專題5.3平行線四大模型專項訓練（40道）

【華東師大版】

考卷信息:

本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的

綜合問題的所有類型!

【模型1“鉛筆”模型】

結論1：心AB"CD、則/尸+勿。36（f：

結論2；若?乙/叭?=360，則

1.（2022?湖南?永州市劍橋學校七年級階段練習）如圖所示，力皿2,01=105°,02=140°,

則團3的度數為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先過點A作4卷/”由/刑2,即可得A施/旭自然后根據兩直線平行，同旁內角

互補，即可求得團4與團5的度數，又由平角的定義，即瓦求得明的度數.

【詳解】解:

過點4作4砌",

團//困2，

血響網2，

001+04=180°,02+05=180°,

釀1=105。,團2=140°,

施4=75。,田5=40。，

004+05+03=180°,

003=65°.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質，解題的關健是熟練的掌握平行線的性質.

2.（2022?貴州六盤水?七年級期中）如圖所示，若AB13EF,用含%0、y的式子表示心應

為（）

A.a+p+yB.0+y-aC.1800-a-y+pD.180°+?+/?-/

【答案】C

【分析】過C作CD回AB,過M作MN%F,推出AB0CD13VIN回EF,根據平行線的性質得出

a+@BCD=180°,團DCMWCMN,團NMF=y,求出國BCD=180°?a,團DCM=0CMN=/7-y,即可得出答

案.

【詳解】過C作CD0AB,過M作MN0EF,

0AB0EF,

0AB0CD0MN0EF,

0a+0BCD=18O0,團DCMWCMN,0NMF=y,

00BCD=18O°-a,0DCM=0CMN=/?-y,

[?lx=[?lBCD+0DCM=18Oo-a—y+0,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查了學生的推理能力.

3.（2022?甘肅?北京師范大學慶陽實驗學校七年級期中）如圖，如果48IICQ,那么08+航

【答案】540

【分析】過點E作EMIICD,過點F作FNIIC。，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可作答.

【詳解】過點E作EMIIC。，過點尸作FNIICD,如圖，

0/4FHCD,EMWCD,FNWCD,

EL4BI尸N,EMWFN,

005+05^=180°,即話M+（3E7W=18O°,0D+0DEM=18O°,

^DEF^DEM^FEM,?BFE=?BFN+?EFN,

團團8+08廠石+國。￡/+0。=團打N+S/^M+QE尸N+團D+E1QEM=54O°,

故答案為：540.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，即兩直線平行，同旁內角互補.構造輔助線EM憶D,

FNIICD是解答本題的關鍵.

4.（2022?全國?七年級專題練習）如圖所示，AB//CD,與aDE的角平分線相較于點

F,4E=80°,求48F0的度數.

請你幫助小明完成剩余的解答.

⑵問題遷移：請你依據小明的解題思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,當點P在A、B兩點之間時，［MZ)P=Ea,08(7尸=郵，則0a,郵之

間有何數量關系？請說明理由.

【答案】⑴110°,見解析；⑵團CPD=0a+郵,理由見解析

【分析】⑴過尸作尸的48,構造同旁內角，通過平行線性質，可得財產。=50。+60。=11。。

(2)過P作P￡1M。交CO于E點，推出4D0PE08C，根據平行線性質得到的=(3。0￡,郵M3CPE,

即可得出答案.

【詳解】解；(1)剩余過程；0CrMPCD=18O%

00CPE=18Oo-12Oo=6Oo

(?L4PC=50o+60o=110o；

(2)團CP￡>=回a短d理由如下：

如下圖，過尸作尸的4。交CD于點E,

{3ADSBC

^AD^PE^BC,

013a=0DPE,0P=0CP￡

0SCPD=0DP￡+0CPE=0a+0p.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考察學生的推理能力，解決問題的關

鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角.

7.（2022?全國?七年級專題練習）如圖1,四邊形MN8D為一張長方形紙片.

（1）如圖2,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（28力￡\LAEC./.ECDy^\Z-BAE+Z.AEC+

乙ECD=__________

（2）如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（M4E、LAEF,乙EFC、"CO）,則NB4E+

LAEF+乙EFC+乙FCD=

（3）如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（乙BAE,^AEF.乙EFG、乙FGC、乙GCD）,

則乙84E+^AEF+Z-EFG+Z.FGC4-Z.GCD=°.

（4）根據前面探索出的規律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出5+1）個角，那么這（九+1）

個角的和是，

【答案】（1）360：（2）540；（3）720：（4）180n.

【分析】（1）過點E作EH團AB,再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等

于180。的2倍；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的

和等于180。的三倍；

（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個

角的和等于180。的三倍；

（4）根據前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度.

【詳解】（1）過E作EHMB（如圖②）.

（3原四邊形是長方形，

0AB0CD,

又團EH團AB,

0CD0EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）.

0EH0AB,

釀A+團1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

0CD0EH,

002+0C=18O°（兩直線平行，同旁內角互補）.

