第32章圓的有關性質

一、選擇題

1.（2011廣東湛江16,4分）如圖，A,B,C是OO上的三點，=則N80C=

度.

【答案】60

2.（2011安徽，7,4分）如圖，。。的半徑是1,4、氏C是圓周上的三點，NB4c=36。,

則劣弧的長是（

D.女

【答案】B

3.（2011福建福州,9,4分）如圖2,以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦切小圓于點

C,若403=120，則大圓半徑R與小圓半徑，?之間滿足（)

A.R=6rD./<=2后

圖2

【答案】C

4.（2011山東泰安，10,3分）如圖，。。的弦48垂直平分半徑OC,若48個佝，則00

的半徑為（)

C也D坐

小啦

A.B.22

【答案】A

5.（2011四川南充市，9.3分）在圓柱形油槽內裝有一些油。截面如圖，油面寬AB為6

分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變為8分米，圓柱形油槽直

徑MN為（）

（A）6分米（B）8分米（C）10分米（D）12分米

【答案】C

6.（2011浙江衢州，1,3分）一個圓形人工湖如圖所示，弦48是湖上的一座橋，已知橋A8

長100m,測得圓周角NAC3=45。，則這個人工湖的直徑AO為（）

A.50>/2mB.1005/2mC.150^mD.200>/2m

【答案】B

7.（2011浙江紹興，4,4分）如圖，A3為0。的直徑，點C在。。上，若NC=16。,

則N8OC的度數是（）

A.74°B.48°C.32°D.16°

A

（第5題圖）

【答案】C

8.（2011浙江紹興,6,4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑08=10,

截面圓圓心。到水面的距離OC是6,則水面寬A8是（）

A.16B.10C

【答案】A

9.（2011浙江省，5,3分）如圖，小華同學設計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子

OA、OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周匕讀得

刻度OE-g個單位，OF-6個單位，則圓的直徑為（）

A.12個單位B,10個單位個單位D.15個單位

【答案】B

10.（2011四川重慶，6,4分）如圖，。。是AABC的外接圓，NOC8=40。則NA的度數

等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

回

【答案】B

11.（2011浙江省嘉興，6,4分）如圖，半徑為10的。。中，弦的長為16,則這條弦

的弦心距為（）

（A）6（B）8（C）10（D）12

Q

（第6題）

【答案】A

12.（2011臺灣臺北，16）如圖（六），而為圓。的直徑，直線EO為圓O的切線，4、C

兩點在圓上，AC平分NBA。且交而于F點。若19°,則的度數為何？

闋（六）

A.97B.104C.116D.142

【答案】C

13.（2011臺灣全區，24）如圖（六），^ABC的外接圓上，AB.BC、CA三弧的度數比為

12：13：11.自8c上取一點。，過。分別作直線AC、直線48的并行線，且交而于

E、產兩點,則/瓦W的度數為何？

A

D

圈（六）

A.55B.60C.65D.70

【答案】C

14.（2011甘肅蘭州，12,4分）如圖，。。過點B、C,圓心O在等腰RtaABC的內部，

ZBAC=90°,OA=1,BC=6o則。O的半徑為

A.6B.13C.屈D.2萬

【答案】C

15.(2011四川成都,7,3分)如圖,若43是。0的直徑,CD是。。的弦,NA8ZA58。,則

ZBCD=(B)

(A)116°(B)32°(C)58°(D)64°

【答案】B

16.(2011四川內江,9,3分)如圖,0O是AABC的外接圓,NBAO60。,若。O的半徑

OC為2,則弦BC的長為

A.1B.GC.2D.2石

【答案】D

17.(2011江蘇南京，6,2分汝I圖，在平面直角坐標系中，(^^的圓心是(2,a)(a>2),半

徑為2,函數y=x的圖象被(DP的弦AB的長為26,則a的值是

A.2GB.2+2&C.273D.2+6

y=x

O

（第6題）

【答案】B

1.18.（2011江蘇南通，8,3分）如圖，00的弦48=8,M是A8的中點，且OM=3,

則。。的半徑等于

A.8B.2C.10D.5

【答案】D

19.（2011山東臨沂，6,3分）如圖，。。的直徑CD=5cm,AB是。O的弦，AB1CD,

垂足為M,OM：OD=3：5,則AB的長是（）

A.2cmB.3cme.4cmD.2-72?cm

【答案】C

20.（2011上海，6,4分）矩形A8CO中，AB=8,8。=3指，點P在邊A8上，且8P

=3AP,如果圓P是以點P為圓心，夕力為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）.

