1.2重難點題型突破訓練：整式運算及應用

題型分類結構圖（本專題共100題102頁）

題型4:與整式有關的圖形面積問題

整式運算及應用

題型5:未知項（符號）探究

題型6:整式運算的應用

題型7:因式分解的應用

題型1：數字規律探究

典例：（2022?河北石家莊?九年級期中）如圖為2022年10月的日歷表，在其中用一個方框圈出4個數（如

圖中虛框所示），設這4個數從小到大依次為b,c,d.

|2022年v|<|10月v|>

日一二三四五六

1

國慶節

2345678

重陽W.......

9101112;1314;15

16171819;2021；22

23242526272829

3031

⑴若用含有。的式子分別表示出力，c,d,其結果應為：b=；c=；d=

⑵按這種方法所圈出的四個數中，c沿的最人值為;

⑶嘉嘉說：“按這種方法可以圈出四個數，使得從的值為135.”

淇洪說："按這種方法可以圈出四個數，使最小數〃與最大數"的乘積為84.〃

請你運用一元二次方程的相關知識分別說明二人的說法是否正確.

鞏固練習

1.（2022?西藏?中考真題）按一定規律排列的一組數據：y,三親，....則按此規律

排列的第10個數是（）

19-2119?21

AA.-------B.-----C.------D.—

1011018282

2.（2021?廣西百色?二模）將一組數立，2,瓜,2&，M，…,2而，按下列方式進行排列：

夜，2，木，2及，M:

26，屈，4,3夜，2底

若2的位置記為（1,2）,2G的位置記為（2,1）,則/這個數的位置記為（）

A.（5,4）B.（4,4）C.（4,3）D.（3,5）

3.（2022?重慶市第一一。中學校模擬預測）有依次排列的3個整式：x,x+7,%-2,對任意相鄰的兩個

整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：q7,

x+7,-9,%-2,則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類

推.通過實際操作，得出以卜.結論：

①整式串2為：“，7—x,7,x,x+7,—X—16>—9>x+7,x-2；

②整式市3共17個整式；

③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；

④整式串2021的所有整式的和為31-4037；

上述四個結論正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

4.12022?重慶南開中學九年級期中）有依次排列的兩個整式/）,第1次操作后得到整式串〃，〃，8-a；

第2次操作后得到整式串。，h,b-a,-〃；其操作規律為：每次操作增加的項為前兩項的差（后一項一前

一項），下列說法：

①第4次操作后的整式串為“，b,b-a,。，-b-b,a-b；

②第2022次操作后的整式串各項之和為a+b；

③第36次操作增加的項與第63次操作增加的項一定互為相反數.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2022?黑龍江牡丹江?九年級期末）按順序觀察下列五個數-1,5,-7,17,-31.......找出以上數據依次出

現的規律，則第〃個數是.

6.（2022?全國?七年級專題練習）如圖，將正整數按此規律排列成數表，則2022是表中第一行第一列.

1

23

456

78910

1112131415

7.（2022?江蘇?常州市北郊初級中學二模）如圖，?個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直

走5/〃，然后逆時針技動一個角度，每次轉動的角度增加10。.第一次直走后轉動10。，笫二次直.走后

轉動20。，第三次直走5"?后轉動30。，如此下去.那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米.

8.（2022?湖北恩施?九年級期中）我們知道，一元二次方程/=_］沒有實數根，即不存在一個實數的平方等

于-1.若我們規定一個新數。使其滿足『=—1（即方程有一個根為并且進一步規定：一切實數

可以與新數進行四則運算，且原有的運算法則仍然成立，于是有，/=7,1?3=/.

「=（『）2=（一1）2=1，從而對任意正整數〃，我們可以得到嚴=/”.,?=（".‘?="同理可得產2=-1，

嚴+3=T?，嚴=1,那么木2+/+/+.+嚴1+嚴2的值為.

9.（2022?重慶?巴川初級中學校九年級期末）在求兩位數的平方時，可以用〃列豎式”的方法進行速算，求解

過程如圖1所示.仿照圖1,用〃列豎式''的方法計算一個兩位數的平方，過程部分如圖2所示，則

a+t+c+d+e+f+g+h=.