[30A+01+[32+(3C=36Oo,

X001+02M3AEC,

00BAE+0AEC+[2ECD=36OO；

(2)分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示,

用上面的方法可得團BAE短AEF+國EFC+因FCD=540°：

(3)分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示,

用上面的方法可得團BAE+0AEF+團EFG+(3FGC+[3GCD=720°；

(4)由此可得一般規律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度.

故答案為：(1)360；(2)540：(3)720；(4)180n.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解

本題的關鍵，總結規律求解是本題的難點.

8.(2022?安徽合肥?七年級期末)問題情景：如圖1,A的CO,回辦3=140。，0PCD=135",

求MPC的度數.

(1)麗麗同學看過圖形后立即口答出：財PC=85。，請補全她的推理依據.

如圖2,過點。作從

因為AB0C7),所以PE0CD.()

所以財+a4PE=180°,(3C奄CPE=180°.()

因為團以3=140°,回PCO=135°,所以(MPE=40。，0CPE=45°,

^APC=^APE+^CPE=85°.

問題遷移：

(2)如圖AmBC.當點。在A、A兩點之間運動時，P1/?CP=H/?.求

與加、明之間有什么數量關系？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，如果點尸在A、8兩點外側運動時（點P與點A、B、。三點不重

合），請直接寫出團。夕。與命、歌之間的數量關系.

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁

內角互補；（2）/CPU=理由見解析；（3）乙CPD=乙8一乙a或乙CPD=乙。一乙口

【分析】（1）根據平行線的判定與性質填寫即可；

（2）過P作P國4D交CQ于七，推出4O0PE0BC,根據平行線的性質得出面WOPE,郵器CPE,

即可得出答案：

（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在84的延長線.上，②點。在43的延長線上），根據

平行線的性質得出加=團。尸石，冊=時尸石，即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖2,過點P作尸EE4B,

圖2

因為ABaCD,所以PE^CD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

所以幽+0APE=180°,0C+0CPE=180°.（兩宜線平行同旁內角互補）

因為（3以B=140°,0PCD=135°,

所以MPE=40°,0CPE=45°,

^APC=^APE+^CPE=85O.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補;

（2）0CPD=0a+a/7,理由如下：

如圖3所示，過夕作。國4。交CO于E,

M

團創MOPE,0^=0CPE,

00CPD=0DPF+0CPE=0a+0/？；

(3)當P在84延長線時，如圖4所示:

同(2)可知:0a=0DPE,郎血CPE,

WCPD=^-Sla；

團團CPQ=^a-毆.

綜上所述，EICPO與以、叩之間的數量關系為：13cp。=眠命或團。叩=（如鄴.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關鍵.

【模型2“豬蹄”模型】

結論2：玄4片,AEZ乙CFP，則

9.（2022?全國?七年級）如圖所示，直角三角板的60。角壓在一組平行線上，48IICD,^ABE=

【答案】20

【分析】如圖（見詳解），過點E作先證明4BIIEFIICD,再由平行線的性質定理

得至=40°,乙EDC=^DEF,結合已知條件iBED=60。即口J得至人

【詳解】解：由題意可得：^BED=60°.

如圖，過點E作EFIIAB,

又國力BIIC。，

（L4BIIE?||CO,

0Z/45F=Z.BEF=40°,LEDC=Z-DEF,

^LBED=60°,

0ZDFF+乙BEF=60°,

0ZDEF=20°,

即；"DC=20。.

故答案為：20.

【點睛】本題重點考查了平行線的性質定理的運用.從“基本圖形''的角度看，本題可以看作

是“M〃型的簡單運用.解法不唯一，也可延長班交CO于點G,結合三角形的外角定理來

解決；或連結8。，結合三角形內角和定理來解決.

10.(2022?河南平頂山?八年級期末)如圖：

(1)如圖1,ABWCD,^ABE=45%^CDE=21°,直接寫出/BED的度數.

(2)如圖2,48IICD,點E為直線AB,CD間的一點，“平分。尸平分“DE,寫出/BED

與乙F之間的關系并說明理由.

(3)如圖3,力8與。。相交于點6,點岳為286。內一點，9尸平分448凡。廣平分乙。。5,若486。=

60。，/-BFD=95°,直接寫出上8ED的度數.

【答案】⑴團8￡。=66。；

⑵團B￡D=2(3F,見解析；

(3)0BED的度數為130°.

【分析】(1)首先作￡7段B,根據直線人質C。，可得Q13CD,所以的18￡=皿=45。，

0CD^=02=21°,據此推得姐。=01+32=66°；

(2)首先作EG0AB,延KDE交8F于點H,利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即

可得到她ED=20F；

(3)延長。F交48于點兒延長GE到/,利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即可

得到回8ED的度數為130°.

