...wd......wd......wd...習題六〔A類〕1.檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構成實數域上的線性空間.(1)2階反對稱(上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數量乘法；(2)平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數量乘法：k·；(3)2階可逆矩陣的全體，對于通常矩陣的加法與數量乘法；(4)與向量(1，1，0)不平行的全體3維數組向量，對于數組向量的加法與數量乘法.【解】〔1〕是.由于矩陣加法和數量乘法滿足線性空間定義中的18條性質，因此只需考慮反對稱〔上三角〕矩陣對于加法和數量乘法是否封閉即可.下面僅對反對稱矩陣驗證：設A，B均為2階反對稱矩陣，k為任一實數，則(A+B)′=A′+B′=AB=(A+B),(kA)′=kA′=k(A)=(kA),所以2階反對稱矩陣的全體對于矩陣加法和數量乘法構成一個線性空間.〔2〕否.因為(k+l)·,而,所以這種數量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質.〔3〕否.因為零矩陣不可逆〔又因為加法和數量乘法都不封閉〕.〔4〕否.因為加法不封閉.例如，向量〔1，0，0〕，〔0，1，0〕都不平行于〔1，1，0〕，但是它們之和〔1，0，0〕+〔0，1，0〕=〔1，1，0〕不屬于這個集合.2.設U是線性空間V的一個子空間，試證：假設U與V的維數相等，則U＝Ｖ.【證明】設U的維數為m，且是U的一個基，因UV,且V的維數也是m，自然也是V的一個基，故U=V.3.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1),＝(1,1,0,0),＝(0,1,－1,－1)下的坐標.【解】設向量在基下的坐標為(),則即為解之得()=(1,0,1,0).4.在R３中，取兩個基＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，試求到的過渡矩陣與坐標變換公式.【解】取R３中一個基〔通常稱之為標準基〕=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).于是有所以由基到基的過渡矩陣為坐標變換公式為其中()與〔〕為同一向量分別在基與下的坐標.5.設α1,α2,α3與β1,β2,β3為R3的兩個基，且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的過渡矩陣為，(1)求由基β1，β2，β3到基α1,α2,α3的過渡矩陣B；(2)假設向量α在基β1,β2,β3下的坐標為(2，3，1)′，求α在基α1,α2,α3下的坐標.解〔1〕，由于A又逆，所以得，可見A-1為從到的過渡矩陣B利用求逆矩陣方法〔2〕由定理3知，6.在R4中取兩個基(1)求由前一個基到后一個基的過渡矩陣；(2)求向量()在后一個基下的坐標；(3)求在兩個基下有一樣坐標的向量.【解】(1)這里A就是由基到基的過渡矩陣.(2)設,由于()=()A1,所以因此向量在基下的坐標為(3)設向量在這兩個基下有一樣的坐標,那么即也就是解得,其中為任一非零實數.7.說明平面上變換的幾何意義，其中(1)；(2)；(3)；(4).【解】,T把平面上任一點變到它關于y軸對稱的點.,T把平面上任一點變到它在y軸的投影點.,T把平面上任一點變到它關于直線x=y對稱的點.,T把平面上任一點變到它繞原點按順時針方向旋轉90°后所對應的點.8.設V是n階對稱矩陣的全體構成的線性空間［維數為］，給定n階方陣P，變換T(A)＝P′AP，A∈Ｖ稱為合同變換，試證合同變換T是V中的線性變換.【證明】因為A,B∈V,k∈R,有T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B),T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是線性空間V的一個線性變換.9.在R3中取兩個基：α1=(-1,0,-2),α2=(0,1,2),α3=(1,2,5);β1=(-1,1,0),β2=(1,0,1),β3=(0,1,2).定義線性變換T：T(α1)=(2,0,-1),T(α2)=(0,0,1),T(α3)=(0,1,2),求線性變換T在基β1,β2,β3下的矩陣.解：設則所以故又，所以T在基下的矩陣為10.函數集合V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a1,a0∈R｝對于函數的加法與數乘構成3維線性空間，在其中取一個基1＝x2ex,2＝2xex,3＝3ex，求微分運算D在這個基下的矩陣.【解】即因此D在基下的矩陣為.11.2階對稱矩陣的全體對于矩陣的加法與數乘構成3維線性空間，在Vn中取一個基(1)在V3中定義合同變換求在基下的矩陣及T的秩與零度.(2)在V3中定義線性變換求T在基下的矩陣及T的像空間與T的核.【解】(1)由此知，T在基下的矩陣為顯然M的秩為3，故這線性變換T的秩為3，零度為0.(2)即T()=()M,其中就是T在基下的矩陣.顯然有所以T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).最后求出T1(0).設A=x1A1+x2A2+x3A3∈T1(0),那么T(A)=0，即也就是()MX=0,它等價于齊次方程組MX=0，解之得根基解系(2,1,0),(1,0,1).故T1(0)=L(2A1A2,A1A3).〔B類〕1.A2.A3.設α1,α2是線性無關的n維向量，那么V={λα1+μα2｜λ,μ∈R}的維數為.解：由于V中任何元素都可由線性表示,且線性無關,所以的維數為2.4.在R3中線性變換T(x1,x2,x3)=(2x1-x2，x2+x3，x1)，那么T關于基ε1=(1,0,0)′,ε2=(0,1,0)′,ε3=(0,0,1)′的矩陣為.解：由于，故,,所以故T在下的矩陣為5.在R3中，向量α在基α1=(1,1,0),α2=(1,1,1),α3=(1,0,1)下的坐標為(2，1，0)′，向量β在基β1=(1,0,0),β2=(0,1,-1),β3=(0,1,1)下的坐標為(0,-1,1)′，求：(1)由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的過渡矩陣；(2)向量α+β在基α1,α2,α3下的坐標.解：〔1〕由所以，故過渡矩陣為〔2〕，所以，故在下坐標為6.設B是秩為2的5×4矩陣,α1=(1,1,2,3)′,α2=(-1,1,4,-1)′,α3=(5,-1,-8,9)′是齊次線性方程組Bx=0的解向量,求Bx=0的解空間的一個標準正交基.解：由B的秩為2知，Bx=0的解空間的維數為2.由線性無關令單位化得