中考下臺下——各我2008中考與敗

（閱讀理解題）

一、學問網絡梳理

閱讀理解題是近幾年新出現的一種新題型，這種題型特點顯明、內容

豐富、超越常規，源于課本，高于課本，不僅考查學生的閱讀實力，而且

綜合考查學生的數學意識和數學綜合應用實力，尤其側重于考查學生的數

學思維實力和創新意識，此類題目能夠幫助學生實現從仿照到創建的思維

過程，符合學生的認知規律。閱讀理解題一般由兩部分組成:一是閱讀材

料；二是考查內容.它要求學生依據閱讀獲得的信息回答問題.供應的閱讀

材料主要包括：一個新的數學概念的形成和應用過程，或一個新數學公式

的推導與應用，或供應新聞背景材料等.考查內容既有考查基礎的，又有考

查自學實力和探究實力等綜合素養的.

這類題目的結構一般為：給出一段閱讀材料，學生通過閱讀，將材料

所給的信息加以搜集整理，在此基礎上，依據題目的要求進行推理解答。

涉和到的數學學問許多，幾乎涉和全部中考內容。

閱讀理解題是近幾年頻頻出現在中考試卷中的一類新題型，不僅考查

學生的閱讀實力，而且綜合考查學生的數學意識和數學綜合應用實力，尤

其是側重于考查學生的數學思維實力和創新意識，此類題目能夠幫助考生

實現從仿照到創建的思想過程，符合學生的認知規律，是中考的熱點題目

之一，今后的中考試題有進一步加強的趨勢。

題型1考杳解題思維過程的閱讀理解題

言之有據，言必有據，這是正確解題的關鍵所在，是提高數學索養的

前提。數學中的基本定理、公式、法則和數學思想方法都是理解數學、學

習數學和應用數學的基礎，這類試題就是為檢測解題者理解解題過程、駕

馭基本數學思想方法和辨別是非的實力而設置的。

題型2考查訂正錯誤挖病根實力的閱讀理解題

理解基本概念不是拘泥于形式的死記硬背，而是要把握概念的內涵或

實質，理解概念間的相互聯系，形成學問脈絡，從而整體地獲得學問。這

類試題意在檢測解題者對學問的理解以和相識問題和解決問題的實力。

題型3考查歸納、探究規律實力的閱讀理解題

對材料信息的加工提練和運用，對規律的歸納和發覺能反映出一個人

的應用數學、發展數學和進行數學創新的意識和實力。這類試題意在檢測

解題者的數學化實力以和駕馭數學的創新意識和才能。

題型4考查駕馭新學問實力的閱讀理解題

命題者給定一個生疏的定義或公式或方法，讓你去解決新問題，這類

考題能考查解題者自學實力和閱讀理解實力，能考查解題者接收、加工和

利用信息的實力。

解閱讀新學問，應用新學問的閱讀理解題時，首先做到仔細閱讀題目

中介紹的新學問，包括定義、公式、表示方法和如何計算等，并且正確理

解引進的新學問，讀懂范例的應用；其次，依據介紹的新學問、新方法進

行運用，并與范例的運用進行比較，防止出錯。

第一課時代數閱讀題

［目標導學］

此類閱讀理解題一般以數式的運算、方程（不等式）的計算以和函數

學問為背景，考查相關的學問；內容可以包括定義新思路、新方法，這主

要是考查學生的理解應變實力，也可以是供應全新的的閱讀材料，介紹新

學問，用來考查學生的學以致用的實力。

［例題精析］

例1（。7資陽）已知坐標平面上的機器人接受指令"反，A］ff（a>0,

00</lvl8（r）后的行動結果為：在原地順時針旋轉力后，再向面對方向

沿直線行走a.若機器人的位置在原點，面對方向為y軸的負半軸，則它

完成一次指令［2,60°］后，所在位置的坐標為（D）

A.（-1,-VS）B.（-1,6）C.（G,-1）

D.（?>/5,-1）

例2（07臺州）為確保信息平安，信息須要加密傳輸，發送方由明文1密

文（加密），接收方由密文->明文（解密）.已知加密規則為：明文a，b,c

對應的密文。+1，必+4,3c+9.例如明文1,2,3對應的密文2,8,18.假

如接收方收到密文7,18,15,則解密得到的明文為（B）

A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,6

例3.（03無錫市）讀一讀：式子“1+2+3+4+5+……+100”表示從

1起先的100個連續自然數的和.山于上述式子比較長，書寫也不便利，

100

士〃

為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+……+100”表示為I,

這里是求和符號.例如:“1+3+5+7+9+……+99"（即從

50

Z（2〃-1）

1起先的100以內的連續奇數的和）可表示為I；又如“N+23

10

+33+43+53+634-73+83+93+103W可表示為1.同學們，通過對

以上材料的閱讀，請解答下列問題：

①2+4+6+8+10+……+100（即從2起先的100以內的連續偶

數的和）用求和符號可表示為；

②計算：I=（填寫最終的計算結果）.