（A）點仄C均在圓P外；（B）點8在圓P外、點C在圓P內；

（C）點B在圓P內、點C在圓P外；（D）點8、C均在圓P內.

【答案】C

21.（2011四川樂山6,3分）如圖（3）,CD是。。的弦，直徑AB過CD的中點M,若

ZBOC=40°,貝”ABD二

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

22.（2011四川涼山州，9,4分）如圖，乙404=100，點C在OO上，且點C不與A、

B重合，則NAC3的度數為（）

A.50B.80或50C.130D.50或130

【答案】D

23.（2011廣東肇慶，7,3分）如圖，四邊形A8C。是圓內接四邊形，E是8c延長線上一

點，芯/BAD=105%則NOCE的大小是

BCE

A.115°B.105°C.100°D.95°

【答案】B

24.（2011內蒙古烏蘭察布，9,3分）如圖，AB為。0的直徑，CD為弦，AB±CD,

如果NBOC=70°,那么NA的度數為（）

A.70°B.35°C.30°D.20°

【答案】B

25.（2011重慶市潼南,3,4分）如圖，AB為。O的直徑，點C在。O上,NA=30。,則/B的

度數為

A.15°

3題圖

【答案】D

26.（2011浙江省舟山，6,3分）如圖，半徑為1（）的00中，弦A3的長為16,則這條弦

的弦心距為（）

(A)6(C)10(D)12

（第6題）

【答案】A

二、填空題

1.（2011浙江省舟山，15,4分）如圖，A8是半圓直徑，半徑OC_L4B于點O,4。平分

NCAB交弧于點。，連結C。、OD,給出以下四個結論：?AC//ODx②CE=OE；

③△OOKs△人。o；?2CD2=CEAB.其中止確結論的序號是,

【答案】①@

（2011安徽，13,5分）如圖，。。的兩條弦AB、C7）互相垂直，垂足為E,且48二CQ,

已知CE=1,ED=3,則。。的半徑是,

【答案】小

3.（2011江蘇揚州，15,3分）如圖,OO的弦CD與直徑AB相交,若NBAD=50。，則NACD:

【答案】40°

4.（2011山東日照，14,4分）如圖，在以A8為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內接正

方形CDEF,則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是.

AcB

【答案】如：x2V5x+l=O；

5.（2011山東泰安，23.3分）如圖，必與。O相切，切點為A,PO交。。于點C,點

B是優弧CBA上一點，若N4BC==32°,則NP的度數為。

【答案】26°

6.（2011山東威海，15,3分）如圖，。0的直徑AB與弦CD相交于點E,若

AE=5.BE=1,CD=472，則ZAED=___________.

【答案】30。

7.（2011山東煙臺，16,4分）如圖，△A8C的外心坐標是.

【答案】（一2,-1）

8.（2011浙江杭州，14,4）如圖，點4,B,C,。都在。O上，比的度數等于84。，CA

是NOCO的平分線，則NABQ十NCAO二°.

（第14題）

【答案】53。

9.（2011浙江溫州，14,5分）如圖，是。O的直徑，點C,。都在。。上，連結C4,

CB,DC,DB.已知/￡>=30。，RC=3,則A8的長是

（第14題圖）

【答案】6

10.（2011浙江省嘉興，16,5分）如圖，/W是半圓直徑，半徑OC_L/W于點O,人。平分

NC4B分別交OC于點E,交弧BC于點D,連結CD、OD,給出以下四個結論：

①SSEC=2S.DFQ;②AO2CQ；③線段OD是DE與DA的比例中項;④2CD2=CE?4B.其

中正確結論的序號是.

（第16題）

【答案】@@

11.（2011福建泉州，16.4分）已知三角形的三邊長分別為3,4,5,則它的邊與半徑為

1的圓的公共點個數所有可能的情況是.（寫出符合的一種情況即可）

【答案】2（符合答案即可）

12.（2011甘肅蘭州，16,4分）如圖，OB是。O的半徑，點C、D在。O上，ZDCB=27°,

則/OBD二度。

D

c

【答案】63°

13.（2011湖南常德，7,3分）如圖2,已知。O是AABC的外接圓，且NC=70。，則NOAB

【答案】20°

14.（2011江蘇連云港，15,3分）如圖，點。為邊AC上一點，點。為邊A3上一點，AQ=QO.

