專題02反比例函數大題（二大題型）

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一.反比例函數與一次函數的交點問題

反比例函數與一次函數的交點問題

（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有

交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數），=內1和反比例函數），=上在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：

x

①當ki與ki同號時，正比例函數〉=內］和反比例函數y="在同一直角坐標系中有2個交點：

x

ko

②當匕與內異號時，1T比例函數＞=匕工和反比例函數y=一二在同一百角坐標系中有0個交點.

x

題型二.反比例函數綜合題

（1）應用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養了學生的建模能

力和從實際問題向數學問題轉化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性質、

待定系數法和其他學科中的知識.

（2）數形結合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在.已知點在圖象上，那么點一定滿足這個

函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點乜一定在函數圖象上.還能利川圖象直接比

較函數值或是自變量的大小.將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

壓軸題預測

題型一.反比例函數與一次函數的交點問題（共25小題）

b?

1.（2024?新北區校級模擬）如圖，雙曲線y與直線），,交于A,8兩點.點4（2,0和點8（加-3）在

x'2

雙曲線上，點。為x軸正半軸上的一點.

（1）求雙曲線y的表達式和。，的值；

x

（2）請直接寫出使得）［＞為的X的取值范圍；

（3）若A44c的面積為12,求此時C點的坐標.

yjk

2.(2023?蘇州)如圖，一次函數y=2x的圖象與反比例函數y=A(x>o)的圖象交于點44,〃).將點A沿大

釉正方向平移，〃個單位長度得到點8,D為入軸正半軸上的點，點13的橫坐標大于點D的橫坐標，連接BD,

的中點C在反比例函數)，=?(x>0)的圖象上.

x

(1)求〃，2的值;

(2)當/〃為何值時，的值最大？最大值是多少？

3.（2（）24?常州模擬）如圖，反比例函數），=4的圖象與一次函數），=2"+人的圖象交于點4-1,2）,8（4.」）.

x~2

（1）求函數y=4■和y=+〃的表達式；

x

（2）若在x軸上有一動點C,當人改=25.。8時，求點。的坐標.

4.（2024?常州模擬）如圖，一次函數y=履+"攵工0）與函數為），，二竺“>0）的圖象交于44,1）,4d,々）兩

~x2

點.

（1）求這兩個函數的解析式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足％-兌>。時工的取值范圍：

（3）點"在線段4AI-.過點。作x軸的垂線,垂足為例,交函數%的圖象干點Q,若AP。。的面積為3.

求點P的坐標.

5.（2024?沐陽縣模擬）如圖，反比例函數），=與的圖象與一次函數），=〃“+〃的圖象相交于9-1,3）

x

兩點.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）設直線交），軸于點C,點N（1,0）是x軸正半軸上的一個動點，過點N作NMJ_x軸交反比例函數

），=人的圖象于點M,連接CV,OM.若加邊形c。次＞3,求"I勺取值范圍.

x

6.（2024?宿遷二模）已知函數），=?!?的圖象。函數），=&（4二0）的圖象交于點尸（,〃,〃）

x

（1）若/"=2〃，求A的值和點?的坐標.

（2）當|相|”|川時，結合函數圖象，直接寫出實數k的取值范圍.

7.（2024?泉山區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系X。），中，一次函數），=」i+5和），=-2.v的圖象相交于

2

點A,反比例函數y=V的圖象經過點A.

x

（1）求反比例函數的表達式；

（2）設一次函數y='x+5的圖象與反比例函數），=七的圖象的另一個交點為“，連接04，求AA/3O的面

2x

積.

8.（2023?常州）在平面直角坐標系中，一次函數尸質+人的圖象與反比例函數），='的圖象相交于點A（2,4）、

x

4（4,〃）.。是），軸上的一點，連接C4、CB.

（1）求一次函數、反比例函數的表達式：

（2）若的面積是6,求點C的坐標.

9.（2024?姜堰區一模）如圖，一次函數y=-2x+“的圖象與反比例函數必=4（4>0）的圖象在第一象限相

X

交于點A（〃?,〃），B（m-2,3〃）.