分析：本題就是先給讀者供應全新的的閱讀材料，介紹了求和符號

的意義，這是學生沒有遇到過的新學問，只有通過閱讀理解它的意

義，才能正確解答下面有關問題。求和符號的下,面和上面的數字分別表示

求和加數的首、尾數字序數，求和符號右邊的代數式表示求和加數的性質。

50

解：（1）±2〃；（2）50o

n-1

［解題啟示］

本題是一道在初中和中學學問的連接點上命題的代數閱讀理解題，學

生只有正確閱讀理解求和符號的意義、書寫格式等學問，才能遷移

運用，再發散開放。

例4.（05陜西省）閱讀：我們知道，在數軸上，x=i表示一個點.而在

平面直角坐標系中，*=1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方方程

2.y+l=0的全部解為坐標的點組成的圖形就是一次函數y=2x+l的圖象，

它也是一條直線，如圖2-4?10可以得出：直線x=l與直線）=2A+1的交點

P的坐標（1,3）就是方程組［二;

在直角坐標系中，尤力表示一個平面區域，即直線以和它左側的部

分,如圖2-4-11；>2A+1也表示一個平面區域，即直線"2戶】以和它下

方的部分，如圖2-4-12.回答下列問題：在直角坐標系（圖2-4-13）中，

（1）用作圖象的方法求出方程組，的解.

y=-2x+2

x>-2

（2）用陰影表示”-2n2,所圍成的區域.

y>0

yy

=2x+#

分析：通過閱讀本題所供應的材料，我們要明白兩點：方程組的解與兩

直線交點坐標的關系；不等式組的解在坐標中區域的表示方法.

解：（1）如圖2-4-13,在坐標中分別作出直線片-2和直線

廣-2r+2,這兩條直線的交點P（-2,6）,貝二2是方程組卜的

[y=6[y=-2x+2

解.

例5（05鎮江市）閱讀下列一段文字，然后解答問題.

修建潤揚大橋，途經鎮江某地，需搬遷一批農戶，為了節約土地資源

和愛護環境，政府確定統一規劃建房小區，并且投資一部分資金用于小區

建設和補償到政府規劃小區建房的搬遷農戶.建房小區除建房占地外，其余

部分政府每千方米投資10。元進行小區建設；搬遷農戶在建房小區建房，

每戶占地100平方米，政府每戶補償4萬元，此項政策，吸引了搬遷農

戶到政府規劃小區建房，這時建房占地面積占政府規劃小區總面積的

20%.

政府乂激勵非搬遷戶到規劃小區建房，每戶建房占地12。平方米，但

每戶需向政府交納土地運用費2.8萬元，這樣又有20戶非搬遷戶申請加

入.此項政策，政府不但可以收取土地運用費，同時還可以增加小區建房占

地面積，從而削減小區建設的投資費用.若這20戶非搬遷戶到政府規劃小

區建房后，此時建房占地面積占政府規劃規劃小區總面積的40%.

(1)設到政府規劃小區建房的搬遷農戶為x戶，政府規劃小區總面積為

V平方米.

可得方程組解得

(2)在20戶非搬遷戶加?入建房用廠請測算政府共需投資

萬元

在20戶非搬遷戶加入建房后，請測算政府將收取的土地運用費投

入后，還需投資萬元.

(3)設非搬遷戶申請加入建房并被政府批準的有z戶，政府將收取的土

地運用費投入后，還需投資。萬元.①求。與z的函數關系式；②當p

不高于140萬元，而又使建房占地面積不超過規劃小區總面積的

35%時，那么政府可以批準多少戶非搬遷戶加入建房？

分析：本題通過文字給出了大量的數據信息廠答題時要仔細審題，順

理各種數據間關系，建立方程、函數和不等式模型使問題得以解決。

l()0.r+20xl20=40%y

x=24

[)，=12000

(2)192

112

(3)①P=24x4-2.8z+(120-24-1.2z)

=192-4z.

192-4z?140

②由題意得J

2400+120z?35%xl20CO

解得《.'.13gijz15.

z,,15.

政府可批準13、14或15戶非搬遷戶加入建房.

