專題14.2全等三角形的判定【八大題型】

【滬科版】

?題型梳理

【題型1全等三角形的判定條件】.......................................................................1

【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】......................................................5

【題型3運用全等三角形證明線段相等或角相等】......................................................9

【題型4運用全等三角形證明線段間的位置關系】......................................................13

【題型5運用全等三角形解決實際測最問題】..........................................................17

【題型6作輔助線構造全等三角形證明線段間的和差倍分關系】.......................................21

【題型7與三角形全等有關的動點探究題】............................................................25

【題型8與三角形全等有關的線段或角之間的規律的探究題】.........................................31

?舉一反三

【知識點全等三角形的判定】

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對應相等的兩個三角形全等

(SSS)

邊角邊兩邊和它們的夾角對應相等的兩個

(SAS)三角形全等

角邊角兩角和它們的夾邊對應相等的兩個

(ASA)三角形全等

角角邊兩個角和其中一個角的對邊對應相

(AAS)等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對應相等的兩個

(HL)直角三角形全等/4

【題型1全等三角形的判定條件】

【例1】(2023春?廣東深圳?八年級校聯考期中)如圖，在△4BC和△84。中，zC=ZD=90°.在以下條件:

①AC=BD；?AD=BC；?/.BAC=AABD；?^ABC=Z.BADx⑤4C4Q=4D8C中，再選一個條件，就

能使三△BAD,共有()選擇.

A.2種B.3種C.4利?D.5科,

【答案】C

【分析】先得到4C=匕。=90。，若添加力C=8。，則可根據“HI”判斷△ABC三△ZMD；若添加8C=A0,

則可根據"HL”判斷△力BC三△84D；于是=8D,然后利用前面的結論可得到△/B3△8/W；若添力口(M=

OB,貝此ABC=LBAD,于是可利舟'AAS”判斷△ABC=△BAD；若添加NB4c=乙ABD,則可直接利用“AAS”

判斷△ABC三△BAD.

【詳解】解：AC1BC,AD1BD,AzC=ZD=90°,

在RtZkABC和RtZkB力。中，

(AC=BD

lAB=BA'

4。(HL),所以(1)正確：

*：AC1BC,AD1BD,

???“=〃)=90。，

在Rt△IBC和Rt△BAD中，

(AC=BD

lAB=BA'

ARtA/lFC^RtAS/1D(HL),所以(2)正確；

*：OA=OB,

J.LABC=乙BAD,

^EAABC^UAB/O中，

(LC=ZD

\AABC=乙BAD,

(AB=BA

???AA8CWA84D(AAS),所以(4)正確;

在小BC和△BAD中，

(zC=zD

UBAC=乙ABD,

(AB=BA

：,LABC=△F/1D(AAS),所以(3)正確;

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【變式1?1】(2023春?廣東佛山.八年級校考期中)如圖，點。在AB上，點E在47上，且乙請結合

圖形，補充1個條件，使△ABE絲△4CD,則可以添加的條件是__________.

B

【分析】根據已知條件推出兩組相等的角，再根據判定方法添加條件即可.

【詳解】解：由題意，zF=zC,=

若添加條件48=AC,可根據“ASA”證明全等，

故答案為：AB=AC（答案不唯一，合理即可）.

【點睛】本題考查全等三角形判定條件的確定，掌握判斷全等三角形的方法是解題關鍵.

【變式1-2］（2023春?湖南長沙?八年級校聯考期末）在ZMBE與AD8C中，BC=BE,AB=DB,要使這兩

個三角形全等，還需具備的條件是（）

A.ZF=Z.CB.Z,ABD=Z.CBEC.乙ABE二乙DBED.Z.A=ZD

【答案】B

【分析】本題要判定△A8E三ADBC,已知BC=BE,AB=08,具備了兩組邊對應相等，故添加乙18。=乙CBE

后可根據SAS判定兩三角形全等.

【詳解】解：A.添加乙E=4C,結合BC=BE,AB=DB,根據SSA不能證明△4BEDBC,故選項A不

符合題意；

B.添力UN/1BO=Z.CBE.

*：LABD=Z.CBE

：.LABD+Z.DCE=Z.CBE+乙DCE,即N/BE=乙CBD

?:BC=BE,AB=DB,

:.AABE=△DBC

故選項B符合題意：

C.添加乙4BE=iDBE不能得出乙＜8。=乙CBE,故不能根據SAS判定△ABEWADBC,故選項C不符合題意;

此時交點C.是唯一的，

故甲添加8C=B'C=3cm時,A/IBC與△CB'C'全等,

故甲獲勝，故本說法正確；

③若第2輪乙添加條件修改為匕4=乙A=90。，

若第3輪甲添加一邊相等，可根據邊角邊或斜邊直角邊判定△力BC與全等，則乙獲勝.

