中考數學高頻壓軸題突破一二次函數與四邊形

1.如圖，直線BC交x軸于點8(5,0),交)，軸于點。((),-1),已知拋物線y=+法+c

經過點8,C,交x軸于另一點A.

(I)求拋物線的解析式；

(2)若夕是第一象限內拋物線上一點，Q是直線8c上一點，且以A,C,P,。為頂點的

四邊形為平行四邊形，求點Q的坐標；

(3)拋物線上是否存在點3,過。點作OE_L8C于點E使.CDE與△08C相似？若存

在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線)，=爐+必+。經過A(—2,4),4(2,0)兩點，與〉軸交于點C,DE=；AB,

。石在直線43上滑動，以OE為斜邊，在A3的下方作等腰直角DEF.

C

⑴求拋物線的解析式；

⑵當一。所與拋物線有公共點時，求點E的橫坐標，的取值范圍；

(3)在一戶滑動過程中是否存在點"，使以C,D,E,P為頂點的四邊形為菱形，若

存在，直接寫出點，的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=加+笈-4(4/0)與1軸交于點人(-4,0),

8(1,0)兩點，與)，軸交于點C.

(I)求拋物線的函數表達式；

(2)點。是直線人C下方弛物線上一動點，過點尸作夕￡歹＞軸交人C于點E,求的最

大值及此時點P的坐標；

⑶將該拋物線沿x軸向右平移￡個單位長度得到新拋物線)，，點N是原拋物線上一點,

在新拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得以8,C,N,M為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若不

存在，請說明理由.

4.如圖，拋物線)，=-$2+法+。與工軸交于點A和點8(-4,0).與)，軸交于點C(0,4),

連接AC,8c.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點/＞是第二象限內拋物線上的一點，當點尸到AB,AC距離相等時?，求點尸

的坐標；

(3)如圖2,點"在拋物線上，點N在直線8c上，在拋物線的對稱軸上是否存在點2,

使四邊形8MNQ為菱形？若存在，請直接寫出點。的坐標：若不存在，請說明理由.

13

5.如圖，拋物線y=-+4與X軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點。與

點C關于X軸對稱，點P是X軸上的一個動點.設點。的坐標為(〃?，0),過點尸作X軸的

垂線/交拋物線于點Q.

試卷第2頁，共9頁

備用圖

⑴求點A,B,C的坐標；

(2)當點。在線段。8上運動時，直線/交80于點M,試探究機為何值時，四邊形CQM。

是平行四邊形；

(3)在點夕的運動過程中，是否存在點。，使△BOQ是以4。為直角邊的直角三角形？若

存在，求出點。的坐標：若不存在，請說明理由.

6.如圖，已知拋物線y=與x軸交于點A,B,與丁軸交于點。，直線AC：

(1)則點A,B,。坐標分別為、、:

⑵點p為線段c尸下方拋物線上一動點，過點P作軸的平行線交AC于點。，過點尸作

x軸的平行線交)'軸于點E.

①求PQ+PE的最大值及相應點。的坐標：

②在①的條件下，將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得

到新拋物線X,點M為X對稱軸上一點，點N為拋物線)，上一點，若以點。，

P,M,N為頂點的匹邊形為平行四邊形，請寫出所有符合條件的點M的坐標，并任

選其中一個點M的坐標寫出求解過程.

7.如圖，已知拋物線產ad+加+2/與x軸交A(2,0),8(6,0),與)，軸交于點C.

⑴求拋物線解析式；

⑵若點P是直線8C下方拋物線上一點，且位于對稱軸左側,過點P作PD工BC于點D,

作M〃式軸交拋物線于點E,求PD+；PE的最大值及此時點P的坐標；

⑶將拋物線,請+法+2后向左平移2個單位長度得到新拋物線），'，平移后的拋物線了

與原拋物線交于點Q，點M是原拋物線對稱軸上一點，點N是新拋物線上一點，請直

接寫出使得以點8,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并寫出其

中一個點M的求解過程.

8.如圖，拋物線尸以2+云+?"0）與x軸交于A（＜0）、鞏1,0）兩點，與,，軸負半

釉交于點C，且OC=3（M.