［解題啟示］

本題實質是方程組、函數和不等式組綜合應用題，以閱讀理解型問題

形式出現，突出了過程學問的考查。

［課堂訓練］

-二基礎訓練：

1.（05浙江）在日常生活中如取款、上網等都須要密碼.有一種用“因

式分解”法產生的密碼，便利記憶.原理是：如對于多項式--＞」，

因式分解的結果是（-y）（x+），）（/+/,若取k9,產9時，則各個因

式的值是：（X一列=0,（x+j）=18,（A2+y2）=162,于是就可以把

“018162”作為一個六位數的密碼.對于多項式41—獷，取貨10,

產10時，用上述方法產生的密碼是：（寫出一個即可）.

2.（03青島）九年義務教化三年制初級中學教科書《代數》第三冊第52

頁的例2是這樣的：“解方程--6/+5=0”.這是一個一元四次方程，

依據該方程的特點，它的解法通常是：設-=y,那么/=），?,于是原方

程可變為-6），+5=。①，解這個方程得：yi=l,y2=5.當y=1

時，x2=1,/.x=±1;當y=5時，x2=5,x=±V5o所以原方

程有四個根：Xi=1,x2=-l,x3=V5,x4=-^5o

⑴在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到降次的目的，

體現了轉化的數學思想.

⑵解方程（丁-寸_467）-12=0時，若設y=x2-x,則原方程可化

為.

3.（攀枝花）先閱讀下列材料，再解答后面的問題

材料：一般地，n個相同的因數。相乘：”記為九如23=8,此時，

M、

3叫做以2為底8的對數，記為log?8（即log28=3）。一般地，若

/=力（。〉0且。=1力>0）,貝I」n叫做以。為底b的對數，記為

log,*（即log,*=〃）.如34=81,則4叫做以3為底81的對數，記為

k）ga81（即唾381=4）o

問題：（1）計算以下各對數的值

log,4=log216=log,64=

（2）視察（1）中三數4、16、64之間滿意怎樣的關系式？

log24>log216>log264之間又滿意怎樣的關系式？

（3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？

log”M+log”N=（6/>0且〃w1,M>0,N>0）

依據騫的運算法則：a-i以和對數的含義證明上述結

論。

二.拓展訓練：

1.（04十堰市）先閱讀理解下列例題，再按例題解一元二次不等式：

6x2-x-2>0

解：把6/-工一2分解因式，得6/7一2=（3x-2）（2x-l）

又6/-工-2>0,所以（3x-2）（2x-l）>0

山有理數的乘法法則”兩數相乘，同號得正“有

（1）?”2>0或⑵產-2<0

o

解不等式組（1）得x>：

解不等式組（2）得x<-1

0I

所以（3x—2）（2x-l）>。的解集為x>；或x<-i

作業題：①求分式不等式沁〈。的解集。

2%-3

②通過閱讀例題和作業題①，你學會了什么學問和方法?

2.（04大連）閱讀材料，解答問題：

材料：“小聰設計的一個電子嬉戲是：一電

子跳蚤從這PJ-3,9）起先，按點的橫坐標

依次增加1的規律，在拋物線），=/上向右跳

動，得到點P2、P3、P,、P5……（如圖12所

示）。過Pl、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3

垂直于X軸，垂足為H］、比、H3,則

SNgp、-s梯形巴丹也褐-s悌形6%也八一s梯形5日出遍

=-（9+1）x2--（9+4）x1-1（4+1）x1

222

=1

即ZkPlP2P3的面積為1。

問題:

⑴求四邊形P】P2P3P4和P2P3P4P5的面積（要求：寫出其中一個四邊形面積

的求解過程，另一個干脆寫出答案）；

⑵猜想四邊形P「FnPn+Fn+2的面積，并說

明理由（利用圖13）

⑶若將拋物線y=r改為拋物線

）,=/+法+C,其它條件不變，猜想四邊形

Pn_FnPn+Fn+2的面積（干脆寫出答案）

圖13

［課后訓練］

一.基礎訓練：

1.（03青島）探究數字“黑洞”：“黑洞”原指特別驚奇的天體，它體

積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來.無

獨有偶，數字中也有類似的“黑洞”，滿意某種條件的全部數，通過

一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌.譬如：隨意

找一個3的倍數的數，先把這個數的每一個數位上的數字都立方，再

相加，得到一個新數，然后把這個新數的每一個數位上的數字再立方、

求和，…，重復運算下去，就能得到一個固定的數T=,

我們稱它為數字“黑洞”.

T為何具有如此魔力？通過仔細的視察、分析，你肯定能發覺它的奇妙!