若第3輪甲添加一角相等，可根據角角邊或角邊角判定△48C與全等，則乙獲勝，

故乙必勝，故本說法正確；

④若第2輪乙添加條件修改為BC=B'C=3cm,

第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定A48C與夕C'全等，則乙獲勝；

甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定△4BC與夕U全等，

第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△4BC與夕L全等，則乙獲勝；乙若添加一組角相

等,滿足角角邊（或角邊角），能判定△力夙?與△4夕U全等，則甲獲勝，

此時此游戲4輪能分勝負，故本說法正確.

故答案為：②③④

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】

【例2】（2023春?廣東清遠?八年級統考期末）如圖，△ABC的高8。與CE相交于點。，OD=OE,A。的延

長線交于點M,請你寫出圖中三對全等的直角三角形，并選擇其中一對全等三角形進行證明.

【答案】圖中全等的直角三角形有：△A。。三△力E。，ADOOEOB,ACOMWABOM,^ACM=^ABM,

^ADB^^AEC,ABCE亙ACBD,證明見解析

【分析】結合已知條件與三角形全等的判定方法證明即可.

【詳解】解：△A。。三△AEO,△DOE△EOB,△COM三△BOM,△ACM=△ABM,△ADB=△AEC,△BCEw△

CBD.

理由如下：

在A4D。與△4E。中，/-ADO=Z-AEO=90°,

(OA=OA

S。=OE'

.\A/1D0=A/1E0(HL),

：.z.DAO=Z.EAO,AD=AE,

在

(Z.ODC=乙OEB=90°

OD=OE

(Z.DOC=Z.EOB

???△DOCwZiEOB(ASA),

:.DC=EB,OC=OB,

：.DC+AD=EB+AE,即AC=48,

'：LDAO=Z.EAO,

：,AM1BC,CM=BM.

在ACOM與△BOM中，Z.OMC=LOMB=90°,

(OC=OB

lOM=OM'

???ACOM三△80M(HL).

在△ACM與△ABM中，Z.AMC=LAMB=90°,

(AC=AB

blM=AM'

在小。B與MEC中,

AD=AE

乙DAB=Z.EAC?

.AB=AC

AA/1DB^A/1EC(SAS).

在△BCE與△CBD中，LBEC=LCDB=90°,

BC=CB

BE=CD

???ABC￡W2\C8O(HL).

綜?上所述，圖中全等的直角三角形有：△ADO^△AEO.△DOgAEOB,△COM三△BOM,△ACM=△ABM,

^ADB=^AEC,△BCE^△CBD(任選三對即可).

【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定兩個直角三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有

邊的參與，若有兩邊一角對應相等時.，角必須是兩邊的夾角.

【變式2-1](2023?云南?模擬預測)如圖，點E在人8上，NA=N8=NCEO=90。，CE=ED.求證：

△ACE@ABED.

【答案】見解析

【分析】通過余角的性質可得NC=NOEB,再用AAS證明三角形全等即可.

【詳解】證明：???/A=NB=/CEO=90。，

.*.ZC+ZCEA=90°,NCEA+NDEB=9()°,

：.ZC=ZDEB,

在△人。￡和4BED中,

(LA=ZF

VjzC=乙DEB,

(CE=ED

???△ACE/△BE。(AAS).

【點睛】本題主要考查了用AAS或ASA證明三角形全等，通過余角的性質得到NC=NOEB是解題的關鍵.

【變式2-2](2023?福建泉州?統考一模)如圖，在EM8C0中，延長邊04至點E,使得AE=40,連接CE■交AB

于點尸，求證：XAEF與&BCF.

【答案】見解析

【分析】首先根據平行四邊形的性質得到為Oil8C,AD=BC,進而得到乙E二然后證明△4￡尸三^

BCF（AAS）即可.

【詳解】在團ABCD中，-：ADIIBC,AD=BC,

：,^E=^BCF,

9：AE=AD,

*,AE=BC,

在AAE尸與ABCF中，

LE=乙BCF

Z.AFE=Z.CFB

.AE=BC

：.LAEF三ABC/^AAS）.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

【變式2-3]（2023春?全國?八年級期中）如圖，AB//CD,ZD=ZD,O是CD的中點，連接AO并延長，

交BC的延長線于點E.

（1）試判斷AD與RE有怎樣的位置關系，并說明理由；

【答案】⑴AD//BE,理由見解析；⑵見解析.

【分析】（1）由AB//CD可得NB=NDCE,進而可得NDCE=/D,問題得證；

（2）由O是CD的中點，可得DO=CO,結合（1）中NDCE=/D,再結合對頂角，可根據ASA判定全等.

