第十八章平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質

第一課時平行四邊形的邊、角性質

@教學目標

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質.

2.會用平行四邊形的性質解決簡單的平行四邊形的計算問題，并會進行有關的論證.

3.培養學生發現問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

電預習導學

閱讀教材P41~43,完成下列預習內容.

I.兩組對邊分別、F"的四邊形叫儂平行四邊形.平行四邊形用符號表示,如圖所示，平行四邊形A8C力記作A8CD

如圖所示.

,:四邊形ABCD是平行四邊形,，."〃■工力〃區.

反過來.二八^〃CD.AD//BC.

???四邊形ABCD是乎彳j四邊膨.

2.丫-行四邊形的對邊」/且相等.對角相等,鄰角角補.

?.?四邊形ABC。是平行四邊形.

.'.Afi//(Dj\I)〃/it.A6=(7)/D=fiC.

/A=/C/8=//).

Z4+Zg=18(r.Z4+Z0=180；

3.兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的垣逋，叫做這兩條平行線之間的距離.

如圖所示，已知。〃慶則a與b的理離是圖中的線段￡2的長度.

自學反饋

I.如圖所示，在△八吐中，力￡〃6C,"〃人C,￡F〃八8.根據平行四邊形的定義，你能判斷出圖中共有多少個平行四邊形嗎?并分別

指出它們的名稱.

解:①由OE〃8F.O8〃EF可以得到四邊形。身有是平行四邊形.

②山/把〃“?和”〃比可以得到四邊形/?'C￡是平行四邊形.

③由EF//ABfllO”〃AC可以得到四邊形AO”￡?是平行四邊形.

一共有3個平行四邊形.

【點撥】根據平行四邊形的定義,只要兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形，這是判斷一個四邊形是平行四邊形最基

本的方法，也是最常JIJ的方法.

2.如圖所示,小斌用--根50m長的繩子圍成了一個平行四邊形場地，其中一邊長16m,則它的鄰邊長為（I））

A.34mB.I8inC.16mD.9m

【點撥】平行四邊形的鄰邊之和等于周長的一半.

3.在。八8C7）中,/8=70。,則其他三個角的度數分別是多少?

解:V四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZB=ZD=700.ZA=ZC=I80°-70°=110°.

【點撥】平行四邊形的對角相等，鄰角互補.

?典例剖析

【例題】（教材P42例1）如圖所示,在。ABCO中.OE_LAB.8F_LCD垂足分別為E.E求證AE=C尸.

（解答）證明:???四邊形ABCD是平行四邊形.

，ZA=ZCAD=CB.

又?.?NAED=NCF8=90°,

/.△4DE^ACBF（AAS）,.，ME=CF.

【點撥】在平行四邊形中證明線段與角的問題通常要用到全等.

【跟蹤訓練】（《全科王》18.1第一課時第7題）如圖所示,四邊形AB。是平行四邊形石尸分別是BCAD上的點,/l=N2.

求證AF=CE.

證明:?四邊形ABCD是平行四邊形.

NB=NDJ\B=DCAD=BC.

仔1=N2,

由ABE和△CDF^PAAB=DC

3=di

?

：.zM班運△CDF(ASA),，BE=DF.

又,：AD=BC,：.AF=CE.

國鞏固訓練

1.己知在。ABC。中,NA+NO240。.則的度數是（B）

A.IOO°B.60°C.80°D.I6O0

2.如圖所示，在"ABC。中工8=3./?C=5"A8C的平分線交A。于點￡則DE的長為（D）

R

A.5B.4C.3D.2

3.若平行四邊形中兩個內角的度數比為1：2,則其中較大的內角是（D）

A.450B.60°C.90°D.1200

4.在。AHCD中，若AH=3cm,八。=4cm,則。AHCD的周長為J4cm.

5.如圖所示，如果直線八〃/2,那么&ABC的面枳和4。忒'的面積是相等的.你能說出理由嗎?你還能在這兩條平行線/皿之間畫出其

他與△ABC面積相等的三角形嗎?

解:???八〃/2,，八,/2之間的距離是固定的，

:.03c的3c邊上的高相等.

.?.△八8。和408c的面枳相等.

如圖所示，當點E在直線八上時,SAESC=SAABG

6.如圖所示尸ABC。中方為8c邊的中點,連接4E并延長.交DC的延長線于點八求證DC=CF.

證明:?；四邊形AHCD是平行四邊形，

：.AB//CDAB=CD.

:.NBAE=NCFE.

為BC的中點，

b：B=EC.

