6.2.4平面向量的數量積（1）盛琪第六章

平面向量及其應用2025/4/5引

入實數加法減法向量加法減法數乘向量＋向量=向量向量－向量=向量實數×向量=向量向量與向量能否相乘？乘法線性運算類比類比類比類比問題1前面我們學習了向量的加法、減法運算.類比數的運算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？引

入問題2回顧之前學習向量線性運算的過程，我們都是按照怎樣的路徑學習的？物理模型性質運算律應用路徑：概念向量的加法位移合成力的合成向量的數量積?引

入問題3①在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產生位移s，那么力F所做的功

，其中θ是F與s的夾角．功是一個_____，它由力和位移兩個向量來確定.問題3②功是一個矢量還是標量？它的大小由哪些量確定？

這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果呢？受此啟發，我們引入向量“數量積”的概念.標量探究新知問題4如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積因為力做功的計算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.探究新知1.向量的夾角已知兩個非零向量

，O是平面上的任意一點，作

則∠AOB＝θ(

)叫做向量

的夾角．OABθ顯然，當θ=0時，同向.當時，垂直，記作.當θ=π時，反向.記作:<

>θ∈[0，π]范圍：0≤θ≤π課堂練習50°ABC45°85°1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夾角：

(1)45°130°85°45°130°85°(2)(3)問題5兩個向量的夾角與兩條直線的夾角有何區別？向量

與

之間的夾角θ的取值范圍是[0,π],注意:必須共起點.兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向).可以平移實現.探究新知2.平面向量數量積的定義

已知非零向量與，它們的夾角為θ，我們把數量叫作

與的數量積（或內積），記作，即規定規定：零向量與任意向量的數量積為0，即

向量的數量積是一個數量②一種新的運算.①“·”不能省略不寫，也不能寫成“×”.③數量積a·b的結果為實數，不是向量.（數量積運算是非線性運算）注意:例題講解例1

已知解：例2

解：

由

，得∵

∴

.知三求一課堂練習BCC>4.已知|a|=6，|b|=8,a與b平行，求a?b.探究新知問題6向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？0°≤θ＜90°

=90°

④兩個非零向量的數量積，符號由夾角θ決定：注意:當a·b=0時，夾角θ_______.當a·b>0時，夾角θ范圍是_______________；當

a·b<0時，夾角θ范圍是_______________;90°＜θ≤180°

?

是非零向量

⑤探究新知3.投影向量設

是兩個非零向量，

，過

的起點A和終點B，分別作

所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到

，我們稱這種變換為向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我們可以在平面內任取一點O，作.過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量探究新知問題7如圖，設與方向相同的單位向量為，與的夾角為θ，那么

與，，θ之間有怎樣的關系？

顯然與

共線，于是所以當θ為直角時，λ=0，所以當θ為銳角時，與

方向相同，探究新知所以當θ為鈍角時，與

方向相反，當θ=0時，λ=，所以當θ=

時，λ=，所以綜上可知，對任意的都有:例題講解例題講解例5

課堂練習【練習】1．已知a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為30°，那么a·b等于____．2．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為

.3．已知e為單位向量，|a|=4，a與e夾角為120°，則a在e方向上的投影向量為

．探究新知4.數量積的性質(3)當

與

同向時，

；當

與

反向時，

．

特別地，

或

．（由|cosθ|≤1得到）設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則

aa常記為a可用于求向量的模.(5)cosθ=

.實質是平面向量數量積的逆用，可用于求兩向量的夾角，也稱為夾角公式.課堂小結1.知識點：(1)向量的夾角.(2)向量數量積的定義.(3)投影向量.(4)向量數量積的性質.2.方法歸納：數形結合.3.易錯點：向量夾角共起點；