第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法1.

數(shù)學(xué)歸納法的原理是什么?2.數(shù)學(xué)歸納法的步驟是怎樣的?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題1.

在上面的多米諾骨牌游戲中,如果其中任一塊骨牌倒下,都能導(dǎo)致它后面的一塊骨牌也倒下成立,當(dāng)你推倒第一塊骨牌時(shí),是否所有的骨牌都能全部倒下?這個(gè)問題中,要使所有的骨牌全部倒下,必須且只需滿足什么條件?條件①:第一塊骨牌倒下;條件②:任一塊骨牌倒下時(shí),它后面一塊也一定有這兩個(gè)條件,一定能使所有的骨牌都倒下.能倒下,即當(dāng)?shù)趉

塊倒下時(shí),第k+1塊也一定倒下.

問題2.

命題:“前k

個(gè)正奇數(shù)的和等于k2”,請(qǐng)你驗(yàn)證,有不有這樣的正整數(shù)k?如果有這樣的正整數(shù)k,那么再加上第k+1個(gè)正奇數(shù),即前k+1個(gè)正奇數(shù)的和是否也得(k+1)2?如果對(duì)k+1個(gè)正奇數(shù)的和也成立,你有什么思考?k=1時(shí),1=12;k=2時(shí),1+3=4=22;k=3時(shí),1+3+5=9=32.有這樣的正整數(shù)k.如果命題成立,即1+3+…+(2k-1)=k2

成立,那么再加上第k+1個(gè)奇數(shù)得1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=

k2+[2(k+1)-1]=

k2+2k+1=(k+1)2.即再多加一個(gè)正奇數(shù)也成立.再多加一個(gè),……如此遞推下去都成立.

問題2.

命題:“前k

個(gè)正奇數(shù)的和等于k2”,請(qǐng)你驗(yàn)證,有不有這樣的正整數(shù)k?如果有這樣的正整數(shù)k,那么再加上第k+1個(gè)正奇數(shù),即前k+1個(gè)正奇數(shù)的和是否也得(k+1)2?如果對(duì)k+1個(gè)正奇數(shù)的和也成立,你有什么思考?k=1時(shí),1=12;k=2時(shí),1+3=4=22;k=3時(shí),1+3+5=9=32.有這樣的正整數(shù)k.如果命題成立,即1+3+…+(2k-1)=k2

成立,那么再加上第k+1個(gè)奇數(shù)得1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=

k2+[2(k+1)-1]=

k2+2k+1=(k+1)2.即再多加一個(gè)正奇數(shù)也成立.再多加一個(gè),……如此遞推下去都成立.在這個(gè)問題中:(1)驗(yàn)證了k=1時(shí)成立;(2)保證了在k

的后面逐個(gè)推下去都成立.有了這兩條,就保證了對(duì)所有的正整數(shù)k

都能成立.這就是數(shù)學(xué)歸納法的思想.數(shù)學(xué)歸納法:

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n

有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n

取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0

開始的所有正整數(shù)n

都成立.

數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)有關(guān)正整數(shù)n

的命題作證明的一種特殊的證明方法.如:在數(shù)列{an}中,已知a1=1,我們猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是是否正確呢?(1)驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立?由已知給出的a1=1得n=1時(shí)是正確的.(2)如果存在一個(gè)正整數(shù)k,使n=k

時(shí),成立,能否得到n=k+1時(shí)也成立?即能否得到下面就需要對(duì)(2)進(jìn)行推證:∵成立,又由已知得如:在數(shù)列{an}中,已知a1=1,我們猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是是否正確呢?(1)驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立?由已知給出的a1=1得n=1時(shí)是正確的.(2)如果存在一個(gè)正整數(shù)k,使n=k

時(shí),成立,能否得到n=k+1時(shí)也成立?即能否得到下面就需要對(duì)(2)進(jìn)行推證:∵成立,又由已知得于是即得化簡(jiǎn)即得第二個(gè)條件得到證明了,說明對(duì)任意正整數(shù)n通項(xiàng)公式是成立的.例1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=1,驗(yàn)證得n=1時(shí),等式是成立的.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)有例1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=1,驗(yàn)證得n=1時(shí),等式是成立的.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)有即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)(2)兩步可知,對(duì)任意正整數(shù)n,等式都成立.

例2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn

的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.解:這四項(xiàng)的分子是正整數(shù)數(shù)列,分母是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列,于是猜想下面給以證明:

例2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn

的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由猜想得S1=與已知的相等,所以當(dāng)n=1時(shí)猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)得,

例2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn

的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由猜想得S1=與已知的相等,所以當(dāng)n=1時(shí)猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)得,即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立,由(1)(2)可得,猜想對(duì)任意nN*都成立.練習(xí):(課本95頁)第1、2題.練習(xí):(課本95頁)有數(shù)學(xué)歸納法證明:1.