（1）求a、k的值；

（2）當時，直接寫出；的取值范圍.

10.（2024?昆山市模擬）如圖，一次函數丁=勺、+仇女尸0）的圖象與反比例函數），=8■化工。）的圖象相交于

X

4,8兩點，其中點4的坐標為（-2,1）,點8的坐標為

（1）求這兩個函數的表達式：

（2）根據圖象，直接寫出滿足后科+〃>人的取值范圍；

x

（3）求A/WO的面積.

11.（2024?興化市一模）已知函教y=4伙是常數，心（）），函數K=_'+9.

x-2

（1）若函數y和函數％的圖象交于點42,6）,點8（4,〃-2）.

①求4,〃的值.

②當y＞必時，直接寫出x的取值范圍.

（2）若點C（8,⑼在函數x的圖象上，點C先向下平移1個單位，再向左平移3個單位，得點。，點。恰

好落在函數X的圖象上，求/〃的值.

12.（2024?南通模擬）如圖，直線A3交雙曲線），=人于A、B兩點,交x軸于點C,且4恰為線段AC的

x

中點，連接OA.若S^AC=6.求出的值.

13.(2024?亭湖區模擬)如圖，等腰三角形O4B中，AO=M，點區坐標為(4,0)頂點A在反比例函數)，二人

x

的圖象匕且△044的面枳為12.

(1)k=.

(2)過4點直線對應的解析式為)，=x+〃與雙曲線丁二人在第一，三象限交點分別為點M,

x

①求點M,N的坐標.

②直接寫出不等式或-％-〃..0的解集.

X

14.(2024?常熟市模擬)如圖，一次函數y=4x-l的圖象與)，軸相交于8點，與反比例函數)，=?伏工0,x>0)

2

圖象相交于點4(/〃,2).

(1)求反比例函數的表達式：

(2)點。在點A的左側，過點。作y軸平行線，交反比例函數的圖象于點。，連接80.設點C的橫坐標

為a，求當〃為何值時，MCD的面積最大，這個最大值是多少？

15.（2024?東海縣一模）一次函數），=-.r+5與反比例函數），=&的圖象在第一象限交于A,B兩點，其中

x

A（1,4）.

（1）求反比例函數表達式；

（2）結合圖象，直接寫出r+5,,4時，”的取值范圍；

X

（3）若把一次函數），=[i+5的圖象向下平移〃個單位，使之與反比例函數），=&的圖象只有一個交點，請

X

直接寫出〃的值.

16.（2024?鐘樓區校級模擬）如圖，已知反比例函數K的圖象與一次函數）,=依+8的圖象相交于點

x

4（2,3）和點8（〃.一2）.

（1）求反比例函數與一次函數的解析式；

（2）直接寫出不等式人＞"+8的解集；

x

（3）若點?是“軸上一點，且滿足AP44的面積是10,請求出點戶的坐標.

17.（2024?姑蘇區校級模擬）如圖，以大軸上長為1的線段為寬作矩形A8CD,矩形長4）、BC交直

線y=-x+3于點/、E,反比例函數），=々“>0）的圖象正好經過點尸、E.

（1）線段所長為

18.（2024?昆山市一模）如圖，在平面直角坐標系入Qv中，一次函數y=Kx+b（K，〃為常數，且4工0）與

反比例函數），=&（4,為常數，旦占工。）的圖象交于點兒，〃，6）,伏4,-3）.

X

（1）求反比例函數和一次函數的表達式：

（2）當&■>%/+〃>（）時，直接寫出自變量x的取值范圍：

X

（3）己知一次函數y=A/+〃的圖象與x軸交于點C,點2在x軸上，若A/HC的面積為9；求點尸的坐標.

19.（2024?鹽城模擬）如圖，已知一次函數）『力+〃的圖象與反比例函數），,=々，分別交于點A和點8,

x

且A、8兩點的坐標分別是4-1,-2）和B（2.加），連接Q4、OB.

k

（1）求一次函數y=%x+b與反比例函數％="的函數表達式;

x

（2）求A4O4的面積.

