,延長8c至F點使連

接4F,DE,DF.

（1）求證：四邊形4EFD是矩形；

（2）若A8=6,DE=8,8b=1（）,求AE的長.

24

【答案】（1）見解析；（2）--

【解析】

試題提示：（1）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明NAEF=90。即可.

（2）正明△ABF是直角三角形，由三角形的面積即可得出AE的長.

15

試題解析：(1)證明：:CF=BE,

/.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

?「在口ABCD中，ADIIBC且AD=BC,

/.ADIIEF且AD=EF.

四邊形AEFD是平行四邊形.

???AE±BC,

/.ZAEF=90°.

四邊形AEFD是矩形；

(2)二,四邊形AEFD是矩形，DE=8,

AF=DE=8.

,/AB=6,BF=10,

/.AB2+AI-2=b2+82=lUU=Bb2.

ZBAF=90°.

,/AE±BF,

△ABF的面積=—AB*AF=-BF?AE.

22

AB*AF6x824

AE=

BF~"fo~-T

17.（2020?遼寧鞍山市?八年級期中）如圖，在IIABCD中，對角線AC,BD交于點O.過點B作BEJLCD于點E,延

長CD到點F,使DF=CE,連接AF.

⑴求證:四邊形ABE「是矩形；

（2）連接OF,若AB=6,DE=2,ZADF=45°,求OF的長度.

【答案】⑴見解析；（2）OF=J藥.

【提示】

（1）根據菱形的性質得到ADIIBC且AD=BC,等量代換得到BC=EF,推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據矩形的

判定定理即可得到結論；

16

<2)根據直角三角形斜邊中線可得：OF=《AC,利用勾股定理計算AC的長，可得結論.

2

【詳解】

(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形

AB=CD,ABIICD.

,/DF=CE,

DF+DE=CE+ED,

BP：FE=CD.

...點F、E在直線CD上

AB=FE,ABIIFE.

四邊形ABEF是平行四邊形

又?.?BE_LCD,垂足是E,

ZBEF=90°.

四邊形ABEF是矩形.

(2)解:..?四邊形ABEF是矩形0,

/.ZAFC=90%AB=FE.

,/AB=6,DE=2,

/.FD=4.

VFD=CE,

CE=4.

/.FC=10.

在RSAFD中，ZAFD=90°.

,/ZADF=45°,

/.AF=FD=4.

在RtAAFC中,ZAFC=90°.

AC=>jAF2+FC2=2>/29-

???點o是平行四邊形ABCD對角線的交點，

??.0為AC中點

在RtAAFC中，ZAFC=90°.O為AC中點.

OF=yAC=V29.

【名師點撥】

17

木題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

18.（2020?江西吉安市?九年級期中）如圖，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動點,PG_LAC于點

G,PH_LAB于點H.

⑴求證：四邊形AGPH是矩形;

⑵在點P的運動過程中，GH的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【提示】

（1）根據“矩形的定義〃證明結論；

（2）連結AP.當APJ_BC時AP最短，結合矩形的兩對角線相等和面積法來求GH的值.

【詳解】

(1)證明「AC=9AB=12BC=15,

/.AC2=81,AB2=144,BC2=225,

AC2+AB2=BC2,

ZA=90°.

???PG±AC,PH±AB,

/.ZAGP=ZAHP=90°,

了.四邊形AGPH是矩形；

（2）存在.理由如下:

連結AP.

V四邊形AGPH是矩形,

/.GH=AP.

???當APJLBC時AP最短.

9xl2=15*AP.

18

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定與性質.解答（2）題時，注意“矩形的對角線相等"和"面積法"的正確應用.

19.（2020?浙江杭州市?八年級期末）如圖，矩形ABCD中，CE_LBD于E,CF平分NDCE與DB交于點F.

(1)求證：BF=BC；

(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的長.

