專題2.8數軸貫穿有理數的經典考法【九大題型】

【華東師大版】

型

題

1數軸上點的平移】......................................................................1

型

題

2數軸上點表示的數】....................................................................4

型

題

3判斷數軸上點的符號或原點位置】.......................................................6

型

題

4數軸上兩點距離的和差倍分問題】.......................................................8

型

題

6數軸與方程思想的運算】...............................................................16

型

題

數軸上的動點定值問題】...............................................................

型

題718

型數軸上的折置問題】...................................................................

題822

9數軸上點的規律問題】.................................................................26

”2片，?三

【題型1數軸上點的平移】

【例1】（2022?惠安縣校級月考D在數軸上有三個點小B、C,如圖所示.

（1）將點8向左平移4個單位，此時該點表示的數是-3；

（2）將點C向左平移3個單位得到數加，再向右平移2個單位得到數則m,n分別

是多少？

（3）怎樣移動4、8、C中的兩點，使三個點表示的數相同？你有幾種方法？

」「4?4

-3-2-10123

【分析】（I）B點表示的數是1,再向左移動4個單位可得到表示的數是-3；

（2）C點表示的數是3,向左移動3個單位得到數加=3-3,再向右移2個單位得到數

n=0+2；

（3）移動方法有3科1，①把A、B兩點移到。點處；②把人、。兩點移到B點處；③把

。、B兩點移到A點處.

【解答】解：（1）點3表示的數是1,向左平移4個單位是1?4=?3,即該點表示的

數是-3；

（2）點C表示的數是3,所以/〃=3-3=0,〃=0+2=2；

（3）有三種方法：①是C不動，將點A向右平移5個單位，將B向右平移2個單位;

②是4不動，將4向右平移3個單位，將。向左平移2個單位；

③是A不動，將B向左平移3個單位，將C向左平移5個單位.

故答案為：?3

【變式（2022?沂水縣一模）在數軸上，點4,6在原點。的兩側，分別表示數0,1,

將點A向右平移2個單位長度，得到點C（點C不與點8重合），若C0=8。，則。的

值為（）

A.1B.-1C.-2D.-3

【分析】根據CO=B。且點C不與點B重合可得點C表示的數為-1,據此可得。=-1

-2=-3.

【解答】解：???點。在原點的左側，且CO=BO,

???點C表示的數為-1，

:?a=-1-2=-3.

故選：

【變式1-2］（2022?乳山市期中）已知點A,B在數軸上表示的數分別是-2,3,解決下列

問題：

（1）將點A在數軸上向左平移;個單位長度后記為A，Ai表示的數是一,膈點8

J?J

在數軸上向右平移1個單位長度后記為8,S表示的數是」

（2）在（1）的條件下，將點&向左移動庫個單位長度后記為史，則生表示

的數與小表示的數互為相反數；

（3）在（2）的條件下，將原點在數軸上移動5個單位長度，則點所表示的數是多少？

【分析】（1）把點A表示的數減g得到4表示的數，把點B表示的數加上1得到以表

示的數：

（2）若&表示的數與4表示的數互為相反數，則比表示的數為2：,然后確定平移的方

法與距離；

（3）討論：若將原點在數軸上向右移動5個單位長度，相當于把點&向左平移5個單

位，從而得到B2表示的數；若將原點在數軸上向左移動5個單位長度，相當于把點歷

向右平移5個單位，從而得到比表示的數.

【解答】解：⑴4表示的數為-2-1二一/；辦表示的數是4；

（2）在（1）的條件下，將點小向左移動弓個單位長度后記為&，則a表示的數與A

表示的數G為相反數；

（3）在（2）的條件下，若將原點在數軸上向右移動5個單位長度，則點&表示的數是

-21；若將原點在數軸上向左移動5個單位長度，則點々表示的數是公；

AO

故答案為-2；；4；左，1；.

*5

【變式1-3］（2022?工業園區期末）【理解概念】

對數軸上的點P按照如下方式進行操作：先把點P表示的數乘以2,再把表示得到的這

個數的點沿數軸向右平移3個單位長度，得到點P'.這樣的操作稱為點。的“倍移”，

數軸上的點4、B、C、D、E、產經過“倍移”后，得到的點分別為A'、夕、C'、D'、

E、F'.

【鞏固新知】

（1）若點A表示的數為-1,則點A'表示的數為

（2）若點夕表示的數為9,則點B表示的數為3.