20.（2024?天寧區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數），=2x+〃的圖象與x軸交于點

4-1,0）,與），軸交于點8,與反比例函數y=￡（x>0）的圖象交于點C,且他=8C.點。是x軸正半軸

X

上一點，連接CD,ZO￡>C=45°.

（1）求）和&的值:

（2）求A4CO的面積.

21.(2024?姑蘇區校級一模)如圖，一次函數》="+〃的圖象與反比例函數K=2(x>0)的圖象交于點

~x

A(4,l)和點8(2,〃).

(1)求一次函數和反比例函數解析式；

(2)過點8作8C_Ly軸于點C,連接04,求四邊形。48c的面枳;

(3)根據圖象直接寫出使去+成立的x的取值范圍.

L

22.(2024?新北區一模)如圖，反比例函數)，=￡(x>0)與一次函數y=2x+〃］的圖象交于點AQ4),BCLy

X

軸于點。，分別交反比例函數與一次函數的圖象于點3、C.

(1)求反比例函數和一次函數的表達式：

(2)連接/W,若07)=1,求A4HC的面積.

23.（2024?武進區校級模擬）如圖，直線），=T+3與），軸交于點A,與x軸交于點。，與反比例函數

y=A（kwO）的圖象交于點C,過點C作CBJLx軸于點3,4）=347.

（1）求點A的坐標及反比例函數的解析式；

（2）若點E是直線），=-％+3與反比例函數），=?（〃工0）圖象的另一個交點，求△（%>￡的面積.

24.（2024?東海縣一模）如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數），=x+h的圖象經過點A（-2,0）,與反比

例函數y=A的圖象交于9〃,4）,C兩點.

x

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）點M是反比例函數圖象在第一象限上的點，且%皿=4,請求出點M的坐標；

（3）反比例函數具有對稱性，適當平移就可發現許多神奇的現象.將該雙曲線在第一象限的一支沿射線笈C

方向平移，使其經過點C,再將雙曲線在第三象限的一支沿射線C4方向平移，使其經過點4,平移后的兩

條曲線相交于p，Q兩點，如圖2,此時平移后的兩條曲線圍成了一只美麗的“眸”，PQ為這只“眸”的

“眸徑”,請求出“眸徑”■。的長.

圖1圖2

25.（2024?泗陽縣校級二模）如圖，已知A（-4,〃），伏2,-4）是一次函數），=履+〃的圖象和反比例函數y=%

X

的圖象的兩個交點.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）求直線A2與x軸的交點C的坐標及AAOB的面積；

（3）直接寫出一次函數的值小于反比例函數值的工的取值范圍.

題型二.反比例函數綜合題（共8小題）

26.（2024?泰興市一模）如圖1,在平面直角坐標系xO），中，O為坐標原點，點A、C在反比例函數y=±

x

的圖象上，點8、。在反比例函數），=-3的圖象上，順次連接這四個點得到四邊形

x

（1）若對角線AC、RD交干點.O,首線AC的表達式為y=8x,直線力的表達式為y=—x.

①求證：四邊形AAS為平行四邊形；

②求一人AC力的面積；

（2）如圖2,四邊形A48為平夕亍四邊形，A5平行于％軸，求AC、放）的交點坐標；

（3）如圖3,四邊形A4CO為平夕亍四邊形，求證：AC,8。相交于點O.

27.（2024?東臺市一模）如圖，已知4-3,2）,伏〃,-3）是一次函數y=日+力的圖象與反比例函數y='的

X

圖象的兩個交點.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求AACM的面積；

（3）在坐標軸上是否存在一點尸，使AAOP是等腰三角形？直接寫出點P的坐標.

28.（2023?泰州）在平面直角坐標系xQy中，點>B（m-a,0）（。>，〃>0）的位置和函數y}=—（x>0）

x

弘=竺二￡*〈0）的圖象如圖所示.以/W為邊在x軸上方作正方形A3CD,4）邊與函數x的圖象相交于

X

點E,CO邊與函數為、%的圖象分別相交于點G、H,一次函數％的圖象經過點E、G,與），軸相交于

點、P,連接

（1）若m=2,々=4,求函數的表達式及APG"的面積；

（2）當“、/〃在滿足a>〃?>0的條件下任意變化時，APG”的面積是否變化？請說明理由;

（3）試判斷直線與3C邊的交點是否在函數乃的圖象上？并說明理由.