【詳解】（1）AD//BE,

理由：VAB//CD,

AZB=ZDCE,

VZB=ZD,

AZDCE=ZD,

AAD//BE；

(2)???0是CD的中點,

ADO=CO,

在AADO和△ECO中,

LD=LDCE

DO=CO

LAOD=乙COE

/.△AOD^AEOC(ASA).

【點睛】本題主要考查了全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【題型3運用全等三角形證明線段相等或角相等】

【例3】(2023春?湖南株洲?八年級校考期中)如圖，AD=CB,AB=CD,BELAC,垂足為E,DFLAC,

垂足為￡求證：

=△CDA,

(2)BE=DF.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

【分析】(1)直接用SSS即可證明△力8c三△CDA；

(2)由△48C三△GZ4,可得出乙4C8=4。力。，^BE1AC,DF1AC,

可得出/BEC=4DE4=90。，由AAS即可得出△AFD三ZiCEB,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：在△4BC和△C7Z4中

(AD=CB

\AB=CD

(AC=CA

：.LABC^^CDA(SSS)

(2)???△ABC三△CZM,

：.LACB="AC,

BELAC,DFLAC,

:.乙BEC=^DFA=90°,

在A”0和△CE8中,

(Z.DEA=乙BEC

^DAF=BCE，

(DA=BC

.\LAFD三△CEB(AAS),

：,BE=DF.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，靈活運用各種方法進行判定三角形全等是解題的關鍵.

【變式3-1](2023春?四川南充?八年級統考期中)己知△/1用V和△ACM的位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,

BD=CE.

(1)求證：Z1=Z2：

(2)求證：ZAME=ZAND.

【答案】（I）見詳解；（2）見詳解.

【分析】（1）利用SSS證明△A8O且Z\AC￡即可得出結論;

（2）利用ASA證明△即可■得出結論.

【詳解】證明（1）：A8=AC,AD=AE,BD=CE

?MABD%AACESSS）

AZ1=Z2

（2\：^ABD^^ACE

???NADB=NAEC

/.1800-Z：ADB=1800-Z1AEC

即NAON=NAEM

又NQAE=NQA￡,AD=AE

：./\ADN^AAEM（ASA）

AAME=ZAND

【點睛】本題考查「全等三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

【變式3-2](2023春?山東威海?八年級統考期中)如圖，AD=AC,AB=AEt^DAB=Z.CAE.

(I)寫出△ADE^^4cB全等的理由；

(2)判斷線段。尸與CF的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵DF=CF,理由見解析

【分析】(1)由乙=得出乙04￡=乙&48,再根據S4S判斷△4OE與△4C8全等即可；

(2)由AAOB與△ACE全等得出。8=乙FDB=AFCE,判斷△08尸與△ECF全等，最后兩J用全等三角形

的性質可得.

【詳解】(1)全等，理由如下：

\,z.DAB=Z.CAE,

：,^DAE=Z.CAB,

在公力。￡與4力(78中

(AD=AC

l^DAE=乙CAB

IAB=AE

：,LADE三AACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下：

在ZMDB與△力CE中

(AD=AC

\^-DAB=^CAE,

(AB=AE

：.LADB^LACE(SAS),

：.ADBA=^CEA,

'：LADE^^ACB,

：.Z.ABC=Z.AED,

，乙DBF=^CEF,

在小。8?與4￡7:?中

（/.DFB=Z.CFE

1/.DBF=乙CEF,

（DB=EC

:MDBF"CEF（AAS）,

：.DF=CF.

【點睛】本題考行了全等三角形的判定和性質的應用，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，

此題比較典型.

【變式3-3］（2023?陜西西安?八年級校考開學考試）如圖，在中，力8=4C,點。在邊上，點E在71C

邊上，連接40、DE,若AD=DE,AC=CD.

（I）求證：△/B。三△OCE.

（2）若BD=3,CD=5,求AE的長.

【答案】（1）見解析；（2）2

【分析】（1〉未艮據40=OE,AC=CDnf^l：/.DAE=ADEA./.DAC=/.ADC,繼而推出/4E0=N/OC,

領補角相等，則=結合已知條件，利用“角角邊”證明三角形全等即可；

（2）根據（1）的結論可知：七^二⑶以則/^二力0一小^即可求得

【詳解】（1）4。=DE

???LDAE=Z.DEA

???AC=CD

???LDAC=4ADC

???LAED=Z.ADC

二180°-Z.AED=180°-乙ADC

即：^LADB=/.DEC

vAB=AC,AC=CD

???LB—乙C,AB=CD

在小8。和△/)(?￡中

?ADB=乙DEC

乙B=KC

(AB=DC

???△ABD"DCE(AAS)

(2)v△ABDDCE,BD=3,CD=5,

:.CE=BD=3.

???AC=AB

:.AC=5

AE=AC-CE=S-3=2

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，證明乙4)8="EC是解題的關鍵.