(Z.BAE=Z.CFE

ABE與AFCE^ILAEB=乙CEF'

lEB=EC

9

/.ZSABE/△尸CE(AAS).

：.AB=CF.：.DC=CF.

?課堂小結

1.平行四邊形的定義.

對邊平行，

對邊相等，

2.平行四邊形的性質

對角相等，

.鄰角互補.

第二課時平行四邊形的對角線性質

教學目?標

1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.

2.能綜合運川平行四邊形的性質般決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明題.

3.培養學生的推理論證能力和邏輯思維能力.

?預習號學

閱讀教材P43~44.完成下列預習內容.

L平行四邊形的對角線“相平分.

如圖所示，

V四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC.BD相交丁點0.

：.AO=OC=^AC.BO=DO=^BD.

2.(1)平行四邊形的面積=底乂口.

如圖所示.在。ABCD^AELBC于EAFA.CD于E則5-w=BC3aM

⑵如圖所示尸ABCD的對角線ACBD相交于點。則q&OB三SA肛三弘co^DO.^-ABCD.

【點撥】兩條對角線把平行四邊形分成面積相等的四個二角形.

自學反饋

l.oABCD中,對角線ACBQ相交丁點。，如圖所示，大膽猜想OA與OC.OB與。。的數故關系.

牯根CA-CCO8-。/）.

解:由四邊形ABCD是平行四邊形得AB=CD.AB//CD.

:.ZAHO=ZCDO,NBAO=NDCG,

:.△ABO?ACDO,

：.AO=CO,BO=DO.

結論:平行四邊形的對角線"I「?分.

【點撥】利用平行四邊形對邊平行且相等得到線段相等.角相等,通過全等證明平行四邊形對角線互相平分.

2.已知cA8CQ的周長為60cm.對角線AC.BD交于點O.AAOB的周長比48。。的周長長8cm.求平行四邊形各邊的長.

解:由題意得AB+BC=30cm.A8-8C=8cm.

：.AB=CD=\9cmAD=BC=\Icm.

?典例剖析

（例題】（教材P44例2）如圖所示,在二ABCD中K5=1（MD=8工C_LBC.求BC.CDAC.OA的長.以及。ABCD的面積.

（解答）解:「四邊形ABCD是平行四邊形.

：.BC=AD=S.CD=AB=\0.

V/1C1BG

...△A8C是直角二角形.

根據勾以定拜，得AC=y/AB2.BC2-ynO^=（＞-

y.\'OA=OC,

。八3八C=3,S,mcD=8CAC=8x6=48.

【點撥】平行四邊形的性質與勾股定理綜合應用求得cABC。的面積=8CAC

【跟蹤訓練】如圖所示，在。ABCD'|\?C=IO,/1C=8,/JD=I4,A八。。的周長是多少？△ABC與4/用C的周長哪個長?長多少？

解：；四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AO=OC=^'\C.BO=OI^fiD,BC=AD.

ACAO+OO+A，嚀A8c=4+7+10=21.

V四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AB=CD.

"CAAtt^AB+BC+AC=AB+BC+S,C&DB^BC+CD^BE>=BC+AB+14.

:.CADB<yC&ABC-（t.

:.Cai）nc>C^Affc.K6.

【點撥】解題的關鍵是熟知平行四邊形的對角線互相平分的性旗，周長是三邊之和,兩三角形有兩邊相等，差即在不相等的一

組邊上.

?鞏固訓練

1.如圖所示尸ABCD的對角線AC.B。相交于點。則下列說法一定正確的是（C）

A.AO=ODB.AOLOD

CAO=OCD.AOJ.AB

2.如圖所示尸ABC。的對角線AC和8D相交于點O.圖中與408c面積相等的三角形（不包括自身）的個數是（B）

A.4B.3C.2D.I

3.如圖所示,在J8CD中./。〃=90。工C=IOcm.5D=6cm,則A。的長為（A）

D￡

R

A.4cmB.5cm

C.6cmD.8cm

4.已知在。AHCI）中交于點。/AOH的面枳為2,那么。AHCD的面積為K.

⑧課堂少等

’對邊平行且相等，

平行四邊形的性質（對角相等，

.對角線互相平分.

18.1.2平行四邊形的判定

第一課時由邊、角、對角線關系判定平行四邊形

@教學目?標

L掌握由邊、角、對角線判定平行四邊形的判定定理.

2.能根據不同條件靈活選擇適當的判定方法.

@預習導笑

閱讀教材P45~46.完成下列預習內容.