29.（2024?鹽城模擬）【發現問題】

小明在學習過程中發現：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形.那么，面積為定值的矩形中，其周長

的取值范圍如何呢？

【解決問題】

小明嘗試從函數圖象的角度進行探究：

（I）建立函數模型

設一矩形的面積為4,周長為〃?，相鄰的兩邊長為x、y,則個=4,2（x+y）=m,即y=±,y=-x+—,

x2

那么滿足要求的（M），）應該是函數與），=-X+'的圖象在第一象限內的公共點坐標.

x2

（2）畫出函數圖象

①畫函數）,=M（x>0）的圖象：

x

②在同一直角坐標系中直接畫出y=—x的圖象，則），=-%+］的圖象可以看成是由y=—x的圖象向上平移

個單位長度得到.

（3）研究函數圖象

平移直線），=-大，觀察兩函數的圖象；

①當直線平移到與函數），=&*>（））的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標為—，周長/〃的值

x

為：

②在直線平移的過程中，兩函數圖象公共點的個數還有什么情況？請直接寫出公共點的個數及對應周長加

的取值范圍.

【結論運用】

（4）面積為10的矩形的周長m的取值范圍為

---------((I(((A

49一1.2.2.4一$.6i

30.（2023?鎮江）如圖，正比例函數），=-3工與反比例函數），=々壯0）的圖象交于A、兩點，C點

x

在龍軸負半軸上，Z4CO=45°.

（1）m-?k=，點C的坐標為；

（2）點P在x軸上，若以B、O、。為頂點的三角形與A4OC相似，求點P的坐標.

31.（2023?連云港）【問題情境建構函數】

（1）如圖1,在矩形A8CD中，AB=4,M是8的中點，AEYBM,垂足為石.設8C=x,AE=y,

試用含工的代數式表示A

【由數想形新知初探】

（2）在上述表達式中，），與“成函數關系，其圖象如圖2所示.若x取任意實數，此時的函數圖象是否具

有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數圖象.

【數形結合深度探究】

（3）在“x取任意實數”的條件下，對上述函數繼續探究，得出以下結論：①函數值y隨十的增大而增大;

②函數值y的取值范圍是-4&＜），＜4&；③存在一條直線與該函數圖象有四個交點；④在圖象上存在四

點A、B、C、D,使得四邊形A8CD是平行四邊形.其中正確的是—.（寫出所有正確結論的序號）

【拄象回歸拓展總結】

（4）若將（1）中的“4?=4”改成"AA=21'.此時），關干戈的函數表達式是：一般地,當人"0.

A?取任意實數時，類比?次函數、反比例函數、二次函數的研究過程，探究此類函數的相關性質（直接寫出

3條即可）.

32.(2024?武進區校級模擬)如圖，在RtAABC中，4c=8,BC=4,AC_Lx軸，垂足為C,AB邊與)，

軸交于點。，反比例函數)，=2(x>0),的圖象經過點

x

(1)若肛=:求直線AB和反比例函數的表達式：

AB4

(2)若&=8,將A3邊沿AC邊所在直線翻折，交反比例函數f勺圖象于點E,交x軸于點尸，求點E的坐

33.(2024?蘇州一模)如圖，反比例函數y='的圖象與一次函數y=七;+。的圖象相交于4(3.1),8(-1,〃)

x

兩點.

(I)求反比例函數和一次函數的關系式；

(2)設直線交)，軸于點C,點N分別在反比例函數和一次函數圖象上，若四邊形6cMM是平行

四邊形，求點M的坐標.

專題02反比例函數大題（二大題型）

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一.反比例函數與一次函數的交點問題

反比例函數與一次函數的交點問題

（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有

交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數），=內1和反比例函數），=上在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：

x

①當ki與ki同號時，正比例函數〉=內］和反比例函數），=占2在同一直角坐標系中有2個交點：

x

ko

②當匕與內異號時，1T比例函數、=匕工和反比例函數y=―^在同一百角坐標系中有0個交點.

x

題型二.反比例函數綜合題

（1）應用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養了學生的建模能

力和從實際問題向數學問題轉化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性質、

待定系數法和其他學科中的知識.