【題型4運用全等三角形證明線段間的位置關系】

【例4】(2023春?云南紅河?八年級校考期中)如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，E為AD上一點,已知

Z1=Z2,Z3=Z4.求證：AD1BC.

【答案】證明見解析.

【分析】在△48E和AACE中，由AAS判定再根據全等三角對應邊相等的性質，得到力B=

AC,繼而可以證明△4BD三△4CD(S4S),根據全等三角形對應角相等的性質得到-1D8=最后由

平角的定義解題即可.

【詳解】證明：證明：在△4BE和AACE中，

(Z1=42

Z3=Z4

\AE=AE

：.AABEW△力CE(7L4S),

*?AB=AC,

V在△A80和△ACD中,

(AB=AC

zl=Z2

\AD=AD

，△4BD會△ACD(S4S),

：,z.ADB=Z-ADC

*：Z.ADB+^.ADC=180°,

：.LADB=90°,

I.AD1BC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

【變式4-1]（2023春?江蘇南京?八年級期中）如圖，在平行四邊形4BCO中，E,尸是對角線AC上兩點,

且/尸=CE,連接BE,DF,求證：BE||DF.

【答案】見解析

【分析】證明：根據平行四邊形ABCD,可以證明4ADF9ACBE,從而得NAFO=NCEB,所以NDFC=NBEA,

由平行線的性質，即可得到。尸瓦

【詳解】證明：???平行四邊形ABC/）,

:.AD//BC,

/.NDAF二NBCE

在AA。/和△8CE中,

AD=CB

{Z.DAF=Z.BCE,

AF=CE

:?2ADF學4CBE,

???NAFD=/CEB

:?/DFC=4BEA,

：.DF//BE.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題關鍵

是熟悉并靈活應用以上性質解題.

【變式4-2]（2023春?江西宜春?八年級校考期中）如圖，已知力D平分且乙1二乙2.

（I）求證：BD=CD；

⑵判斷與8C的位置關系，并說明理由.

【答案】（1）證明過程見詳解

（2MD1BC,理由見詳解

【分析】（1）根據"角角邊''證明△48。三△4CD（AAS）,由此即可求解.；

（2）由（1）可知△ABC是等腰三侑形，再根據等腰三角形“三線合一”即可求解.

【詳解】（1）解：:人。平分NBAC,

：,LBAD=Z.CAD,

在AABD,^4co中，

（Z.BAD=Z.CAD

Z1=Z2,

（AD=AD

AAABD三△ACD（AAS）,

:.BD=CD.

（2）解；AD1BC,理由如下,

如圖所示，延長力。交于點E,

.*.AB=AC,

???AABC是等腰三角形，

?ZD平分484C,

.\AD1BC.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定，性質，等腰

三角形的性質是解題的關鍵.

【變式4-3X2023春?山東臨沂?八年級統考期末）如圖，在△ABC和AADE中,4B4C=Z-DAE=90。,48=AC,

AD=AE,連接CD,C、D、E三點在同一條直線上，連接BD,BE.

（2）判斷8D與CE的位置關系并說明理由.

【答案】⑴見解析

（2）FD1CE,見解析

【分析】（1）由“SAS”可證△840三△口!￡1,可得結論；

（2）由全等三角形的性質可得44cE=由三角形內角和定理可求解.

【詳解】（1）證明：=Z.DAE=90°,

：.LBAC+LCAD=LDAE4-/,CAD,RflzBAD=Z.CAE,

AB=AC

在乙C4E中，^BAD=Z.CAE,

AD=AE

：.LBAD三△C4E(SAS),

，BD=CE；

(2)解：BD1CE,理由如下：

如圖，設AC與BO于G,

ABAD三AC4E,

：.z-ACE=乙ABD,

\^AGB=/.CGD,ABAC=90°,

J.Z.CDG=90°,

：,BD1CE.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形口勺性質，掌握全等三角形的判定是本題的關

鍵.

【題型5運用全等三角形解決實際測量問題】

【例5】（2023春?八年級單元測試）如圖，某市新開發了一個旅游區，有一?湖心島C,需測算景點A,B與C處

的距離，請你設計一個方法，測量4C,BC的長度，并說明理由.

----------------?B

【答案】見解析

【分析】過點A作NB4M=乙區40過點3作乙48N=4ABC,AM,8N交于點。，測量49,8。的長度即可.

【詳解】解：過點4作ZJMM=過點8作4力8N=448C,AM,BN交于短D,測量4。,80的長度即

可，

理由：yZ.BAM=ABAC,乙ABN=^ABC,AB=AB,

.\LABD三△力BC(ASA),

【點睛】此題考查了全等三角形的應用，正確理解題意作出全等的三角形是解題的關鍵.