(1)

解：(1)如圖，作￡7圓48,

團直線Al^CD,

0(?L45E=01=45O,0CDE=02=21°,

00B￡D=ai+02=66o：

(2)

解：^BED=2^F,

理由是：過點E作EG〃八B,延長DE交8F于點H,

^AB//CD,^AB//CD//EG,

005=01+02,06=03+04,

OF平分團COE,

曲2-01,03-04,則05-2團2,06-203,

0SBFD=2(02-H33),

又團F+回3=(38HO,08HD+S2=0BED,

003+02+0F=0e￡D,

綜上回8￡。="+1208￡。，即回8ED=213F；

(3)

解：延長DF交48于點H,延長G￡到/,

團團8GO=60°,

0(23=01+QBGD=01+60°,0BFD=02+03=02+01+60°=95°,

002+01=35°,HP2(02+01)=70°,

團BF平分M8E,DF平分回CDE,

00A8E=202,0CDE=201,

00BF/=04ef+05GE=202+0fiGE,(3DE/=I3CDE+團。GE=2(31+團DGE,

00BED=0BE/+SDE/=2(02+0：)+(0BG￡+0DGE)=7O°+6OO=13OO,

00BFD的度數為130°.

【點睛】本題考查J'平行線的判定和性質，三角形的外角性質等知識，掌握平行線的判定和

性質，正確添加輔助線是解題關鍵.

11.(2022?江蘇常州?七年級期中)問題情境：如圖①，直線48IICD,點￡尸分別在直線

AB,CD上.

⑴猜想：若匕1=130°,Z2=150°,試猜想乙P=。：

(2)探究：在圖①中探究N2,NP之間的數量關系，并證明你的結論；

⑶拓展：將圖①變為圖②，若乙1+乙2=325。，Z.EPG=75°,求/PGF的度數.

【答案】(1)80°

(2)zP=360°-zl-z2；證明見詳解

⑶140°

【分析】(1)過點P作利用平行的性質就可以求角度，解決此問；

(2)利用平行線的性質求位置角的數量關系，就可以解決此問；

(3)分別過點P、點G作MNII4?、KRWAB,然后利用平行線的性質求位置角的數量關系即

可.

(1)

解：如圖過點P作MNIL4B,

財川CD,

^ABWMNWCD.

0Z1+乙EPN=180°,

Z2+乙FPN=180°.

0Z1=130°,Z.2=150°,

團41+42+乙EPN+乙FPN=360°

^Z-EPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

ONP=ZEPN+ZFPN,

如P=80°.

故答案為：80°；

(2)

解：乙P=360。一41一42,理由如下:

如圖過點尸作MNIL4B,

^AB\\CDt

^ABWMNWCD.

0Z1+乙EPN=180°,

424-乙FPN=180°.

0Z1+Z2+乙EPN+乙FPN=360°

0ZFP/V4-乙FPN=4P,

zP=360°-zl-z2.

(3)

如圖分別過點P、點G作MNMB、KRWAB

胤48IICD,

mAB\\MN\\KR\\CD.

團41+乙EPN=180°,

Z-NPG+乙PGR=180°,

乙RGF+Z2=180°.

0Z1+乙EPN+Z.NPG+/.PGR+RGF+42=540°

(34EPG=乙EPN+乙NPG=75°,

乙PGR+乙RGF=￡PGF,

zl+z2=325°,

回/PGF++，2+cEPG=540°

0ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140°.

【點睛】本題考查了平行線的性質定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關鍵.

12.(2022?山東聊城?七年級階段練習)已知直線A8〃CQ,E〃是截線，點M在直線人B、

CD之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：ElM=aAGM+l3C”M；

(2)如圖2,在(3G〃C的角平分線_L取兩點M、Q,使得a4GM-ia〃GQ.試判斷13M與團GQ"

之間的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解

(2)^GQH=180°-ZM；理由見詳解

【分析】(1)過點M作MNM8,由ABIIC。，可知MNIIABIICD.由此可知:Z.AGM=Z.GMN,

Z.CHM=乙HMN,故44GM+乙CHM=乙GMN+乙HMN=^M；

(2)由(1)可知2HGM+NCHM=/M.再由NCHM=/GHM,0AGM=(3//GQ,可知：zM=

乙HGQ+乙GHM,利用三角形內角和是180°,可得乙GQH=180。一乙M.

(1)

圖1

解：如圖：過點M作MNIMB,

^MNWABWCD,

團乙AGM=4GMN,乙CHM=^HMN,

0ZM=^GMN+乙HMN,

^M=/LAGM+Z.CHM.

(2)

解：^GQH=180°-zM,理由如下:

如圖：過點M作MNM8,

由（1）知乙M=z4GM+/CHM,

團，M平分乙G，C,

回乙CHM=MIHM,

^1AGM=^HGQ,

團NM=^HGQ+乙GHM,

回ZHGQ+乙GHM+乙GQH=180°,

團乙GQH=180°-zM.

【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數量關系，正確的作出輔助線是解決本題

的關鍵，同時這也是比較常見的幾何模型"豬蹄模型”的應用.

13.（2022?廣東韶關?七年級期中）如圖1,點力、3分別在直線GH、MN上,LGAC=乙NBD,

（2）如圖2,AE平分，G4C,OE平分Z80C,若匕=iGAC,求，GAC與4ACD之間的數

量關系；

（3）在（2）的條件下，如圖3,8”平分4J8M,點K在射線8”上，Z-KAG=^ZG71C,若

乙AKB=4ACD,直接寫出NG力。的度數.

【答案】（1）見解析；⑵44CD=34G/1C,見解析；⑶（答）°或償）.