1.兩組對邊分別川多的四邊形是平行四邊形.

如圖所示，

在四邊形ABCD中邊乩.??四邊形ABCD是平行四邊形.

2.兩組對角分別小等的四邊形是平行四邊形.

如圖所示，在四邊形八8C7）中，

四邊形ABCD是平行四邊形.

3.對角線山1LT分的四邊形是平行四邊形.

如圖所示，在四邊形ABCD'IMC3D相交丁點O.

???四邊形ABCO是平行四邊形.

自學反饋

1.若四邊形人88的對角線AC/D相交于點O,OA=OCQB=OD,則達個四達形是干行四邊形.理山是對。線式相干分的四邊形

是平行四邊死.

2.在四邊形ABCD中,/A=NC=80。，當/8=1兇_,/。=1也：時,四邊形ABCD是?行在.邊形.

3.如圖所示工B=DC=EE4/>8C.DE=CE圖中有哪些互相平行的線段？

解:AB=DC=EF,AD=BC,DE=CF.

:.四邊形八BCDOCFE是平行四邊形.

：.AB//CD//EF.AD//BC.DE//CF.

Q典例剖析

【例I】如圖所示,在四邊形A3CD中38〃CZX/A=/C,求證四邊形A3C。是平行四邊形.

D

（解答）證明:?.?/:〃C/）,

...Z4+ZZ>180°.Z5+ZC=180°,

,:NA=NC.；.NB=/D,

...四邊形八BCD是平行四邊形.

【點撥】已知?組對角相等，可以證另一組對角相等來證明平行四邊形.

【跟蹤訓練1】四邊形A8C7）中耍使四邊形八是平行四邊形，還需滿足條件（D）

A.Z4+ZC=180°B,N5+/￡>=18（r

C.ZA+Z?=180°D.Z4+ZD=I8O0

［例2］（《全科王》18.1第二課時第13題）如圖所示，在△八劫CAACD.AABEq8CF均為直找8c同便的等邊三

角形，求證四邊形八/?■力為平行四邊形.

（解答）證明:?.?△八8E48C廠為等邊三角形.

:.AB=BE=AE,BC=CF=FB,NABE=ZC"=60".

:./FBE=/CBA.

(BF=BC

在△FHE和ACH.\4FBE=1CBA

{EB=AB'

:.△Ffi￡^ACftA(SAS),，EF=AC.

又,??△A。。為等邊二角形，

，CD=AD=AC,：.EF=AD.

同理可得AE=DF.

工四邊形八。莊是平行四邊形.

【跟蹤訓練2】下面給出的是四邊形48。中工8.8CCD/M的長度之比,其中能滿足四邊形A8CD是平行四邊形的是

(C)

A.I：2：3：4B.2：2：3：3

C.2：3：2：3D.2：3：3：2

【例3】（教材P46例3）如圖所示尸43。的對角線AC3力相交于點OEF是AC上的兩點.并且AE=CE求證四邊形BFDE

是平行四邊形.

（解答）證明:「四邊形ABCD是平行四邊形.

：.BO=DO.AO=CO.

'：AE=CF..'.AO-AE=CO-CF,V.VEO=FO.

又BO=DO,

.??四邊形歷是平行四邊形.

【點撥】已知條件與對角線有關，可以證明對角線互相平分來證明平行四邊形.

口鞏固訓練

I.如圖所示,4O〃3C,要使四邊形A友刀成為平行四邊形還需要條件（D）

A.AB=DCB.ZI=Z2

CAB=ADD.AD=BC

2.1面給出的是四邊形A8CD中NA,NB/CZ。的度數比淇中能判斷出四邊形是平行四邊形的是（B）

A.4：3：2：1B.3：2：3：2

C.3：3：2：2D.3：2：2：I

3.如圖所示，四邊形人8CQ的對角線相交于點。八。=C。請添加一個條件8（7=/）。（答案不唯），使四邊形八8c相是平行四邊形.

4.如圖所示，在四邊形ABCD中工B=CZI8C=AO,若N￡>=120°.求ZC的度數.

解:?.?A3=CD8C=AD

???四邊形A8CD是平行四邊形.

：.AD//RC,：-ZC+ZD=180°.

:/D=I2O°,，NC=60°.

5.如圖所示，在四邊形ABC。中,A3〃CD百是3c的中點，宜線AE交OC的延長線于點E試判斷四邊形的形狀，并證明你的結

論.

AR

解:四邊形A8FC是平行四邊形.證明如下：

'：AB//CD,：.2BAE=4CFE.