【提示】

（1）要求證BF=BC只要證明NCFB=NFCB就可以，從而轉化為證明NBCE=NBDC就可以；

（2）已知AB=4cm,AD=3cm,就是己知BC=BF=3cm,CD=4cm,在直角△BCD中，根據三角形的面積等于工BD?CE

2

=!BC?DC,就可以求出CE的長.要求CF的長，可以在直角△CEF中川勾股定理求得.其中EF=BF-BE,BE在

2

直角△BCE中根據勾股定理就可以求出，由此解決問題.

【詳解】

證明：［1）二,四邊形ABCD是矩形，

ZBCD=90°,

ZCDB+ZDBC=90°.

?「CEJL3D,

???ZDBC+NECB=90o.

/.ZEC3=ZCDB.

?/ZCFB=ZCDB+ZDCF,ZBCF=ZECB+ZECF,ZDCF=ZECF,

/.ZCFB=ZBCF

BF=BC

(2)二?四邊形ABCD是矩形，

DC=AB=4(cm),BC=AD=3(cm).

19

在RtABCD中，由勾股定理得BD=QA8?+AA)2=A/424-32=5?

又「BD*CE=BC?DC,

BCDC12

7.CE=---------------=—.

/.EF=BF-BE=3-.

55

22+

CF=VCE+EF=J^][|=竽力

【名師點撥】

本題考查矩形的判定與性質，等腰三侑形的判定定理，等角對等邊，以及勾股定理.，三角形面積計算公式的運用，

靈活運用已知，理清思路，解決問題.

2U.（2U2U?江蘇連云港巾.?八年級期末）已知8C=5,AB=1,AB±BC,射線C7W_L8C,動點〃在線段8c上（不與點

B,C重合），過點P作DPJ_4P交射線CM于點。，連接A。.

（1）如圖1，若8P=4,判斷AADP的形狀，并加以證明.

（2）如圖2,若8P=1,作點C關于直線OP的對稱點連接4U

①依題意補全圖2；

②請直接寫出線段的長度.

圖1圖2

【答案】（1）△八DP是等腰直角三角形.證明見解析；（2）①補圖見解析；@710

【提示】

（1）先判斷山PC=A8,再用同角的余角相等判斷出NAP8=NPDC,得出△48的△PCD（AAS）,即可得出結論；

（2）①利用對稱的性質畫出圖形；

②過點。作CQ.LBA交BA的延長線于Q,先求出CP=4,48=4P,/CPD=45。,進而得出CP=CP=4,NCPD=NCPD=45°,

再判斷出四邊形8QC力是矩形，進而求出入Q=8Q-A8=3,最后用勾投定理即可得出結論.

20

【詳解】

(1)aADP是等腰直角三角形.證明如下：

,/BC=5,BP=4,/.PC=1.

,/48=1,PC=AB.

AB±BC,CM±BC,DP±AP,：.Zfi=ZC=90°,NAP8+NOPC=90°,NPOC+NOPC=90°,ZAPB=Z.PDC.

ZB=ZC

在△A8P和△PCD中,=NPOC,△ABP^△PCD(AAS).：.AP=PD.

AB=PC

vzAPD=90\：.△ADP是等腰直角三角形.

(2)①依題意補全圖2；

圖2

②過點C?作CQJ_BA交BA的延長線于Q.

,/BP=1,AB=lt8c=5,「.CP=4,AB=AP.

ZABP=90°,J.Z4P8=45°.

,/ZAPD=90\：.ZCPD=45°,連接CP.

?.,點C與C?關于DP對稱，C'P=CP=4,ZCPD=ZCPD=45°,：.ZCPC'=90°,/.ZBPC'=90\/.ZQ=ZABP=4BPC=90°,

J.四邊形8QCP是矩形，...CQ=BP=1,BQ=CP=4,AQ=BQ-AB=3.在RSAC'。中，AC=Vi（j.

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定與性質以及全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，構造出直角三

角形是解答本題的關鍵.

考查題型五根據矩形的性質與判定求面積

21.（2020?遼寧沈陽市?九年級期末）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。交于點O,過點4作4E_L8c于點E,

延長8c至F,使CF=BE,連接DF.