【變式5-1]（2023春?河南信陽?八年級統考期中）某建筑測量隊為了測量?棟居民樓ED的高度，在大樹

AB與居民樓ED之間的地面上選了一點C,使B,C,D在一直線上，測得大樹頂端A的視線AC與居民

樓頂端E的視線EC的夾角為90。，若AB=CD=12米，BD=64米，請計算出該居民樓ED的高度.

田

田

田

【答案】52米

【分析】先根據大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90。以及AB=CD可以推出

AABC^ACDE,從而得到坑）=BC,進而計算出8c即可.

【詳解】解：由題意可知：LB=Z.CDE=LACE=90°,

???/.ACB+乙DCE=180°-90°=90。，

乙ACB+ABAC=90°,

Z.ACB+Z.DCE=Z.ACB+Z.BAC,

:.Z.DCE=Z.BAC,

在NA8C和4cOE中，

（Z.BAC=Z.DCE

jLB=Z.CDE,

（AB=CD

AABC^ACDE,

???ED=BC,

又?■?CD=12米，BD=64米,

BC=BD-CD=64-12=52米，

ED=52米，

答：該居民樓ED的高度為52米.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明AABCgACDE是解題的關鍵.

【變式5-2］（2023春?八年級單元測試）如圖，某校學生為測量點8到河對面的目標4之間的距離，他們在點

B同側選擇了一點C,測得乙八8。二70。，^ACB=40°,然后在M處立了標桿，使乙C8M=70。，為了測量人

B之間的距離，他們應該（）

A.直接測量BM的長B.測量BC的長

C.測量乙4的度數D.先作NBCN=40。，交BM于點N,再測量8N的長

【答案】D

【分析】根據全等三角形的判定及性質解答即可

【詳解】解：為了測量4,B之間的距離，他們應該先作ZBCN=40。，交8M于點N,再測量BN的長,

理由：Vz.BC/V=40°,乙4cB=40°,

:,乙BCN=Z.ACB,

?；“BM=/.ABC=70°,BC=BC,

：.4BCN三ABC力（ASA）,

:.BN=AB,

故迄D

A

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

【變式5-3]（2023春?全國?八年級專題練習）某同學根據數學知識原理制作了如圖所示的一個測量工具一

拐尺，其中O為AB的中點《慶_1人8,13口，人13?人=134現要測量一透明隔離房間的深度,如何使用此測量工具,

說明理由.

C

,n隔離房

D

【答案】理由見解析.

【分析】使AC與房間內壁在一條直線上，且C與一端點接觸，然后人在BD的延長線上移動至F,使F、O、

E三點正好在一條直線上，記下F點，這時量出DF長，即為房間深度CE.通過證△EAOgZxFBO,可得

BF=AE,則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

【詳解】解：如圖，使AC與房間內壁在一條直線上，且C與一端點接觸，然后人在BD的延長線上移動至F,使

F.O,E三點正好在一條直線上，記下F點，這時量出DF長,即為房間深度CE.理由如下:由

ZA=ZB=90°,OA=OB,ZEOA=ZFOB,

/.△EAO^AFBO,

得BF=AE,

則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

E

IC

B~T~A

；O

nu;

VF

【點睛】本題考核知識點：全等三角形判定的應用.解題關鍵點：構造全等三角形.

【題型6作輔助線構造全等三角形證明線段間的和差倍分關系】

【例6】（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，在△48。中，乙8=60。，的角平分線力0、CE相交于點

O,求證：AE+CD=AC.

【答案】證明見解析

【分析】根據三角形內角和定理和角平分線的定義，得到乙4。。=120°,/.AOE=乙COD=60°,在4C上截

取71尸=AE,連接OF,分別證明以AOE三△AOF(SAS),△COD與△COF(ASA),得到CD=CF,即可證明結

論.

【詳解】證明：v=60%

???Z.BAC+/-ACB=180°一乙B=120°,

???AD.CE分別平分N84C、4力CB,

11

WAC-^.OAB--^-BAC,40cA-^OCB--^.ACB,

22

Z.OAC+Z-OCA=^Z.BAC+^Z.ACB=^BAC+Z-ACB)=60°,

??.Z.AOC=120°,

:*Z.AOE=乙COD=180°-LAOC=60°,

如圖，在AC上截取AF=AE,連接OF,

在AAOE和Zi/lO/中，

(AE=AF

1/.0AE=Z-OAF,

(AO=AO

???△ROE三△力。尸(SAS),

:.Z.AOE=LAOF=60°,

???Z.COF=Z.AOC-Z.AOF=120°-60°=60°,

???/.COD=60°,

???乙COD=Z.COF,

在ACOD和△CO尸中，

(Z.0CD=Z.OCF

CO=CO，

(〃OD=Z.COF

???△COO三△COF(ASA),

ACD=CF,

vAF=AE,

:.AF+CF=AE+CD=AC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理.，角平分線的定義，做輔助線構造全等三

角形是解題關鍵.