⑴求拋物線的解折式；

（2）點。是直線AC下方拋物線上一動點，過點P作22〃1軸交直線AC于點Q,求

3

PQ-'AQ的最大值及此時P點的坐標；

（3）在（2）的情況下，將該拋物線向右平移，使其經過原點，點M為平移后新拋物線的

對稱軸上一點，點N在新拋物線上，當以8、P、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形

時，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標，并選取一個點寫出求解過程.

9.在平面直角坐標系M2V中（如圖），已知拋物線y=f—2x,其頂點為A.

試卷第4頁，共9頁

⑴寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標;

（2）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線y=X2-2X的“不動點”的坐標；

②向左或向右平移拋物線y=/-2x,使所得新拋物線的頂點8是該拋物線的“不動點”,

其對稱軸與x軸交于點C,且四邊形。4BC是梯形，求新拋物線的表達式.

10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=。/+以-。的頂點坐標為（2,9）,與），軸交

于點A（0,5）,與x軸交于點E,B.

⑴求二次函數y=6+bx+c的表達式；

（2）過點4作AC平行于x軸，交拋物線于點C,點尸為拋物線上的一點（點P在4C上

方），作平行于），軸交AB于點。，當點。在何位置時，四邊形4PC。的面枳最大？

并求出最大面積；

（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以4E,N,M為頂點的四邊形是平

行四邊形，且AE為其一邊，求點N的坐標.

11.如圖，拋物線），=-/+慶+仁與x軸交于點4-1,0）,8（4,0）,與），軸交于點C,連

接8C,點尸為線段8上一個動點（不與點C,。重合），過點尸作??！ǎS交拋物線

于點。.

圖1圖2備用圖

⑴求拋物線的表達式和對稱軸；

(2)設。的橫坐標為/,請用含/的式子表示線段PQ的長，并求出線段PQ的最大值；

(3)已知點"是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內一點，當線段PQ取

得最大值時，是否存在這樣的點M，M使得四邊形FBMN是菱形？若存在，請直接寫

出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

12.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線)，=++灰+4交x軸于A(TO)、4(2,0)兩

⑵如圖2.點〃為線段AC上方的拋物線上一動點，點尸為x軸上一個動點，連接以、

PC,當△PAC面積最大時，求尸尸+也/B的最小值，并求出此時P點的坐標.

2

(3)在(2)的條件下，將拋物線沿著射線AC方向平移2及個單位，得到新拋物線，點E

是新拋物線對稱軸上一點，點N是新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點8、P、N、

￡為頂點的四邊形是平行四邊形的點N的坐標.

13.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線產加+區-2(〃工0)交x軸于4(7,0)、

3兩點，交)，軸于點C,其對稱軸為x=1.5,

試卷第6頁，共9頁

(2)P為第四象限內拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ〃BP交x軸于點Q,連接PQ,

求-P4Q面積的最大值及此時點p的坐標.

⑶在(2)的條件下，將拋物線了="2+區一2(。/0)向右平移經過點Q,得到新拋物線，

點E在新拋物線的對稱軸上，是否在平面內存在一點F,使得以A、尸、E、尸為頂點的

四邊形是矩形？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角2標系中，拋物線＞=。*-1)2-3與x軸交于A,B兩點(點

A在點8的右側)，與＞軸交于頂點為。，對稱軸與x軸交于點”，過點〃

的直線/交拋物線于P,Q兩點，點Q在丁軸的左側.

(1)求。的值及點A,4的坐標；

(2)當直線/將四邊形ABCO分為面積比為3:7的兩部分時，求直線的函數表達式；

(3)當點。位于第一象限時，設PQ的中點為點N在拋物線上，則以。尸為對角線的

四邊形能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線丁=一!丁+反+c與x軸分別交于A,B兩點,

4

與)，軸交于。點，其中8(4,0),C(0,2).