圖1圖2

10.（2022?全國?九年級專題練習）當今大數據時代，"二維碼”具有存儲最大.保密性強、追蹤性高等特點,

它已被廣泛應用于我們的口常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威

力.看似“碼碼相同〃，實則“碼碼不同〃.通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼.根據相關數

學知識，這200個方格可以生成220°個不同的數據二維碼，現有四名網友對22°°的理解如下：

YYDS（永遠的神）：2?⑴就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2（X）］.

JXND（覺醒年代）：220°的個位數字是6；

QG/W（強國有我）:我知道"=1024,10:1000,所以我估計2200比1O60大.

其中對2疑的理解錯誤的網友是（填寫網名字母代號）.

11.（2022?全國?九年級專題練習）將從1開始的連續自然數按以下規律排列：

若有序數對（〃,〃?）表示第〃行，從左到右第m個數，如（3,2）表示6,則表示99的有序數對?是.

12.（2022?內蒙古鄂爾多斯?二模）如圖，下列各正方形中的四個數之間具有相同的規律.根捱此規律，則

第九個圖中的c=.

13.（2022?臺灣?模擬預測）健康生技公司培養綠藻以制作「綠藤粉」，再經過后續的加工步驟，制成綠藻相

關的保健食品.已知該公司制作每1公克的「綠藻粉」需要60億個綠藻細胞.

請根據上述信息回答下列問題，完整寫出你的解題過程并詳細解?釋：

⑴假設在光照充沛的環境下，1個綠藻細胞每20小時可分裂成4個綠藻細胞，且分裂后的細胞亦可繼續分

裂.今從1個綠藻細胞開始培養，若培養期間綠藻細胞皆未死亡且培養環境的光照充沛，經過15天后，共

分裂成4A個綠藻細胞，則A之值為何？

⑵承（1）,已知60億介于2或與嚴之間，請判斷4,個綠藻細胞是否足夠制作8公克的「綠藻粉」？

14.（2022?重慶?三模）對任意一個四位正整數m,如果m的百位數字等于個位數字與十位數字之和，m的

千位數字等于十位數字的2倍與個位數字之和，那么稱這個數m為“筋斗數〃.例如：/n=5321,滿足1+2

=3,2x2+l=5,所以5321是“筋斗數〃.例如：m=8523,滿足2+3=5,但2X2+3=7H8,所以8523不

是“筋斗數〃.

⑴判斷9633和2642是不是“筋斗數〃，并說明理由；

（2）若m是"筋斗數”,且m與是的和能被11整除,求滿足條件筋所有“筋斗數”m.

15.（2022?全國?九年級專題練習）觀察以下等式;

第1個等式：（2xl+l）2=（2x2+l）2—（2x2『，

第2個等式：（2x2+l『=（3x4+l『—（3x4）2,

第3個等式：（2X3+1『=（4X6+1）2—（4x6『，

第4個等式：（2x4+l『=（5x8+1『一（5x8『，

按照以上規律.解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：：

⑵寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

16.（2022?浙江嘉興?九年級專題練習）設方是一個兩位數，其中a是十位上的數字（l<a<9）.例如，當a

=4時，君表示的兩位數是45.

⑴嘗試：

①當。=1時,152=225=1x2x100+25；

②當。=2時,252=625=2x3x100+25；

③當。=3時，352=1225=；

⑵歸納：洲與100。（。+1）+25有怎樣的大小關系？試說明理由.

⑶運用：若君2與100。的差為2525,求a的值.

題型2：圖形規律探究

典例：（2022?湖北宜昌?九年級期末）（1）探究：已知，如圖是一個三角形點陣，從上向下數有無數多行，

其中第一行有一個點，第二行有兩個點…第n行有n個點…容易發現，10是三角形點陣中前4行的點數和.

①求三角形點陣中前10行的點數和；

②若三舛形點陣中前a行的點數之和為300,求a的值；

③三角形點陣中前b行的點數之和是600嗎？（填“能〃或”不能〃）

（2）拓展：若果把（1）的三角形點陣中各行的點數依次換為2,4,6,…，2n,

①求這個三角形點陣中前n行點數和（用含〃的代數式表示）；

②這個三角形點陣中前〃行點數和能是600嗎？若能，求出冷若不能，請說明理由.