【分析】（1）根據平行線的判定與性質求證即可；

（2）根據三角形的內角和為180。和平角定義得到NAQD="+"4Q,結合平行線的性質

得到48DQ=+4EAQ,再根據角平分線的定義證得乙CD8=2"+4GAC,結合已知即

可得出結論；

（3）分當K在直線GH下方和當K在直線GH上方兩種情況，根據平行線性質、三角形外角性

質、角平分線定義求解即可.

延長71C交MN于點P,

回乙ACD=乙C,

國AP〃BD,

團ZNBD=/.NPA,

^LGAC=乙NBD,

^Z.GAC=乙NPA,

QGH//MN：

(2)延長AC交MN于點P,交DE于點Q,

azE+Z.EAQ+AAQE=180°,^.AQE+AAQD=180°,

^Z.AQD=ZF+Z-EAQ,

mAP"BD,

團乙AQD=乙BDQ,

B/.BDQ=LE+Z-EAQt

胤4E平分4G4C,DE^LBDC,

團乙GAC=2/.EAQ,乙CDB=2乙BDQ,

12INCO8=2Zfc+LGAC,

^Z.AED=Z.GAC,Z.ACD=Z.CDB,

團4ACD=2LGAC+Z.GAC=3Z.GAC；

(3)當K在直線GH卜方時，如圖，設射線交GH于/,

圖3

團GH〃MN,

0Z/I/F=乙FBM,

團B戶平分NM8D,

^LDBF=乙FBM=^(180°-"BN),

^￡A1B=乙DBF,

團匕4/8+乙KAG=4AKB,乙4KB=Z.ACD,

^/ACD=/DRF+/KAG,

^￡KAG=-AGAC,乙GAC=cNBD,

3

垮/G4C+1(180°-乙DBN)=^ACD=34G4C,

聯LGAC+90。一；LGAC=3zMC,

32

解得：NG4c=(部.

當K在直線GH上方時，如圖，同理可證得乙4/8=g(180°—4D8N)=4/IKB+4K/1G,

則有34GAC+-Z.GAC=-(180°一4G4C)，

32

綜上，故答案為（答）°或（膏）:

【點睛】本題考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形的外角性質、三角形的內

角和定理、平角定義、角度的運算:，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵.

14.（2022?全國?九年級專題練習）如圖所示，已知88〃CD,BE平分乙ABC,DE平分4noC,

求證：z_E=：（乙4+4。）

2

AB

【答案】見解析

【分析】先根據平行線的性質得出財=財。。，回C=M8C,再由8E平分(M8C,?！?平分MQC

可知回1=如1。。，02=物18(7,根據三角形外角的性質即可得出結論.

【詳解】解:如圖：

04砸S

0(M=[MDC,0C=(MBC.

勖￡平分MBC,QE平分財。。，

團團1=加4QC,回2=與匕4c.

22

003是三角形的外角，

團團3=團￡+團2=團。+團1,

Z.E+\z-ABC=Z.C+^LADC,

22

即團E+扣C=(3C+扣A,

00E=-(0A+0C).

2

【點睛】本題考查的是平吁線的性質，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知

識點是解題的關鍵.

15.(2022?浙江工業大學附屬實驗學校七年級期中)已知人環/CQ.

(1)如圖1,E為AB,C。之間一點，連接BE,DE,得到團BED求證：團BEO=團8短。；

(2)如圖，連接A。，BC,8尸平分團48C',平分MOC,且3K。廠所在的直線交于點八.

①如圖2,當點4在點A的左側時，若財4c=50。，^1ADC=60°,求盟的度數.

②如圖3,當點8在點人的右側時，設財8C=a,IMDC=P，請你求出財尸。的度數.(用

含有a,B的式子表示)

【答案】⑴見解析；⑵55。；(3)+

【分析】(1)根據平行線的判定定理與性質定理解答即可;

(2)①如圖2,過點尸作FE〃718,當點8在點力的左側時，根據NABC=50。，LADC=60°,

根據平行線的性質及角平分線的定義即可求乙BFD的度數；

②如圖3,過點F作EF〃AB,當點B在點力的右側時，/.ABC=a,乙ADC=.,根據平行線

的性質及角平分線的定義即可求出Z8FD的度數.

【詳解】解：(1)如圖L過點E作EF〃4B,

AB

圖1

則有4BEF=乙B,

rAB"CD,

:.EF//CD,

???乙FED=乙D,

???（BED=Z.BEF+乙FED=Z.B+zD；

（2）①如圖2,過點尸作FE〃43,

圖2

有乙BFE=Z.FBA.

-AB//CD,

:.EF//CD.

???Z.EFD=Z.FDC.

???Z-BFE+乙EFD=AFBA+乙FDC.

=MBA+AFDC,

???8/平分zABC,DF平分乙ADC,

???LFBA=\LABC=25°,乙FDC=^ADC=30°,

22

:.乙BFD=Z.FBA+Z.FDC=55°.

答：匕BFD的度數為55。；

②如圖3,過點尸作尸E〃4B,

:.乙BFE=1800-Z.FBA,

?:AB"CD、

:.EF//CD.

Z.EFD=Z.FDC.