（2）數形結合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在.已知點在圖象上，那么點一定滿足這個

函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點乜一定在函數圖象上.還能利川圖象直接比

較函數值或是自變量的大小.將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法.

壓軸題預測

題型一.反比例函數與一次函數的交點問題（共25小題）

k3

1.（2024?新北區校級模擬）如圖，雙曲線,二一與直線力=一不交于A,8兩點.點A（2,?）和點8（4-3）在

x2

雙曲線上，點C為K軸正半軸上的一點.

（1）求雙曲線乂=4的表達式和4,力的值；

X

（2）請直接寫出使得y＞刈的1的取值范圍；

（3）若A48c的面積為12,求此時C點的坐標.

yjk

【分析】（1）把點4（2,0和點8（瓦-3）代入％=3x,求出4與匕的值，再將A點坐標代入y=&,即可求

~2x

出反比例函數解析式；

（2）根據A與8橫坐標，利用圖象求出反比例函數值大于?次函數值時x的范闈即可；

（3）根據SM8C=SM"+SM"=12,求出0C的長，進而得到此時C點的坐標.

【解答】解：（1）?,?直線過點A（2,4）和點8（。,一3）,

33

d=—x2=3>—b--3,

22

:.b=-2.

,.雙曲線x=A過點A（2,3）,

x

A=2x3=6,

???雙曲線y=4的表達式為X=9；

xx

（2）觀察圖象，可得當x<-2或0<xv2時，反比例函數值大于一次函數值,

即使得％>必的x的取值范圍是/<-2或0<x<2；

(3):3(2,3),5(-2,-3),

SMBC=Sg”+SAW=12,

-OCx3+lc?Cx3=l2，

22

OC=4,

二.此時C點的坐標為(4,0).

【點評】此題考查了待定系數法求反比例函數解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，函數圖象上點

的坐標特征，三角形的面積，利用了數形結合的思想，正確求出反比例函數解析式是解本題的關鍵.

2.(2023?蘇州)如圖，一次函數>，=2x的圖象與反比例函數)，=±(x>0)的圖象交于點44,〃),將點4沿x

x

軸正方向平移個單位長度得到點B,D為工軸正半軸上的點，點B的橫坐標大于點D的橫坐標，連接BD,

BQ的中點。在反比例函數y=七(x>0)的圖象上.

X

(1)求〃,左的值；

(2)當陽為何值時，4/0。的值最大？最大值是多少？

【分析】(1)首先將點A(4,〃)代入y=2x可求出〃，再將點A的坐標代入)，=■%即可求出女：

(2)過點C作直線軸于r，交A4于￡,先證AECB和AR7。全等，得BE=DF,CE=CF=4,

進而可求出點C(8,4),根據平移的性質得點B(〃?+4,8),則8E=Ob=加-4,OD=\2-m,據此可得出

ABDD=m(\2-m)f最后求出這個二次函數的最大值即可.

【解答】解：⑴將點4(4,〃)代入y=2x,得：〃=8,

.?.點4的坐標為(4,8),

將點44,8)代入y=A,得:4=32.

x

(2).點K的橫坐標大于點。的橫坐標，

.?.點B在點。的右側.

過點C作直線石尸J_x軸于產，交AB于E,

ZB=/CDF,

???點C為8。的中點，

BC=DC,

在AEC8和"C。中，

NB=NCDF

BC=DC,

NBCE=NDCF

...AECB^FCD(ASA),

；.BE=DF,CE=CF.

軸,點A的坐標為(4,8),

:.EF=S,

：.CE=CF=4,

.?.點C的縱坐標為4,

由(1)知：反比例函數的解析式為：y=—,

X

.?.當y=4時，％=8,

.?.點。的坐標為(8,4),

.?.點E的坐標為(8,8),點F的坐標為(8.0),

,??點4(4,8),AB=m,軸，

.?.點8的坐標為(〃?+4,8),

/.BE=in+4-8=/zz-4,

/.DF—BE=m—4,

.??。。=8—(〃i-4)=12—〃?