【應用拓展】

（3）若點C表示的數為5,且CD'=3CD,求點。表示的數；

（4）已知點E在點尸的左側，將點E'、尸再次進行“倍移”后，得到的點分別為E”、

F",若E〃F"=2020,求的長.

【分析】（I）由-1X2+3=1,即可得出對應點A表示的數為1；

（2）設點B表示的數為1,2x+3=9,即可得出結論：

（3）設點。表示的數為d,則。'表示的數為2d+3,由|2d+3-5|=3|d-5|,即可得出

結論”：

O

（4）設點E表示的數為e,點尸表示的數為/；則e＜/,則點石'表示的數為2e+3,點

F表示的數為2戶3,進而可表達E''和F'',再根據條件列等式求解.

【解答】解：（1）???點A表示的數為-1,

:.-1X2+3=1,

???點々表示的數為1,

故答案為：1.

（2）設點8表示的數為斯

???點9表示的數是9,

A2x+3=9,

解得：x=3,

故答案為：3.

（3）設點短表示的數為d,D'表示的數為24+3,

■:CD'=3CD,

，|2d+3-5|=3|d-5|,

解得：d=l3或d=m.

???點。表示的數為13或9.

（4）設點E表示的數為e,點尸表示的數為/；則

：-EF=f~e,

???點E'表示的數為2e+3,點尸表示的數為＞3,

工點E''表示的數為2（2e+3）+3=4e+9,點尸'表示的數為2（＞3）+3=鏟9,

（1）如果把這條路看作一條數軸，以向東為正方向，以校門口為原點，請你在這條數軸

上標出聰聰家與青青家的大概位置（數軸上一格表示50米）.

（2）聰聰家與剛剛家相距多遠？

（3）聰聰家向西20米所表示的數是多少？

（4）你認為可用什么辦法求數軸上兩點之間的距離？

■I■■）

剛-loo^e學+5咪

剛校

【分析】畫數軸要注意正方向，原點和單位長度；數軸上兩點間的距離公式是|。-臼=|

-100+1501=50；聰聰家向西20米所表示的數是-120；求數軸上兩點間的距離可用右

邊的點表示的數減去左邊的點表示的數.

【解答】解：（1）依題意可知圖為：

青

百

家

_1_

剛-100米學+50米

剛校

（2）V|-100-（-150）|=50（M,

???聰聰家與剛剛家相距50米.

（3）聰聰家向西20米所表示的數是-100-20=-120.

（4）求數軸上兩點間的距離可用右邊的點表示的數減去左邊的點表示的數.

【變式2-2]（2022春?海淀區校級月考）直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動

一周，圓上的一點由原點到達。點，點。對應的數是（）

【分析】計算出圓的周長即可知道點O'所表示的數，而圓的周長=JiX直徑.

【解答】解：圓的周長="X1=JT,

所以。對應的數是「

故選：C.

【變式2-3]（2022?南安市模擬）如圖，數軸上點。對應的數為4則數軸上與數-3d對

應的點可能是（）

1iC?.

—4—3—2—1012x

A.點AB.點8C.點OD.點E

【分析】根據得到對照數軸即可得出答案.

【解答】解：1,

???-3<-34V-3

2

故選：B.

【題型3判斷數軸上點的符號或原點位置】

【例3】(2022秋?岳池縣期中)有理數〃、〃、c在數軸上所對應的點的位置如圖所示，有

下列四個結論：①(?+/?)；2③同<；

(b+c)(c+a)>0@b<bb1c?\a-b\-\c

-a\+\b-c\~\a\=a.其中正確的結論有()個.

a■1|blaci、

-101

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據數軸上各數的位置得出?IVOVbVcVl,依此即可得出結論.

【解答】解：由數軸上。、氏。的位置關系可知：

?a<O<b<c,

Va+b<0,b+c>0,c+aVO,

:.(a+b)(/>+(?)(c+a)>0>故①正確；

：.b2<b,b<-

bt

：,lr<b<\,故②錯誤；

D

⑤???同)1,1-bc<1,

-he：故③錯誤；

④?：a<b,c>a,c>b,?<0>

.'?a-b<0,c-a>0,b-c<0?

\a-b\-\c-a\+\b-c\-\a\=b-a-(c?a)+(c-。)-(?a)=b-a-c+a+c-b+a

=a.故④正確.

故正確的結論有①④，一共2個.