⑴求該拋物線的函數表達式；

(2)點P為直線上方物物線上的任意一點，過。作PDAC交直線BC于。，作莊Ix

軸交直線BC于石，求、5PO+PE的最大值，并求此時P的坐標：

⑶如圖2,在(2)中。5PO+PE取得最大值的條件下，將該拋物線沿著水平方向右平

移2個單位長度，點尸為點P的對應點，M為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在平移

后的拋物線上確定一點N,使得以點C,F,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出

所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程.

16.已知拋物線y=a/+bx-3與x軸交于點A(TO),8(3,0),與>軸交于點C.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式.

(2)如圖1,點。是直線BC下方拋物線上一點，過點。作。尸_Lx軸，交直線8C于點E,

交x軸于點”，設點。的橫坐標為加，求線段OE長度的最大值.

(3)點M是拋物線的頂點，在平面內確定一點N,使得以點A、"、C、N為頂點的四

邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

17.拋物線y=-f+&+c與x軸交于A(-1,0)、8(2,0)兩點，與)，軸交于點C

試卷第8頁，共9頁

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)過點O垂直于BC的直線與拋物線交于點M,求點M的坐標；

(3)點尸在拋物線的對稱軸上，點Q在拋物線上，是否存在點Q,使得以A,C,P,Q

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

18.已知拋物線y=-V+2.r+3,與K軸交于點A,8(A在8的左邊)，與N軸交于點C,

點尸為拋物線上一個動點，橫坐標為，〃，點。為拋物線上另一個動點，橫坐標為4-

(1)直接寫出點A,B,C的坐標.

(2)將拋物線上點P與點A之間的部分記作圖像G,當組像G的函數值)，的取值滿足

0<J<4,求出〃?的取值范圍.

(3)當點夕在第一象限時，以PC,C4為鄰邊作平行四邊形尸C4O,四邊形PC4。的面

積記為S,求出S關于"的函數表達式，并寫出〃?的取值范圍.

(4)當以點點尸6加-2,〃，為端點的線段與拋物線PQ之間的部分(包括P、。)

有交點時，直接寫出機的取值范圍.

參考答案:

⑵（7』）或（-7,-6）

小、七?一5、f,20U5、f,535、

（3）存在，（4,一；）或（丁，,）或（二,一二-）

231848

【分析1（1）用待定系數法即可求解；

（2）由AP〃CQ,求出心的解析式，聯立拋物線y=g/—2x-|可得點尸的坐標，分兩

種情況：①AC為平行四邊形的邊時；②AC為平行四邊形的邊對角線時.根據平行四邊形

的性質即可求解；

（3）分三種情況：①/點。在第四象限時；②aCDEs；B8,點、D在第一

象限時；③.CQEs.aO時.根據相似三角形的性質即可求解.

【解析】⑴:拋物線），=#+灰+。羥過點8（5.0）,C（Q-1）,

25,

—+5b+c=0\b=-2

???'2，解得5，

5\c=--

c="2?2

???拋物線的解析式為：），=gf-2x-|；

（2）TP是第一象限內拋物線上一點，。是直線8c上一點，且以A,C,P,。為頂點的四

邊形為平行四邊形，

:.AP//CQ,

4（5,0）,c（（）,-|）,

設直線BC的解析式為），=丘+。，

f5k+a=0k=L

2

???5，解得＜，

a=—3

2a=—

I12

???直線BC的解析式為），=3-g,

???拋物線的解析式為：），=；/一2］一|二3"一2『—■!，

令y=0,得芭=T，巧=5（舍去）,

???A（—1,0）,

答案第10頁，共47頁

設直線AP的解析式為），=~x+m,

‘一!+〃?=（）,解得

22

工直線”的解析式為y=gx+g,

y:

聯立拋物線），=；/—2X-?得,

解得x=6或-1（舍去），

,7

???。（63），

①AC為平行四邊形的邊時：

???4-l,0）,P（6,3，C（0「3，

22

?二點Q的橫坐標為。+6-（一1）=7，點Q的縱坐標為g-g-O=1,

?,?點。的坐標為（7,1）；

②AC為平行四邊形的邊對角線時.