:E是BC的中點,，BE=CE.

(LBAE=Z.CFE

打△八8￡根FCb>\1/.AEB=LFEC'

(8E=CE

9

:.△ABEg△FCE(AAS).：.AE=EF.

又「B￡=CE....四邊形ABFC是平行四邊形.

@課堂少縝

I.平行四邊形判定方法：

(I)定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)兩組時角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(4)對角線互相平分的四邊形是平廳四邊形.

2.平行四邊形性質和判定的運用.

第二課時由一組對邊關系判定平行四邊形

⑧教學目標

1.探索并掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.靈活運用平行四邊形的性質和制定解決實際問題.

@預習導笑

閱讀教材P46~47,完成下列預習內容.

一組對邊平行且皿的四邊形是平行四邊形.

如圖所示,在四邊形A5CD中.

'：AB//CDAB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形.

自學反饋

1.如圖所示，取兩根等長的木條AS.CD.將它們平行放置.再用兩根木條ADBC加固，得到四邊形人BCD你認為四邊形A8CD公

是平行四邊形嗎？

已知:AB=SAB〃CD.

求證:四邊形八8C。是平行四邊形.

證明:連接人交于點O,

則Z4BOZCDO叱BAO=/DCG.

又?：AB=CD,

:.AABSQACDO,

：.AO=CO,BO=DO,

，四邊形ABCD是平行四邊形.

2.如圖所示，在四邊形ABCD中，對用線AC與BD交于點。，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是

A.OA=OC,OB=OD

H.Afi//CDAD//CR

C.AB=CD,AD=CB

D.AB//CDAD=CB

【點撥】一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.若一組對邊平行，另一組對邊相等.不能判定平行四邊形.

典例剖析

【例1】（教材P47例4）如圖所示，在。ABCD中￡/?.分別是AB,CD的中點，求證四邊形EHH）是平行四邊形.

（解答）證明:?.?四邊形八8C”是平行四邊形,

乂EB=~.\B.FD=^CD.：.EB=FD.

，四邊形EBFD是平行四邊形.

【點撥】判定平行四邊形的基本思路：(1)若己知一組對邊平行，可以證這一組對邊相等或另一組對邊平行;(2)若已知一組對

邊相等，可以證這一組對邊平行或另一殂對邊相等;(3)若已知一組對角相等，可以證另一組對角相等;(4)若已知條件與對角線有關，可

以證明對角線互相平分.

【跟蹤訓練I】已知在四邊形ABCD中,AD=8CND=/￡>CE求證四邊形A8CD是平行四邊形.

AD

BCE

證明:,:/。=/DCE,:.AD//BC.

V.'：AD=BC.

...四邊形八BC。是平行四邊形.

【例2】如圖所示，在二ABCD中，點E.F分別在40.灰?上,且相交于點。求證OE=OF.

4ED

k

RFC.

(解答)證明:連接

???四邊形ABCD是平行四邊形.

：.AD//BCAD=BC.

又.；AE=CF,：.1)E=BE

又VDE//B卜::.四邊形HEDF是平行四邊形.

：.OE=OF.

【跟蹤訓練2】(《全科王》18.1第四課時第4題)如圖所示.5.EC.尸在?條直線上，已知A8〃。處4C〃OF.8E=CE連接AD

求證四邊形，是平行四邊形.

證明:'.YB〃O￡AC〃。尸.

:./8=/DEF,/A止/F.

,:BE=CF.：.BE+CE=CF+CE.

IIPBC=EF.

NB=LDEF

在△ABC和△。七戶中.BC=EF'

￡ACB

=NF，

△A3"△OERASA）,，48=DE.

又???A8〃OE...四邊形43E。是平行四邊形.

電鞏固訓練

I.在下列給出的條件中,能判定四邊形A8CO為平行四邊形的是（C）

A.AB//CDAD=BCB.Z4=Z2?.ZC=ZD

CAB=CDAD=BCD.AB=AD.CB=CD

2.如圖所示，在。ABS的?組對邊ADBC上截取EF=MN,連接EM/N,則圖中共有2個平行四邊形.

3.如圖所示,在四邊形A8CD中,￡尸是對角線AC上的兩點,8E_LACO/」ACJ13七=。凡44CE求證四邊形ABCD是平行四邊形.

證明:?.?3￡LLAC,D/:\LAC,

:.ZBEC=ZDFA=90°.

(BE=DF

BCEM^DAF\'.UBEC=￡DFA

(CE=AF

9

:.ABC陛ADANSAS),

:.BC=AD"BCE=ZDAF,

/.8C〃A。,...四邊形A8C￡）是平行四邊形.

