專題L2相反數、絕對值【十大題型】

【滬科版】

?題型梳理

【題型1相反數與絕對值的概念辨析】............................................................1

【題型2相反數的幾何意義的應用】..............................................................3

【題型3絕對值非負性的應用】..................................................................5

【題型4化簡多重符號】.........................................................................6

【題型5化簡絕對值】...........................................................................8

【題型6利用相反數的性質求值】................................................................9

【題型7解絕對值方程】........................................................................11

【題型8絕對值幾何意義的應用】................................................................13

【題型9有理數的大小比較】....................................................................16

【題型10應用絕對值解決實際問題】.............................................................18

，舉一反三

【知識點1相反數與絕對值】

相反數：

1.概念：只有符號不同的兩個數隊做互為相反數.

相反數的表示方法；一般地，a和-a互為相反數，這里的a表示任意一個數可以是正數、負數也可以是零,

特別地，一個數的相反數等于它本身這個數是零.

2.性質：若a與b互為相反數，那么a+b=0.

絕對值：

1.定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.

2.性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.

【題型1相反數與絕對值的概念辨析】

【例I】（2023秋?福建龍巖?七年級校考階段練習）與4的和為0的數是（）

A.；B.4C.-4D,-1

【答案】B

【分析】與-4的和為0的數，就是“的相反數4.

【詳解】解：與-4的和為0的數，就是求出-4的相反數4,

故選：B.

【點睛】此題考查相反數的意義，掌握互為相反數的兩個數的和為0的性質是解決問題的基礎.

【變式1-11(2023?江蘇?七年級假期作業)將符號語言“|Q|=a(a>0)''轉化為文字表達，正確的是()

A.一個數的絕對值等于它本身B.負數的絕對值等于它的相反數

C.非負數的絕對值等于它本身D.0的絕對值等于0

【答案】C

【分析】根據絕對值的含義及絕對值的性質逐項判斷即可解答.

【詳解】解：???一個非負數的絕對值等于它本身，一個負數的絕對值等于它的相反數，

???A項不符合題意；

VG>0,表示的是非負數的絕對值，不是負數的絕對值，

???B不符合題意；

???一個非負數的絕對值等于它本身，

???C符合題意;

Va>0,表述的是非負數的絕對值，不只是0的絕對值，

，選項D不符合題意；

故選:C.

【點睛】本題考查了絕對值的含義及絕對值的性質，掌握絕對值的性質是解題的關鍵.

【變式1-2](2023?江蘇?七年級假期作業)下列各對數中，互為相反數的是()

A.—(+1)和+(—1)B.—(―1)和+(-1)

C.一(+1)和-1D.+(-1)和-1

【答案】B

【分析】先化簡各數，然后根據相反數的定義判斷即可.

【詳解】解：A、-(+1)=-1,+(-1)=-1,不是相反數，故此選項不符合題意；

B、—(—1)=1,+(—1)=-1,是相反數，故此選項符合題意；

C、-(+1)=-1,不是相反數，故此選項不符合題意；

D、+(-1)=-1,不是相反數，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了相反數.先化簡再求值是解題的關鍵.

【變式1-3](2023秋?江蘇鹽城?七年級江蘇省響水中學階段練習)絕對值小于2016的所有的整數的和

【答案】0

【詳解】絕對值小于2016的所有整數為:-2015.........0,1,...?2015,

故-2015+(-2014)+(-2013)+...+2013+2014+2015

=(-2015+2015)+(-2014+2014)+(-2013+2013)+…1+1)+0=0；

故答案為0.

點睛：由于數比較多，不可能挨個求和，故考慮用“互為相反數的兩個數的和等于0”這個性質.

【題型2相反數的幾何意義的應用】

【例2】(2023?全國?七年級假期作業)如圖，圖中數軸的單位長度為1.請回答下列問題：

——I---------1-------1----------1-----------4-------1------------A-------1------------1----------1----------A--------1-----------1—?