AB-OD=/n(l2-in)=-(m-6)2+36

.?.當m=6時,ABOO取得最大值,最大值為36.

【點評】此題主要考查了反比例函數的圖象、二次函數的圖象和性質，點的坐標平移等，解答此題的關鍵

是熟練掌握待定系數法求函數的解析式，理解點的坐標的平移，難點是在解答（2）時，構造二次函數求最

值.

3.（2024?常州模擬）如圖，反比例函數y="的圖象與一次函數y=2,x+b的圖象交于點A（-1,2）,8（4,--）.

x"2

（1）求函數y=4和y=占工+。的表達式；

（2）若在x軸上有一動點C,當5必8c=2SMOB時，求點。的坐標.

可；

（2）設48與），釉交于點。，過點C作CE//），軸交A8于點E,利用三角形的面積公式，列出方程，求解

即可.

b

【解答】解：（1）將點4-1,2）,8（4,-上I）分別代入反比例函數y=6和一次函數），=&/+〃的解析式，

2x

-k2+/?=2

2

鼠=-\

2

2

.??反比例函數的解析式為：y=-,一次函數的解析式為：y=--x+^.

x22

（2）如圖，設八8與），軸交于點O,過點C作CE//），軸交/W于點E,

設C(m,0),

二.E{m—tn+-).

y22

13

CE=|—rn4—|.

22

3

令工=0,則y=e，

/.D(0,-)?

2

3

/.0。=二，

2

-XA)=；xgx|4-(—1)]=日.

-SM8C=2sMQB

解得m=-3或，〃=9,

點C的坐標為（-3,0）或（9,0）.

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，求三角形的面枳，求函數的解析式，正確掌握反

比例函數的性質是解題的關鍵.

4.（2024?常州模擬）如圖，一次函數x二h+"2工0）與函數為刈='（工＞0）的圖象交于441）,8（1,。）兩

x2

點.

（1）求這兩個函數的解析式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足y-片＞0時式的取值范圍：

（3）點。在線段AB上，過點。作工軸的垂線，垂足為M,交函數外的圖象于點Q，若△尸OQ的面積為3,

求點。的坐標.

【分析】（1）將A點坐標代入即可得出反比例函數）、=絲（工＞0）,求得函數的解析式，進而求得B的坐標,

再將A、3兩點坐標分別代入y=h+〃，可用待定系數法確定一次函數的解析式；

（2）由題意即求y的x的取值范圍，由函數的圖象即可得出反比例函數的值小于一次函數值的x的取

值范圍;

i44

（3）由題意，設P（p,-2〃+9）且一效卜4,則Q（〃,一），求得PQ=-2〃+9-一，根據三角形面積公式得到

2PP

5Ayo=:（-2〃+9-±＞〃=3.解得即可.

2p

【解答】解：（1）?.?反比例函數）2='*＞。）的圖象經過點A（4,l）,

x

/.m=4.

4

.?.反比例函數解析式為％=-(x>0).

-X

14

把8(—>a)代入y=—(A>0)，得a=8.

22'x

.?.點3坐標為(；，8),

???一次函數解析式）履+〃圖象經過44.1）,吟8）,

4k+b=\

-k+b=S

2

k=-2

b=9

故一次函數解析式為：y,=-2x+9.

(2)由y-乃>0，

＞），，，即反比例函數值小于一次函數值.

I

由圖象可得,2-

(3)由題意，設P(p,—2〃+9)且耳領b4,

4

Q(p,—)?

P

4

/.PQ=—2〃+9——.

P

,14

???S"OQ=彳(-2〃+9--)?〃=3.

2p

解得Pl=I-?"2=2.

/.P(-,4)或(2,5).

2

【點評】本題主要考杳一次函數與反比例函數交點問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵.

5.(2024?沐陽縣模擬)如圖，反比例函數尸人的圖象與一次函數\，=阻+〃的圖象相交于,3(-1,3)

x

兩點.