首項(xiàng)是a1,公差是d

的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證通項(xiàng)公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=a1+(1-1)d=a1,即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即第k

項(xiàng)為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d,得n=k+1時(shí)公式也成立,由(1)(2)得,nN*公式都成立.練習(xí):(課本95頁)有數(shù)學(xué)歸納法證明:1.

首項(xiàng)是a1,公差是d

的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證前n

項(xiàng)和公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),=a1即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即前k

項(xiàng)和為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,練習(xí):(課本95頁)有數(shù)學(xué)歸納法證明:1.

首項(xiàng)是a1,公差是d

的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證前n

項(xiàng)和公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),=a1即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即前k

項(xiàng)和為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,得n=k+1時(shí)公式也成立,由(1)(2)得,對(duì)任意nN*,公式都成立.2.

首項(xiàng)是a1,公比是q

的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證通項(xiàng)公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=a1q1-1=a1,即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即第k

項(xiàng)為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,ak+1=akq=a1qk-1q得n=k+1時(shí)公式也成立,由(1)(2)得,對(duì)任意nN*公式都成立.=a1qk=a1q(k+1)-1,2.

首項(xiàng)是a1,公比是q

的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證前n

項(xiàng)和公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),=a1即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即前k

項(xiàng)和為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,2.

首項(xiàng)是a1,公比是q

的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1,前n

項(xiàng)和的公式證明:

證前n

項(xiàng)和公式.(1)當(dāng)n=1時(shí),=a1即n=1時(shí)公式正確.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)公式正確,即前k

項(xiàng)和為那么當(dāng)n=k+1時(shí)有,Sk+1=Sk+ak+1=S1,得n=k+1時(shí)公式也成立.根據(jù)(1)(2)知,對(duì)任意nN*,公式都成立.【課時(shí)小結(jié)】1.

數(shù)學(xué)歸納法的基本原理

對(duì)于有關(guān)正整數(shù)n

的問題,如果滿足以下兩個(gè)條件:①n

取第一個(gè)正整數(shù)時(shí),問題成立;②只要有一個(gè)正整數(shù)n

使問題成立,它后面的一個(gè)就一定使問題成立.那么就可以逐個(gè)遞推到所有正整數(shù)都能使問題成立.

即①必須有第一塊多米諾骨牌倒下,否則就不可能有后面的一切.②必須保證任一塊多米諾骨牌倒下都能打倒后面的一塊.否則就停止了.【課時(shí)小結(jié)】2.

數(shù)學(xué)歸納法

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n

有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n

取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立;

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0

開始的所有正整數(shù)n

都成立.【課時(shí)小結(jié)】2.

數(shù)學(xué)歸納法的要點(diǎn)(1)必須有兩步;(2)第二步的“假設(shè)n=k

時(shí)命題成立”要作為條件,否則無法推證.(3)寫出n=k+1時(shí)的目標(biāo),向著這個(gè)目標(biāo)推證.習(xí)題2.3(全部)習(xí)題2.3A組1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)1+2+3+…+n=(2)

當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)1+3+5+…+(2n-1)=n2;(3)1+2+22+…+2n-1=2n-1.習(xí)題2.3A組1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)1+2+3+…+n=證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊==1,左邊=右邊,即n=1時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)等式成立,即成立.那么當(dāng)n=k+1時(shí)有習(xí)題2.3A組1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)1+2+3+…+n=證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊==1,左邊=右邊,即n=1時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)等式成立,即成立.那么當(dāng)n=k+1時(shí)有即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)(2)知,對(duì)于任意nN*,等式都成立.習(xí)題2.3A組1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=12=1,左邊=右邊,即n=1時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)等式成立,即那么當(dāng)n=k+1時(shí)有(2)

當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)1+3+5+…+(2n-1)=n2;1+3+5+…+(2k-1)=k2

成立.1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2,即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)(2)知,對(duì)于任意nN*,等式都成立.習(xí)題2.3A組1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=21-1=1,左邊=右邊,即n=1時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)等式成立,即那么當(dāng)n=k+1時(shí)有(3)1+2+22+…+2n-1=2n-1.1+2+22+…+2k-1=2k-1成立.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2·2k-1即n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)(2)知,對(duì)于任意nN*,等式都成立.=2k+1-1,

2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,由此推測(cè)計(jì)算Sn

的公式,并給出證明.解:猜測(cè):下面給以證明:

2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,由此推測(cè)計(jì)算Sn

的公式,并給出證明.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由猜測(cè)得S1=與已知的相等,所以當(dāng)n=1時(shí)猜測(cè)成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí)得,

2.

已知數(shù)列….計(jì)算S1,S2,S3,由此推測(cè)計(jì)算Sn

的公式,并給出證明.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由猜測(cè)得S1=與已知的相等,所以當(dāng)n=1時(shí)猜測(cè)成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k

時(shí)