故選：C.

【變式3-1](2022秋?新鄭市期中)已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在

同一直線上，如果把直線看作數軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述錯誤的是

()

小紅小剛小明小穎

______[.I1.11411.1.

-5-4-3-2-10123

A.數軸是以小明所在的位置為原點

B.數軸采用向北為正方向

C.小剛所在的位置對應的數有可能是-q

D.小剛在小穎的南邊

【分析】根據數軸上匹人的位置判斷即可.

【解答】解：A、數軸以小明所在的位置為原點，說法正確，不符合題意；

8、數軸采用向北為正方向，說法正確，不符合題意；

。、小剛所在的位置的數可能為-2.4,說法不正確，符合題意；

。、小剛在小穎的南邊，說法正確，不符合題意.

故選：C.

【變式3-2]（2022秋?海淀區校級期末）如圖，數軸上點A,M,8分別表示數小a+b,b,

那么原點的位置可能是（）

~Atl~Bk

A.線段AM上，且靠近點4B.線段48上，且靠近點8

C.線段8M上，且靠近點8D.線段上，且靠近點M

【分析】由點A,B,初的位置可知，a和。的符號相反，則且同<|〃|,結合

數軸的定義，可知原點一定在4B上，且靠近點A.

【解答】解：由點A,B,M的位置可知，aV0VA,且8MVAM,

:.b-（a+。）<（a+b）-a,-a<bf

?"1<依，

.*.a+b>0,

；?原點一定在AM上，且靠近點4.

故選：A.

【變式3-3]（2022秋?海陵區校級期中）如圖，數軸上的點M,N表示的數分別是加，小

點M在表示（），1的兩點（不包括這兩點）之間移動，點N在表示-1,-2的兩點（不

包括這兩點）之間移動，則下列判斷正確的是（）

NM

-3-2*-10*1234>

A.m2-2n的值一定小于0

B.13〃?+川的值一定小于2

C.」一的值可能比2000大

m-n

D,2+與勺值不可能比2000大

mn

【分析】根據，〃、〃的取值范圍，這個選項進行判斷即可.

【解答】解：由題意得，OV〃1V1,-2<n<-1,

nr-2/i>0,因此選項A不符合題意;

VO</n<l,-2<n<-1,

:.-2<rn+n<0,0<2w<2,

????2<3m+n<2,因此選項B符合題意；

/〃-〃=/〃+（-〃）>1,<1?因此選項C不符合題意；

m-n

上的值無窮大，而-IvLv-；,因此工十工可能大于2000,因此選項。不符合題意，

mn2mn

故選：B.

【題型4數軸上兩點距離的和差倍分問題】

【例4】（2022秋?吁胎縣期中）已知數軸上兩點A、B,其中A表示的數為-2,8表示的

數為2,若在數軸上存在一點C,使得AC+8C=〃,則稱點C叫做點從、5的“〃節點”，

例如圖I所示，若點C表示的數為0,有AC+8C=2+2=4,則稱點C為點小B的“4

節點”.

請根據上述規定回答下列問題：

（I）若點C為點人、8的“〃節點”，且點C在數羯上表示的數為-3,則〃=6.

（2）若點。是數軸上點4、B的“5節點”，請你直接寫出點。表示的數為-2.5或

2.5；

（3）若點石在數軸上（不與A、5重合），滿足/3、￡之間的距離是A、石之間距離的

一半，且此時點E為點4、8的“〃節點”，求出〃的值.

A??---??---B??

-202

備用圖

-----A?---.---?---.---B?----A-----A?---?---??---B?----?

-202-202

備用圖備用圖

【分析】（I）根據‘，節點”的概念解答；

（2）設點。表示的數為「根據“5節點”的定義列出方程分情況，并解答；

（3）需要分類討論：①當點E在6A延長線上口、J,②當點E在線段A6上時，③當點、E

在A8延長線上時，根據/3￡=］七，先求點E表示的數，再根據AC+8C=〃，列方程可

得結論.

【解答】解：（1）「A表示的數為-2,B表示的數為2,點C在數軸上表示的數為-3,

：,AC=\,BC=5,

???〃=4C+3C=1+5=6.

故答案為：6.