以。為圓心，0。長為半徑作半圓，交AC于另一點￡,交AB于點、F,G,連接EE若

ZBAC=22°,則NE〃G=.

第16題圖

【答案】-

2

15.（2011四川廣安，19,3分）如圖3所不，若。。的半徑為13cm,點〃是弦上一

動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦A4的長為________cm

4n

【答案】24

16.（2011重慶江津，16,4分）已知如圖，在圓內接四邊形ABCD中,NB=30。,則ND=

第16題圖

【答案】150°

17.（2011重慶藜江，13,4分）如圖，已知A8為。。的直徑，NCA8=30。,則,

【答案】：60°

18.（2011江西南昌，13,3分）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內心，則

ZPBC+ZPCA+ZPAB=度.

【答案】90

19.（2011江蘇南京，13,2分）如圖，海邊有兩座燈塔A、B,暗礁分布在經過A、R兩點的

弓形（弓形的弧是。。的一部分）區域內，NAOB=80。，為了避免觸礁，輪船P與A、

B的張角NAPB的最大值為°.

【答案】40

20.（2011上海，17,4分）如圖，AB.AC都是圓。的弦，OM_LAB,ON1AC,垂足分別

為M、M如果MN=3,那么8C=

【答案】6

21.（2011江蘇無錫，18,2分）如圖，以原點。為圓心的圓交x軸于點A、B兩點,交），

軸的正半軸于點C,D為第一象限內。。上的一點，若ND48=20°,則NOC。=

【答案】65

22.（2011湖北黃石，14,3分）如圖（5）,ZU8C內接于圓O,若NB=30°.4C=,則

00的直徑為o

【答案】2百

23.（2011湖南衡陽，16，3分）如圖，。。的直徑C￡＞過弦上產的中點G,ZEOD=4（）°,

貝”PC。的度數為.

D

【答案】20

24.（2011湖南永州，8,3分）如圖，在。O中，直徑CD垂直弦AB于點E,連接OB,CB,

己知。O的半徑為2,AB=2石，則NBCD=度.

（第8題）

【答案】30

25.（20011江蘇鎮江,15,2分）如圖,DE是。O的直徑，弦AB_LDE,垂足為C,若AB=6,CE=1,貝I」

OC=CD=

答案：4,9

26.（2011內蒙古烏蘭察布，14,4分）如圖，8E是半徑為6的。D的,圓周，c點是

4

上的任意一點，4ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是

SI4JSRI

【答案】18<〃<18-6五

27.（2011河北，16,3分）如圖7,點O為優弧ACB所在圓的圓心，NA00108。，點D

在AB的延長線上，BD=BC,則ND=_。.

【答案】27

28.（2011湖北荊州，⑵4分）如圖，。。是AABC的外接圓，CD是直徑，ZB=40°,

則NACD的度數是,

【答案】50

三、解答題

1.（2011浙江金華，21,8分）如圖，射線PG平分NEPF,。為射線PG上一點，以。為

圓心，10為半徑作（DO,分別與/EP/兩邊相交于A、8和C、。,連結04,此時有OA〃PE.

（1）求證：AP=AO；

（2）若弦A〃=12,求tanNOPA的值；

（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、。、。、O）構造四邊形，則能構成菱形的四個

點為，能構成等接梯形的四個點為或或.

證明：（1）;PG平分NEPF,

:,NDPO=NBPO，

yOA//PE,

:?/DPO=/POA,

NBPO=NPOA,

：.R\=OA；...2分

解：（2）過點。作O〃_LAB于點從則...1分

2

OH?

tanZOPB=——=",：,PH=2OH,...1分

PH2

設0”二x,則P〃=2x,

由（1）可知以=0A=10,：.AH=PH-R\=2x~\0,

VAH^OH2=OA\A（2x-i0）2+x2=102,......1分

解得內=0（不合題意，舍去），x2=8,

：,AH=6,：.AB=2AH=\2x...1分

(3)P、A、O、C；A、8、。、?；騊、A、0、O或P、C、0、B....2分(寫對1個、

2個、3個得1分，寫對4個得2分)

2.(2011浙江金華，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點A(10,0),以OA為直徑

在第一象限內作半圓C,點8是該半圓周上的一動點，連結03、AB,并延長48至點。,

使DB=AB,過點。作x軸垂線，分別交x軸、直線04于點區R點￡為垂足，連結

CF.