答案第11頁，共47頁

57

，點。的橫坐標為()+(-1)-6=-7,點。的縱坐標為0--]=-6,

，點。的坐標為(-7,-6)；

綜上，點。的坐標為(7,1)或(-7,-6)；

(3)存在，分三種情況：

①,CDEs.O,點。在第四象限時，

???CDEsBCO,

???^DCE-ZCDA,

：,CD//AB,

vC(o,-^),拋物線)，=：/_2x_：=:(X_2)2_2,

2222''2

???拋物線的對稱軸為直線x=2,

:.D(4,-1)；

@aCDE^BCOt點。在第一象限時，

答案第12頁，共47頁

如圖，設CD交x軸于產,

；?ZDCE=NCBA,

:.CF=FB,

??,8(5.0),

???Cr-FB-5-OF,

在△OC/中，OF'OC'CF?,

.?.OF2+(-)2=(5-OF)2,

2

解得OF="

o

設直線CF的解析式為y=Kx+小，

,解得

45

???直線CF的解析式為y=-x--,

聯立y=^x2-2x-1,

20

x=0

或《5

解得T（舍去）,

115

y=—y=-r

18

)2。115

③ACDESACB。時，如圖，過點E作EG_Ly軸于G,過點D作DHLGE于H,

答案第13頁，共47頁

D

??/CGE=/EHD=90°,

?'CDESQO,

5

-

￡2I

??/CEO=NCOA=90。，CE---_

o2

~ED5

\ZCEG+ZDEH=NCEG+/ECG=90°,

??/DEH=NECG,

??DEHsECG,

.CGGECE\

'~EH~~HD~~DE~2'

\EH=2CG,DH=2GE,

:EG_Ly軸,

??￡G〃x軸，

??aBCO^ECG,

.CGPC_\

'~GE~~OB~2，

??GE=2CG,

\GE=EH,DH=2GE,

設,

22

答案第14頁，共47頁

35

OG+DH=±x十士，

22

35

Z)(2x,—x——),

22

代入了=-2x_g得_**—?=3乂(24)2-2乂(2幻_'|.

解得x=2或0(舍去)，

4

綜上，點。的坐標為(4,-。)或(空,野)或-苧).

23IX4o

【點評】本題是二次函數n勺綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形

的性質，平行四邊形的性質等，解題的關鍵是能利用待定系數法求拋物線解析式，理解坐標

與圖形的性質，學會利用分類討論的思想解決數學問題.

2.(\)y=x2-x-2

⑵-2WK2-&或2±W4

(3)存在,(-2,0)或(2,-4)或(4,2)

【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可；

(2)根據等腰直角三角形的性質求出E&T+2),尸(2-2T+2),。("2,-1+4),當E點

與A點重合時，/=-2,當”點在拋物線上時，，=2-人，則-2工/工2-及時，JDEF與

拋物線有公共點；當E點與8點重合時，1=2,當。點與3點重合時，/=4,則2KY4時，

￡>￡F與拋物線有公共點：

(3)由(2)知，E&T+2),D(r-2,-/+4),C(0,-2),設P(x,y),根據菱形的對角線

答案第15頁，共47頁

及邊的性質分三種情況討論：①當為菱形的對角線時，CE=DE,?T+2=T+2+y,

r+(，-4『=4+4

t=t-2+x

求得P(—2,0)：②當CE為菱形的對角線時，CO=OE,T=T+4+y，求得尸(2,-4)；

("2)2+(-6『=4+4

x=2t-2

③當CQ為菱形的對角線時，CE=CD,?y-2=-2r+6,求得P(4,2)；

2222

z+(/-4)=(,?-2)+(r-6)

【解析】(1)解：將A(-2,4),8(2,0)代入…:+法+c,

j4+2〃+c=0

14-2/?4-c=4>

[b=-\

解得

-2

拋物線的解析式為y=x!-x-2；

(2)解：設直線A8的解析式為丁=公+，〃，

-2k+in=4

2k+m=0'

k=-]