(1)求反比例函數和一次函數的解析式：

(2)設直線A8交y軸于點C,點N(1,0)是x軸正半軸上的一個動點，過點N作NA7_1_大軸交反比例函數

y=B的圖象于點M,連接C7V,OM.若鼠邊形8的＞3,求/的取值范圍.

【分析】(1)將點B,點A坐標代入反比例函數的解析式，可求a和％的值，利用待定系數法可求一次函數

解析式；

(2)先求出點C坐標，由面積關系可求解.

【解答】解：3)?.?反比例函數)=&的圖象與一次函數y=〃?x+〃的圖象相交于44-1)，8(7,3)兩點,

x

=-1x3=ax(-l),

.，.&=-3,a=3,

.?.點A(3,-l),反比例函數的解析式為＞=F，

3=-m+n

由題意可得:

-\-3m+n

m=-\

解得:

n=2

???一次函數解析式為），=T+2；

（2）?,?直線A8交），軸于點C,

.,.點C（0,2）,

31

‘四邊形COMN=S&OMN+S&0cz=—+—X2xf,

S四邊形COMV>3'

-3+—1xc2x/>3e,

22

3

??f>一?

2

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，考查了利用待定系數法求解析式，反比例函數的

性質等知識，求出兩個解析式是解題的關鍵.

6.（2024?宿遷二模）已知函數y=J的圖象與函數），=6徐工0）的圖象交于點P（〃?,〃）

x

（1）若加=2"，求Z的值和點。的坐標.

（2）當|〃?|“|〃|時,結合函數圖象，直接寫出實數*的取值范圍.

【分析】（1）由），=履（女工0）得及=巴，然后由m=2zz可得到&的值，設P（2〃,〃），將點P的坐標代入反比

m

例函數解析式可求得〃的值；

（2）由），=履伏=0）得&=2,然后結合條件|〃?|“|〃|可得々的取值范圍.

m

【解答】解：（1）vy=kx（k^Q）,

—=2」.

xm2n2

*.m=2〃，

/.P（2n,n）?

/.2n?n=1,解得：〃=±立^.

2

m=±>J2.

:.P（C,當或（-&,一當.

(2),/y=kx,

.yn

：.k=—=一

xm

v|/n|?\n\,

k.A.

【點評】本題主要考查的是反比例函數和一次函數的交點問題，掌握待定系數法求函數解析式的方法是解

題的關鍵.

7.（2024?泉山區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xO.v中，一次函數y=gx+5和y=-2x的圖象相交于

點A,反比例函數），=七的圖象經過點A.

x

（1）求反比例函數的表達式；

（2）設一次函數），=,x+5的圖象與反比例函數），=七的圖象的另一個交點為3,連接03,求&48。的面

2x

積.

【分析】（1）聯立方程求得A的坐標，然后根據待定系數法即可求得:

（2）聯立方程求得交點8的坐標，進而求得直線與％軸的交點，然后利用三角形面積公式求得即可.

【解答】解：⑴由）+5得尸7,

j—Ik4

/.A（-2,4）,

,反比例函數y=-的圖象經過點4,

x

.?.&=-2x4=-8,

???反比例函數的表達式是尸-e；

8

.?"(—8,1),

由直線AB的解析式為y=；x+5得到直線與x軸的交點為(-10,。)，

SgoB—^xl0x4--^xlOxl=15.

【點評】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，通過方程組求得交點坐標是解題的關鍵.

8.(2023?常,州)在平面直角坐標系中，一次函數)，=心+〃的圖象與反比例函數)，=》的圖象相交于點42,4)、

x

8(4,〃).C是y軸上的一點，連接CA、CB.

(1)求一次函數、反比例函數的表達式：

(2)若A48C的面積是6,求點。的坐標.

【分析】(1)利用待定系數法求得即可；

(2)先求得0(0,6),再根據SMBC=-Sgc。得5xCZ)?(4-2)=6,進而得出CD=6,據此可得點C的

坐標.

【解答】解：(1)???點4(2,4)在反比例函數)，='的圖象上，

x

=2x4=8,

反比例函數解析式為)，=?;

X

Q

又7點8(4,〃)在)，=2上，

x

/./?=2?