(I)當N4OB=30。時,求弧AB的長;

(2)當DE=8時，求線段E尸的長；

(3)在點B運動過程中，是否存在以點E、C、尸為頂點的三角形與△AO8相似，若存

在，請求出此時點E的坐標：若不存在，請說明理由.

解：(1)連結BC,

V4(10,0),???OA=10,C4=5,

N4OB=30。，

???NAC8=2NAOB=60。，

.M,八"i/60x4x557r，八

??弧A8的長=--------=—;...4分

1803

(2)連結OD,

???OA是(DC直徑，???NO8A=90。，

又〈AB=BD,

???。4是AO的垂直平分線，

???OD=OA=10,

在RtAOOE中，

OE=y/OD2-DE2=A/102-82=6,

，心40—。石=106=4,

由NAO8=NADE=90°NOAB,NOEF=/DEA,

得AOEFsADEA,

:嘿=蕊即；著

，E尸=3；4分

(3)設OE=x,

①當交點E在O,C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△40B相似，有

/ECF=/B0A或/ECF=N0AB,當NECF=N804時，此時△0CF為等腰三角形，點

E為0C中點，即0E=2,

2

**?Ei(—>0)；

2

當NEC尸=NOAB時，有CE=5x,AE=10x,

：,CF//AB^CF=-AB,

2

?：△ECFSREAD、

??.C￡=C￡,即生土解得:10

x=一

AEAD10-x43

Ez(—,0);

3

②當交點石在點C的右側時,

?:/ECF>4B0A,

???要使與△84。相似，只能使NEC尸=/840,

連結6E,

???BE為RtAAD￡斜邊上的中線，

：,BE=AB=BD,

工NBEA=NBAO,

JNBEA-ECF,

CF0C

C.CF//BE,???——=——

BEOE

VZECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

,CFCE

:ACEFsAAED,

''~AD~~AE'

PCCE

而AD=2BE.

2OE~7JE'

,5x-5初-5+5折5-5A/17,,,

即Hr一=--------解得屆=——:——-------<0（舍去）,

2x1（）一x44

?,出（冷叵

,0）;

4

③當交點E在點O的左側時，

???ZBOA=ZEOF>/ECF.

???要使AECF與△84。相似，只能使NECQNBAO

連結8E,得BE二LD二AB,ZBEA=ZBAO

2

/.ZECF=ZBEA,

:.CF〃BE,

.CFPC

^~BE~~OE^

又?：/ECF=/BAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

CECF

:.△CEFs/\AED,?'?——=—,

AEAD

.PCCE

而AD=2BE,

.5x+5切但-5+5V17-5-5我……、

??----=-------解得X1=---------,x,=---------<0（舍去），

4一4

???點七在，軸負半軸上，???&（亨，。），

綜上所述：存在以點E、C、尸為頂點的三角形與aAOB相似,此時點E坐標為:

(2011山東德州22,10分)?觀察計算

當。=5,〃=3時，勺吆與亂的大小關系是__________________.

2

當。=4,人=4時，竺與疝的大小關系是__________________.

2

?探究證明

如圖所示，AA5c為圓。的內接三角形，A8為直徑，過。作C3_LA3于。，設

BD=b.

(1)分別用b表示線段。C,CD；

(2)探求。。與CD表達式之間存在的關系

r

(用含4,〃的式子表示).

?歸納結論

根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出空與，石的大小關系是：

2

?實踐應用

要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小

值.

【答案】?觀察計算:竺^疝,

2分

2

?探究證明:

(1)\AB=AD^BD=2OC,

.?.%=也....

3分

2

AB為。。直徑,

???ZACB=90°.

ZA+ZACO=900,ZACD+ZBCD=90°,

；?/A=/BCD.

???△ACDsACBD................................4分

.ADCD

''~CD~~BD

即C￡>2=AO.8O=而，

/.CD=\[ab.5分

(2)當。二8時,OC=CD,"2二疝；

2

。工人時,OC>C￡>.^->4^b..............................6分

2

?結論歸納：—>^.................7分

2

?實踐應用

設長方形一邊長為x米,則另一邊長為,米,設鏡框周長為/米，則

x

l=2(x+-)>4^x-l=4...................9分

當/=,，即戈=1(米)時，鏡框周長最小.

x

此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.............10分

4.(2011山東濟寧，19,6分)如圖，AD為AA5C外接圓的直徑，AD上BC,垂足為點

F,NABC的平分線交AD于點E,連接8。，CD.