(2)如圖所示：

D?jA????B?D?一、＞

-2.5-2022.5

???點。是數軸上點A、B的“5節點”，

：,AD+BD=5,

；AB=4,

???/)在點A的左側或在點A的右側，

設點。表示的數為x,則4D+BQ=5,

，?2?x+2-x=5或x-2+x-(-2)=5,

x=-2.5或2.5,

???點D表示的數為2.5或?2.5;

故答案為：?2.5或2.5；

(3)分三種情況：

①當點E在￡4延K線上時，

???不能滿足8E=)E,

???該情況不符合題意，舍去；

②當點E在線段A8上時，可以滿足如下圖,

AB

???E???A

-202

n=AE+BE=AB=4；

③當點E在AB延長線上時，

*：BE=-AE,

2

：.BE=AI3=4,

，點七表示的數為6,

...〃=4E+BE=g+4=12,

綜上所述：〃=4或〃=12.

【變式4-1](2022秋?江夏區校級月考)在數軸上，點人代表的數是-12,點B代表的數

是2,AB代表點A與點B之間的距離.

(1)?AB=14；

②若點夕為數軸上點力與8之間的一個點，且AP=6,則BP=8；

③若點尸為數軸上一點，且BP=2,則AP=12或16.

(2)若C點為數軸上一點，且點C到點A點的距離與點C到點5的距離的和是35,求

C點表示的數.

(3)若P從點A出發,Q從原點出發，M從點8出發，且P、Q、M同時向數軸負方向

運動，P點的運動速度是每秒6個單位長度，Q點的運動速度是每秒8個單位長度，M

點的運動速度是每秒2個單位長度，當尸、Q、M同時向數軸負方向運動過程中，當其中

一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數各是多少？

【分析】此題可借助數軸用數形結合的方法求解.(I)①根據距離定義可直接求得答案

14.②根據題目要求，P在數軸上點4與B之間，所以根據進行求解.③

需要考慮兩種情況,即P在數軸上點A與8之間時和當P不在數軸上點A與B之間時.當

戶在數軸上點A與8之間時，AP=AB-BP.當P不在數軸上點A與8之間時，此時有

兩種情況，一種是超越八點，在八點左側，此時8P>14,不符合題目要求.另一種情況

是尸在B點右側，此時根據作答.(2)根據前面分析，C不可能在AB之

間，所以，。要么在A左側，要么在8右側.根據這兩種情況分別進行討論計算.(3)

因為m點的速度為每秒2個單位長度，遠小于P、Q的速度，因此"點永遠在P、。的

右側.“當其中一個點與另外兩個點的距離相等時”這句話可以理解成一點在另外兩點

正中間.因此有幾種情況進行討論，第一是Q在尸和M的正中間，另一種是尸在Q和

M的正中間.第三種是。。重合時，MP=MQ,三種情況分別列式進行計算求解.

【解答】解:

(1)①AB之間的距離為2-(-12)=14.

②"總距離是14,。在數軸上點A與4之間，所以6P=48-”=14-6=8.

③P在數軸上點4與B之間時，AP=AB-8P=14-2f2；

當P不在數軸上點4與8之間時，因為A8=14,所以P只能在B右側，此時8P=2,

4P=A8+BP=14+2=16.

(2)假設C為x,

當C在A左側時，AC=-12-x,BC=2?x,AC+BC=35,解得x=字；

當C在6右側時，AC=x-(-12),BC=x-2,AC+8c=35,解得x=學

(3)設經過時間7秒，則P點坐標為-12-6。。點坐標為-87,M點坐標為2?2。

當Q在。和M的正中間，即Q為的中點時，2(-87)=(-12-67)+(2-2T),

解得T=%.

當尸在。和M的正中間，即P為QM的中點時，2(?12?67)=(-87)+(2-2D,

解得了=-13<0,不合題意，舍掠.

當PQ重合時，即M到P、。距離相等時，此時MP=MQ,

/.-12-6T=-8T,

/.T=6s.

因此，當丁二：秒時，此時，M=Q=-10,P=-y.

當丁=6秒時，此時，M=-10,Q=-48,P=-48.

【變式4-2](2022?長汀縣期中)點A、B、C為數軸上三點，如果點C在A、8之間且到

4的距離是點C到8的距離3倍?，那么我們就稱點C是｛A,B｝的奇點.

例如，如圖1,點A表示的數為?3,點B表示的數為1.表示0的點C到點A的距離是

3,到點8的距離是1,那么點。是｛A,3｝的奇點；又如，表示-2的點。到點A的距

離是1,到點9的距離是3,那么點7)就不是(八，閉的奇點，但點力是｛氏小的奇點.

