試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆新高三開學摸底考試卷（北京專用）數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．若，則復數z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【解析】依題意，，故z的虛部為-5.故選：A2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】由已知可得，，解可得，，所以，所以，.故選：C.3．設，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】令，所以，令，所以，所以，故選：D.4．設，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（

）A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【解析】對于A：內有無數條直線與平推不出∥，只有內所有直線與平行才能推出，故A錯誤；對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．故選：D5．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線得出.因為，所以.作于C，則C是AB的中點.設，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C6．記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C7．已知函數則下列結論正確的是（

）．A．， B．，C．函數在上單調遞增 D．函數的值域是【答案】D【解析】作出函數的圖象，由圖可知函數是奇函數，即對，，故錯誤；當時，滿足，此時，不成立，故項錯誤；函數在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數，故項錯誤；函數的值域是，故項正確．故選．8．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點，與圓相交于，兩點，則四邊形的面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【解析】設圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，直線，互相垂直，垂足為，，，，．故選：B．9．已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在區間單調遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.10．隨著科技的不斷發展，人民消費水平的提升，手機購物逐漸成為消費的主流，當我們打開購物平臺時，會發現其首頁上經常出現我們喜歡的商品，這是電商平臺推送的結果．假設電商平臺第一次給某人推送某商品，此人購買此商品的概率為，從第二次推送起，若前一次不購買此商品，則此次購買的概率為；若前一次購買了此商品，則此次仍購買的概率為．記第n次推送時不購買此商品的概率為，當時，恒成立，則M的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，根據第次推送時購買、沒有購買兩種情況，寫出第n次推送時沒有購買的概率第n次（）推送時不購買此商品的概率，所以，由題意知，則，所以是首項為、公比為的等比數列，所以，即．顯然數列遞減，所以當時，，所以M的最小值為．故選:A．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.12．如圖，是半徑為3的圓的兩條直徑，，則__________．

【答案】【解析】由題意可得，，,,故答案為:.13．農業技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產量統計如下：

根據上表所提供信息，第________號區域的總產量最大．【答案】5【解析】設區域代號為，種植密度為，單株產量為，則，由圖象可得種植密度是區域代號的一次函數，故設，，由已知函數的圖象經過點,，所以，解得，所以，由圖象可得單株產量是區域代號的一次函數，故可設，，觀察圖象可得當時，，當時，，所以，解得，所以，所以總產量當時，函數有最大值，即號區域總產量最大，最大值為.故答案為：5.14．已知函數，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是____.【答案】【解析】，則，則時，，單調遞增.時，恒成立，即恒成立，則在上恒成立，則即在上恒成立，令，，則則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.則當時取得最小值，則則實數的取值范圍是故答案為：15．在數列中各項均為正數，且，給出下列四個結論：①對任意的，都有②數列不可能為常數列③若，則數列為遞增數列④若，則當時，其中所有正確結論的序號是___________.【答案】①③④【解析】對于①，在數列中，，則，又對于任意的都有，則，即，即對于任意的，都有，故①項正確；對于②，不妨設數列可能為常數列，則，又，則，則，即時，數列為常數列，故②項錯誤；對于③，又，則，即，同理，當，都有，即，即，即數列為遞增數列，故③項正確；對于④，，則，即，同理，當，都有，又，即數列為遞減數列，即當時，，故④項正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．的內角的對邊分別為，，且______．在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．(1)求的面積；(2)若，求．【解析】（1）若選①:因為，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；若選②:因為，即，則，又，則，又，得，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．17．某中學為了解高二年級中華傳統文化經典閱讀的情況，從高二年級隨機抽取10名學生進行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學生的考核成績.記錄的數據如下：1號2號3號4號5號6號7號8號9號10號第一輪測試成績96898888929187909290第二輪測試成績90909188888796928992(1)從該校高二年級隨機選取一名學生，試估計這名學生考核成績大于90分的概率；(2)為進一步研究這10名同學的成績，從考核成績小于90分的學生中隨機抽取兩人，記這兩人中兩輪測試至少有一次大于90分的人數為，求的分布列與數學期望；(3)記抽取的10名學生第一輪測試的平均數和方差分別為，考核成績的平均數和方差分別為，試比較與與的大小.（只需寫出結論）【解析】（1）這10名學生的考核成績（單位：分）分別為：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1號、7號、8號、9號、10號，共5人,

所以樣本中學生考核成績大于90分的頻率是.

從該校高二年級隨機選取一名學生，估計這名學生考核成績大于90分的概率為0.5；（2）由題知，考核成績小于90分的學生共4人，其中兩輪測試至少有一次大于90分學生有2人.

所以可取0,1,2，則，，，所以的分布列為012所以；（3）由題可得，，，所以；.18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若棱上一點，滿足，求點到平面的距離.【解析】（1）如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.（2）易知平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）因為棱上一點，滿足，所以，所以，所以點到平面的距離.19．已知橢圓過點，長軸長為.(1)求橢圓的方程及其焦距；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與直線交于點，為坐標原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標.【解析】（1）由題得，所以橢圓的方程為，焦距為.（2）如圖，

直線與橢圓方程聯立，化簡得，，即.設,，,，則，．直線的方程為，則，直線的方程為，則，因為，所以+=0，所以，所以，把韋達定理代入整理得或，當時，直線方程為，過定點，即點，不符合題意，所以舍去.當時，直線方程為，過定點.所以直線經過定點.20．已知函數.(1)若，求在處切線方程；(2)求的極大值與極小值；(3)證明：存在實數，當時，函數有三個零點.【解析】（1）當時，，，所以，又，所以切線方程為，即.（2），當時，，解得，故時，，單調遞減；時，，單調遞增，故時，的極小值為，無極大值；當時，令，解得，，故當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故的極大值為，極小值為；當時，令，解得，，故當或時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的極大值為，極小值為；綜上，當時，的極小值為，無極大值；當時，的極大值為，極小值為.（3）當時，由（2）知，在和上單調遞增，在上單調遞減，且時，恒成立，時，，又的極大值為，極小值為，所以存在實數時，函數有三個零點.21．已知為有限個實數構成的非空集合，設，，記集合和其元素個數分別為，.設.例如當時，，，，所以.(1)若，求的值；(2)設是由3個正實數組成的集合且，證明：為定值