DEACB

(1)如果點A、8表示的數是互為相反數，那么點。表示的數是多少？

(2)如果點。、8表示的數是互為相反數，那么點C、。表示的數是多少？

【答案】⑴-I

(2)點。表示的數是0.5,。表示的數是-4.5

【分析】(1)根據互為相反數的定義確定出原點的位置，再根據數軸寫出點C表示的數即可；

(2)根據互為相反數的定義確定出原點的位置，再根據數軸寫出點C、。表示的數即可.

【詳解】(1)由點4、6表示的數是互為相反數可知數軸上原點的位置如圖，

——?---i----i-------------1-----------i--------1------?----1-----------1----------1----------i---------1-----------1—?

DEACB

故點。表示的數是-1.

(2)由點。、B表示的數是互為相反數可知數軸上原點的位置如圖，

-------1，J-------L，I，?4---------1------------1----------1，J-----------1—

DEA0C--------B

故點。表示的數是05D表示的數是-4.5.

【點睛】本題考查了相反數的定義和數軸，解題的關鍵是根據題意找出原點的位置..

【變式2-1】(2023秋?七年級課時練習)如圖，數軸上兩點A、B表示的數互為相反數，若點B表示的數為

6,則點A表示的數為()

AB

—?--------------------------1---------------------------1——?

06

【題型3絕對值非負性的應用】

【例3】（2023秋?云南昭通?七年級校考階段練習）已知|a?2|與|b?3|互為相反數，求a+b的值.

【答案】5.

【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于。列出方程，再根據非負數的性質列非常求出a、b的值，然后

代人代數式進行計算即可得解.

【詳解】???|a-2|與|b-3|互為相反數，

A|a-2|+|b-3|=0,

.*.a-2=0,b-3=（）,

解得a=2,b=3?

所以,a+b=2+3=5.

【點睛】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為。時，這幾個非負數都為0.

【變式3-1］（2023秋?云南楚雄?七年級校考階段練習）對于任意有理數a,下列式子中取值不可能為。的是

（）

A.|G+11B.|-1|+QC.|Q|+1D.-1+|cz|

【答案】C

【分析】根據絕對值的非負性即可得出答案.

【詳解】解：A.當。=一1時，a+1=0,則|a+l|=0,故A選項不符合題意；

B.當a=-1.時，|-1|+a=1-1=0,故B選項不符合題意；

C.|a|>0,則|a|+lNl,不可能為。故C選項符合題意；

D.當。=±1時，-1+|a|=-1+1=0,故D選項不符合題意：

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值的非負性，解題的關鍵是掌握任何數的絕對值都是非負數，兩個非負數的和一定

為非負數.

【變式3-2］（2023秋?山東濰坊「七年級統考期中）若|。一1|+仍+2|=0,求a+|-b|.

【答案】3

【分析】根據絕對值的非負性求解即可.

【詳解】解：V|a-l|+|b+2|=0,

G-1=0,b+2=0.

解得：a=1,b=—2

故a+\—b\=1+2=3.

【點睛】本題考查了絕對值的非負性，準確的計算是解決本題的關鍵.

【變式3-3】(2023秋?七年級課時練習)對于任意有理數相，當刀為何值時，5-|瓶-3|有最大值？最大值

為多少？

【答案】5

【分析】根據絕對值的非負性得到3|N0,得到當m=3時，|m-3|最小，代入求解即可；

【詳解】解：由絕對值都是非負數，得-當m=3時，|m—3|最小，最小值為0,此時5-制一3|

有最大值，最大值是5.

【點睛】本題主要考杳了絕對值的非負性應用，準確計算是解題的關鍵.

【題型4化簡多重符號】

【例4】(2023秋?全國?七年級專題練習)化簡下列各數：

(D-(~|)=；(2)—(+g)=；(3)-{+[-(+3)]}=.

【答案】|Y3

【分析】根據多重符合化簡的法則，化簡結果的符合由符號的個數決定，確定符號后可得結果.

【詳解】解：-(-|)=|,

-(+5)=-?

-{+[-(+3)]}=3,

故答案為：:，—：，3.