鞏固練習

1.（2022?重慶市第七中學校九年級期中）下列圖形都是由同樣大小的黑點按一定的規律組成，其中第①個

圖形中一共有4個黑點，第②個圖形中一共有9個黑點，第③個圖形中一共有14個黑點，…，則第⑩個

圖形中黑點的個數是（）

圖①圖②圖③圖④

A.44B.48C.49D.54

2.（2022?重慶市豐都縣平都中學校九年級期中）觀察下列圖形規律，其中第1個圖形由6個。組成，第2

個圖由14個。組成，第3個圖由24個O組成，……，照此規律下去，則第6個圖由。的個數一共是（)

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOOO

OOO

OOO

OOOOOOOO

圖

國②圖③

A.64B.65C.66D.67

3.（2022?浙江?北大附屬臺州書生學校二模）如圖所示，動點P從第一個數0的位置出發，每次跳動一個單

位長度，第一次跳動一個單位長度到達數1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數2的位置，第三次跳

動一個單位長度到達數3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數4的位置，…，依此規律跳動下去，點P

從0跳動6次到達，的位置，點P從。跳動21次到達鳥的位置，…，點＜、△、B…匕在一條直線上，則點

P從0跳動（）次可到達幾的位置.

A.887B.903C.90D.1024

4.（2022?重慶南開中學九年級期中）用五角星按如圖所示的規律力圖案，其中第①個圖案中有3個五角星,

第②個圖案中有7個五角星，第③個圖案中有12個五角星，第④個圖案中有18個五角星，按此規律排

列下去，則第⑧個圖案中五角星的個數為（）

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆

☆

①②③④

A.42B.52C.56D.63

5.（2022?浙江寧波?九年級專題練習）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME.7）的會徽，主體圖案是由圖

2的一連串直角三角形演化而成，其中OA=A4=44=I=AT4=1,若的值是整數，且

1</1<50,則符合條件的〃有（）

D.4個

6.（2022?青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規律依次擺放，則第〃個圖中共有木料

第4個

7.（2022?甘肅?平涼市第七中學二模）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形邊上，按照這樣的規律

擺下去，則第〃個圖形需要黑色棋子的個數是

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

8.（2022廿肅?嘉峪關市明珠學校一模）如圖，平面直角坐標系xQy內，動點"按圖中箭頭所示方向依次運

動，第1次從點（0，1）運動到點（1，0），第二次運動到點（2,-2）,第3次運動到點（3,0）,…按這樣的運動規律,

動點P第2022次運動到的點的坐標是.

9.（2022?山東棗莊?九年級期中）如下圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，

拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒…若按照這樣的方法拼成的第九個圖形需要

則〃的值為

圖2圖3

10.（2022?黑龍江牡丹江?九年級期中）如圖是由同樣大小的五角星按一定規律組成，其中第①個圖形有2

個五角星，第②個圖形有4個五角星，第③個圖形有8個五角形，第④個圖形有14個五角形，則第10

個圖形有個五角星.

☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆

圖①圖②圖③圖④

11.（2022?寧夏?銀川外國語實驗學校一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OAMC的兩邊

在坐標軸上，以它的對角線。用為邊做正方形。片層G，再以正方形0482c2的對角線為邊做正方形

。&BG......以此類推，則正方形。42042c曲的邊長是

12.（2022?山東?禹城市教育和體育局二模）如圖，圓心都在1軸正半軸上的半圓。一半圓。2,.?.，半圓。。與

分別在邊ARAC.CB上,且四邊形［Q用出為矩形，42：皿=2:3,點6、Q2、七分別在邊

QACQ、、CK上，且四邊形鳥&也用為矩形，6。2：旦"1=2：3,...按此規律操作下去，則線段曲的

長度為.

14.（2022?廣西南寧?九年級期中）如圖，已知點A,4,…，&OX）在函數y=Y位于第二象限的圖象上，

點4，打，…，鳥皿在函數y=f位于第一象限的圖象上，點C-J,…,。202。在丁軸的正半軸上，若四

邊形OAC聲、G&G8；…，。曲/必仁皿力山都是正方形，則正方形GM43cM皿的對角線長為.

OX

15.（2022?安徽?銅陵市第十五中學九年級期中）如圖，用同樣規格黑白亮色的正方形瓷磚鋪設長方形地面,

請觀察下列圖形，并解答有關問題.

■■■

〃=]n=2n=3

⑴在第〃個圖中，第一橫行共有塊瓷磚，第一豎列共有塊瓷磚，鋪設地面所用瓷磚的

總塊數為；（用含〃的式子表示）

（2）上述鋪設方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時〃的值；

⑶黑瓷傳每塊4元，白瓷磚每塊3元，求問題（2）中，共需要多少錢購買瓷石專.