解得、，

m=2

/.y=-x+2,

七點的橫坐標為/,

石(，,T+2),

???A(-2,4),8(2,0),

/.AB=y/(O-4)2+[2-(-2)]2=732=472,

??,DE=-AB,

2

:.DE=2y/2，

,AOEF是等腰直角三角形，

:.DF=EF=2,

:.F(t-2-t+2)t￡>(r-2,-r+4),

當E點與A點重合時，f=-2,

當〃點在拋物線匕時，(Z-2)2-(/-2)-2=-/+2,

答案第16頁，共47頁

解得/=2+應或/=2-&,

.?「2K/K2-&時，.DEF與拋物線有公共點；

當E點與5點重合時，，=2,

當。點與8點重合時，32=2,

解得f=4,

.?.2KY4時，力所與拋物線有公共點；

綜卜所述：-2W2-0或24f?4時，力印與拋物線有公共點：

(3)解：存在點P,使以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形，理由如下:

由(2)知，E/T+2),。("2,-/+4),C(0,-2),設尸(x,y),

①當C。為菱形的對角線時，CE=DE,

t-2=t+x

<-r+2=-/+2+y,

r+(f-4『=4+4

1=2

解得r=-2,

y=0

??.P(-2,0)；

②當CE為菱形的對角線時，CD=DE,

t=t-2+x

'-t=-t+4+y,

(r-2)2+(r-6)2=4+4

/=4

解得r=2,

y=-4

???P(2T)；

③當。為菱形的對角線時，CE=CD,

x=2t-2

，y-2=-2/+6,

r+(z-4)2=(r-2)2+(/-6)2

7=3

解得r=4,

y=2

??.P(4,2)；

答案第17頁，共47頁

綜上所述：P點坐標為(-2,0)或(2,T)或(4,2).

【點評】本題考查二次函數的圖象及性質，熱練掌握二次函數的圖象及性質，菱形的性質,

分類討論是解題的關鍵.

3.(\)y=x2+3x-4

⑵莊最大值為4,點P的坐標為(-2,-6)

⑶(3,10)或(3,20)或(3,2)

【分析】(1)根據待定系數法求解即可；

(2)先求直線4c解析式為y=-x-4,設P(f/+3-4)(>4<r<0),磯5—4),則可求

PE=Ti,然后根據二次函數的性質求解即可；

(3)分以BC為邊和對角線兩種情形討論即可.

【解析】(1)解：???拋物線"混+版-4("0)與工軸交于點A(iO),8(1,0)兩點,

?(16c/-4Z?-4-0

??1+4-4=0，

a=1

解得八Q，

b=3

???拋物線的函數表達式為y=V+3“-4；

(2)解：當x=0時，y=-4,

???C(0,-4),

設直線AC解析式為y=〃k+〃，

-Am+n=()

，直線AC解析式為y=-x-4,

設P(rj2+3r-4)(-4</<0),則￡(r,-r-4),

:.PE=(-r-4)-(r2+3r-4)

=-t2-At

=-(/+2)2+4,

，當『=-2時，PE最大,最大值為4,

此時點P的坐標為(-2,-6)：

答案第18頁，共47頁

(3)解：j=x2+3x-4=fx+-25

\2,T

Q

???拋物線沿x軸向右平移;個單位長度得到新拋物線解析式為

乙

392-3)4

y=x+-----

22

，新拋物線的對稱軸為直線x=3,

設N(c,°2+矢、一4),M(3,</|,

①以8c為邊時,

1+。0+31+30+c

則或《

0+c2+3c-4-4+6/0+d-4+c2+3c-4

2222

c=2c=4

解得成??

d=\0d=20'

???”的坐標為(3,10)或(3,20)；

②以8。為對角線時,

1+0c+3

F二F

則0+(-4)d+Bi+d

22

解得J

.?.M的坐標為(3,2),

綜上，M的坐標為(3,10)或(3,20)或(3,2).

【點評】本題考查了待定系數法求函數解析式，用函數法求線段和最值問題，二次函數圖象

和性質，平行四邊形性質等知識點，是一道關于二次函數綜合題和壓軸題，綜合性強，難度

較大；熟練掌握相關知識并靈活運用方程思想，數形結合思想和分類討論思想是解題關鍵.