JD

【點睛】本題考查了化簡多重符號，多重符號的化簡是由“-”的個數來定，若“-”個數為偶數個時，化簡結果

為正；若“-”個數為奇數個時?，化簡結果為負.

【變式4-1](2023?浙江?七年級假期作業)下列化簡正確的是()

A.十(-6)=6B.-(-8)=8

C.—(—9)=-9D.-[+(-7)]=-7

【答案】B

【分析】根據化簡多重符號的方法逐項判斷即可求解.

【詳解】解?：A.+(-6)=-6,原選項計算錯誤，不合題意；

B.-(-8)=8,原選項計算正確，符合題意；

c.-(-9)=9,原選項計算錯誤，不合題意；

D.-[+(-7)]=7,原選項計算錯誤，不合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查有理數的多重符合化簡，化簡多重符號就是看數字前負號的個數，如果負號的個數是奇數

個則最終符號為負號，如果負號個數為偶數個則最終符號為正號.

【變式4-2](2023秋?江蘇無錫?七年級統考期末)在-(+2.末,-(-2.5),+(—2.5),+(+2.5)中，正數的個

數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據多重符號化簡原則逐一進行判斷即可得到答案.

【詳解】解：???一(+2.5)=-2.5,-(-2.5)=2.25,+(-2.5)=-2.5,+(+2.5)=2.5,

正數的個數是2個，

故選B.

【點睛】本題考查了多重符號化簡，解題關鍵是掌握多重符號化簡的原則：若一個數前有多重符號，則看該

數前面的符號中，符號“-”的個數來決定，即奇數個符號則該數為負數，偶數個符號，則該數為正數.

【變式4-3](2023?全國?七年級假期作業)化簡下列各式的符號：

(1)-(+4)；

(2)+(勺；

(3)-[-(-3-)j；

5

(4)-{-[-(-n)]}.

化簡過程中，你有何發現？化簡結果的符號與原式中的號的個數與什么關系嗎？

【答案】(1)-4；(2)-*(3)-31；(4)兀；最后結果的符號與-的個數有著密切聯系，如果一個數

是正數，當-的個數是奇數，最后結果為負數，當-的個數是偶數，最后結果為正數

【分析】根據已知數據結合去括號的法則化簡各數，進而得出結果的符號與原式中的號的個數的關系.

【詳解】解：(1)-(+4)=-4：

⑵+(-}=-不

(3)-[-(-3-)]=-3a

55

(4)-{-[-(-71)J}=71.

最后結果的符號與的個數有著密切聯系，如果?個數是正數，當的個數是奇數，最后結果為負數，

當，，?，，的個數是偶數，最后結果為正數.

【點睛】本題考查了相反數的意義，正確發現數字變化規律是解題的關鍵.

【題型5化簡絕對值】

【例5】(2023春?黑龍江哈爾濱?六年級統考期中)有理數小c在數軸上的位置如圖所示，化簡|b+c|+

\a-c\=?

1111?

cb0ci

【答案】a-b-2c

【分析】先由數軸判斷a,b,。與0的大小關系，其中Q>0,bV0,cV0,則b+cVO,a-c>0,再根據絕對值

的意義，正數的絕對值是其本身，負數的絕對值是其相反數，。的絕對值是0,進而得出結果.

【詳解】解：Q>0,bv0,c<0,

二b+c<0,a-c>0,

???|b+c|+|a-c|=-(b+c')-^a-c=-b-c+a-c=a-b-2c

故答案為：a—b—2c.

【點睛】本題主要考查了數軸上的點以及絕對值的意義，其中正確掌握正負數的絕對值是解題的關鍵.

【變式5-1](2023秋?江蘇宿遷?七年級統考期中)如果|m|二|n|,那么m,九的關系()

A.相等B.互為相反數C.都是0D.互為相反數或相等

【答案】D

【分析1利用絕對值的代數意義化簡即可得到小與〃的關系.

【詳解】解：’

???m=?1或771=?"即互為相反數或相等，

故選：D.

【點睛】此題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的代數意義是解本即的關鍵.