（1）求證：四邊形4EF。是矩形；

（2）若4C=10,N48c=60。，則矩形AEFD的面積是.

21

【答案】(1)見解析；(2)506

【提示】

(1)根據菱形的性質得到八。118c且A0=8C,等量代換得到8C=EF,推出四邊形AEF。是平行四邊形，根據矩形

的判定定理即可得到結論；

(2)根據全等三角形的判定定理得到A8E合OCF(HL),求得矩形八EFD的面積=菱形ABCD的面積，根據

等腰三角形的性質得到結論.

【詳解】

(1)證明：???四邊形A8C0是菱形，

/.ADW8C,AD=BC,

,/CF=8E,

BC=EF,

：.ADWEF,AD=EF,

???四邊形AEFD是平行四邊形，

?「AE±BC,

：.AAEF=90°,

:?平行四邊形A￡F。是矩形；

(2)'：AB=CD,BE=CF,NAEB=NDFC=9U0,

RtAABE^RtADCF(HL),

矩形八EF。的面積=菱形48CD的面積，

'：AABC=60°,

△ABC是等邊三角形，

,/AC=10,

A0=^-AC=5,八8=10,80=56，

矩形4EF。的面積=菱形ABCD的面積=yxlOxloJJ=50,

故答案為：50G.

22

【名師點撥】

本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

22.（2020?吉林長春市?八年級期末）如圖，在矩形48co中，EF經過對角線8。的中點0,分別交4。，BC于點E,

F

（1）求證：△80a△DOE；

（2）若A8=4cm,AD=Scm,當EF_L8。時，求四邊形28FE的面積.

【答案】（1）見解析；（2）10cm2

【提示】

（1）利用矩形的性質可得：AUIIBC,進而可證全等；

（2）利用全等的性質可得：ED=FB.AE=CF,可得四邊形A8FE的面積是矩形面積的一半.

【詳解】

（1）記明：.?.四邊形八BC。是矩形，

/.40IIBC,

ZBF0=Z.DEO,ZFBO=NEDO,

又「。是8。中點，

OB—ODt

/.△BCF^△DOE（A4S）.

（2）由（1）可得￡D=F8..—CF,

s四邊格A8F￡=5四邊形CDEF.

又?.,48=4cm,AD=5cm

2

S^ABCD=20cmf

S四邊形A8F￡=10CZ772.

故答案為（1）見解析；（2）IQcm2.

【名師點撥】

本題考查矩形的性質，全等的性質和判定，關鍵是找好對應關系.

23.（2020?江西南昌市?八年級期中）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點O,Z1=Z2.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若NBOC=120。，AB=4cm,求四邊形ABCD的面積.

23

【答案】(1)詳見解析；(2)16百

【提示】

(1)因為N1=Z2,所以BO=CO,2BO=2CO,又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=CO,BO=OD,則可證AC=BD,

根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；

(2)在ABOC中，ZBOC=120°,則Nl=N2=30。，AC=2AB,根據勾股定理可求得BC的值，則四邊形ABCD的面積

可求.

【詳解】

(1)證明：/1=Z2,

/.BO=CO,即2BO=2CO.

四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AO=CO,BO=OD,

/.AC=2CO,BD=2BO,

AC=BD.

?「四邊形ABCD是平行四邊形，

---四邊形ABCD是矩形：

(2)在△BOC中，,/ZBOC=120°,

Z1=Z2=(180°-120°)+2=30°,

...在RSABC中，AC=2AB=2x4=8(cm),

BC=782-42=473(皿)?

四邊形ABCD的面積=4x4百(cm2)

【名師點撥】

此題把矩形的判定、勾股定理和平行四邊形的性質結合求解.考查學生綜合運用數學知識的能力.解決本題的關鍵

是讀懂題意，得到相應的四邊形的各邊之間的關系.

24.(2020?江蘇鎮江市?八年級期中)如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,過點C作CMII0D,過點D作DE±CM,

E為垂足.

(