???Z-BFE+Z-EFD=180°-Z-FBA+乙FDC.

^LBFD=180°-LFBA+乙FDC,

vBF平分乙ABC,OF平分440C,

^FBA=-Z.ABC=-a,乙FDC=-Z.ADC=-/?,

2222K

乙BFD=180°-Z.FBA+zFDC=180°--a4--/?.

22l

答：的度數為180。-：1+：/?.

【點睛】本題考杳了平行線的判定與性質，解決本題的關健是熟練掌握平行線的判定與性質.

16.（2022?全國?七年級）如圖1,AB//CD,E是4B,CO之間的一點.

圖2

⑴判定團41E,13COE與MEO之間的數量關系，并證明你的結論；

⑵如圖2,若坦BAE,(3CZ)E的角平分線交于點凡直接寫出0A/。與0AE。之間的數量關系;

⑶將圖2中的射線0c沿。后翻折交4產于點G得圖3,若財G。的余角等于2班:的補角，

求同BAE的大小.

【答案】⑴NBAE+Z.CDE=乙4ED；

(2)^.AFD=^Z.AEDi

(3)Z-BAE=60°

【分析】(1)作￡7詛AB,如圖1,則￡7T3CQ,利用平行線的性質得團1=0EA￡02=0CDE,

從而得至的B4E+(3CQ￡=(34ED

(2)如圖2,由(1)的結論得團4/。=扣84E,XDF=^CDE,則團4a三(084EH3CQE),

加上(JL)的結論得到MF￡>=#L4ED;

(3)由(1)的結論得MG￡)=MAF+團CQG,利用折疊性質得回COG=40CZ)F,再利用等量代

換得到財GQ=2財EQ爭84￡,力口上90。眼AGQ=18(T-2[ME。，從而計算出團%E的度數.

⑴

WAE^CDE^AED

理由如下：

作E/詞A5,如圖1

(M83CO

^1=^BAE,02=0CDE

^BAE-^CDE=^AED

⑵

如圖2,由(1)的結論得

04FD=0BAF+0CDF

(313BAE、(3CDE的兩條平分線交于點尸

WAF=^BAE,^CDF=^CDE

22

^FE=-C^BAE^CDE)

2

WAE+^CDE^ED

^AFD^AED

2

(3)

由(1)的結論得(MGQWBA尸+0CQG

而射線OC沿?！攴劢蝗水a于點G

00CDG=40CDF

^AGD=^BAF+^CDF=^BAE+2XDE=^BAE+2(0AEM5AE)=2{hAED^BAE

222

09O0-a4GD=18O°-2a4￡D

圖90°-2aAEQ+揶AE=180°-2MEO

^BAE=60°

【點睛】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角用等；兩直線平行，同旁內角互補；

兩直線平行，內錯角相等.

17.(2022?廣東?高州市第一中學附屬實驗中學七年級階段練習)如圖1,已知ABBC。，胡

=30°,00=120°；

圖1圖2

(1)若團E=60°,則閉尸=；

⑵請探索回E與回產之間滿足的數量關系？說明理由；

⑶如圖2,已知EP平分用BEF,rG平分團石尸。，反向延長FG交EP于點P,求(3P的度數.

【答案】⑴90。

(2)4F=/E+30。，理由見解析

(3)15°

【分析】(1)如圖1，分別過點￡,F作EM〃48,FN//AB,根據平行線的性質得到=

乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,ZD+(DFN=180°,代入數據即可得到結論；

(2)如圖1,根據平行線的性質得到=30。，乙MEF=LEFN,由48〃CD,

AB//FN,得到CD〃FN,根據平行線的性質得到乙D+4FN=180。，于是得到結論：

(3)如圖2,過點F作FH〃/尸，設乙3￡尸=2%。，則ifFD=(2x+30)。，根據角平分線的

定義得到NPEr="命/=%。，ZFFG=jzEFD=(x+15)°,根據平行線的性質得到

Z.PEF=Z.EFH=x°,乙P=LHFG,于是得至I」結論.

(1)

解：如圖1,分別過點E,廣作EM〃A8,FN//AB,

EM//AB//FN,

:.乙B=乙BEM=30°,Z-MEF=乙EFN,

又?：AB//CD,AB//FN,

:.CD//FN,

.??ZD+Z.DFN=180°,

又乙D=120°,

???(DFN=60°,

乙BEF=乙MEF+30°,乙EFD=LEFN+60°,

???乙EFD=乙MEF+60°

:.乙EFD=乙BEF+30°=90°：

故答案為：90°；

(2)

解：如圖1,分別過點E,r作EM〃4B,FN//AB,

???EM//AB//FN,

???乙B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

又?：AB"CD,AB//FN,

ACD//FN,

:.乙D+Z.DFN=180°,

又???ZD=120°,

???Z.DFN=60°,

???Z-BEF=乙MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

---zEFD=ZMEF+60°,

:.Z.EFD=乙BEF+30°；

(3)

解：如圖2,過點F作FH//EP,

由(2)知，Z.EFD=Z-BEF+30°,

設乙BEF=2x°,fflzEFD=(2x+30)°,

?:EP平分乙BEF,6小平分乙￡尸。，

二Z.PEF=*EF=x。，乙EFG=；^EFD=(x4-15)°,

???FH//EP,

乙PEF=Z-EFH=x0,ZP=乙HFG,

???Z.HFG=乙EFG-LEFH=15°,

???ZP=15°.