4.(1)y=——x2--x+4

33

⑵十5"II

7-近'

(3)存在,-2*-2~

【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可;

答案第19頁，共47頁

(2)由題意知?點在ZCAB的角平分線上，設”與y軸交于點E,過￡作所工AC交于產

點，求出E1點坐標，直線AE與拋物線的交點即為所求；

(1>/7、

(3)設Q-彳/，由菱形的性質可知也點與。點關于直線8c對稱，求出M/-4,彳,再

將點M代入函數的解析式求出，的值即可.

【解析】(1)解：將以-4,0),C((),4)代入y=—歷+c,

c=4c=4

，解得一，

---4/?+c=0

3

，拋物線的解析式為y=~x2-1x+4.

(2)解：令y=(),則一g%2-；x+4=。，解得工=3或文=T,且點A在正半軸上,

:.43,0),

：,OA=XCO=4,

在RtOAC中，4C=A/0A2+0C2=732+42=5?

如圖所示，設”與)'軸交于點E,過E作EF工AC于小點，

???點尸到AB,4c距離相等，

???？點在NC48的角平分線上，則。E=M,

：.OA=OF=3,貝1］。尸=.4。-4/=5—3=2,

3

在RtZ\CM中，CE2=CF2+EF2,即(4一。"=。石2+4,解得。后二萬,

E(0,|),

設直線4E的解析式為)，=履+，〃，

答案第20頁，共47頁

3

3k+in=()

m=—?

3解得.

m=—

k=——

22

5

x=3

聯立方程組解得,2或.

y-0'

一4

（3）解：存在點。，使四邊形8MNQ為菱形，理由如下,

VB(-4,0),C(0.4),設直線BC的解析式為>'=依+加，

-41+加=。k'=l

，解得

m=4in-4

???直線BC的解析式為丁=x+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=-g,

M,根據點關于直線對稱點的坐標公式可知，

???點M的橫坐標為/=F-4=t-4,縱坐標為>w=x+4=-g+4=g，

答案第21頁，共47頁

???一；(，一4)2—；(，-4)+4=(,解得/=廿或,二u

22

【點評】本題考查二次函數的圖像及性質，熟練掌握二次函數的圖像及性質，角平分線的性

質，勾股定理，菱形的性質，點與直線對稱的性質是解題的關鍵.

5.(l)A(-2,0),3(8,0),C(0,4)

(2)當,〃=4時，四邊形是平行四邊形

(3)存在，點。的坐標為(6,4),(-2,0),(16-36)

【分析】(1)根據函數解析式列方程即可得到結論；

⑵如圖所示：根據平行四邊形的性質得到QM=C。，設點。的坐標為(肛-/+1+4)

則M(皿列方程即可得到結論；

(3)設點。的坐標為卜,-5〃/+/〃+4),分兩種情況：①當/。8。=90。時，根據勾股定

理列方程求得見=6,網=8(不合題意，舍去)，②當/。。3=90。時，根據勾股定理列方

程求得：陽3=-2,惆=16,于是得到結論.

131

【解析】(1)y=-^*2+/+4=-7('+2)(，-8),

令產。，得：—；(x+2)(.8)=0,解得：芭=-2,馬=8,

令x=0得，y=4,

???&-2,0),8(8,0),C|0,4).

(2)當QM=CO時，四邊形CQM。是平行四邊形，

答案第22頁，共47頁

???點。與點C(0,4)關于x軸對稱,

工點。(0,-4),。。=8,直線8。為y=；x-4,

由題可得一，/+1w?+4j

i3?

則—nr+—in+4—陽+4=8,解得小=4,m=0(舍去),

422

因此當〃?=4時，四邊形CQMD是平行四邊形.

(3)當/。8。=90。時，有BQ?+BO?=。。2,

,1,3」加十〃

即(8_+—m2+—〃?+4+(46,=〃/+3+4+4

I4242)

解得：町=6,，叼=8(合去)，，有Q(6,4)；

當NQZ)8=90。時，有B。=BD°+DQ2,

],3、

即(8_〃?)2+=(4石)+nr+——m~+—/n+4+4

【4242J

解得：?=-2,砥=16,.?.有Q?(-2,0),(16,-36)；

綜上所述：點。的坐標為(6,4),(-2,0),(16,-36).