4.如圖所示，點區E分別在AC.上工尸分別交BDCE于點、A/.N.ZA=ZF,Zl=Z2.

(1)求證四邊形BCE。是平行四邊形:

⑵已知OE=2,連接8N,若8N平分NO8C,求CN的長.

證明:⑴；ZA=ZF,：.DE//BC.

?.?NI=N2.N1=NOA".

:.NDMF=42,；.DB"EC,

:.四邊形BCED為平行四邊形.

解:(2)：8N平分/DBC,:.ZDBN=ZCBN.

:EC//DB.：.ZCNB=ZDBN,

：.4CNB=4CBN.：.CN=BC=DE=2.

?課堂小弟

1.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.平行四邊形的判定與性質的綜合應用.

第三課時三角形的中位線

金教學目標

1.理解三角形中位線的概念,掌握它的性質.

2.能較熟練地應用三角形中位線的性質進行有關的證明和計算.

電預習導學

閱讀教材P47-49,完成卜,列預習內容.

1.三角形的中位線的定義:連接三角形兩邊上點的線段叫做三角形的中位線.

2.三角形的中位線定理:三角形的中位線:十r-三角形的第三邊,并且等于笫三邊的T.

如圖所示，

???。￡是△A8C的中位線,

：.DE//BC.I1DE=^BC.

3.一個三角形有：條中位線.

4.如圖所示，在△八中/B=8,8C=12/C=IO,點。,￡分別是HC,CA的中點，則ADEC的周長為（A）

A.15B.I8C.20D.22

【點撥】三角形的中位線定理包含兩個方面：（1）平行（位置關系）;（2）一半（數量關系）.

Q典例剖析

【例1】（教材P48探究）如圖所示，。而分別為△ABC的邊ABAC的中點，求證DE〃BC,且DE^BC.

（解答）證明:延長DE到點E使七尸=。￡連接FC.DCAF.

'：AE=EC.DE=EF.

???四邊形AZXT是平行四邊形....CF平行且等于ZM

平行且等于BD.

，四邊形。伙下是平行四邊形,平行且等于BC.

又VDE=iDF,:.DE//8C,且DE部C.

【點撥】本題既要證明兩條線段所在的直線平行,又要證明其中?條線段的長等于另?條線段長的一半.將OE延長一倍后.

可以將證明加弓“轉化為證明延長后的線段與3c相等.又由于E是AC的中點,根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形構

造一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質進行證明.

【跟蹤訓練】（《全科王》18.1第五課時第6題）如圖所示，在△八BC中,/）￡/??分別是邊AB,HC,CA的中點，四邊形出了7）的周

長為14,則A3+8C的長為口

【例2］（教材P49練習TI）如圖所示布△A8C中.D￡F分別是A8.8CCA的中點，以這些點為頂點，在圖中，你能畫出多少個

平行四邊形?為什么？

（解答）陋:能畫出三個平行四邊形，根據?組對邊平行H相等的四邊形乃平行四邊形可得四邊形BEFD、四邊形DECF.

四邊形八。"為平行四邊形.

鞏固訓練

I.如圖所示,在等邊三角形A8C中.點D石分別為邊AR4c的中點,則/OEC的度數為（B）

A.1500B.I200C.60°D.30°

2.如圖所示,△ABC中.DERG分別是A3工CdOdE的中點，若BC=I2,則。E+FG等于（C）

A.6B.8C.9D.12

3.已知△A5c的各邊長度分別為3cm.4cm.5cm.則連接各邊中點的三角形周氏為（D）

A.2cmB.7cmC.5cmD.6cm

4.如圖所示，在。ABCD中,對角線AC.BD相交于點。點￡是AB的中點,O￡=5cm,則AD的長為H）cm.

5.如圖所示,在△A8C中.D.E分別是AB和AC的中點,F是3c延長線上?點.C尸=IQF交CE于點G.且EG=CG,則BC=2.

R

6.如圖所示，在△入8c中,CF平分//tCB,C/t=SA￡=￡B,求證EF^BD.

證明:???CA=CD,CF平分ZACH,

:.CF為AD邊上的中線,二F為A。的中點.

又AE=EB..,.E為A3的中點.

EF為△48。的中位線,，EF=hiD.

⑧課堂小弟

1.三角形的中位線定理.

2.三角形的中位線定理不僅給出了中位線與第三邊的位置關系,而且給出了它們的數量關系,在三角形中給出一邊的中點時，要

轉化為中位線.