16.（2022?山西忻州?九年級期中）閱讀與思考

方法介紹：

同學們、生活中的很多實際問題，我們往往抽象成數學問題，然后通過數形結合，建立數學模型的方式來

解決.

例如：我校七年級有五個班在落實“雙減”政策，豐富課余生活，每個班只能組建一個球隊，代表該班參加比

賽，每個隊都要和其他各隊比賽一場，問該學校一共要安排多少場比賽？

這是一個實際問題，我們可以在平面內畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），如圖1所示，其中

每個點各代表一個足球隊，兩個隊之間比賽一場就用一條線段把他們連起來，其中連接線段的條數就是安

排比賽的場數、這樣模型就建立起來了，如何解決這個模型呢？由于每個隊都要與其他各隊比賽一場，即

每個點都要與另外4點連接一條線段，這樣5個點應該有5x4=20（條）線段，而每兩個點之間的線段都重

復計算了一次，實際只有10條線段，所以學校一共要安排10場比賽.

圖1圖2

學以致用：

⑴由于七年級學生積極性高漲，還要求再比賽，體育組為了讓更多的同學參加，體現班級的凝聚力，這次

要求每班組建2個球隊，且每個隊與其他各隊比賽一場且本班的兩個球隊也要比賽.學校一共安排20場比

賽，對嗎？請借助圖2直接判斷，若不正確，請直接寫出學校一共安排的場數；

⑵根據規律，直接寫出如果學校準備組織〃個籃球隊參加比賽，每兩個球隊之間都比賽場，產比賽場數用

m袤示,直接寫出m與〃的數量關系式：

（3）D53670是從大同南開往運城北的高鐵，若途中任兩站的距離都不相等，在這趟高鐵中共設有45種不同

的票價，求途中有多少個停車點，

題型3：圖形周長探究問題

典例：（2022?河北唐山?二模）已知甲、乙兩個長方形紙片，其邊長如圖所示（m>0）,面積分別為S甲和S

（1）①用含m的代數式表示,Sz.=.

②用“<〃、"一"或號填空SS乙，

（2）若一個正方形紙片的周長與乙的周長相等，其面積設為SE,

①該正方形的邊長是.（用含m的代數式表示）；

②小方同學發現，“S正與S乙的差是定值〃請判斷小方同學的發現是否正確，并通過計算說明你的理由.

鞏固練習

1.（2022?浙江宇波?九年級專題練習）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊

地放置在矩形A8CO內，其中矩形紙片和止方形紙片的周長相等.并知道圖中陰影部分的面積，則一定能

求出（）

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積C.△8EV的面積D.△AE”的面積

2.（2022?浙江?九年級專題練習）兩張全等的矩形（非正方形）紙片先后按如圖①呈軸對稱方式，按如圖

②呈中心對稱方式放置在同一個正方形中，若知道圖形①與圖形④的面積差，則一定能求出（）

②

A.圖形②與③的面積差B.圖形②與③的周長差

C.圖形②與③的面積和D.圖形②與③的周長和

3.12022?浙江金華?一模）如圖是一個由4張紙片拼成的長方形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中（1）

（2）是兩個面積相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出長方形的面積，則需要知道下列哪個條件（）

A.（1）與（2）的周長之差B.（3）的面積

C.（1）與（3）的面積之差D.長方形的周長

4.（2022?湖北恩施?一模）如圖叫也雪花曲線，它可以從一個等邊三角形（圖①）開始畫：把一個等邊三角

形的每邊分成相同的三段，再在每邊中間一段上向外畫出一個等邊三角形，這樣一來就做成了一個六角星

（圖②）.然后在六角星的各邊上用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，出現了一個有18個尖角的圖

形（圖③）.如此繼續卜.去，就能得到分支越來越多的曲線（圖④）.繼續重災上面的過程，圖形的外邊界

逐漸變得越來越曲折、越來越長、圖案變得越來越細致，越來越復雜，越來越像雪花、越來越美麗了.若

圖①中等邊三角形的邊長為1，則第4個圖形的周長為（）

5.（2022?全國?七年級專題練習）把圖1中周長為16cm的長方形紙片分割成四張大小不等的正方形紙片A、

8、C、。和一張長方形紙片￡,并將它們按圖2的方式放入周長為24cm的的長方形中.設正方形C的邊長

A.正方形C的邊長為1cmB.正方形4的邊長為3cm

C.正方形8的邊長為4cmD.陰影部分的周長為20cm

6.（2022?浙江?寧波市第七中學九年級期中）圖，有三張正方形紜片4B,C,它們的邊長分別為a,b,c,

將三張紙片按圖1,圖2兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖1中陰影部分周長為伍面積為5j,圖2