【變式5-2](2023?浙江?七年級假期作業)化簡：

(DI-(+7)1；

(2)-|-8|；

【答窠】(1)7

(2)-8

【分析】(1)先化簡括號的符號，然后再根據絕對值的性質化簡即可；

(2)直接化簡絕對值即可.

【詳解】⑴解:|-(+7)|

=1-71

=7

(2)—|—8|

=-8.

【點睛】本題主要考查絕對?值的化簡，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

【變式5-3](2023?全國?七年級假期作業)求下列各數的絕對值：

(1)-38：

(2)0.15；

(3)a(a<0)；

(4)3b(b>0)；

【答案】⑴38

(2)0.15

⑶-Q

(4)3b

【分析】根據正數與0的絕對值是其本身，負數的絕對值是其相反數即可求解.

【詳解】(1)|-38|=38；

(2)|0.15|=0.15；

(3)QV0,

|a|=-a；

(4)?:b>0,

：.3b>0,

???|3團=3b

【點睛】本題考查了絕對值的性質，準確把握“正數與0的絕對值是其本身，負數的絕對值是其相反數”是解

題的關鍵.

【題型6利用相反數的性質求值】

【例6】(2023?全國?七年級專題練習)已知一2；的相反數是工，一5的相反數是y,z的相反數是0,求x+.v

+z的相反數.

【答案】-7；

【分析】根據相反數的概念求出X,y,Z的值，代入x+y+z即可得到結果.

【詳解】解：:一21的相反數是x,-5的相反數是y,z相反數是0,

.*.A=21,）=5,z=0,

A+y+z=2^+5+0=71.

?F+），+z的相反數是一71.

【點睛】本題考查了相反數的定義，熟記相反數的概念是解題的關鍵.

【變式6-1】（2023秋?湖北孝感?七年級統考期中）在數軸上表示整數。、b、c、d的點如圖所示，單位長度

為I,且a+b=0,則c+d的值是.

lilllllllllliita

Cabcl

【答案】-4.

【分析】根據題意先確定原點的位置，然后得到c、d表示的數，再進行計算即可.

【詳解】解：???Q+〃=0,

...a與b互為相反數，

由數軸可知，如圖：

ca0bd

/.a=—2,b=2,c=—8,d=4,

Ac+d=—8+4=—4；

故答案為：-4.

【點睛】本題考查了數軸的定義，相反數的定義，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行解題.

【變式6-2】（2023春?廣東河源?七年級校考開學考試）若Q+匕=0,則r的值是（）

A.-1B.0C.無意義D.-1或無意義

【答案】D

【分析［分b=0,bH0兩種情形計算即可.

【詳解】當bHO時，

Va+b=0,

，a=-b,

.a-b

,?廣Z=T；

當b=0時，

'：a+b=O,

.\a-0?

.Y無意義，

b

???的勺值是一1或無意義，

故選D.

【點睛】本題考查了相反數的意義，及共商的意義，熟練掌握相反數的意義是解題的關鍵.

【變式6-31(2023秋?湖南永州?七年級校考階段練習)已知a,b互為相反數，則a+2a+3a+…+49a+50a+

50b+49b+…+3b+2匕+匕=.

【答案】0

【分析】根據相反數的概念，得到a+b=O,繼而可得出答案.

【詳解】解：???%b互為相反數,

,*.a+b=0.

:.G+2a+3a+…+49a+50a+50b+49b+…+3b+2b+b

=(a+b)+2(a+b)+3(a+b)+…+50(Q+b)

=0.

故答案為：0.

【點睛】本題考查了相反數的概念，屬于基礎題，注意掌握相反數的概念是關鍵.

【題型7解絕對值方程】

【例7】(2023秋?江蘇宿遷?七年級泗陽致遠中學校考階段練習)若|-m|=|—與，則m的值為()

A.±2B.-泗C.1D.

【答案】B

【分析】根據絕對值的性質，進行化簡求解即可.

【詳解】解：|一加|=|一9

I-刈=5

.1

???m=±-9

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值方程問即，解題的關鍵是掌握絕對值化簡的性質，正數的絕對值是本身，負數的

絕對值是其相反數.