如圖2,M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為-3,點N所表示的數為5.

(1)數3所表示的點是｛M,N｝的奇點：數7所表示的點是IN,M｝的奇點；

(2)如圖3,A、B為數軸上兩點，點人所表示的數為-5(),點B所表示的數為30.現

有一動點P從點8出發向左運動，到達點4停止.P點運動到數軸上的什么位置時，P、

A和8中恰有一個點為其余兩點的奇點？

ADC3I、

-6-5-4-5-5-18f234

圖1

￥「?一「y

-3-2-101234567>

圖2

【分析】(1)根據定義發現：奇點表示的數到｛M,N｝中，前面的點M是到后面的數N

的距離的3倍，從而得出結論；

根據定義發現：奇點表示的數至l」｛N,M｝中，前面的點N是到后面的數M的距離的3倍，

從而得出結論；

(2)點八到點8的距離為80,由奇點的定義可知：分4種情況列式：①PB=3%；②

PA=3PB；?AB=3PA：?PA=3AB；可以得出結論.

【解答】解：(1)5-(-3)=8,

84-(3+1)=2,

5-2=3；

-3+2=-1.

故數3所表示的點是｛M,N｝的奇點；數-1所表示的點是｛N,M｝的奇點.

故答案為：3；-I；

(2)30-(-50)=80,

804-(3+1)=20,

30-20-10,

-50+20=-30,

-50-804-3=-76|（舍去），

-50-80X3=-290（舍去）.

故P點運動到數軸上的-30或10位置時，P、4和B中恰有一個點為其余兩點的奇點.

【變式4-3］（2022?湖里區校級期中）已知數軸上兩點A.B對應的數分別為-2和7,點

M為數軸上一動點.

（1）請畫出數軸，并在數軸上標出點入、點4；

（2）若點M到4的距離是點M到8的距離的兩倍，我們就稱點M是［A,B］的好點.

①若點M運動到原點。時，此時點M不是【A,8］的好點（填是或者不是）

②若點M以每秒1個單位的速度從原點。開始運動，當渺是1B,A｝的好點時，求點

M的運動方向和運動時間

（3）試探究線段8M和AM的差即8M-AM的值是否一定發牛.變化？若變化，請說明

理由：若不變，請求其值.

【分析】（I）畫出數軸，并在數軸上標出點A、點B即可；

（2）①先根據數軸上兩點的距離表示出和AM的長，再根據好點的定義即可求解；

②分三種情況進行討論：當點M在點4的右側：當點M在點A與8之間時；當點M在

點人的左側時；代入計算即可；

（3）同理按（2）②分三種情況計算.

【解答】解：（1）如圖所示：

AB

1?1111111111111A

-207

（2）①AM=2,BM=1,

2X7=14X2,

故點M不是【A,Bl的好點；

②當點M在點8的右側時，

2（r+2）=/-7,

解得t=-11（舍去）;

當點M在點A與B之間時，

2（r+2）=7-r,

解得z=l；

當點M在點A的左側時，

2（-2+t）=7+3

解得/=11.

故點M的運動方向是向右,運動時間是I或點A7的運動方向是向左.運動時間是11秒：

(3)線段BM與AM的差即8M-AM的值發生變化，理由是：

設點M對應的數為c,

由4M=匕-7|,AM=|c+2|,

則分三種情況：當點M在點8的右側時，

BM-AM=c-7-c-2=-9；

當點M在點A與4之間時，BM-AM=1-c-c-2=5-2c,

當點M在點4的左側時，BM-AM=1-c+c+2=9.

故答案為：不是.

【題型5數軸上的行程問題】

【例5】(2022秋?東阿縣期末)如圖，三點A、B、P在數軸上，點A、8在數軸上表示的

W.B

數分別是-4,12(A5兩點間的距離用表示)7°匕

(1)C在48之間且HC=BC,C對應的數為4；

(2)。在數軸上，且AC+8C=20,求C對應的數；

(3)P從A點出發以1個單位/秒的速度在數軸向右運動，。從8點同時出發，以2個

單位/秒在數軸上向左運動.