【點評】本題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的特點，待定系數法求

直線的解析式，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，方程思想和分類思想的運用，綜合性

較強，有一定的難度.

6.(1)(2,0),(0,2),(0,-1)

(2)①PQ+PE的最大值為?，此時點尸的坐標為口力；②(2,1)或(2,或(2,3)

【分析】(1)分別令丁=。，x=0,即可求解;

(2)①設點P的坐標為(也，/-I),則點Q的坐標為(，明可得

答案第23頁，共47頁

2

PQ=--m+-m+2f然后分兩種情況：當點P在,，軸右側時，PE=nif當點尸在y軸左

側時，PE=T〃,結合二次函數的性質，即可求解：②分三種情況討論：當。夕為對角線時；

當OM為對角線時；當。M為對角線時；根據平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標

公式求解即可.

【解析】(1)解：對于丁=!/一1,

當y=()時，-x2-l=(),當x=0時，y=-1

4

x=

解得：\2,x2=—2,

?,?點4(2,O),B(O,2),仇0,-1)；

故答案為：(2,0),(0,2),(0,-1)

(2)解：①設點P的坐標為m,；川2-1),則點Q的坐標為+

PQ--/??+11-f—z/?2-1=-—nr+—m+2,

(2JU)42

當點尸在y軸右側時，PE=m,

PQ+PE=一?-nr+—/n+2+m=—?-(/??—3)~+—,

424V74

???當〃?=3時，PQ+PE的值最大，最大值為U,

4

此時點F的坐標為卜，：)；

當點。在y軸左側時，PE=-m,

PQ+PE=+g〃z+2-〃z=-((〃？+,

9

工當〃?=-1時，PQ+PE的值最大，最大值為了，

4

此時點P的坐標為1-1，-j；

綜上所述，尸Q+尸石的最大值為?，此時點P的坐標為卜，1);

②???將拋物線產先向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得到新拋物線》,

4

:.新拋物線)1的解析式為y=l(x-2)2-2,

，新拋物線X的對稱軸為直線x=2,

答案第24頁，共47頁

1點M為）1對稱軸上一點,

???點M的橫坐標為2,

1

設點M的坐標為（2,〃），點N的坐標為

當OP為對角線時,

3+02+z

.22~

，點M的坐標為（2,1）：

當ZW為對角線時，

2+03+/

5I2」解得：，3,

T+〃才，tri

,22

???點M的坐標為03}

當QN為對角線時，

1+03+2

~1~=2

???點M的坐標為（2,3）；

綜上所述，點M的坐標為（2,1）或（2怖）或（2,3）.

【點評】本題考杳二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，平行四邊形的

性質，分類討論是解題的關鍵.

7.⑴),=614&x\2g

63

⑵的最大值為二,此時點尸坐標為:

(3)4,-

【分析】（1）由拋物線解析式可得。（0,26），根據拋物線與x軸交A（2,0）,5（6,0）,設

答案第25頁，共47頁

y=a(x-2)(x-6),代入C(0,26)即可求得拋物線解析式；

(2)令PE〃X軸交直線BC于點八由⑴知A(2,0),8(6,0),C(0.2@,則拋物線的

對稱軸為x=4,OC=243,OB=6,即NOBC=30。，易知PF=2PD，設直線8c的解析

式為丁=辰+〃，代入8(6,0),C(0,273),求得)，=一事1+2行，令

2

P—Q/+2J5],表示山夕石一8—2f,PF=X1,—xfJ=-^-t+3tT由

o3I2

PD+^PE=^(2PD+PE}=^(PF+PE),得到關于i的函數關系式即可得到結果；

(3)由平移得新拋物線解析式，聯立原解析式求得點Q,設"(4〃。，N(x,)，),分三種情

況：①當。3,MN為對角線時；②當QN,MB為對角線時：②當BN,MQ為對角線時；

利用其中點重合，可求得加的值，即可得到M的坐標.