(I)求證：BD=CD：

(2)請判斷3,E,C三點是否在以。為圓心，以03為半徑的圓上？并說明理白.

A

（第19W

【答案】（1）證明：???AD為直徑，AD1BC,

BD=CD.:.BD=CD.

（2）答：B,E,。三點在以。為圓心，以為半徑的圓上.

理由：由（1）知：BD=CD,：?/BAD=/CBD.

VZDBE=ZCBD+ZCBE,ZDEB=NBAD+ZABE,ZCBE=ZABE,

???ZDBE=NDEB；DB=DE.

由（1）知：BD=CD.:.DB=DE=DC.

:,B,E,C三點在以。為圓心，以08為半徑的圓上.

5.（2011山東煙臺，25,12分）已知：A8是。。的直徑，弦CD_LA8于點G,￡是直線A8

上一動點（不與點4、B、G重合），直線DE交00于煎F,直線交直線AA于點

P.設。。的半徑為二

（1）如圖1,當點E在直徑上時，試證明：0E0P"

（2）當點E1在/W（或BA）的延長線上時，以如圖2點七的位置為例，請你畫出符合

題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

BE

（圖I）（圖2）

【答案】（1）證明：連接尸。并延長交。。于Q，連接Q。.

Q是。O直徑，???NFQQ=90°.

???NQf7)+NQ=90。.

???CD1.AB,???NP+ZC=90°.

???NQ=NC,:./QFD=4P.

（第25題圖）

'：ZFOE=ZPOF,△FOESAPOF.

.：,OEOP=OF2=r.

OFOP

(2)解：(1)中的結論成立.

理由：如圖2,依題意畫出圖形，連接尸。并延長交。0

M,連接CM.

???FM是。。直徑，.'.ZFCM=90°,???/M+NCFM=

*：CDLAB,.\Z￡+ZD=90o.

*：ZM=ZD,AZCFM=ZE.

*：ZPOF=ZFOE,APOFs0￡.

.OPOF

：.OEOP=OF2=r.

'~OF~~OE

6.（2011寧波市，25,10分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出MJ命題：”等邊三角形一定是奇異三

角形''是真命題還是假命題？

（2）在RtAABC中，NACB=90。，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtAABC

是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，A/3是。。的直徑，C是上一點（不與點A、4重合），。是半圓4礪的中點,

CD在直徑AB的兩側，若在。。內存在點上使得AE=AD,CB=CE.

S求證：AACE是奇異三角形；

3當AACE是直角三角形時，求NAOC的度數.

【答案】解：(1)真命題

(2)在RtAABC中層+屬=上

???2^>，+〃，2a2<c2+b2

???若RtAAAC是奇異三角形，一定有2乂=?+a2

A2/?2=O2+(a2+b2)

：.h2=2a2得:b=-j2a

Vc2=Z>2+a2=3a2

.*.￡?：htc=I：yjlz、行

(3)d)VAB是。O的直徑ACBADB=90。

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2

在RtAAQB中，3+8。2=人爐

???點D是半圓A礪的口點

AA

：,AD=BD

：.AD=BD

：.AB2=AD2-\~BD1=2AD2

：.AC2+CB2=2AD2

又?.?CB=CE,AE=AD

：,AC2=CE2=2AE2

???△ACE是奇異三角形

3由心可得AACE是奇異三角形

：.AC2=CE2=2AE2

當AACE是直角三角形時

由(2)可得AC：AE：CE=\：地：小或AC：AE：CE=小:^2：1

(I)當AC：AE：CE=\：A/2：/時

AC：CE=1：小即AC：CB=1：小

N4CB=90。

JZABC=30°

/.ZA0C=2ZABC=60°

(II)當AC：AE：CE=小:啦：1時

AC：CE=?1BPACtCR=^：1

ZACB=9()°

：.ZABC=60°

/.ZAOC=2ZABC=120°

/.ZAOC=2ZABC=120°

???ZAOC的度數為600或120°

7.(2011浙江麗水，21,g分)如圖，射線0G平分NEP—O為射線PG上一點，以O為

圓心，1()為半徑作。。，分別與NEP廠兩邊相交于4、B和C、Q,連結04,此時有

(I)求證：AP=AOi

(2)若弦AB=12,求lanN。尸8的值；

(3)若以圖中已標明的點(即P、A、B、C、。、。)構造四邊形，則能構成菱形的四個點

為，能構成等接梯形的四個點為或或.