2.先閱讀下列材料，然后解答題后的問題.

材料：從A、B、C三人中選擇取二人當代表，有A和B、A和C、

B和C三種不同的選法，抽象成數學模型是：從3個元素中選取2個元

素組合，記作C；=^^=3.

2x1

一般地，從，”個元素中選取〃個元素組合，記作

（1_（，〃-〃+1）

'其n（n-l）（n-2）L3x2x1,

問題：從6個人中選取4個人當代表，不同的選法有種.

3.（2003年廣西壯族自治區中考題）閱讀下列一段話，并解決后面

的問題.

視察下面一列數從第2項起，每一項與它前一項的比都等于2.

一般地，假如一列數等于同一個常數，這一列數就叫做等比數列，這個

常數叫做等比數列的公比.

(1)等比數列5,-15,45,……的第4項是.

(2)假如一列數《，的，出，％,……是等比數列，且公比為夕，那么

依據規定，有%=q,%=，h幺=q、"=q、LL

qa.丹丹

所以％="聞,%=%q=(6q)q=/4=&q=(4/)q=qq'LL

q,=(用4和，/的代數式表示)

(3)一等比數列的第2項是10,第3項是20,求它的第1項與第4項.

4(07甘肅白銀等3市)閱讀下邊一元二次方程求根公式的兩種推導方法:

方法一：教材中方法方法二：

2

ar+bx+c=,/a^+bx+c=09

/.4a2A2+4aZ7A+4ac=0,

“(1+2)2二2二生

配期可得：4a(2ax+b)2=〃-4ac.

(1+T-)-=；-；當時，

2a4a2

2ax+b=±\Jb2-4ac,

2ax=-b±\]b2-4ac.

2

當-人-金小川時,,-b±x/b-4ac

>?X—?

2a

請回答下列問題:

(1)兩種方法有什么異同？你認為哪個方法好?

（2）說說你有什么感想?

二.拓展訓練:

1.（03青島）在抗擊“非典”的斗爭中，某市依據疫情的發展狀況，確定

全市中、小學放假兩周，以切實保障廣闊中、小學生的平安.騰飛中

學初三（1）班的全體同學在自主完成學習任務的同時，不忘關切同學

們的安危，兩周內全班每兩個同學都通過一次電話，相互勉勵，共同

提高.假如該班有56名同學，那么同學們之間共通了多少次電話？

為解決該問題，我們可把該班人數n與通電話次數s間的關系用下列

s=65=10$=15

⑴若把n作為點的橫坐標，s作為縱坐標，依據上述模型中的數據,

在給出的平面直角坐標系中，描出相應各點,并用平滑的曲線連接起來;

⑵依據日中各點的排列規律，猜一猜上述各點會不會在某一函數的圖

像上？假如在，求出該函數的解析式;

⑶求該班56名同學間共通了多少次電

話.

2（04煙臺）先閱讀下面的材料，然后解答問題:

在一條直線上有依次排列的雙尸＞1）臺機床在工作，我們要設置一個零件供

應站P,使這n臺機床到供應站P的距離總和最小，要解決這個問題，先

“退”到比較簡潔的情形：

如圖1所示，假如直線上有2臺機床時，很明顯設在A1和A?之間的任何

地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等于A1到A2的距離。

5p

甲1-

圖1

如圖2所示，假如直線上有3臺機床時，不難推斷，供應站設在中間一臺

機床A2處最合適，因為假如P放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好為

A1和A3的距離，而假如把P放在別處，例如D處，那么甲和丙所走的距

離之和仍是A1到A3的距離，可是乙還得走從A?到D的這一段，這是多

出來的，因此P放在A2處是最佳選擇。

——A■■「DA■

甲乙丙

圖2

不難知道，假如直線上有4臺機床，P應設在第2臺與第3臺之間的任何

地方；有5臺機床，P應設在第3臺位置。

問題（1）：有n臺機床時，P應設在何處?

問題（2）:依據問題（1）的結論，求區一咄”2中一渺…中-617|的最

小值。

3（07安徽蕪湖）閱讀以下材料，并解答以下問題.

“完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在

其次類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同

的方法，這是分類加法計數原理;完成一件事須要兩個步驟，做第一步有m

種不同的方法，做其次步有n種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn種不同的方法，這就是分花垂.法.計數原理.”如完成沿圖1所

示的街道從A點動身向6點行進這件事（?規.定必.露包北走或向東走），會

有多種不同的走法,其中從Z點動身到某些交叉點的走法數已在圖2填出.