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形

第一課時矩形的性質

⑧教學目標

1.掌握矩形的概念和性質，理解矩形與平行四邊形的區別與聯系.

2.會初步運用矩形的概念和性質來解決有關問題.

3.掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一重要結論.

?預習導學

閱讀教材P52~53,完成下列偵習內容.

】?矩形的定義:有一個角是直角的土任四邊心叫做矩形.

如圖所示,

V四邊形ABCD是平行四邊形./.4=雪.

，四邊形ABCO是矩形.

2.矩形的性質:矩形的對邊」,彳JU相等:矩形的四個角都是也用:矩形的對角線互相上分且出年

如圖所示，

???四邊形ABCD是矩形.

?MB平行且等于?工力平行且等于除

ZBAD=ZABC=ZBCD=ZAD€=\!(r,

AO=O(=1.A(,B()=l)()=^ii)j\C=Hi).

3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二L.

如圖所示，在RIAA8C中,N4C8=90。,。為八8的中點則CD=^\Ii.

自學反饋

直角三角形的兩直角邊長分別為5和12.則斜邊上的中線為4.

Q典例剖析

【例1】(教材P53例I)如圖所示，矩形八灰7)的對角線ACM)相交于點。，/AO8=60M8=4,求矩形對角線的長.

(解答)解:?；四邊形ABCD是期形,

:.人C與8。相等且互相平分.

：.OA=OB.

又NAO8=60。.，是等邊三角形.

：.OA=AB=4.

：.AC=BD=2OA=2x4=S.

【點撥】應用矩形性質計算的一般思路:①根據矩形的四個角都是直角,一條對角線將矩形分成兩個全等的直角三角形用勾股定

理求線段的長度是常用的思路;②根據更形對角線相等且互相平分.可借助對角線的關系得到全等三角形.矩形的兩條對角線把矩形

分成四個等腰三角形，在矩形性質相關的計第和證明中要注意這個結論的運用，建立能夠得到線段長度或角度的等房關系.

【跟蹤訓練I】（《全科王》1&2第一課時第3題）如圖所示，矩形A8CO的對角線交于點。，若/A。8=30。,48=2,則OC的長

為（A）

A.2B.3C.2y[3D.4

【跟蹤訓練2】如圖所示，已知四邊形ABCO是矩形（AO>A3）.點E在BC匕且4E=AOQ凡LA￡垂足為點E求證DF=AB.

證明：?:四邊形AHCD是矩形,/）F_A￡,

:.^EBA=^DFA=90：｝^D//BC.

:.ZDAF=ZAEB.

zD4F=Z4EB

在A4/7)411AEBA中,Z.AFD=￡EBA'

AD=AE

:.AAFD^A￡/?A(AAS),：J)F=Aii.

【例2】如圖所示,/）￡/??分別是△ABC各邊的中點,八〃是爵，如果EIA5cm,求〃尸的長.

（解答）解:山邀克.，得/g是△A6C的中位線,

,:HF是R1AA〃C的斜邊AC上的中線,

：.HF=^AC,：.HF=DE=5cm.

【點撥】由中位線定理可知OE=|AC即可求出AC的K度.又因為HF是RSA，C斜邊上的中線.即可求山〃尸的k度.

【跟蹤訓練3】如圖所示，在△A3C中,D為AB的中點,8工LAC,垂足為E若DE=4/E=6,則此的長度是（D）

A.10B.2V5C.8D.2V7

鞏固訓練

1.在下面性質中,矩形不一定具有的是（D）

A.對角線相等民四個角都相等

C.是軸對稱圖形D.對角線互相垂直

2.直角三角形中,斜邊長為12.則斜邊上的中線長是（A）

A.6B.4C.8D.12

3.如圖所示,在矩形A8CD中.對角線AC.8D相交于點O,點￡尸分別是AOAD的中點，若A8=6cm.8C=8cmMLAE尸的周長為

（C）

A.7cmB.8cmC.9cinD.I2cm

4.如圖所示，已知矩形ABC。中,對角線AC8Q相交于點O.AE_L8。于E.若N￡ME：N8AE=3：I.則NAB。的度數為（D）

A.60°B.62.50C.650D.67.50

5.矩形的兩條對角線的夾角為60。.較知的邊長為12cm.則對角線的長為更cm.

6.如圖所示，矩形ABCD的對角線AC.BD相交于點。點￡戶在8力上。￡=OE求證AE=CF.

證明:四邊形ABCD是矩形..?.04=0C.