圖1圖2

【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質定理是解題的

關鍵.

18.（2022?河南?商丘市第十六中學七年級期中）已知人把。。，線段￡/?、分別與4B,CQ相

交于點E,F.

圖1圖2圖3

(1)請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：

如圖1,當點P在線段EF上時，已知a4=35。，0C=62\求0APC的度數；

解：過點尸作直線PWS,

所以依據是；

因為A施C。，P/M4B,

所以/V堰CQ,依據是；

所以團C=(),

所以財PC=()+()=EL4-H3C=97°.

(2)當點P,Q在線段EF上移動時(不包括E,/兩點)：

①如圖2,(MPQ短尸QC=0A+團0180°成立嗎？請說明理由：

②如圖3,財PM=2團MPQ,(3CQM=2(3MQP,同M+0MPQ+團PQM=180°,請直接寫出團M,

S4與0。的數量關系.

【答案】(1)兩直線平行，內錯角相等：平行于同一條直線的兩條直線平行；團CPH；SAP”,

出CPH；(2)①HAPQ應00。一(3/1電0180。成立，理由見解答過程；?0Ai(3C~360°.

【分析】(1)根據平行線的判定與性質即可完成填空；

(2)結合(1)的輔助線方法即可完成證明；

(3)結合(1)(2)的方法，根據MPM=2團WPQ,國CQW=2團WQP,國PMQ+團MPQ+回PQM

=180°,即可證明(3PMQ,團4與回C的數量關系.

【詳解】解：過點尸作直線尸

所以財=財2從依據是兩直線平行，內錯角相等；

因為AH2CO,PH^AB,

所以PM3CD,依據是平行于同一條直線的兩條直線平行；

所以回C=(回CP”)，

所以(MPC=(財?！?+(0CPH)=財+團C=97°.

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；?CPH；蜘PH,

0CPH：

(2)①如圖2,西夕。短PQC=a4+回C+180。成立，理由如下：

圖2

過點。作直線PML48,QG^AB,

助施CQ,

加施CD0P加QG,

團財=財?！?，回C=(3CQG,團“PQ+aGQP=180°,

^PQ+^PQC=^APH+WPQ+BGQP-^CQG=^A+^C+130°.

團財PQ+t3PQC=a4+[3C+18O°成立；

②如圖3,

圖3

過點尸作直線QGa48,MN3A8,

財國ICQ,

西地CD0P睨IQG0MM

13a4=財產"，13c=I3CQG,13//PQ+0GQ尸=180°,0HpMFPMN,13GQM=(3QMM

團團PMQ=團"PM+回GQM,

^PM=2^MPQ,(3CQM=2[2MQP,用PMQ+13MPQ+mPQM=180°,

(3lMPM+(3CQM=M+E)C+a尸MQ=2(3MPQ+2團MQP=2(180°-0PM0),

回3團PM2+0A+SC=360°.

【點睛】考核知識點：平行線的判定和性質.熟練運用平行線性質和判定，添加適當輔助線

是關鍵.

19.(2022?湖北武漢?七年級期末)如圖1,點4在直線MN上，點8在直線S7上，點C在MN,

ST之間，且滿足4MAe+乙ACB+乙SBC=360°.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若乙ACB=60。,AD〃CB,點E在線段BC上，連接4E,且/DAE=2/CBT,

試判斷“AE與4。4N的數量關系，并說明理由：

(3)如圖3,若乙4c3=乎(?1為大于等于2的整數)，點E在線段3C上，連接4E,若乙MAE=

【答案】（1）見解析：（2）見解析；（3）ii-l

【分析】（1）連接4B,根據已知證明團MA8+（358A=180。，即可得證；

（2）作C距ST,設回C8T=a,表示出團CAMEL4CF,0BCF,根據AD08C,得到回D4C=120°,

求出團C4E即可得到結論；

（3）作設團CB廠步，得到團67=胡。尸=或，分別表示出（3C4N和團CAE,即可得到比

值.

【詳解】解：（1）如圖，連接力B,

v/-MAC+AACB+乙SBC=360°,

LACB+/.ABC+Z.BAC=180°,

Z.MAB+ZSBA=180°,

AMN//ST

(2)Z,CAE=2乙CAN,

理由:作CF〃S7,則MN//CF〃ST,如圖，

設乙C87=a,^Z-DAE=2a.

乙BCF=Z.CBT=a,/.CAN=乙ACF=60°-a,

-AD//BC,Z-DAC=180°-Z-ACB=120°,

ACAE=120°-Z.DAE=120°-2a=2(60°-a)=2Z.CAN.

BPzMF=2/-CAN.

(3)作CF〃ST,則MN//CF//ST,如圖，設乙CBT=0,貝此MAE=九0.

???CF//ST,

:?乙CBT=^BCF=0,

/.CAE=180°-Z-MAE-Z-CAN=180°+=(180°-n/?),

/.CAE:AN=—n:-n=n-l,

故答案為n-l.