【變式6-1]（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，在梯形A3CD中,AD//BC,4E平分N84D,BE平分

/ABC,且AE、BE文CD于點E.試說明-BC?的理由.

AK_______D

R

【答案】見解析

【分析】在A3上找至IJ〃使得易證可得A/=A。，ZAFE=ZD,根據平行線性

質可證NC=NBFE,即可證明△BEC9△8EF,可得BF=BC,即可解題.

【詳解】證明：在A8上找到尸使得A/=A。，

:4E平分NBA。，

???NE4O=NE4尸，

???在△AEF和△AED中,

(AD=AF

l^,EAD=Z.EAF,

(AE=AE

：.^AEF^/\AED,(SAS)

：.AF=ADtNAFE=ND,

VADZ/BC,

AZD+ZC=180°,

ZAFE+ZBFE=180°

：./C=/BFE,

「BE平分N84D,

；?/FBE=/C,

???在△BEC^LBE很中,

(乙BFE=Z-C

1/.FBE=乙CBE,

(BE=BE

:.△BEgABEF,(AAS)

:?BF=BC,

t：AB=AF^~BF,

：.AB=AD-\-BC,

即AD=A13-BC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應力、對應角相等的性質，本題中求證

△AEF^AAED和仆BEC絲ZXBEF是解題的關鍵.

【變式6-2］（2023春?八年級單元測試）如圖，在心△A8C中，/AC8=90。，點。是的中點，小明發現，

用已學過的“倍長中線”加倍?構造全等，就可以測量C。與4B數量關系.請根據小明的思路，寫出C。與AB

的數景關系，并證明這個結論.

A

【答案】證明過程詳見解析

【分析】延長C。到點E,使ED=CD,連接BE,根據全等三角形的判定和性質即可求解.

【詳解】解：CD=/B,證明：如圖，延長C。到點E,使瓦上CD,連接BE,

在ABDE和A/IOC中，

(BD=AD

UBDE=￡ADC

(ED=CD

:?EB=AC,NDBE=NA,

??.陽|AC,

*/NAC8=90。，

/.Z￡BC=180°-ZACB=90°,

；,/EBC=/ACB，

在乙￡C8和△ABC中,

(EB=AC

l^EBC=zL4cB

(CB=BC

?二△EC噲△A8C(SAS),

:?EC=AB,

???。”興

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是止確的作出輔助線.

【變式6-3](2023春?八年級課時練習)如圖，在四邊形。4C8中，CEJL。/1于十，乙1=△2,GI=C8.求證:

43+44=180°；OA+OB=2OE.

OEA

【答案】詳見解析

【分析】過點。向OA、OB作垂線，構建全等三角形，繼而根據平角定義以及線段的和差即可證得結論.

【詳解】如圖，過點。作CFl。8與點凡則NF=NCEO=90。，

vzl=z2,OC=OC,

:.AFOC三AEOC,

CE=CF,OE=OF,

?:CA=CB,/.CEA=乙CFB=90°,

:.RtACAE=RtACBF(HL),

z4=乙CBF,AE=BF,

Vz3+乙CBF=180°,???乙3+44=180°,

???OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2OE.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線閡建全等三角形是解題的關鍵.

【題型7與三角形全等有關的動點探究題】

【例7】(2023春?山東德州?八年級校考期中)如圖，已知長方形A8CO的邊長48=20cm,BC=16cm,

點E在邊A8上，AE=6cm,如果點夕從點3出發在線段8c上向點C運動，同時，點。在線段。C上從

點、D向點、C運動,已知點P的運動速度是2cm/s,則經過______s,ABPE與〉CQP全等.

【答案】1或4

【分析】分兩種情況：①當￡B=PC時，&BPE三&CQP,②當8P=CP時，ABEP"QP,進而求出即可.

【詳解】解：設運動的為ts,分兩神情況：

①當"3=PC,BP=QC時,△DPECQP,

AB=20cm,AE=6cm,

.\EB=14cm,

：.PC=14cm,

*：BC=16cm,

:.BP=2cm,

:?QC=2cm,

丁點。從點B出發在線段8c上以2cm/s的速度向點C運動，

.?.t=2+2=l(s),此時點Q的運動速度為2+1=2(cm/s)；

②當8P=CP,BE=QC=14cmM,ABEP=CQP,

由題意得：2t=16-2t,

解得：￡=4(s),此時點。的運動速度為14+4=3.5(cm/s)；

綜上，點P經過1或4s時；&BPE與4CQP全等.

故答案為：1或4.