中陰影部分周長為力面積為S2.若S2-S|=j七4],則〃:c的值為（）

I2,

7.（2022?全國?九年級專題練習）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數:

1,1,2,3,5,8,13,其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.現以這組數中的各個

數作為正方形的邊長構造一組正方形（如圖1）;再分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個拼成如圖2

長方形并記為①，②，③，④若按此規律繼續作長方形，則序號為⑦的長方形周長是（）

8.（2022?遼寧?沈陽市實驗學校九年級期中）長方形的長為必-。，寬長為則這個長方形的周長是

9.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，四邊形A3C。與人EG/均為矩形，點￡尸分別在線段上.若

BE=FD=2cm,矩形AEG/7的周長為20cm,則圖中陰影部分的面積為cm.

10.（2022?北京?九年級單元測試）如圖1,小長方形紙片的長為2,寬為1,將?4張這樣的小長方形按圖2

所示的方式不重疊的放在長方形內，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形4和B,設長方形4和8的

周長分別為C1和G，則C|C2（填">〃、"="或，V）

口

圖1圖2

11.（2022?安徽六安七年級期中）如圖1是長為a,寬為b的小長方形卡片，把六張這樣的小長方形卡片不

重疊地放在一個底面為長方形（長為4,寬為3）的盒子底部（如圖2）,盒子底部未被卡片覆蓋的部分用陰

影表示，則圖2中兩塊陰影部分的周長之和為（填具體數值）

12.（2022?安徽?一模）某校數學小組開展了趣味剪紙活動。

【觀察】如圖，圖①是一塊邊長為周長記為［的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為;〃的

正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉

（2）【實踐】如果?個正三角形紙板面積為6,通過兩次這種方法裁剪，得到最小的正三角形的面積為？

13.（2022?浙江?八年級單元測試）將一根長為（12〃?+9〃-3）cm的鐵絲，剪掉一部分后，剩下部分圍成一個

等腰三角形（接頭部分忽略不計），這個等腰三角形的底為（2根-〃）cm,腰為（〃z+〃）cm.

⑴求剪掉部分的鐵絲長度.

⑵若圍成的等腰三角形的周長為20cm,求鐵絲的長度.

14.（2022?新疆?烏魯木齊市第七十七中學九年級期中）下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規律組

成的，其中第1個圖形的周長為4,第2個圖形的周長為10,第3個圖形的周長為18,......按此規律排列,

回答卜.列問題:

第1個笫2個第3個

(1)第4個圖形的周長為；

(2)第〃個圖形的周長為;

(3)第〃個圖形的周長能否為155?如能求出〃的值，如不能，請說明理由.

15.(2022?河北?順平縣腰山鎮第一初級中學一模)現有甲乙兩個矩形，其邊長如圖所示(a>C),周長分別

為C伊和C乙，面積分別為S伊和5乙.

(1)用含a的代數式表示C甲=；C乙=；S甲=；5乙=.

(2)通過觀察，小明發現“甲、乙兩個矩形的周長相等，與Q值無關“；小亮發現、值越大，甲、乙兩個矩形

的面積之差越大〃.你認為兩位同學的結論都正確嗎？如果不正確，請對錯誤同學的結論說明理由.

題型4：與整式有關的圖形面積問題

典例：(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校八年級期中)如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9

塊，其中有2塊是邊長為。厘米的大正方形，2塊是邊長為b厘米的小正方形，5塊是長為。厘米，寬為b厘

米的相同的小長方形，且〃>人

⑴該大長方形紙板的長為厘米，寬為___________厘米.(用含。、〃的代數式表示)

(2)觀察圖形，可以發現代數式加,+5而+2〃可以因式分解為.

⑶若圖中陰影部分的面積為242平方厘米，大長方形紙板的周長為78厘米，求圖中空白部分的面積.

鞏固練習

1.(2022?湖北武漢?七年級期中)如圖，有足夠多的完全相同的小長方形(圖1)和一個大長方形紙片.小

長方形兩鄰功的長分別記為a,b,杷小長方形紙片不重音的楔放在大長方形W陰影是?小長方形沒有覆蓋

的部分，分別記為S，另.