(0A=0C

6：△40/；fIIACOf-Az.AOE='/.COF

(0E=OF

^AOE^△COF(S/\S),：.AE=CF.

?課堂少結

1.矩形的定義及性質.

2.矩形是特殊的平行四邊形.矩形的四個角都是直角,對角線互相平分且相等.

第二課時矩形的判定

金教學目標

I.能應用矩形的定義、判定定珥，辭決簡單的證明題和計算題,進一步培并分析能力.

2.培養綜合應用知識分析、解決問題的能力.

電預習導學

閱讀教材P54~55,完成下列預習內容.

1.如圖所示，

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,NA包,

...四邊形八8C。是矩形.

2.如圖所示，

,/四邊形ABCD是平行四邊形/C=柜2,

，四邊形AHC7）是矩形.

3.如圖所示,

D

???在四邊形ABCD中,NA=N8=NC=2Q2.

???四邊形ABC。是矩形.

G典例剖析

【例1】（教材P54例2）如圖所示，在。八氏7）中用角線人CM）相交于點0,且OA=OD,ZOAD=50a.^,ZOAH的度數.

（解答）解::四邊形ABCD是平行四邊形,

，OA=OC=^AC.OB=OD=^BD.

^：OA=OD,：.AC=BD.

：.四邊形ABCD是矩形,二NDAB=90。.

乂Z040=50。,Z045=40°.

【點撥】判定矩形的基本思路:①若已知一個直角，則可以證該四邊形是平行四邊形或其他角中有兩個是直角;②若對角線相

等,則可以證該四邊形是平行四邊形;③若已知四邊形是平行四邊形，則需要證明一個內角是直角或對角線相等.

【跟蹤訓練I】如圖所示,在△A3C中Q是3c邊上一點方是A。的中點，過點A作3c的平行線交CE的延長線于點”,且

4尸=3D,連接BF.

⑴求證D是8c的中點;

⑵若A8=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論.

證明:（I）：A尸〃3c

...ZAFOZFCfi.

又丁NAEF=NDECAE=DE,

：.￡\AEF^△DECXAAS).：.AF=DC.

又VAF=BD.:.BD=DC.即。是8C的中點.

解：(2)四邊形,“加)是矩形.證明如下：

'：AF//BCAF=BD.

，四邊形是平行四邊形.

是BC的中點.

：.AD±8C即NADB=90°.

四邊形八尸8。是矩形.

【例2】如圖所示,四邊形AHCD中,對角線相交于點O/O=CO,H9=。。,且/八8C+/AOC=180。.

(I)求證四邊形A8CD是矩形.

^^^/,八仁若/人力尸：NFDC=3:2,則NB。尸的度數是多少？

(解答JAO=CO,HO=DO,

???四邊形八38是平行四邊形，

，ZABC=ZADC.

VNA8C+ZADC=\80°./.ZABC=NAOG90。.

；.四邊形ABC。是矩形.

解:(2)YNAOC=90°,//”》?：ZFDC=3:2,

ZFDC=36°.

VDF1AC./.ZDCO=900-36o=54\

■:四邊形ABCD是矩形CO=OZ).

:.ZODC=ZDCO=54°,

:.ZBDF=/ODC-ZFDC=18".

【點撥】很多邀目是判定與性質的綜合應用，靈活應用判定定理和性質定理是關鍵.

【跟蹤訓練2】(《全科王》18.2第二課時第8題)如圖所示，在"ABC。中K3=6.8C=8工C=IO.

⑴求證四邊形A8CQ是矩形;

⑵求即的長.

證明:(1)AB=6.BC=SAC=l().

：.ABZ+BC2=AC2,：.Z4WC=90°.

V四邊形ABCD是平行四邊形,

.”A5CD是矩形.

解：(2)二?四邊形A58是矩形.

，80=4010.

?鞏固訓練

I.在一僅7）中，增加一個條件使四邊形八6C。成為矩形，這個條件是（B）

\.AB=CDB.NA+NC=180°

C.BD=2ABD.ACLBD

2.如圖所示，四邊形八BCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的美件是（D）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

3.如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線ACL8DEEG.”分別是各邊的中點.若AC=8.8D=6.則四邊形EFGH的面積是12.

4.如圖所示.AB=AC4￡>ME.OE=8CIL/的。=NCAE.求證四邊形BCDE是矩形.

證明:?.?/8/W=/C4￡

:.ZBAD-ZBAC=ZCAE-ZBAC.

：.ZBAE=ZCAD.

(AE=AD

布△BAE^\hCAD\'\z.BAE=zC/lD

AC

MB=?