【解析】⑴解：???拋物線y=o?+法+26與x軸交4(2,0),8(6,0),與)，軸交于點C.

當工=0時，y=20即：C(0,2>/3),

設y=a（x-2）（x-6）,代入C（0,2G）,得：26=12〃，解得：a=B,

6

，拋物線解析式為：)，=￡"-2)(1-6)=骼/一竽工+26；

(2)莊〃x軸交直線8c于點尸,

4把=4

由（1）知A（2,0）,*6,0）,C（0,2x/3）則拋物線的對稱軸為:

2

則OC=26,03=6,

/.tanZOBC=—=,即/OBC=30。，

OB63

工PE//x,

/.ZDFP=30°,

,/PD工BC,

/.PF=2PD,

答案第26頁，共47頁

設直線的解析式為），=辰+3代入8（6,0）,C（0,2x/3）,

,V3廠

6k+b=0

得解得:3，即：y=-------X+25/3，

b=20/?=2>/33

令。''器"-怨，+26），則點E橫坐標為：8-z,即：PE=|8-2/|

點尸橫坐標為：立〃—生叵—a石，即：立一一延—26=-立工+26,

63633

22

解得：x=~t+4t,MPF=XF-XP=-1/+3/，

???PD+-PE=-(2PD+PE)=-(PF+PE)

222

即：PD+；PE=1?1

-(PF+PE)=-------?+3r+8-2z

2'，212

一一r+-Z+4

42

1zN17

4V74

當/=1時，PO+gpE有最大值?，此時點P坐標為：P,乎J

滔…）、”

（3）由題意可知：＞-

61）3

原拋物線的對稱軸為:x=4,則設M（4,/n）,

廣泉一+2）2考邛*2）2一半

則平移后的解析式為:

可得（x—4）2=（x-21，即x=3,則）,=一當,

聯立平移前后解析式,

???Q

"(6,0),0^3,

,M（4,〃?），設N（x,y）,

以點、B，。，M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,

①當Q3,MN為對角線時，

6+3=4+xx=5

'G，解得：，百

---=m+yv=--------m

-2

答案第27頁，共47頁

，當-吁骨-2)、手，解得：…苧

PI

②當QN,MB為對角線時,

3+x=4+6

V3

-------by=〃7

2.

???等+〃?=骼(7—2)2—竽，解得:

m—3G

???M(4,3碼；

②當AN,MQ為對角線時,

6+x=3+4

73，解得:

y_ni------

2

???加—等=當1一2)2一半,解得:

???M(4,())；

綜上，以點B,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標為：￡-孚］或(4,36)

X/

或(4.0).

【點評】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，二次函數、一次函數圖象上點坐

標的特征，平行四邊形的性質及應用等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點的

坐標及相關線段的長度.

3、9

8.(i)y=-rx+7工一3

44

3I(127A

⑵。。。的最大值為二，此時點。的坐標為一彳，-/

(3)(-2J0.5)或(7,10.5)或(-5,37.5)

【分析】(1)根據00=308,可求出點。的坐標，再把點義-4,0)、8(1,0)、C(0「3)代

入解析式，即可求解；

(2)過點。作。軸于點D,根據題意可得sinNO/lC=?I=《g=：,,從而得到

ACAQ5

答案第28頁，共47頁

33

DQ=-AQy進而得到P。-《AQ=PQ-Q。，再求出直線AC的解析式，設點

P（陽/+；〃?一3）,則點Q卜”一-3mqM+；〃?一3）,可用m表示出PQ,DQ的長，再根

據二次函數的性質，即可求解；

（3）根據題意可得拋物線向右平移4個單位得到新拋物線，從而得到平移后的拋物線解析

式，進而得到點W的橫坐標為g，然后結合平行四邊形的性質分三種情況討論，即可求解.

【解析】（1）解：???8（1,0）

*/OC=3OB.

???OC=3,

工點。（0,-3）,

把點A（-4,0）、4（1,0）、C（0,-3）代入,得:

3

16a-4/?+c=04

9

<a+b+c=0?解得：

4

c=-3

c=-3

7g

???二次函數的解析式為），=；V+,—3