⑴如圖2,若。=2,b=5,AC=\O,直接寫出S1的面積=,邑的面積=:

⑵如圖2,當48=20,AC=I5時，直接寫出加和S2的周長和是；

⑶如圖3,若大長方形分割為6個小正方形，且中間的最小正方形的邊長是2,分別求大長方形的兩鄰邊

AB,AC的長.

2.（2022?福建省廈門第二中學八年級期中）如圖,4張長為x,寬為y（x＞y）的長方形紙片拼成一個正方形48CD.

⑴當正方形A8CO的周長是正方形由G”周長的3倍時，求4＞，-265的值；

⑵用含X,y的代數式表示圖中所有陰影部分面積的和.

3.（2022?全國?九年級專題練習）"平方差公式〃和"完全平方公式”應用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁

為簡，巧妙解題.請閱讀并解決下列問題：

問題一：（x+y-z）（x-y+z）=（4+8）（4-8）,

（1）則A=,B=；

（2）計算：（2a+"3）（2a+b-3）.

問題二：已知V十丁=（犬+）,）2一戶=（工一）,）2+0，

（1）則2=，Q=：

（2）已知長和寬分別為〃，〃的長方形，它的周長為14,面積為10,如圖所示，求/+/+〃〃的值.

4.（2022?湖南?醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）從前，有一位莊園主把一塊邊長為m米（相＞5）

的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加5米，相鄰的另一邊減少

5米，變成長方形土地繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？〃.如果這樣，你覺得張老漢的

租地面積會（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

5.（2022?廣東?江門市新會尚雅學校八年級期中）已知長方形的面積為6a2+18"，長為為,則該長方形的

周長為.

【答案】10a+12bltH12b+10a

6.（2022?山東青島?七年級期中）如圖，將兩張邊長分別為5和4的正方形紙片分別按圖①和圖②兩種方式

放置在長方形內（圖①和圖②中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰

影表示.若長方形中邊A/L力。的長度分別為〃?，〃.設圖①中陰影部分面積為加，圖②中陰影部分面

積為邑，當〃?-〃=5時，S-S?的值為.

7.（2022?山東?濟南市歷城區教育教學研究中心七年級期中）為「提高居H的宜居環境，某小區規劃修建一

個廣場（平面圖如圖中陰影部分所示）.

⑴用含m,〃的式子表示廣場（陰影部分）的周長C和面積S；

⑵若帆=30米，〃=20米，修建每平方米需費用200元，求修建廣場的總費用W的值.

8.（2022?貴州六盤水?中考真題）如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為。，〃的正方形秧田A,B,

其中不能使用的面枳為

（1）用含“，M的代數式表示A中能使用的面積:

⑵若a+〃=IO,a-b=5,求A比A多出的使用面積.

9.（2022?陜西咸陽?七年級期中）如圖，為了美化小區環境，某小區在一塊長方形空地的兩角修建扇形花園，

然后在中間修建一條寬為二。米的小路，剩下的部分修建成草坪，已知空地的長為。米，寬為5米，扇形花

園半徑為,米.

⑴花園的面積為，小路的面積為；（用含。，b,r的代數式表示，結果保留兀〉

⑵用含。、b、r的代數式表示草坪的面積；

⑶當a=8,b=l,r=3時，求草坪的面積.（冗取3.14,結果精確到1平方米）

10.（2022?廣東?廣州大學附屬中學七年級期中）由兩塊ax力的長方形和一塊邊長為。的正方形拼成如下圖

圖3

（1）如圖1,用含。、b、。的式子表示出該圖形的面積（直接寫出結果）

（2）已知/>=1,c=3.

①如圖2,分別用兩種不同的方式連接圖形中的二個頂點，得到如圖所示的兩個陰影三角形，這兩個陰影

三角形的面積分別記作5,和邑,試通過計算比較5,與S2的大小關系；

②如圖3,。是邊長為。的正方形48co邊8c上一個點，M、N是圖形上如圖所示的兩個頂點，點。為

線段OP上一動點，當三角形M/VQ的面積不隨點Q位置變化而變化，求所的長度.（用含〃的式子表示）

11.（2022?河南省鶴壁市淇濱區鹿鳴中學七年級期中）如圖，長為60cm,寬為x（cm）的大長方形被分割

為7小塊,除陰影4、8外，其余5塊是形狀大小完全相同的小長方形，其中小長方形的較短一邊長度為10cm.