【點睛】此題主要考杳了全等三角形的判定和性質等知識，關鍵是掌握兩個三角形全等的判定和性質.

【變式7-1](2023春?河南許昌?八年級統考期末)如圖，CALAB,垂足為點A,AB=24cm,AC=12cm,

射線BM14B,垂足為點8,一動點E從4點出發以3cm/s沿射線AN運動，點。為射線BM上一動點，隨著

E點運動而運動，且始終保持ED=CB,當點E經過()秒時，XDEB與〉BCA全等.(注：點E與A

不重合）

A.4B.4、12C.4、8、12D.4、12、16

【答案】D

【分析】設點E經過，秒時，△DEB與A全等：由斜邊=CB,分類討論BE=AC^BE=胃8時的情況,

求出，的值即可.

【詳解】解：設點E經過，秒時，ADEB與＞BCA全等;此時HE=3￡cm,

分情況討論：

（1）當點E在點8的左側時，&DEBW2BCA,則8E=AC,

.\24-3t=12,

At=4：

（2）當點E在點B的右側時，

?ADEB^^BCA,BE=4C時，3t=24+12,

t=12：

?LEDB=LBCA.=時，3t=24+24,

At=16.

綜上所述，點E經過4、12、16秒時，△DEB與ABCA全等.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法；分類討論各種情況下的三角形全等是解決問題的關鍵.

【變式7-2］（2023春?甘肅定西?八年級校考期末）如圖所示，在A/IBC中，乙48。=68。，BD平分乙ABC,P為

線段BD上一動點，Q為邊力B上一動點，當月P+PQ的值最小時，乙4PB的度數是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

【答案】D

【分析】先在8c上截取BE=BQ,連接PE,證明△PBQ=△PBE(SAS),得出PE=PQ,說明AP-}■PQ=AP+

PE,找出當A、P、E在同一直線上，且AE18C時，4P+PE最小，即AP+PQ最小，過點A作/E18C于

點、E,交8D于點P,根據三角形外角的性質可得答案.

【詳解】解：在上截取BE=BQ,連接PE,如圖：

???BD平分/ABC,/-ABC=68°,

：.LABD=乙CBD=-Z-ABC=34%

2

TBP=BP,

/.APBQ三△PBE(SAS),

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

???當A、P、七在同一直線上，且AEJL8C時，4P+PE最小，即力尸+PQ最小，過點A作4E1BC于點E,

交BD于點、P,如圖：

'：LAEB=90°,Z-CBD=34°,

=(AEB+Z.CBD=124c.

故選:D.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，三角形內角和定理與三

角形的外角的性質，解題的關鍵是找出使AP+PQ最小時點P的位置.

【變式7-3](2023春?八年級單元測試)如圖，在△ABC中，AZ)為高，AC=12.點￡為42上的一點，使

CE=^AE,連接3E,交AO于。，BDO^AADC.

備用圖

⑴求N4EC的度數；

(2)有一動點。從點A出發沿射線AC以每秒8個單位長度的速度運動，設點。的運動時間為/秒，是否存

在i的值，使得△30Q的面積為24?若存在，請求出I的值：若不存在，請說明理由：

(3)在(2)條件下，動點尸從點。出發沿線段。8以每秒2個單位長度的速度向終點8運動，P、。兩點同

時出發，當點P到達點3時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為，秒，點”是更線3。上一點，且C"=AO.當

△4。尸與△/CQ全等時，求，的值.

【答案】(1)90。

(2)存在，/三或七|

⑶淖2

【分析】(1)根據全等三角形的性質得到NOa>NCAO,利用三角形內角和得到NAEO=NOD8=90。即可;

(2)根據全等三角形的性質求出4￡=8,CE=4,分兩種情況：①當0</<1時，Q在線段AE上，②當。1

時，。在射線EC上，根據三角形的面積公式列方程求解；

(3)由△BQOgZVIOC得到N30D=NACO,①當點尸在線段BC延長線上時，如圖3,當OP=CQ時，

^AOP^AFCQ(SAS),得到2『12-8f,求解即可；②當點F在線段BC上時，如圖4,當OP=CQ時,

△AOP^^FCQ(SAS),列得2f=8L12,計算即可.