求：①P、Q相遇時求。對應的數

②P、Q運動的同時M以3個單位長度/秒的速度從0點向左運動.當遇到P時，點M

立即以同樣的速度(3個單位/秒)向右運動，并不停地往返于點P與點Q之間，求當點

尸與點Q相遇時，點M所經過的總路程是多少？

【分析】(1)根據中點的定義可得；

(2)設點。表示的數為達分點。在A、3之間，點。在點A左側和點。在點4右側

三種情況，根據兩點間的距離公式分別列方程求解可得；

(3)①設，秒后，點P表示的數為-4+f,點Q表示的數為12-23根據相遇時點P、Q

所表示的數相同，列方程求解可得；②由①知點P、。從出發到相遇用時當秒，據此知點

M的運動時間為左秒，再根據路程=速度X時間可得答案.

【解答】解：(1)根據題意知點C表示的數為W=4,

故答案為：4；

(2)設點C表示的數為x,

當點C在4、8之間時，由題意知(x+4)+(12-A)=20,即16=20,不合題意，舍去；

當點。在點A左側時，由題意知(-4-x)+(12-x)=20,解得：x=-6,

當點C在點B右側時，由題意知x-12+x-(-4)=20,解得：x=l4,

即點C表示的數為-6或14；

(3)①設/秒后，點P表示的數為-4+1,點Q表示的數為12?2人

由題意知-4+f=12-2/,

解得：ug,

則相遇時點P對應的數為-4+g=*

②：由①知點P、Q從出發到相遇用時當秒，

???點M的運動時間為:秒，

則點M所經過的總路程是3x?=16單位.

【變式5-1]（2022秋?市中區校級期中）如圖，人、B分別為數軸上的兩點，A點對應的數

為-20,B點對應的數為100.

-20100

-----------------------?--------------------------------------------------------1-------------------------------?

AB

（1）請寫出與4、8兩點距離相等的點M所對應的數；

（2）現有一?只電子螞蟻戶從8點出發，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電

子螞蟻。恰好從A點日發，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的

C點相遇，你知道C點對應的數是多少嗎？

（3）若當電子螞蟻尸從B點出發時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子

螞蟻。恰好從A點出發，以4個單位/秒的速度也向左運動，請問：當它們運動多少時間

時，兩只螞蟻間的距震為20個單位長度？

【分析】（1）根據中點坐標公式即可求解：

（2）此題是相遇問題，先求出相遇所需的時間，再求出點。走的路程，根據左減右加的

原則，可求出20向右運動到相遇地點所對應的數；

（3）此題是追及問題，分相遇前兩只螞蟻間的距離為20個單位長度，相遇后兩只螞蟻

間的距離為20個單位長度，列出算式求解即可.

【解答】解：（I）A,8之間的距離為120,M點對應的數是（?20+100）+2=40；

（2）它們的相遇時間是120+（6+4）=12（秒），

即相同時間Q點運動路程為：12X4=48（個單位），

即從數-20向右運動48個單位到數28；

（3）相遇前：（100+20-20）+（6-4）=50（秒），

相遇后：（100+20+20）+（6-4）=70（秒）.

故當它們運動50秒或70秒時間時，兩只螞蟻間的距離為20個單位長度.

【變式5-2]（2022?越秀區二模）甲、乙兩個昆蟲分別在數軸原點和+8的人處，分別以1

單位長度⑶1.5單位長度/s速度同時相向而行.

（1）第一次相遇在數軸上何處；

（2）若同時沿數軸的負方向而行，乙昆蟲在數軸上何處追上甲昆蟲？

(3)在(1)的條件下，兩個昆蟲分別到達點A和0處后迅速返回第二次相遇于數軸何

處？

【分析】(I)設相遇時間為/,然后列出方程求出/值，再求解即可；

(2)設追上的時間為r,利用追擊問題列出方程求解，再求解即可；

(3)設第二次相遇的時間為/,然后求出相遇點到原點的距離即可.

【解答】解：(1)設相遇時間為/,

根據題意得，f+1.5f=8,

解得f=3.2,

所以相遇點在數軸上3.2處；

(2)設追上的時間為r,

根據題意得，1.5/7=8,

解得r=16,

所以乙昆蟲在數軸上-16處追上甲昆蟲；

(3)設第二次相遇的時間為

根據題意得，什1.5『3X8,

解得/=9.6,

A9.6X1.5-8=6.4,

所以第二次相遇于數軸6.4處.

【變式5-3](2022春?南關區校級月考)一次數學課上，小明同學給小剛同學出了一道數

形結合的綜合題，他是這樣出的：如圖，數軸上兩個動點M,N開始時所表示的數分別

為-10,5,M,N兩點各自以一定的速度在數軸上運動，且M點的運動速度為2個單位

長度/s.