【點睛】本題主要考查平行線的性質和判定，解題關鍵是角度的靈活轉換，構建數量關系式.

20.(2022?重慶江北?七年級期末)如圖1,AB//CD,點、E、F分別在48、CO上，點。在直

線AB、CD之間，且NEOF=100。.

圖3

(1)求4BE。+NOFO的值；

(2)如圖2,直線MN分別交/BE。、iO/C的角平分線于點M、N,直接寫出NEMN-乙FNM

的值：

(3)如圖3,EG在乙4E。內，/.AEG=m/-OEGx尸”在乙UFO內，乙DFH=mcOFH,直線MN

分別交EG、尸”分別于點M、N,且乙FMN—乙ENM=50°,直接寫出m的值.

【答案】(1)4BEO+ND/。=260°；(2)乙EMN-N尸NM的值為40°；(3)|.

【分析】(1)過點。作OG0A8,可得4座。G3CQ,利用平行線的性質可求解；

(2)過點M作MKL4B,過點N作NH3CD,由角平分線的定義可設(38￡M=0O￡Mr,

團CFN四OFN=y,由財EO短。尸。=260°可求心產40°,進而求解；

(3)設直線FK與EG交于點〃，FK與八B交于點K,根據平行線的性質即三角形外角的

性質及NFMN一4ENM=50。，可得ZKFO一乙/lEG=50。，結合乙AEG="4。EG,DFK=

nmFK,Z.BEO+Z-DFO=260°,可得N/EG+-n/-AEG+180°-乙KFD--nZ-KFD=100°,

即可得關于〃的方程，計算可求解〃值.

【詳解】證明：過點。作OGMB,

a4砸CQ,

EL4B0OGHC。，

團Z8E。+Z,EOG=180%Z,DFO+乙FOG=180。,

HzFFO+Z.EOG+Z.DFO+乙FOG=360%

即48E。+乙EOF+Z-DFO=360°,

00EOF=1OO°,

WEO+Z.DFO=260°；

(2)解：過點過點N作M7I3CD,

圖2

團EM平分貼￡O,FN平分WCTO,

設乙BEM=Z-OEM=x,LCFN=乙OFN=y,

0ZFEO+Z.DFO=260°

團乙BEO+Z.DFO=2x4-180°-2y=260%

0A--V=4OO,

團NH^CD,AB^CD,

助選IMKHNWaCY）,

國KEMK=乙BEM=x,乙HNF=乙CFN=y,乙KMN=乙HNM,

團乙EMN+Z.FNM=乙EMK+乙KMN-（乙HNM+乙HNF）

=x+乙KMN-乙HNM-y

=x-y

=40°,

故乙EMN-ZFNM的值為40°；

（3）如圖，設直線FK與EG交于點H,FK與AB交于盡K,

圖3

IM砸CQ,

^LAKF=乙KFD,

團4/KF=Z,EHK+乙HEK=乙EHK+/.AEG,

團乙KF。=乙EHK+/.AEG,

團4EHK=乙NMF-乙ENM=50。，

0Z/CFD=50°+ZJ1EG,

即NKFD-/-AEG=50°,

B/.AEG=n￡.OEG,FK在閉。尸。內，乙DFK=nz.OFK.

乙乙乙

0ZCFO=180°-DFK-OFK=180°-KFD--Zn-KFD,

1

Z.AEO=/-AEG+Z-OEG=Z-AEG+-z_4EG,

n

國乙BEO+乙。尸。=260%

^AEO+LCFO=100°,

。，

^AEG+-nZ-AEG+1800-nZ-KFD--AKFD=100

艮|J（1+乙KFD-/.AEG）=80。，

團（1+肌50。=80。，

解得九二：?

J

經檢驗，符合題意，

故答案為:

?5

【點睛】本題主要考杳平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關

鍵.

21.（2022?黑龍江哈爾濱?七年級期末）已知，A?3CO,點E在CD上，點G,尸在AB上，

點〃在A8,CO之間，連接FE,EH,HG,^AGH=^FED,FES3HE,垂足為E.

（1）如圖1,求證：H5HE；

（2）如圖2,GM平分團HG8,EM平分（3/7ED,GM,EM交于點M,求證：^GHE=2XME；

（3）如圖3,在（2）的條件下，平分刻五E交C7）于點K,若團KFE：0MGH=13：5,

求回，EO的度數.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）40。

【分析】（1）根據平行線的性質和判定解答即可；

（2）過點〃作，PHAB,根據平行線的性質解答即可;

（3）過點H作〃地43,根據平行線的性質解答即可.