.?.點5的坐標為(4,2),

f24+〃=4

把A(2,4)和44,2)兩點的坐標代入一次函數)，=心+人得1.

4攵+〃=2

k=-\

解得

b=6

.?.一次函數的解析為)，=-x+6.

(2)對于一次函數1y=—x+6,令x=0,貝ijy=6,

即D(0,6),

根據題意得：S*=Smc”-SMS=5XCD?(4-2)=6,

解得：CD=6,

.?.OC=0或12,

...C(0,0)或(0,12).

【點評】本題主要考查了一次函數與反比例函數交點問題，解題時注意：一次函數與反比例函數交點坐標

同時滿足一次函數與反比例函數解析式.

9.（2024?姜堰區一模）如圖，一次函數y=-2x+a的圖象與反比例函數為=&（2＞。）的圖象在第一象限相

一x

交于點A（m,n）,B（m-2,3〃）.

（1）求〃、A的值；

【分析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征，得到，〃=3,代入A、B點的坐標再代入一次函數解析

式組成方程組求出〃和〃，最后求出〃值即可；

（2）根據函數圖象直接寫出當x＞為＞0時自變量取值范圍即可.

【解答】解：⑴???點4風〃），8（6-2,3〃）都在反比例函數圖象上,

inn=3〃x（m-2）,

整理得:2〃（小—3）=0,

m工0,〃工0,

.?.“I-3=(),解得m=3.

??,A（3,〃），在直線y=-2x+a的圖象上,

??比力IC

二.A（3,2）,

?.A（3,2）在反比例函數圖象上，

:.k=6?

?二。=8,k=6?

（2）由（1）可知：43,2）,3（1,6）,根據函數圖象可知，時，x的取值范圍為：1<X<3.

【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵.

10.（2024?昆山市模擬）如圖，一次函數），=4.r+"A產0）的圖象與反比例函數），="伏，/0）的圖象相交于

X.

A,B兩點，其中點4的坐標為（-2/），點8的坐標為

（1）求這兩個函數的表達式；

（2）根據圖象，直接寫出滿足女科+力>§的取值范圍；

（3）求A4BO的面積.

【分析】（1）待定系數法求出兩個函數解析式即可；

（2）根據圖像直接寫出不等式的解集即可；

（3）根據S,W）B=Sa：+S,xx代入數據計算即可.

【解答】解：（1）4-2,1）,在反比例函數圖象上,

j?匕=—2x1=〃9

/.匕=〃=一2

?

.??反比例函數解析式為：y=--，

x

V/1(-2,1),8(1,-2)在一次函數圖象上,

-2勺力=1解得:

k}+h=—2

??「次函數解析式為：y=-x-\.

(2)根據兩個函數圖象及交點坐標，不等式&■的解集為：x<-2nJcO<A<l.

X

(3)設直線A8與y軸的交點為C,則即0。=1,

113

??5M08=S&A0C+S&B0C=；xlx2+7Xlxl=7。

【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式.

L3

11.(2024?興化市?模)己知函數凹=工(&是常數，4工0),函數%二-±八十9.

x2

(1)若函數y和函數為的圖象交于點42,6),點8(4,〃-2).

①求火，〃的值.

②當X>當時，直接寫出x的取值范圍.

(2)若點C(8,〃i)在函數y的圖象上，點C先向下平移1個單位，再向左平移3個單位，得點。，點。恰

好落在函數M的圖象上，求機的值.

【分析】(1)①根據反比例函數圖象上點的坐標特征進行解答即可；

②根據圖形分布和解答橫坐標宜接寫出不等式解集即可；

(2)先根據平移條件得到1),再根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出〃?值即可.

【解答】解:(1)?-.函數y和函數為的圖象交于點42,6),點8(4,〃-2),

.?.&=2X6=4X(〃-2),解得：k=V2,n=5.

17

②由①可知，反比例函數解析式為y="，圖象分布在第一、三象限，4(2,6),8(4,3)

「?）i>為時，x的取值范圍為：Ovxv2或x>4.

（2）?「點C（8,〃］）在函數y的圖象上，點C先向下平移1個單位，再向左