^1005

(DM,N兩點同時出發相向而行，在原點處相遇，求N點的運動速度.

(2)M,N兩點按上面的各自速度同時出發，向數軸正方向運動，幾秒時兩點相距6個

單位長度？

(3)M,N兩點按上面的各自速度同時出發，向數粕負方向運動，與此同時，。點從原

點出發沿同方向運動，且在運動過程中，始終有CMCM=I：2.若干秒后，C點在-

12處，求此時N點在數軸上的位置.

【分析】(1)根據速度=路程+時間，即可解決問題；

(2)由。4+08大于6個單位長度，分兩種情況，一種8在右側，一種A點在右側，再

根據時間=路程+時間，即可解決問題；

(3)要想始終保持。=2C8,則。點的速度應介于A、8兩者之間，設出。點速度為x

個單位/秒，聯立方程，解方程即可得出C點的運動速度，再由速度求時間，由時間求得

N點的運動路程從而解得N點在數軸上的位置.

【解答】解：(1)依題意，得104-2=554-5=1

所以N點的運動速度是1個單位長度/s；

(2)???OM+ON=IO+5=15>6,且M點運動速度大于N點的速度，

，分兩種情況，

①當點M在點N的左側時，

運動時間為=(OM+OM-6)+(2-1)=(10+5-6)+1=%.

②當點M在點N的右惻時，

運動時間為=(OM+ON+6)4-(2-1)=(10+5+6)+1=215

綜合①②得，9秒和21秒時，兩點相距都是6個單位長度；

(3)設點C的運動速度為x個單位/秒，運動時間為/,根據題意得知

10+(2-x)Xf=[5+(x-1)Xr]X2,

整理，得2-x=2r-2,

解得.*=1,即。點的運動速度為9個單位/秒

???當。點在-12處運動時間為12+;=%,

；?N點運動路程是1X9=9,

???N點在數軸上的位置是?4.

【題型6數軸與方程思想的運算】

【例6】(2022秋?越秀區校級期中)在數軸上有若干個點，每相鄰兩個點之間的距離是1

個單位長度，有理數。，〃，c,d表示的點是這些點中的4個，且在數軸上的位置如圖所

示.已知3〃=4〃-3,則代數式c-5d的值是()

abed

A.-20B.-16C.-12D.-8

【分析】根據3a=4方-3求出b的值，進而求出小c,d的值，即可確定出所求式子的

值.

【解答】解：，：a=b-2,3a=4h-3,

:?b=-3,

：?c=-2,a=-5,d=2,

則c?5d=?2-5X2=-12.

故選：C.

【變式6-1](2022秋?余姚市期末)數軸上有6個點.每相鄰兩個點之間的距離是1個單

位長，有理數”，江c,d所對應的點是這些點中的4個，位置如圖所示：

(1)完成填空：c-a=3,d-c=2,d-a=5；

(2)比較a+d和〃+c的大小；

(3)如果4c=。+2兒求"〃?c+d的值.

―g?:6.2>

【分析】(I)根據題意求出所求式子的值即可；

(2)利用作差法比較大小即可;

(3)根據4c=〃+2力求出。的值，進而求出小小d的值，即可確定出所求式子的值.

【解答】解：(I)根據題意得：c-〃=3,c-b=I,d-tz=5；

故答案為：3;2；5；

(2)???(a+d)-(b-c)=a+d-b-c=(a-b)+(d-c)=-2+2=0,

?*ci^d=b^c\

(3)Va=c-3,b=c-I,

：,4c=c-3+2(c-1),

解得：c=-5,a=-8,b—-6,d=-3,

則原式=86+53=12.

【變式6-2】(2022秋?武昌區校級月考)如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1

個單位，點A、B、C、。對應的數分別是。、b、c、d,且32a=9,請在圖中標出原點

O,并求出3c+〃-%的值.

-...1---1---1------1------1---：---1---->

A3CD

【分析】此題用排除法進行分析：分別設原點是點A或8或。或D

【解答】解：若原點是4,則。=0,b=4,此時〃?2a=-8,和已知不符，排除；

若原點是點B,則。=-4,b=0,此時。-2a=8,和已知相不符，排除；

若原點是點。，則〃=-8,8=-4,此時8-24=12,和已知不相符，排除；

若原點是點C，則。=-5,b=-1,此時》-2。=9,和已知相符，正確；

當點C是原點時，3c+d-2a=3X0+3-2X(-5)=13.