【詳解】證明：（1）財碗CD,

00AFF=0FED,

^AGH=^FED,

團財所=0AG〃，

aE/naGH,

釀FEH+（3H=180°,

團團/￡77=90°,

00/7=180°-0FF//=90°,

^HG^HEx

（2）過點M作

助質1CD,

⑦MQ3CD,

過點H作HEB,

團4甌。,

0//P0CD,

（3GM平分（3"G8,

2

團EM平分團”￡￡）,

勵HEM=?DEM=%HED,

2

團

^BGM=^GMQ,

0A/(20CD,

團團QME=(3ME。，

mSGME=BGMQ+^QME=^BGM+^MED,

團〃尸團鉆，

^BGH=mGHP=2團BGM,

^HP^CD,

國團PH￡=⑦HED=2國MED,

00GHE=^GHP+^PHE=2a^G/W+20A/ED=2(H^GM+HA/ED),

豳GHE=(32GME；

(3)過點M作M/L48,過點“作“陽48,

由回ATE：團MGH=13：5,設!3KFE=13x,^MGH=Sx,

由(2)可知：^BGH=2^MGH=lQx,

(3a4FE+0BFE=18O<),

l?)l?lAFE=180d-lUx,

團/；K平分團4"七，

m\FK=^KFE=-SAFE,

2

即，180°-10%)=13%,

2

解得：x=5%

00BGA/=1OA=5O°,

團”也48,HP^CD,

^BGH=^GHP=50°,⑦PHE=6HED,

團團GHE=90°,

圖3PHE=I3GHE-^GHP=90°-50°=40°,

釀HED=40°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理以及靈活構造

平行線是解題的關鍵.

22.(2022?廣西柳州?七年級期中)已知直線a||b,直線律分別與直線a,〃相交于點￡,F,

點A,B分別在直線4,力上，且在直線巴戶的左側，點P是直線E/上一動點（不與點E,F

重合），設團用￡=團1,財戶8=團2,0P^F=03.

⑴如圖1,當點P在線段EF上運動時，試說明團1+團3=團2：

⑵當點P在線段E/外運動時有兩種情況.

①如圖2寫出131,團2,（33之間的關系并給出證明；

②如圖3所示，猜想01,02,133之間的關系（不要求證明）.

【答案】（1）證明見詳解

（2）①43=41+42；證明見詳解；②乙1=42+/3；證明見詳解

【分析】（1）如圖4過點尸作PCIla,利用平行線的傳遞性可知尸Cllallb，根據平行線的性質

可知乙1=^APC,Z3=￡BPC,根據等量代換就可以得出42=zl+Z3；

（2）①如圖5過點P作PCIa,利用平行線的傳遞性可知IPCIIallb,根據平行線的性質可知乙3=

乙BPC,乙1=乙力PC,根據等量代換就可以得出乙3=41+乙2；

②如圖6過點尸作PCM，利用平行線的傳遞性可知PCIIog，根據平行線的性質可知乙1=

Z-APC,乙3=LBPC,根據等量代換就可以得出=42+43.

（1）

解：如圖4所示：過點P作PQIa,

0a||h

^PC\\a\\b

0Z1=Z.APC,z3=Z.BPC,

0Z2=Z.APC+Z.BPC,

0Z2=Z1+Z3；

圖4

(2)

解：①如圖5過點P作PQa,

^a\\b

^PC\\a\\h

0Z3=Z.BPC,zl=Z.APC,

團4BPC=42+Z.APC,

0z3=zl4-z2：

圖5

②如圖6過點P作PC||a,

0a||b

^PCWaWb

0Z1=Z.APC,z3=Z.BPC,

BZ.APC=Z.2+乙BPC,

0zl=Z2+Z3.

圖6

【點睛】本題利用“豬蹄模型〃及其變式考資了利用平行線的性質求角之間的數量關系，準確

的作出輔助線和找到對應為內錯角是解決本題的關鍵.

【模型3“臭腳”模型】

23.（2022?全國?八年級課時練習）（1）已知:如圖（a）,直線D八拜B.求證：乙ABC+乙CDE=

乙BCD；

（2）如圖（b）,如果點。在八8與石￡＞之外，其他條件不變，那么會有什么結果？你還能

就本題作出什么新的猜想？

【答案】（1）見解析；（2）當點C在A8與石。之外時，乙48。一“。￡二48。。，見解析

【分析】（1）由題意首先過點C作C陽4B,由直線A施EQ,可得A施C咫。E,然后由兩

直線平行，內錯角相等，卻可證得助8C+團CQE/BCQ：

（2）根據題意首先由兩直線平行，內錯角相等，可得團BFQ,然后根據三角形外角的

性質即可證得35co.

【詳解】解：（1）證明：過點C作CF^AB,

財庚1￡Q,

0A碗￡7呢CF,

^\BCF=^ABC,0DCF=0EDC,

□ELAfiC+0CDE=SBCZ)；

(2)結論：^ABC-^CDE^BCD,

證明：如圖：

ED

財況)ED,

mMBC=^BFD,

在團C中，0fiFD=(3Z?CD+0CDE,

團朋BC=(3BCM3COE,

mMBC-XDE^BCD.

若點C在直線AB與?！曛g，猜想心力8C+乙BCD+Z.CDE=360°,

IM選1以龍CV,

團匕ABC+乙BCF=180°,Z,CDE+乙DCF=180°,

^LABC4-乙BCD+乙CDE=乙ABC4-Z.BCF+乙DCF4-乙CDE=360\

【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本

題的關鍵，注意掌握輔助線的作法.

24.（2022?全國?七年級）己知，AE//BD,