⑴依據以上原理和圖.2的提示，算出從Z動身到達其余交叉點的走法數,

將數字填入圖2的空圓中，并回答從A點動身到3點的走法共有多少

種？

⑵運用適當的原理和方法算出從/點動身到達夕點，并禁止通過交叉點

。的走法有多少種？

（3）現由于交叉點C道路施工，禁止通行.求如任選一種走法，從A點

動身能順當開車到達夕點（無返回）概率是多少？

其次課時幾何閱讀題

［目標導學］

此類閱讀理解題包括新學問定義的閱讀、理解和應用，幾何量變更后

的規律探究，幾何計算和證明過程的推斷與推理等。

［例題精析］

例1.閱讀下列語句:

（1）響應中心號召，開發大西南！

（2）“法輪功”是邪教.

（3）若『=1,貝l」X=l.

（4）臺灣是中華人民共和國不行分割的領土。

（5）兩直線平行，同位角相等。

在上述語句中，屬于真命題的句子是笫（）句。

分析：命題是推斷一件事情的句子。而真命題是題設成立能推出結論肯

定正確的命題。

解：屬于真命題的句子是第（（2）、（4）、（5））句。

［解題啟示］

此題主要是考查真命題的概念。推斷是否真命題首先看是否是命題，再推

斷其真假性。

例2.（04廣西玉林）閱讀下列材料，并解決后面的問題.

在銳角4ABC中，/A、NB、NC的對邊分別是a、b、c.過A作

AD_LBC于D(如圖)，則sinB=絲,sinc=^

cb

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,

/_=，.同理有，=，_,，-=上

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

/.(l_h_c.................................(*)

sinAsinRsinC

即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

(1)在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、ZA,運用上述結論

(*)和有關定理就可以求出其余三個未知元素c、NB、ZC,請你依據

下列步驟填空，完成求解過程：

第一步，由條件--->

向上，隨后貨輪以28.4海里/時的速度按北偏東45“的方

向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西70。的方

向上(如圖11),求此時貨輪距燈塔A的距離AB(結果精確到0.1.參

考數據：sin4(T=0.643,sin65"=0.906,sin701=0.904,sin75,,=0.966).

分析：本題取材于中學代數中的“正弦定理”內容，關鍵要通過閱讀、

自學，從中了解正弦定理的內容和其證明并要會簡潔應用。

解：(1)第一步：a、b、ZA；，_=上；其次步：NA、ZB；

sinAsinB

NA+NB+/C=180"

第三步：a、/A、NC或b、ZB.ZC,，_=，或，_=，

sinAsinCsinBsinC

(2)解：依題意,可求得NABC=i8(r—45“-70"=65",Z

A=180"—(30"+45"+65")=40"

BC=28.4X1=14.2

2

??AB14.2?AR=14.2xsin75014.2x0.966

sin75〃sin40"sin<)p0.643

答：貨輪距燈塔A的距離約為21.3海里.

［解題啟示］

近幾年來，中考題中出現了與中學或高校學問有關的“滲透型”試題,

這類試題較好地考查了學生的自學實力，也體現了新課程思想理念，故在

復習中要引起重視。

例3(07浙江衢州)請閱讀下列材料：

問題：如圖(2),一圓柱的底面半徑為5dm,BC是底面直徑，求一只

螞蟻從A點動身沿圓柱表面爬行到點C的最短路途。小明設計了兩條路途:

路途1：側面綻開圖中的先端AC。如下圖(2)所示：

沿AB翦開

另平

設路途1的長度為4，則1=AC2=AB2+AC2=52+（5乃）2=25+25乃?

路途2:高線AB+底面直徑BC。如上圖(1)所示:乙人下物的十

/比較兩個正數的大

C小，有時用它們的

「平方來比較更便利

O

設路途2的長度為"，則，22=(AA+AC)2=(5+10)2=225

22

v/,-/2=25+25^-225=25%？-200=25(乃？-8)>0

2

>/2/(>/2

所以要選擇路途2較短。

(1)小明對上述結論有些懷疑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑

為1dm,高AB為5dm”接著按前面的路途進行計算。請你幫小明完成

下面的計算：

路途1:小心=___________________;包

飛殿

22

路途2:/2=(AB+AC)=

2

1/2/,/2(填〉或v)

所以應選擇路途____________(填1或2)較短.

