第1課時函數的單調性與導數南陽市五中要點導數與函數的單調性在某個區間(a，b)內，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：導數函數的單調性f′(x)>0單調________f′(x)<0單調________f′(x)＝0常數函數遞增遞減(1)若在某區間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)＞0，則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似)．(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內的任一非空子區間上f′(x)不恒為0.1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數f(x)在定義域上單調遞減．(

)(2)函數在某一點的導數越大，函數在該點處的切線越“陡峭”．(

)(3)函數在某個區間上變化越快，函數在這個區間上導數的絕對值越大．(

)(4)判斷函數單調性時，在區間內的個別點f′(x)＝0，不影響函數在此區間的單調性．(

)××√√2．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則(

)A．f′(3)>0

B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符號不確定答案：B解析：由圖象可知，函數f(x)在(1，5)上單調遞減，則在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故選B.3．導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的圖象可能是(

)答案：D解析：∵當x>0時，f′(x)>0，當x<0時，f′(x)<0，∴函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，在(－∞，0)上是減函數，故選D.4．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命題乙：f(x)在(a，b)內是單調遞增的，則甲是乙的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：A解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，則f(x)＝x3在(－1，1)內是單調遞增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要條件．故選A.題型一導函數與原函數圖象間的關系例1

(1)設函數f(x)在定義域內可導，f(x)的圖象如圖所示，則導函數f′(x)的圖象可能為(

)答案：(1)D解析：(1)由f(x)的圖象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數，因此在x<0時，有f′(x)>0(即全部在x軸上方)，故排除A、C.從原函數圖象上可以看出，在區間(0，x1)上原函數是增函數，f′(x)>0；在區間(x1，x2)上原函數是減函數，f′(x)<0；在區間(x2，＋∞)上原函數是增函數，f′(x)>0，故排除B，故選D.(2)(多選題)設f′(x)是函數f(x)的導函數，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，正確的是(

)答案：

(2)ABC解析：(2)A，B，C均有可能；對于D，若C1為導函數，則y＝f(x)應為增函數，不符合；若C2為導函數，則y＝f(x)應為減函數，也不符合，D不可能，故選ABC.函數與導數圖象間的關系判斷函數與導數圖象間的對應關系時，首先要弄清所給圖象是原函數的圖象還是導函數的圖象，其次再注意以下兩個方面：(1)函數的單調性與其導函數的正負的關系：在某個區間(a，b)內，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區間上單調遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數函數，不具有單調性．(2)導數與函數圖象的關系函數值增加得越來越快函數值增加得越來越慢f′(x)>0且越來越大f′(x)>0且越來越小函數值減少得越來越快函數值減少得越來越慢f′(x)<0且越來越小絕對值越來越大f′(x)<0且越來越大絕對值越來越小跟蹤訓練1

(1)函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的圖象可能是(

)答案：(1)D解析：(1)當f′(x)<0時，函數f(x)單調遞減，當f′(x)>0時，函數f(x)單調遞增，則由導函數y＝f′(x)的圖象可知：f(x)先單調遞減，再單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函數應單調遞增，排除B.故選D.(2)已知y＝x·f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)答案：

(2)D解析：(2)當x>0時，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零?f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上遞增，當x≤0時，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上遞減，只有D滿足，故選D.題型二用導數研究不含參數的函數單調性例2

判斷下列函數的單調性(1)f(x)＝x2－lnx；

用導數判斷函數單調性的步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導函數f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)寫出結論．

答案：(1)C

(2)遞減

變式探究本例中的條件“a>0”改為“a∈R”，結果如何？

在討論含有參數的函數單調性時，若f′(x)中的參數不容易判斷其正負時，需要對參數進行分類，分類的標準：(1)按導函數是否有零點分大類；(2)在大類中再按導數零點的大小分小類；(3)在小類中再按零點是否在定義域中分類．跟蹤訓練3

已知函數f(x)＝ex(ex－a)－a2x，討論f(x)的單調性．

1．已知f′(x)是f(x)的導函數，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)答案：C解析：由導函數的圖象可知，當x<0時，f′(x)>0，即函數f(x)為增函數；當0<x<x1時，f′(x)<0，即函數f(x)為減函數；當x>x1時，f′(x)>0，即函數f(x)為增函數，觀察選項易知C正確，故選C.2．如果函數f(x)是偶函數，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，則在(0，＋∞)上f(x)的單調性是(

)A．遞增

B．遞減C．先減后增D．先增后減答案：A解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上遞減，又函數f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱，∴在(0，＋∞)上f(x)遞增．故選A.3．“m<4”是“函數f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：A

4．設f(x)＝x－sinx，則f(x)(

)A．既是奇函數又是減函數B．既是奇函數又是增函數C．是有零點的減函數D．是沒有零點的奇函數答案：B解析：由題意知f(0)＝0