【變式6-3](2022?洛川縣校級期末)如圖所示，數軸(不完整)上標有若干個點，每相

鄰兩點相距一個單位長度，點A，B,C,。對應的數分別是a,b,c,d,且有一個點表

示的是原點.若4+2。+5=0,則表示原點的應是點C.

。

IIAIIIBIrYIII

abcd

【分析】此題用排除法進行分析：分別設原點是點4或B或C或D.

【解答】解：若原點為A,則。=0,d=7,此時由27+5=12,與題意不符合，舍去；

若原點為則-3,d=4,此時"+2〃+5=-3,與題意不符合，舍去；

若原點為C,則。=-4,4=3,此時〃+2〃+5=0,與題意符合；

若原點為D，則a=-7,d=0,此時d+2a+5=-9,與題意不符合，舍去.

故答案為：C.

【題型7數軸上的動點定值問題】

【例7】（2022秋?普寧市期末）已知如圖，在數軸上有A,B兩點,所表示的數分別為-

10,-4,點4以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時點8以每秒3個單位長度的速

度也向右運動，如果設運動時間為，秒，解答下列問題：

-10-404

（1）運動前線段AB的長為6；運動1秒后線段AB的長為4；

（2）運動/秒后，點A,點8運動的距離分別為5/和3/:

（3）求/為何值時，點A與點B恰好重合；

（4）在上述運動的過程中，是否存在某一時刻，，使得線段A8的長為5,若存在，求，

的值；若不存在，請說明理由.

【分析】（I）根據兩點間距離公式計算即可；

（2）根據路程=速度X時間，計算即可；

（3）構建方程即可解決問題；

（4）分兩種情形構建方程解決問題；

【解答】解：（I）AB=-4-（-10）=6,

運動1秒后，A表示-5,B表示-1,

：,AB=-1+5=4.

故答案為6,4.

（2）運動/秒后，點4,點8運動的距離分別為5f,3r,

故答案為5f,3九

（3）由題意：（5-3）f=6,

?1=3.

（4）由題意：6+3/-5/=5或5L（6+3。=5,

解得/=：或藍，

???/的值為T或藍秒時，線段AB的長為5.

【變式7-1］（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：

如圖1,在數軸上A點所示的數為mB點表示的數為b,則點A到點B的距離記為/W.線

段AB的長可以用右邊的數減去左邊的數表示，即AB=b-a.

請用上面的知識解答下面的問題：

如圖2,一個點從數軸上的原點開始，先向左移動3〃到達A點，再向左移動20”到達

8點，然后向右移動7cm到達C點，用I個單位長度表示lew.

（1）請你在數軸上表示出A.B.C三點的位置：

(2)點C到點A的距離CA=5cm；若數軸上有一點。，且A￡)=4,則點。表示的

數為-5或3:

(3)若將點人向右移動xcm,則移動后的點表示的數為-1+x；(用代數式表示)

(4)若點B以每秒2(切的速度向左移動，同時A.C點分別以每秒lc/〃、4c/〃的速度向

右移動.設移動時間為，秒，

試探索：C4-A8的值是否會隨著，的變化而改變？請說明理由.

-2012F

圖1

-6-5-4-3-2-1012345>

圖2

【分析】(I)根據題意容易畫出圖形；

(2)由題意容易得出CA的長度；設。表示的數為“，由絕對值的意義容易得出結果；

(3)將點4向右移動雙神，則移動后的點表示的數為-1+x；

(4)表示出CA和AB,再相減即可得出結論.

【解答】解：(1)如圖所示：

(2)CA=4-(-I)=4+1=5(cm)；

設。表示的數為m

'：AD=4cm,

：.\-I-?|=4,

解得：a=-5或3,

???點。表示的數為-5或3：

故答案為：5,-5或3；

(3)將點4向右移動九“〃，則移動后的點表示的數為-1+x；

故答案為：?1+X:

(4)CA-AB的值不會隨著/的變化而變化，理由如下：

根據題意得：CA=(4+4/)-(-1+/)=(5+3力cm,AB=(-1+f)-(-3-2.0=

(2+3。cm,

：.CA-AB=(5+3/)-(2+3/)=3(cm),

：.Ch-AB的值不會隨著/