⑵請你幫小明接著探討:在一般狀況下，當圓柱的底面半徑為r,高為h時，

應如何選擇上面的兩條路途才能使螞蟻從點A動身沿圓柱表面爬行到C點

的路途最短。

222222

解：(1)l}AC=AB'+AC=5+^-=25+^

l=(A8+AC)2=(5+2)2=49

22

/j</2(</,

所以要選擇路途1較短。

(2)/,2=AC2=AB2+AC2=A2+(^r)2

222

l2=(AB+AC)=(/i+2r)

一//=h2+(;rr)2—(h+2r)2=r(^2r-4r-4/?)=r[(^2-4)r-4/?]

當r=-^7時，/：=《；當—>4^時，記>《；當，時，/「v^。

TC-47T--47T~~4

例4.（05南京）在平面內，假如一個圖形繞一個定點旋轉肯定的

角度后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角

稱為這個圖形的一個旋轉角。例如：正方形圍著它的對角線的交點旋轉

90°后能與自身重合（如圖），所以正方形是旋轉對稱圖形，它有一個

（1）推斷下列命題的真假（在相應的括號內填上“真”或"假”）O

①等腰梯形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180°。

②矩形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180°（）

（2）填空：下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為120°的

是（寫出全部正確結論的序號）：①正三角形；②正方形；

③正六邊形；④正八邊形V

（3）寫出兩個多邊形，它們都是旋轉對圖形，都有一個旋轉角為72。，

并且分別滿意下列條件

①是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形：

②既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形：

分析：解答本題的關鍵是讀懂材料中的“旋轉對稱圖形”和“旋轉角”兩

個概念。

解：（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五邊形，正十五邊形;

②如正十邊形，正二十邊形

例4(07山西臨汾)閱讀材料并解答問題:

與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內切圓，與正四邊形各邊都相

切的圓叫做正四邊形的內切圓，，與正〃邊形各邊都相切的圓叫做正〃邊

形的內切圓，設正〃(〃，3)邊形的面積為5M形，其內切圓的半徑為摸索

究正〃邊形的面積.

(1)如圖①,當〃=3時,

設45切P于點C,連結"，OA,OB,

：.OCLAB,

：,OA=OBf

：.^AOC=-AOB,：.AB=2BC.

2

在RtAAOC中，

\'ZAOC=-^-=6G°,OC=r9

23，，

:.AC=r.tan60°,：.AB=2r.tan600,

＜，

S.,W...=—2?r?2rtaii60=r2tan60c7,

,,S正三角形=3s^38=3r?tan60?

(2)如圖②，當〃=4時，仿照(1)中的方法和過程可求得:

S正四邊形=4S&OAB=；

(3)如圖③，當〃=5時，仿照(1)中的方法和過程求s正初形；

(4)如圖④，依據以上探究過程，請干脆寫出S正出形=

解：(1)4,tan450............................................................................................2分

(2)如圖③，當〃=5時，設鉆切。于點C,連結OGOAOB,

'：OA=OBf

136()°

VZAOC=---=36°,OC=r,.............................3分

25

AC=/*tan36",AB=2r?Un36",........................4分

5分

圖③

,,S正砌形=5s△OAB=5廣tan36°?6分

（3）府tan幽.???

n

［課堂訓練］

一.基礎訓練：

1.閱讀：由于我們已經學過三角形內角和定理，因此，我們可以過多邊形

的一個頂點引對角線，將多邊形分成三角形，利用三角形的內角和定理

來探討多邊形的內角和。

讀了這段內容，我們初步了解將多邊形的問題轉化為（）

問題的思想方法，了解到（）的辯證唯物

主義觀點。

2.（05安徽）下面是數學課堂的一個學習片段，閱讀后，請回答下面的

問題：

學習等腰二角形有關內容后，張老師請同學們溝通探討這樣一個問題:

“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,請你求出其余兩角

同學們經片刻的思索與溝通后，李明同學舉手說：“其余兩角是30°和

120°”；王華同學說：“其余兩角是75°和75。還有一些同學也提

出了不同的看法……

⑴假如你也在課堂中，你的看法如何？為什么？

⑵通過上面數學問題的探討，你有什么感受？（用一句話表示）

3.（06北京課標B卷）請閱讀下列材料：

問題：現有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖1,請把它

們分割后拼接成一個新的正方形.要求：畫出分割線并在正方形網

格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新

正方形.

小東同學的做法是：設新正方形的邊長為Mx>0）.依題意，

割補前后圖形的面積相等，有V=5,解得工=石.由此可知新正

方形的邊長等于兩個正方形組

成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖2所示的分割線，拼出如圖

3所示的新正方形.

圖3

請你參考小東同學的做法，解決如下問題：

現有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖4,請把它們分

割后拼接成一個新的正方形.要求：在圖4中畫出分割線，并在圖

5的正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫

出拼接成的新正方形.