:.△84E"CAD(SAS"NBEA=NCDA,BE=CD.

'：DE=CB,：.四邊形BCDE是平行四邊形，

：.BE//CD.

"AE=AD.：.ZAED=ZADE.

?；ZBEA=NCDA.：.ZBED=ZCDE.

'：BE//CD.:.NCDE+ZBED=180。，

:.NBED=NCDE=90。,；.四邊形BCDE是矩形.

5.如圖所示，已知。是A八AC的邊AB上一點,CN〃AB,DN交AC于點M,MA=MC

⑴求證心CN;

⑵若求證四邊形AQCW是矩形.

證明：(1)CN//八B.:.NDAM-NNCM.

(￡DAM=Z.NCM

在AAA〃)和^OWN中=MC

{/.AMD=ZCMN

f

：.^AMD^△GWJV(AS/X).AAD=CN.

(2Y：AD//CNM)=CN,

四邊形ADCN是平行四邊形.

又,：MA=MD,：.AC=DN,：.四邊形ADCN是矩形.

?課里少結

L定義:有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

2.對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直角的四邊形是矩形.

18.2.2菱形

第一課時菱形的性質

⑧教學目標

1.理解并舉提菱形的定義及性質定理;會用這些定理進行有關的論證和計算.

2.根據平行四邊形與矩形、菱形的從屬關系.通過畫圖向學生滲透集合思想.

?預習導學

閱讀教材P55~56.完成卜.列預習內容.

1.菱形的定義:有一組網相等的平行四邊形叫菱形.

如圖所示，

,/四邊形ABCD是平行四邊形.且48=AD

:.四邊形ABCD是爰物

2.菱形的性質:菱形的四條邊條相笠:菱形的兩條對角線互相打相平分.且每戔對角線卜分組對角;菱形是軸對稱圖形.它的對

角線所4的也線就是它的對稱軸.

如圖所示,

?/四邊形ABCD是菱形,8c=CD=OA,

AC1.Bl)j\o=()('=J.\C.BO=I)O=^HI).

AC平分//M/和/RCD.RD平分/八"和/ADC

3.菱形的面積等于底乘以肩:菱形f勺面積等于兩對角線乘枳的E

SARC^HC^ET^ACBD.

自學反饋

1.在菱形八BC。中,N/M/X120。,已知人C的長是5,則菱形八BCO的周長是(B)

A.25B.20C.I5D.IO

2.已知菱形的邊長為5cm,一條對角線的長為8cm.另一條對角線的長為(C)

A.3cmB.4cmC.6cm1）.8cm

3.菱形兩條對角線的長分別是4和6,則這個菱形的面枳為12.

【點撥】（1）菱形的一條對角線珞菱形分成兩個全等的等腰三角形;（2）菱形的兩條對角線將菱形分成四個全等的小宜角三角

形.

?典例剖析

【例題】（教材P56例3）如圖所示，菱形花壇/WC。的邊長為20m,/"C=60。,沿著菱形的對角線修建廠兩條小路AC和BD,

求兩條小路的長（結果保留小數點后兩位）和花壇的面枳（結果保留小數點后一位）.

【思路點撥】本時要求兩條小路的長和花壇的面枳,可以在RIA中，應用直角一角形的性質和勾股定理求出。兒（用的

長.

（解答）解:：花壇ABCD的形狀是菱形.

工AClBD"A/八?C=1x60:=300.

在RtAOA3中/*A3[x20=10im）.

8（97田/。2-，2（）2]（）2-l0V3<ni）.

，花壇的兩條小路長AC=2AO=2Q（m）.

B/）=28O=2（XQ=34.64（m）.

花壇的而枳Sk4xS&88=|9心。=200>/5=346,4（0?）.

【方法歸納】應用菱形性質計算的一般思路:①菱形對邊平行、對角相等、四邊相等,所以在做題時，可利用等量代換來轉換

邊角之間的關系;②菱形的對角線互相垂直,故常借助對角線垂直和勾股定理來求線段的長.

【跟蹤訓練】菱形的周長為4,兩個相鄰內角度數的比為I：2.則該菱形的面積為（A）

A.苧B.V3C.2D.2>/3

?鞏固訓練

I.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（D）

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

2.如圖所示,在菱形AHCD中，￡下分別是4瓜AC.的中點，若以'=3,則菱形八伙7)的周長是

A.12B.I6C.20D.24

3.已知菱形八8C7)的面枳為24cnR若對角線4C=6cm,則這個菱形的邊長為fem.