B

__________x（cm）

A

|----------?-60cm-<---------1

⑴從圖可知，每塊小長方形的較長的一邊長度是cm.

⑵代數式x-3（）,x-40中，哪一個代數式的值為正數？（填“x-30〃或"X-40"）

⑶請你先用含x的代數式表示陰影4B的面積，并說明：陰影4的面積一定比陰影8的面積大300cm2.

12.（2022?江蘇徐州?七年級期中）將5張相同的小長方形紙片［如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的

放在長方形A8CO內，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為S和其已知小長方形紙片的

長為。，寬為b,且

（1）當。=7,b=2,4）=15時，長方形A8CO的面積是,$-邑的值為:

（2）當AO=2（）時，請用含。、b的式子表示S「SZ的值；

⑶若AB長度為定值，4。的長度不確定，將這5張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形A8CO

內.當4。的長度改變時（AQ>“），E-S?的值總保持不變，則。、b滿足的什么關系？

13.（2022?福建泉州?八年級期中）波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方

法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關系”，這就是“算兩次”原理，也稱富比尼（G?B加川）原理.例

如：計算如圖1中正方形ABCD的面積，可以是（。+〃）2,也可把圖1中正方形ABC。看做是由2個長方形和2

個小正方形組成的，則它的面積是4+2帥+從，由此得到：6+。尸=/+2帥+火

（1）如圖2,正方形A8CO是由四個邊長分別是。、〃的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對

圖2中正方形48co的面積進行計算，可得等式；（用含。、〃的代數式表示）

（2）已知：兩數工、>滿足x+y=5,xy=3,求大一）,的值；

⑶如圖3,正方形A3CO的邊長是c,它由四個直角邊長分別是〃、6的直角三角形和中間一個小正方形組

成，對圖3中正方形48co的面積進行計算，可得等式（用含〃、b、。的代數式表示，結果盡可能

化簡，不帶括號）；

13

⑷在（3）的條件下，當/=3x,〃=工），時，c=4；當〃2=彳工，/=2），時，c=3,求工、》的值.

14.（2022?陜西漢中?七年級期末）某村小麥種植面積是a公頃.水稻種植面積比小麥種植面積的3倍少5

公頃，玉米種植面積比小麥種植面積的2倍多8公頃.

（1）水稻的種植面積為公頃（用含a的代數式表示）；

⑵水稻的種植面積比玉米的種植面積多公頃（用含。的代數式表示）；

⑶求該村種植小麥、水稻和玉米三種農作物的總面積（單位：公頃）（用含。的代數式表示），當a=60時，

求該村種植這三種農作物的總面積

15.（2022?湖北隨州?九年級專題練習）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的?部不朽著作，是數學發展

史的一個里程碑.在該書的第2幕“幾何與代數"部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾

何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中.

⑴我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面

各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）

公式①：(a+b+c)d=ad+hd+cd

公式②：(a+0)(c+c/)=ac+ad+bc+bd

公式③：（a-Z?）--cr-2ab+b2

公式④：（?+b）2=a2+lab+b2

圖1對應公式，圖2對應公式，圖3對應公式,圖4對應公式：

（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式〃）=/-//的方法，如圖5,請寫出

證明過程：（已知圖中各四邊形均為矩形）

圖5

⑶如圖6,在等腰直角三角形ABC中，/而C=90。，。為8c的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重

合），過點E作EGLBC于點、G,作EH±ADF點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F.記A8FG與ACEG

的面積之和為S-△A8D與AAEH的面枳之和為

①若E為邊人?的中點，則務的值為;

②若E不為邊4C的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理

由.

題型5：未知項（符號）探究

典例：（2022?河北?唐山市路北區教育局中教研二模）在化簡+-4（〃7，-〃皿）*2〃〃?題目中：團表示

+,x,+四個運算符號中的某一個.

（1）若圖表示一，請化簡3（〃「〃+〃?〃）-4

（2）當〃?=-2,〃=1時,3（"，〃+〃"?）-4（切%-〃”?'2/〃〃的值為12,請推算出團所表示的符號.

鞏固練習

1.（2022?河北?九年級專題練習）在計算題日："已知："=3/_4丹24=?，求2加一汽〃時，嘉淇把"2"-"〃

看成“M-2N〃，得到的計算結果是-/+4］一4.

⑴求整式N；

(2)判斷2M-N的化簡結果是否能為負數，并說明理由.