【詳解】(1)???在△A4C中，為高，

???Z0013=90°t

又?「△BQOgZXA。。，

：.ZOBD=ZCAD,

在AA。￡與^OB。中

?：NOBD=NCAD,ZI3OD=ZAOE,

ZAEO=ZODB=9Q%

，ZfiEC=180°-ZAEO=90°；

(2)V△BDO^/XADC,AC=\2,

：,BO=AC=\2,

VAC=12,CE=\\E,

：.AE=8,CE=4,

①當0</<l時，。在線段AE上，

SABOQ=：BOXQE=1X12x(8-80=24,

解得r=1：

②當々1時，Q在射線KC上，

JSsBOQ鄭OxQE=|x|2x⑻-8)=24,

解得七*

，存在，f=：或/=1；

(3),:XBDCyaXADC,

：,ABOD=ZACD,

①當點川在線段8。延長線上時，如圖3,

*：ZBOD=ZACD,

：.NAOP=NACF,

,：AO=CF,

.?.當OP=CQ時，△(SAS),

此時，2r=12-8r,

解得：

②當點尸在線段8C上時，如圖4,

?:NBOD=/ACD,

JZAOP=ZFCQ,

,：AO=CF,

.?.當。尸=CQ時，＞AOPQXFCQ(SAS),

此時，2r=8r-12,

解得：f=2；

綜上所述，當與△R7Q全等時，，的值為3或2.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，圖形與動點問題，熟練掌握全等三角形的性質并應用是解題

的關鍵,解題中還需注意運用分類思想解決問題.

【題型8與三角形全等有關的線段或角之間的規律的探究題】

【例8】(2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級統考期末)閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

已知：如圖，點E是8c的中點，點A在OE上，且NB4E=NCOE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在問一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證A5=C。，必

須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形.

(I)現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明.

①如圖1,延長。E到點尸，使EF=DE,連接3”；

②如圖2,分別過點8、C作CG±DE,垂足分別為點RG.

(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；

【分析】（1）①如圖I,延長OE到點尸，使EF=DE,連接8F,△BEF^ACED,NBAE=NF,AB=CQ；

②如圖2,分別過點8、C作用LLQE,CGDE,垂足分別為點RG,△BEF^^CEG

△BAF^ACDG,AB=CD；

（2）如圖3,過C點作CM〃A8,交OE的延長線于點M,則NBAE=/EMC,△BAE^^CFE（A4S）,

zr=z￡DC,cr=cD,AB=CD；

【詳解】（i）①如圖i,

延長。E到點立使E尸=OE,連接8F,

???點E是BC的中點，：,BE=CE,

在ABEF^\^CEO中，

BE=CE

乙BEF=LCED,

EF=ED

:?△BEF^ACED(SAS),:,BF=CD,NF=NCDE,

,?NBAE=NCDE,：,NBAE=NF,

:.AB=BF,：,AB=CD；

②如圖2,

D

圖2

分別過點8、C作CG1DE,垂足分別為點EG,

，ZF=NCGE=ZCGD=90°,

???點E是8C的中點，：.BE=CE,

在ABEF^W^CEG中，

ZF=Z.CGF=90°

LBEF=Z.CEG,

BE=CE

:NEF沿ACEG(A4S),:.BF=CG,

在484尸和△COG中，

LBAE=^CDE

乙F=乙CGD=90°,

BF=CG

???△84必△C7)G(AAS),

：.AB=CDi

圖3

過C點作CM〃/W,交。E的延長線于點M,

則NBAE=NEMC,

是BC中點,

:?BE=CE,

在A84七和^CM￡中，

LBAE=ACME

/-BEA=乙CEM,

BE-CE

絲△CFE(A4S),：.CF=AB,ZBAE=ZF,

*：NBAE=/EDC,

:?/F=/EDC,:.CF=CD,:.AB=CD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，對頂角相等，平行線的性質，構造出全等三角形是解本

題的關鍵.

【變式8-1](2023春?江蘇?八年級專題練習)問題發現：如圖1,已知C為線段4B上一點，分別以線段4C,

8c為直角邊作等腰直角三角形，LACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接4E,BD,線段4E,8。之間的數

量關系為;位置關系為.

拓展探究：如圖2,把Rta/CD繞點C逆時針旋轉，線段AE,BD交于點F,貝必E與BD之間的關系是否仍然

成立？請說明理由.

【答案】問題發現：AE=BD,AELBD；拓展探究：成立，理由見解析

【分析】問題發現：根據題目條件證△AC￡@Z\QC8,再根據全等三角形的性質即可得出答案；

拓展探究：用S4S證A/1CE會AOCB,根據全等三角形的性質即可證得.

【詳解】解：問題發現：延長8D,交AE于點立如圖所示：

'：Z.ACD=90°,

：.LACE=Z-DCB=90°,

又YCA=CD,CB=CE,

：.LACE=^DCB(SAS),

???AE=ED,Z.CAE=Z.CDB,

?:乙CDB+乙CBD=

：,LCAE+Z-CBD=90°,

：.LAFD=90°,

：.AF1FB,

???AE1BD,

故答案為：AE=BD,AE1BD；

拓展探究：成立.

理由如下：設CE與80相交于點G,如圖I所示:

'：LACD=乙BCE=90°,

：.LACE=乙BCD,

乂，：CB=CE,AC=