【變式7-1】（2023秋?海南省直轄縣級單位?七年級校考階段練習）如果優|-2=2,那么%是（）

A.4B.-4C.±2D.±4

【答案】D

【分析】根據絕對值意義進行解答即可.

【詳解】解：團—2=2,

???\x\=4,

x=±4,

故選:D.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，絕對值表示該數在數軸表示的點距原點的距離.

【變式7-2]（2023秋?湖北孝感?七年級統考期中））已知（+1|=2,儂-1|=7,。〈匕,求|可+回.

【答案】5或7

【分析】根據絕對值的意義以及a與b的關系求出a和b的值，代入計算即可.

【詳解】解：???|a+l|=2,|2b-l|=7,

，a=l或-3,b=4或?3,

Va<b,

/.a=1,b=4,或a=-3>b=4,

|Q|+|b|=5或7.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，解題的關鍵是掌握已知一個數的絕對值，求這個數.

【變式7-3]（2023秋?江蘇?七年級專題練習）解方程：3x-|x|+5=1.

【答案】x=-l

【分析】根據絕對值的意義，分類討論求解即可.

【詳解】解：當％之0時，3x-x+5=1?

解得：%=-2（不符合題意，舍去），

當XV0時，3%+無+5=1,

解得：x=—1,

綜上所述：x=-l,

?,?原方程的解為：X=-1.

【點睛】本題考查了絕對值方程，悔本題的關鍵在熟練掌握絕對值的意義.正數的絕對值為它本身，負數的

絕對值則是它的相反數，0的絕對值還是為0.

【題型8絕對值幾何意義的應用】

［例8］（2023秋?全國?七年級專題練習）|x-l|+|x-2|+|x-3|+???+|x-2021|的最小值是（）

A.1B.1010C.1021110D.2020

【答案】C

【分析】力為數軸上的一點，用1什任2|+歸-3|+…|步2021|表示：點入到數軸上的2021個點（1、2、3、…2021）

的距離之和,進而分析得出最小值為:|1011-2|+|1011-3|+…11011-202”求出即可.

【詳解】解：在數軸上，要使點x到兩定點的距離和最小，則x在兩點之間，最小值為兩定點為端點的線段

長度（否則距離和大于該線段）；

所以:當1*021時，1-1|+岳2021|有最小值最20；

當2s區2020時,僅-2|+岳2020|有最小值2018；...

當x=10U時,岳1011|有最小值0.

綜上,當戶1011時，Ml|+M2|+|*3|+...M2021|能夠取到最小值,

最小值為:|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+...|1011-2021|

=1010+1009+...+0+1+2+...+1010

=1011x1010

=1021110.

故選:C.

【點睛】本題考查了絕對值的性質以及利用數形結合求最值問題，利用已知得出x=1011時，

|x-l|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能夠取到最小值是解題關鍵.

【變式8-1］（2023秋?七年級單元測試）小亮把中山路表示成一條數軸，如圖所示，把路邊幾座建筑的位置

用數軸上的點，其中火車站的位置記為原點，正東方向為數軸正方向，公交車的1站地為1個單位長度（假

設每兩站之間距離相同）回答下列問題：

烈人北

士民火勸國博

陵商車業商物

園場站場城館

，

?

-，，

T

O

1

2

—1—

3

-2

.

_和_

的是

站地

等于2

的距離

火車站

⑴到

和.

的是

站地

等于2

的距離

勸業場

⑵到

數是

示的

個，表

點有一

于2的

離等

的距

1的點

到表示

上，

數軸

（3）在

圖

結合

.請你

或-2

a=2

2時，

|。|=

離，當

的距

車站

到火

該點

表示

么㈤

點，那

軸上的

圖中數

a表示

果用

（4）如

值.

，a的

=2時

-l|

當|a

并求出

義，

幾何意

表達的

|=2

。-1

等式|

形解釋

城

國商

，北

陵園

）烈士

】（1

【答案

物館

場，博

民商

（2）人

3

-1或

（3）2,

-1

3或

值為