B

【解】(1)?.?〃G平分/七—

，/DPO=/BPO,

?：OA"PE,

/.ZDPO=ZPOA,

/.NBPO=NPOA,

：.PA=OAx

(2)過點O作OHLAB于點H,則AH=HBf

\'AB=\2,

：,AH=6,

由(1)可知以=OA=10,

：.PH=R\+AH=\6,

IO?-62=8,

OH]

tanN

(3)P、A、O、CiA.B、D、?；蛳Α?、O、?；蛳?、C、O、B.

8.(2011廣東廣州市，25,14分)

如圖7,。。中八B是直徑，。是。。上一點，NA8C=45。，等腰直角三角形。C七中

NOCE是直角，點D在線段4c上.

(1)證明：B、C、E三點共線；

(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=^OM；

(3)將4DCE繞點C逆時針旋轉a(0A<u<90A)后，記為(圖8),右Mi

是線段BE1的中點，N］是線段AD］的中點，MINI4OM］是否成立？若是，請證明;

若不是，說明理由.

AA

【答案】(1)TAB為。O直徑

:.ZACB=90°

,??△OCE為等腰直角三角形

:.ZACE=90°

.?.ZBCE=90o+90°=180o

，B、C、E三點共線.

(2)連接BD,AE,ON.

VZACB=90°,NA8c=45。

AAB=AC

VDC=DE

ZACB=ZACE=90°

/.△BCD^AACE

AAE=BD,ZDBE=ZEAC

AZDBE+ZBEA=90°

ABD1AE

VO,N為中點

，ON〃BD,ON=1BD

同理OM〃AE,OM=1AE

AOM±ON,OM=ON

AMN=V2OM

(3)成立

證明：同(2)旋轉后NBCD尸NBCE]=9(T-NACDi

所以仍有△BCDigZiACEi，

所以AACEi是由繞點C順時針旋轉90。而得到的，故BD.lAEi

其余證明過程與(2)完全相同.

9.(2011浙江麗水，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點4(10,0),以。4為直徑

在第一象限內作半圓C,點3是該半圓周上的一動點，連結08、AB,并延長48至點

D,使。過點。作x軸垂線，分別交x軸、直線于點石、尸，點石為垂足，

連結CF.

(1)當NAO8=3乙時,求弧AB的長;

(2)當DE=8時，求線段EE的長：

(3)在點8運動過程中，是否存在以點E、C、尸為頂點的三角形與aAOB相似，若存

在，請求出此時點后的坐標：若不存在，請說明理由.

【解】(1)連結AC，

VA(10,0),???OA=10,CA=5,

NAO8=30。，

；?/4C8=2NAOB=60。,

，翕的長」60X；［X55兀

180~35

(2)連結0。,

???Q4是。C的直徑，，/OBA=90°,

又??F8=BD,

???。3是4。的垂直平分線，

J00=04=10,

在RtaODE中，

OE=yJOD2-DE2=yj102-82=6.

：.AE=AO-OE=\0~()=4,

由NAOB=NADE=90。-N0A8,

/OEF=NDEA,

得AOEFS^DEA,

ApFFdFF

-D^OF：即市T，??衣=3；

⑶設OE=x,

①當交點E在O,。之間時，由以點E、C、b為頂點的三角形與AAOB相似,

有N￡C4N80A或NECQ/0A8,當NEC尸=/80A時，此時△OCT為等腰三角

形，點石為OC的中點，即

.*.￡|（1，0）；

當NECF=N048時，WCE=5~x,AE=\O-x,

:,CFHAB,<CF=^AB,

'：△ECFsXEQ,

?紅旦冏5—x1貂得3

m。'即10--4'解得入-3'