2.(2022?河北?大名縣束館鎮束館中學三模)嘉嘉準備完成題目：

化簡式3^+口=0001+3/-15).

她發現"口''內的系數與“<>〃內的運算符號印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“<>”是+,一中的某一個.

(1)若“口"內為2,"<>〃內為+,請化簡原式；

(2)在(1)的情況下，是否存在實數X,使原式的值為-45?如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明

理由；

⑶若不論x取何實數，原式的值都是一個固定的常數，請直接寫出原題中〃口”內的數、"O內的運算符號

以及原式的值.

3.(2022?河北保定?二模)已知兩個整式A=d+%,B=.x+1,其中系數■被污染.

⑴若■是2,化簡4一8；

⑵若x=l時，4-8的值為2.說明原題中■是幾？

4.(2022?全國?七年級單元測試)某教輔書中一道整式運算的參考答案污損看不清了，形式如下：

解：原式=?+2(3)，2-2力

=-11x4-8y.

⑴求污損部分的整式；

(2)當x=2.y=-3時，求污損部分整式的值.

5.(2022?江蘇?七年級專題練習)已知整式(/-2而)-(癡〃-破)，其中〃■〃處的系數被墨水污染了.當。=-2,

6=1時，該整式的值為16.

(1)則■所表示的數字是多少？

(2)小紅說該代數式的值是非負數，你認為小紅的說法對嗎？說明理由.

6.(2022?江蘇?七年級專題練習)已知：整式A=(2x-3)+(3x+5).

⑴化簡整式A；

(2)若24+8=5x+6,

①求整式8：

②在"A8"的"口"內，填入"+，-，x,+〃中的一個運算符號，經過計算發現，結果是不含一次項的整式，

請你寫出一個符合要求的算式，并計算出結果.

7.(2022?河北唐山?一模)己知整式A=V+2x，+其中8的一次項系數被污染.

⑴若■是一2,化簡A-B；

（2）當x=2時，4+4的值為18

①求原題中■是幾：

②若再添加一個常數。，使得4B,。的和不為負數，求Q的最小值.

題型6：整式運算的應用

典例：（2022?四川?成都外國語學校七年級期中）閱讀下列材料，解答下列問題：

例：若x滿足（80-”（工一60）=3（）,求（80-耳2+（工一60）2的值.

解：設80—x=a,x—60=2,則（80一力（工一60）=劭=3。，〃+〃=（80—工）+（工-60）=20.

???（80-x）2+（x-60『=/+/=,+_2ab=202-2x30=340.

上述解題過程中，把某個式子看成一個整體，用一個變量來代替它，從而使問題得到簡化，用到的是“整體

思想整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你運用這種方法解答卜列問題：

⑴若x滿足（30—x）（x—20）=—10,求（30—x『+（x—20）2的值.

⑵若x滿足（2021-工）2+（2019-xf=4038,求（2021-x）（2019-x）的值.

鞏固練習

L（2022?陜西漢中?七年級期末）某中學某班在一次數學興趣活動中要分為四個組，已知第二組人數比第一

3

組人數的1少S人，第三組人數比第一組與第二組人數的總和少15人，第四組人數與第一組人數的2倍的

和是34.若設第一組有x人.

⑴用含x的式子表示第二、三、四組的人數，把答案填在如表相應的位置：

第一組第二組第三組第四組

X

⑵用含x的式子表示該班的總人數，并計算當x的值為12時，該班的總人數.

2.（2022?廣西?貴城鎮第一初級中學七年級期中）已知一個三角形的第一條邊長為3a+b,第二條邊比第一

條邊短2a-匕，第三條邊是第二條邊長的2倍還多a-

⑴用含〃力的式子表示這個三角形的周長，并化簡；

⑵若〃力滿足k-5|+S-2）=0,求出這個三角形的周長.

3.（2022?山西?壽陽縣教研室七年級期中）如圖，一扇窗.戶，窗框為鋁合金材料，下面是由兩個大小相等的

長方形窗框構成，上面是由三個大小相等的扇形組成的半圓窗框構成，窗戶半圓部分和兩個長方形部分都

安裝透明玻璃（計算結果保留71，長度單位為米）.

⑴一扇這樣窗戶一共需要鋁合金多少米？（用含X，）'的代數式表示）

⑵一扇這樣窗戶一共需要玻璃多少平方米（鋁合金窗框寬度忽略不計）？