說明：干脆畫出圖形，不要求寫分析過程.I

解：M

圖4

圖5

二.拓展訓練:

1.（04青海省i皇中縣）閱讀材料:

如圖（6）在四邊形ABCD中，對角線AC1BD,

求證：S四邊形ABCD=5AC?BD.

SA/S1CCtDJ=—2AC-PZ),

證明：AC1BD-

圖（6）

SAn,RotC=-2AC>BP.

一?S四邊形ABCD=SAACD+SAACB=；AC?PD+；AC?BP

=-AC(PD+PB)=-AC-BD.

22

解答問題：

1）上述證明得到的性質可敘述為

（2）已知：如圖（7）,等腰梯形ABCD中，AD//BC,對角線

AC1BD且相交于點P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性質求梯形的

面積.

圖7

2.（04無錫）讀一讀，想一想，做一做

（1）國際象棋、中國象棋和圍棋號稱世界三大棋種.國際象棋中的“皇

后”的威力可比中國象棋中的“車”大得多：“皇后”不僅能限制她所在

的行與列中的每一個小方格，而且還能限制“斜”方向的兩條直線上的每

一個小方格.如圖甲是一個4X4的小方格棋盤，圖中的“皇后。'能限制

圖中虛線所經過的每一個小方格.

①在如圖乙的小方格棋盤中有一“皇后。'，她所在的位置可用“（2,

3）”來表示，請說明“皇后Q'所在的位置“（2,3）”的意義，并用

這種表示法分別寫出棋盤中不能被該“皇后所限制的四個位置.

②如圖丙也是一個4X4的小方格棋盤，請在這個棋盤中放入四個“皇

后。'，使這四個“皇后Q'之間互不受對方限制（在圖丙中的某四個小

方格中標出字母。即可）.

23X3的正方■形和2X

丙

3的矩形圖片A、B、C（如

圖），現從中各選取若干個圖片拼成不同的圖形.請你在下面給出的方格紙

中，按下列要求分別畫出一種示意圖（說明：下面給出的方格紙中，每個

小正方形的邊長均為1.拼出的圖形，要求每兩個圖片之間既無縫隙，也

不重疊.畫圖必需保留拼圖的痕跡）

①選取A型、B型兩種圖片各1塊，C型圖片2塊，在下面的圖1

中拼成一個正方形；

②選取A型4塊，B型圖片1塊，C型圖片4塊，在下面的圖2中

拼成一個正方形;

③選取A型3塊，B型圖片1塊，再選取若干塊C型圖片，在下面

的圖3中拼成一個距形.

□□□

ABC

［課后訓練］

一.基礎訓練:

1.（2003?蘭州）通過閱讀所得的啟示來回答問題（閱讀中的結論可以干脆

用）.

閱讀:在直線上有n個不同的點,則此圖中共有多少條線段?

分析:通過畫圖嘗試，得表格

圖形直線上點的個共有線段條兩者關系

數數

21=0+1

AiA21

AIA?A3333=0+1+2

A】A2A3466=0+1+2+3

A4

A】A2A3A451010=0+1+2+3+4

A5

?????????

n{n-1)m〃一1)

A】n

A-jA3A422

A5…An=0+1+2+3…

+ln-l)

問題:某學校初三年級共有8個班進行辯論賽，規定進行單循環賽（每兩

班之間賽一場），問該初三年級的辯論賽共進行多少場次？

2.（05臺州）我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求

積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積.用現代式子表示即為：

忸I2〃①（其中〃、以c為三角形的三邊長，6為

面積）.

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

_______________a+b+c

s=^p（p-a）（p-b）（p-c）...②（其中I"2.

⑴若已知三角形的三邊長分別為5、7、8,試分別運用公式①和公

式②，計算該三角形的面積*；

⑵你能否由公式①推導出公式②？請試試.

3.（04紹興）課本第五冊第65頁有一題：

已知一元二次方程ad-"u+c=0的兩個根滿意k-司=應，且a,

b,c分

是△ABC的/A,ZB,/C的對邊.若a=c,求/B的度數.小敏解得此題

的正確答案“NB=120°”后，思索以下問題，請你幫助解答.

<1）若在原題中，將方程改為口5-Q/"+c=0,要得到NB=120°,

而條件“a=c”不變，那么應對條件中的歸-目的值作怎樣的變

更？并說明理由.