???揚（孚0）；

②當交點E在C的右側時,

???NECF>NBOA

J要使△EC尸與△BA。相似，只能使NEC尸=/840,

連結BE,

???/法為RtZXAQE斜邊上的中線,

:,BE=AB=BD,

???NB￡A=NBAO,

ZBEA=ZECF,

CFOC

*：CF//BE,:,BE=OE，

?:/ECF=/BAO,NFEC=NDEA=RtN,

CFCE

，彳三十，

:ACEFsXAED,AL7JAL

QQCE

而AD=23E,

5A—5

即

2x~lO-x*

5+5而5-5VH

解得（舍去）,

4X2=^<0

5+5行

）；

4,0

③當交點E在。的左（M時,

,/ZBOA=ZEOF>ZECF

???要使△￡?尸與△84。相似，只能使N￡C尸=N84。,

連結BE,得BE劣D=AB,

NBEA=NBAO,

NECF=NBEA,

C.CFHBE.

.CFPC

??宿瓦'

乂?：4ECF=/BA0,/產EC=/OE4=RlN,

CECF

:ZEFSMAED,工正而

_亡OCCE

而AZ5=28E，??2OE-AEf

一一屈

,卷一解得5+555—5

；0；x，xk，<0（舍去）,

4X2-4

5—5折

???點E在x軸負半軸上,,0),

4

綜上所述：存在以點E、C、尸為頂點的三角形與△A08相似，此時點七坐標為:

5

55-5

￡Cviz

510-44

￡1(3￡4

10.（2011江西，21,8分）如圖，已知。O的半徑為2,弦BC的長為26，點A為弦BC

所對優弧上任意一點（B,C兩點除外）。

⑴求NBAC的度數；

⑵求4ABC面積的最大值.

（參考數據:

2

【答案】（1）過點。作。。_14c于點D,連接OA.

因為BC=26,所以CD=；BC=6.

又OC=2,所以sin/DOC=0,即sinNQOC二追，

OC2

所以NQ0060。.

又OD_LBC,所以N8AC=N/）OC=60°.

（2）因為AABC中的邊的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,

即點A是BAC的中點時，XABC面積的最大值.

因為NB4C=60。，所以△ABC是等邊三角形，

在RtZ\AOC中，AC=26,DC=￡,

所以AD=>JAC2-DC2=1（2后-忖=3.

所以△ABC面積的最大值為2Gx3x；=36.

11.（2011湖南常德，25,10分）已知△ABC,分別以AC和BC為直徑作半圓。］、0?,P

是AB的中點.

(I)如圖8,若△ABC是等腰三角形，且AC=BC,在AC,上分別取點E、F,使

乙40淀=/302尸,見有結論①②四邊形P0C02是菱形?請給出結

論②的證明；

(2)如圖9,若(1)中AABC是任意三角形，其它條件不變，則(1)中的兩個結論還

成立嗎？若成立，請給出證明；

(3)如圖10,若PC是。。的切線，求證：AB2=BC2+3AC2

【答案】

(1)證明：TBC是。02直徑，則02是8C的中點

又P是AB的中點.

???P02是aABC的中位線

：.P02=-AC

2

又AC是。O1直徑

：,PO2=O\C=-AC

2

同理P01=02C=，BC

2

VAC=BC

：,PO2=O\C=PO\=O2C

???四邊形pqco2是菱形

(2)結論①,/?￡孔尸0產,成立，結論②不成立

證明：在(1)中已證P02=，AC,又OIE=』AC

22

???P02=0\E

同理可得尸01=02F

???尸。2是△ABC的中位線

：.PO2//AC

：.ZPO2B=ZACB

同理NPO1A;NAC5

:,NPO2B=NPO\A

???N4OIE=NBO2F

4P01A+NAO1E=NQO2B+NBO2F

即/2。1￡：=//02。

（3）證明：延長AC交。02于點D,連接BD.

???BC是。02的直徑，則ND=90°,

乂PC是。。的切線，則ZACP=9（I°,

AZACP=ZD

XZPAC=ZBAD,

:.XAPCsXBAO

又P是AB的中點

?-JJ

??法一赤-5

AAC=CD

???在RtABCD中，BC2=CD2+BD2=AC2+BD2

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2

???AB2=4AC2+3D2=（AC?+BD1）+3AC2

??.AB2=BC2+3AC-

12.（2011江蘇蘇州，268分）如圖,已知AB是。O的弦,0B=2,ZB=30°,C是弦AB

上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交。O于點D,連接AD.

（1）弦長AB=（結