<2）若在原題中，將方程改為辦2-赤/>+。=。（n為正整數，n》2）,

要得到NB=120°,而條件“a=c”不變，那么條件中的歸一百

的值應改為多少（不必說明理由）？

二.拓展訓練：

1.（05佛山）“三等分角”是數學史上一個聞名的問題，但僅用尺規不

行能“三等分角”.下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳

角”的方法（如圖）：將給定的銳角NAOB置于直角坐標系中，邊OB

在X軸上、邊OA與函數)，='的圖象交于點P,以P為圓心、以20P為

x

半徑作弧交圖象于點R.分別過點P和R作1軸和)，軸的平行線，兩直線

相交于點M,連接OM得到NMOB,則NMOB=；/AOB.要明白帕

普斯的方法，請探討以下問題：

(1)設P(。」)、犬仇：)，求直線OM對應的函數表達式(用含“泊的代數

ab

式表示).

(2)分別過點P和R作)，軸和工軸的平行線，兩直線相交于點Q.請說

明Q點在直線OM上，并據此證明NMOB=；/AOB.

(3)應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說

明).

2.(05資陽)閱讀以下短文，然后解決下列問題:

假如一個三角形和一個矩形滿意條件：三角形的一邊與矩形的一邊重

合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為

三角形的“友好矩形”.如圖8①所示，矩形歹即為△力右。的“友好

矩形”.明顯，當是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個.

(1)仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；

(2)如圖8②，若為直角三角形，且2090°,在圖8②中

畫出的全部“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小；

(3)若△力3。是銳角三角形，且3。46月3,在圖8③中畫出△S3。

的全部“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明.

綜合訓練

(時間90分鐘，總分100分)

一.填空(每題3分洪24分)：

1.先閱讀下列⑴題然后解答(2)、(3)題：

(1)用分組分解法分解多項式：nx+ny=(mx+nxj+(my

+加，組內公因式分別為x、y,組間公因式為功+口最終分解結果為：

(m+八)(才+必

(2)也可以這樣分解：277X4-my-\-ny=()4-(),組內

公因式分別為,組間公因式為,最終分解結果為：

(3)上述兩種分組的目的都是_____,分組分解的另一個目的是分組后

能運用公式法分解.請你設計一個關于字母X、y的二次四項式因式分解，

要求要用到分組分解法和完全平方公式：.

2.閱讀下面一題的解題過程，請推斷是否正確，若不正確，請寫出正確的

解答.

已知a為實數，化簡匚舊.

3.閱讀下列證明過程:

已知，如圖1四邊形538中，AB=DC,AC=BD,AD豐BC,

求證：四邊形力是等腰梯形.

圖1

證明：過D作D*〃力B,交BC于E,則2郎=/1①

?「AB=DC,AC=DB,BC=CBy

^ABC^^DCB)②

/.^ABC=Z.DCB③

N1=NDCB@

/.AB=DC=DE⑤

四邊形RBED是平行四邊形⑥

/.AD//BC?

BE=AD⑧

又「ADWBC,：.BE^BC工⑨

點$。是不同的點，DC^AB

又「AB=CD

四邊形相⑵是等腰梯形⑩

讀后完成下列各小題.

(1)證明過程是否有錯誤？如有，錯在第幾步上，答：.

(2)作。E///1B的目的是：.

(3)有人認為第9步是多余的，你的看法呢？為什么？答：

(4)推斷四邊形力B即為平行四邊形的依據是：.

(5)推斷四邊形ABCD是等腰梯形的依據是

(6)若題設中沒有AD手BC,那么四邊形肯定是等腰梯形嗎?

為什么？答==.

4.閱讀下面材料并完成填空.

你能比較兩個數20062。。7和20072。。6的大小嗎？為了解決這個問題,

先把問題一般化，即比較爐+】和（八+1/的大小①>1的整數）.然后，從

分析A=1,n=2,n=3,……,這些簡潔情形入手，從中發覺規律，經

過歸納，猜想出結論.

（1）通過計算，比較下列①?③各組兩個數的大小（在橫線上填

“V”或“=”）

①y21;②2332;③3’43;

@45>54;⑤56>65;⑥67>76；⑦78>87；…

（2）從第⑴小題的結果經過歸納，可以猜想出和S+1『的大小關

系是：_________

⑶依據上面歸納猜想得到的一般結論，可以得到

2OO6200720072006（填“>，，，，<，，或

5.如圖△4BC中,BC=a,

若外片分別是力A4。的中點，則

若。2、毛分別是。出、的中點，則。2石2=泉+/="

，I4/4

若。3、4分別是&C的中點，則。右=3序"+"卜1；

若）、用,分別是2/、的中點，則

D?